Luyện thi đại học - Bài 2: Hệ phương trình trong đại số

Bài 2: Hệ phương trình đại số
 Một số loại hệ phương trình thường gặp:
 I)Hệ đối xứng loại I 
 1) Dạng: Hệ phương trình là hệ đối xứng loại I nếu 
 2)Cách giải : - Đặt . ĐK: .
 - Biểu thị hệ qua S và P .
 - Tìm S ; P thoả mãn điều kiện .
Khi đó x; y là 2 nghiệm của phương trình : . Từ đó có nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý 1 : 
 +) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y.
 +) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm S, P thỏa mãn .
 +) Khi thì x = y = -S/2
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy nhất S, P thỏa mãn .
Chú ý 2 : 
 Nhiều trường hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ). 
3) Các ví dụ : Giaỷi caực heọ pt sau ủaõy : 
 ẹS : x = 2; 3; 1; 5 
2 -
Vaọy Hpt coự ngh ( 4;9) ; ( 9;4).
5- cho: 
a) Tỡm m ủeồ hpt coự nghieọm. 
HD: Giaỷi heọ S ;P ta ủửụùc S= 4m ;p = 5m-1
ẹK : S2-4p 0 Û .
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. 
ĐS: m = 1/4, m = 1.
6) a-Cmr: Hpt coự ngh vụựi moùi m :
b) Tỡm m hpt coự nghieọn duy nhaỏt .
HDẹS :
 a- ẹS:heọS1,P1 Vn ; .
 Vaọy: HPt coự nghieọm vụựi moùi m.
b-HPT có ngh duy nhất Û Û .
=> x = y = 1 Vaọy : (1;1).
 II) Hệ đối xứng loại II 
 1) Dạng Hệ : là hệ đối xứng loại II nếu : 
 2)Cách giải :
+)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta đều thu được phương tình :
 (x-y).h(x;y) = 0
 Khi đó hệ đã cho 
 ( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ 2 vế chưa xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận tiếp mới có điều này).
+) Phương pháp điều kiện cần và đủ:
Phương pháp này được áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm duy nhất.
 Đ/k cần:
Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ có nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x0 = y0 (1) 
Thay (1) vào một phương trình của hệ, tìm đ/k của tham số để pt` có nghiệm x0 duy nhất ,ta được giá trị của tham số. Đó là đ/k cần.
 Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi kết luận.
3) Caực vớ duù :
Giaỷi heọ pt :
HDẹS :
1-Hptú 
2- ẹK : x ạ 0 ; y ạ 0. Hpt :
ú (-2; -2)
3-
Laỏy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0 ú y=x hoaởc y = 1-x.
Keỏt hụùp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2)
 Khi y = 1 -x VN .
4-
Laỏy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0 ú y = x ; y = -2/x
+ y = x : (1;1) ; (-1;-1) .
+ y = -2/x : 
III) Hệ nửa đối xứng của x và y 
 1)Dạng hệ: (Tức là có 1 phương trình là đối xứng )
 2)Cách giải: 
 Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phương trình tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó có: hệ đã cho tương đương với:
Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng
 Ví dụ : 
3) . Hệ nửa đối xứng
VD. Giải hệ :
Giải: 
+ Ta có I): 
+ Ta có II) :
IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y 
 1) Hệ phương trình được gọi là hệ đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự do) đều có bậc là 2.
 2) Cách giải : 
 * Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này thường dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở số hạng tự do cho đơn giản)
* Cách 2) Khử x2 ( với y ạ 0 ) hoặc y2 (với x ạ 0): (Cách này thường dùng khi hệ có chứa tham số).
3) Các ví dụ 
VD. Cho hệ phương trình : 
 a) Giải hệ pt` với m = 1
 b) Tìm a để hệ có nghiệm
Giải:
Cách 1: 
Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt.
Đặt x = ty, ta có :
Hệ Û 
 Û Û (I)
Do y ạ 0 nên từ y2(1 - 3t) = 4 ị 1 - 3t > 0 Û t < 
a) Với m = 1 ta có hệ :
Giải hệ ta được kq : (1 ; 4), (-1 ; -4).
b) Ta có :
(I) Û 
Û 
Đặt f(t) = 4t2 - (16 - 3m)t + 4 - m = thì
Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm thoả mãn t < .
Ta lại có " m nên hệ luôn có nghiệm thoả mãn t1 < < t2. Vậy hệ luôn có nghiệm với "m.
Cách 2 : Khử một ẩn.
Hệ Û 
Û 
(x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4).
Với m ạ 4 đặt : f(t) = 2t2 + (8 - m)t - (4 - m)2 ta có f(0) = -(4 - m)2 0 hay phương trình (*) luôn có nghiệm với "m.
VI. Một số hệ phương trình khác.
*) Cách giải: Để giải hệ phương trình không mẫu mực ta thường áp dụng một số pp :
+ Phân tích thành tích có vế phải bằng 0.
+ Đổi biến (đặt ẩn phụ)
+ Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số.
Các bài tập luyện tập :
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 
a) Cho hệ phương trình 
Giải hệ khi m=12
Tìm m để hệ có nghiệm
b)Cho hệ phương trình 
Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
c)Cho hệ phương trình 
Tìm m để hệ có nghiệm 
d) giải hệ 
 HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2
e) 
Giải hệ khi m=6
Tìm m để hệ có nghiệm 
Bài 2: (KB 2003)
 HD: 
 Th1 x=y suy ra x=y=1
 TH2 chú ‏‎y: ‏‎ x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm 
Bài 3: 
 HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt 
	S=2x+y và P= 2x.y 
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4: 
 HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :
 trên [-1,1] áp dụng vào phương trình (1) 
Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 
 HD: 
 xét lập BBT suy ra KQ
Bài 6.Giải hệ phương trình : 
Bài 7: xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
 HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8	
Bài 8: 
 HD : Rút ra 
 Cô si .
 theo (1) suy ra x,y
Bài 9: (KB 2002)
	HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
Bài 10: Tìm a để hệ có nghiệm
	HD: từ (1) đặt được hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu.
Bài tập áp dụng
 KD 2003
 HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
 Tìm m để hệ có nghiệm 
 dặt t=x/y có 2 nghiệm
 đặt X=x(x+2) vàY=2x+y
 đổi biến theo v,u từ phương trình số (1)
Đặt x=1/z thay vào được hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
 (KA 2003)
 HD: x=y V xy=-1,CM 	vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
 xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
 HD bình phương 2 vế .
13.Giải hệ phương trình(Đề CT- khối A năm 2008): 
 ĐS: 
14. (Đề CT- K B - 08)Giải hệ phương trình : ĐS: (-4;17/4)
15. (Đề CT- K D - 08) Giải hệ phương trình : ĐS: (5;2)
16(KD-07)Tìm m để hệ có nghiệm ĐS: 
17. (DBKA - 07)Giải hệ phương trình : ĐS: x = y=1 
18.(DBKA - 07)Giải hệ: ( x, y R )
Đặt u=-x2+xy ,v=x3y 	ĐS: (1,0),(-1;0)
20.(DBKB-07) giải hệ 
HD: cộng 2 vế,sau đó đánh giá VT VP.
ĐS: (0,0), (1,1)
21. (DBKD - 07)Tìm m để hệ pt : 
 có nghiệm duy nhất . 	 ĐS: m > 2.
21.(KA - 06)Giải hệ pt: 
 	ĐS: x =y =3
22. (DBKA - 06)
23. (DBKA - 06).
24. (DBKB - 06) (DBKB - 06) Giải hệ phương trình : 
26. (DBKD - 06) : 
28. (DBKA - 05): 
29. (DBKB - 05)Giải hệ phương trình: 
30.(KD-09)Giải hệ phương trỡnh 	(x, y ẻ R)
31. (KB-09) Giải hệ phương trỡnh