Một số loại hệ phương trình thường gặp:
I)Hệ đối xứng loại I
1) Dạng: Hệ phương trình f(x,y) = 0
g(x,y) = 0 là hệ đối xứng loại I nếu f(x,y) = f(y,x_
g(x,y) = g(y,x)
2)Cách giải : - Đặt x + y = S
xy = P . ĐK: .S2 >=4P
- Biểu thị hệ qua S và P .
- Tìm S ; P thoả mãn điều kiện .S2>=4P
Khi đó x; y là 2 nghiệm của phương trình: t2 - St + P = 0. Từ đó có nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý 1 :
+) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y.
+) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm S, P thỏa mãn .
+) Khi thì x = y = -S/2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy nhất S, P thỏa mãn .
Bài 2: Hệ phương trình đại số Một số loại hệ phương trình thường gặp: I)Hệ đối xứng loại I 1) Dạng: Hệ phương trình là hệ đối xứng loại I nếu 2)Cách giải : - Đặt . ĐK: . - Biểu thị hệ qua S và P . - Tìm S ; P thoả mãn điều kiện . Khi đó x; y là 2 nghiệm của phương trình : . Từ đó có nghiệm của hệ đã cho. Chú ý 1 : +) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y. +) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm S, P thỏa mãn . +) Khi thì x = y = -S/2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy nhất S, P thỏa mãn . Chú ý 2 : Nhiều trường hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ). 3) Các ví dụ : Giaỷi caực heọ pt sau ủaõy : ẹS : x = 2; 3; 1; 5 2 - Vaọy Hpt coự ngh ( 4;9) ; ( 9;4). 5- cho: a) Tỡm m ủeồ hpt coự nghieọm. HD: Giaỷi heọ S ;P ta ủửụùc S= 4m ;p = 5m-1 ẹK : S2-4p 0 Û . b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. ĐS: m = 1/4, m = 1. 6) a-Cmr: Hpt coự ngh vụựi moùi m : b) Tỡm m hpt coự nghieọn duy nhaỏt . HDẹS : a- ẹS:heọS1,P1 Vn ; . Vaọy: HPt coự nghieọm vụựi moùi m. b-HPT có ngh duy nhất Û Û . => x = y = 1 Vaọy : (1;1). II) Hệ đối xứng loại II 1) Dạng Hệ : là hệ đối xứng loại II nếu : 2)Cách giải : +)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta đều thu được phương tình : (x-y).h(x;y) = 0 Khi đó hệ đã cho ( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ 2 vế chưa xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận tiếp mới có điều này). +) Phương pháp điều kiện cần và đủ: Phương pháp này được áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm duy nhất. Đ/k cần: Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ có nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x0 = y0 (1) Thay (1) vào một phương trình của hệ, tìm đ/k của tham số để pt` có nghiệm x0 duy nhất ,ta được giá trị của tham số. Đó là đ/k cần. Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi kết luận. 3) Caực vớ duù : Giaỷi heọ pt : HDẹS : 1-Hptú 2- ẹK : x ạ 0 ; y ạ 0. Hpt : ú (-2; -2) 3- Laỏy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0 ú y=x hoaởc y = 1-x. Keỏt hụùp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2) Khi y = 1 -x VN . 4- Laỏy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0 ú y = x ; y = -2/x + y = x : (1;1) ; (-1;-1) . + y = -2/x : III) Hệ nửa đối xứng của x và y 1)Dạng hệ: (Tức là có 1 phương trình là đối xứng ) 2)Cách giải: Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phương trình tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó có: hệ đã cho tương đương với: Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng Ví dụ : 3) . Hệ nửa đối xứng VD. Giải hệ : Giải: + Ta có I): + Ta có II) : IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y 1) Hệ phương trình được gọi là hệ đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự do) đều có bậc là 2. 2) Cách giải : * Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này thường dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở số hạng tự do cho đơn giản) * Cách 2) Khử x2 ( với y ạ 0 ) hoặc y2 (với x ạ 0): (Cách này thường dùng khi hệ có chứa tham số). 3) Các ví dụ VD. Cho hệ phương trình : a) Giải hệ pt` với m = 1 b) Tìm a để hệ có nghiệm Giải: Cách 1: Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt. Đặt x = ty, ta có : Hệ Û Û Û (I) Do y ạ 0 nên từ y2(1 - 3t) = 4 ị 1 - 3t > 0 Û t < a) Với m = 1 ta có hệ : Giải hệ ta được kq : (1 ; 4), (-1 ; -4). b) Ta có : (I) Û Û Đặt f(t) = 4t2 - (16 - 3m)t + 4 - m = thì Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm thoả mãn t < . Ta lại có " m nên hệ luôn có nghiệm thoả mãn t1 < < t2. Vậy hệ luôn có nghiệm với "m. Cách 2 : Khử một ẩn. Hệ Û Û (x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4). Với m ạ 4 đặt : f(t) = 2t2 + (8 - m)t - (4 - m)2 ta có f(0) = -(4 - m)2 0 hay phương trình (*) luôn có nghiệm với "m. VI. Một số hệ phương trình khác. *) Cách giải: Để giải hệ phương trình không mẫu mực ta thường áp dụng một số pp : + Phân tích thành tích có vế phải bằng 0. + Đổi biến (đặt ẩn phụ) + Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số. Các bài tập luyện tập : Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản a) Cho hệ phương trình Giải hệ khi m=12 Tìm m để hệ có nghiệm b)Cho hệ phương trình Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt c)Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm d) giải hệ HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2 e) Giải hệ khi m=6 Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2: (KB 2003) HD: Th1 x=y suy ra x=y=1 TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm Bài 3: HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y và P= 2x.y Đs : (1,3) và (3/2 , 2) Bài 4: HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số : trên [-1,1] áp dụng vào phương trình (1) Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất HD: xét lập BBT suy ra KQ Bài 6.Giải hệ phương trình : Bài 7: xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8 Bài 8: HD : Rút ra Cô si . theo (1) suy ra x,y Bài 9: (KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) Bài 10: Tìm a để hệ có nghiệm HD: từ (1) đặt được hệ dối xứng với u, - v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu. Bài tập áp dụng KD 2003 HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm Tìm m để hệ có nghiệm dặt t=x/y có 2 nghiệm đặt X=x(x+2) vàY=2x+y đổi biến theo v,u từ phương trình số (1) Đặt x=1/z thay vào được hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2) (KA 2003) HD: x=y V xy=-1,CM vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ HD bình phương 2 vế . 13.Giải hệ phương trình(Đề CT- khối A năm 2008): ĐS: 14. (Đề CT- K B - 08)Giải hệ phương trình : ĐS: (-4;17/4) 15. (Đề CT- K D - 08) Giải hệ phương trình : ĐS: (5;2) 16(KD-07)Tìm m để hệ có nghiệm ĐS: 17. (DBKA - 07)Giải hệ phương trình : ĐS: x = y=1 18.(DBKA - 07)Giải hệ: ( x, y R ) Đặt u=-x2+xy ,v=x3y ĐS: (1,0),(-1;0) 20.(DBKB-07) giải hệ HD: cộng 2 vế,sau đó đánh giá VT VP. ĐS: (0,0), (1,1) 21. (DBKD - 07)Tìm m để hệ pt : có nghiệm duy nhất . ĐS: m > 2. 21.(KA - 06)Giải hệ pt: ĐS: x =y =3 22. (DBKA - 06) 23. (DBKA - 06). 24. (DBKB - 06) (DBKB - 06) Giải hệ phương trình : 26. (DBKD - 06) : 28. (DBKA - 05): 29. (DBKB - 05)Giải hệ phương trình: 30.(KD-09)Giải hệ phương trỡnh (x, y ẻ R) 31. (KB-09) Giải hệ phương trỡnh
Tài liệu đính kèm: