Luyện tập môn Toán 12 - Chương II: Hàm số lũy thừa hàm số mũ và hàm số logarit

CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
BÀI 1: LŨY THỪA
I. Lý thuyết.
1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Với mọi ta có:
	+) 
	+) Với : 
	+) Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên: Với mọi ta có:
	Nếu thì ; 
	Nếu và thì (mũ càng lớn thì càng lớn).
	Nếu và thì (mũ càng lớn thì càng nhỏ).
VD1: Tính giá trị của biểu thức sau:
VD2: Rút gọn biểu thức: 
VD3: Hãy so sánh các cặp số sau đây:
	a/ và 	b/ và 
2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ 
Với a là số thực dương và ta định nghĩa:
3. Lũy thừa với số mũ vô tỉ.
	Với a là số thực dương và là số vô tỉ, dãy số thì 
4. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
	Cho a, b là các số nguyên dương; là các số thực tùy ý. Khi đó:
	+)	
	+)	
	+)	Nếu thì 	+) 	Nếu thì 
	+) 	Nếu thì 	+) 	Nếu thì 
VD1: Rút gọn biểu thức:
	a/ 	b/ 
VD2: Rút gọn biểu thức:
	a/ 	ĐS: 
	b/ 	ĐS: 
II. Các dạng bài tập.
Bài toán1: Tính giá trị của biểu thức.
VD1: Thực hiện phép tính.
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
VD2: Thực hiện phép tính.
	a/ 	b/ 
VD3: Thực hiện phép tính.
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
	e/ 	f/ 
VD4: Tính giá trị các biểu thức sau:
	a/ 	b/ 
Bài toán2: Chứng minh đẳng thức.
VD1:Chứng minh các đẳng thức sau:
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
VD2: Chứng minh rằng:
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
VD3: Cho ; . Tính 	ĐS: 
VD3: Chứng minh rằng: 	
VD4: Khi nào các đẳng thức sau luôn đúng?
	a) 	b) 	c) .
VD5: Có thể viết được không?
Bài toán3: Rút gọn biểu thức.
VD1: Rút gọn các biểu thức sau:
	a/	b/ 
	c/ 	d/ 
	e/ 	f/ 
VD2: Đơn giản các biểu thức sau:
	a/ 	b/ 
VD3: Tính giá trị các biểu thức sau:
	; với và 
	; với và 
VD4: Chứng minh các đẳng thức sau:
	a/. 	b/. 
VD5: Trục căn thức ở mẫu:
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
Bài toán4: So sánh các biểu thức.
PP: 	+) Đưa về cùng cơ số và so sánh số mũ.
	+) Đưa về cùng số mũ và so sánh cơ số.
	+) So sánh với cùng một số trung gian.
VD1: So sánh
	a/ và 	b/ và 
	c/ và 	d/ và 
VD2: So sánh
a/ và 	b/ và 
PP: Đưa về cùng cơ số và so sánh số mũ
VD3: So sánh.
	a/ và 	b/ và 
	c/ và 
	PP: Đưa về cùng căn thức cùng bậc và so sánh biểu thức trong căn.
VD4: So sánh.
	a/ và 	b/ và 
	PP: So sánh trung gian.
VD5: So sánh:
	a/ và 	b/ và 
VD6: Tìm x thỏa mãn từng điều kiện sau:
	a/ 	b/ 
	c/ 	d/ 
BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA
I. Lý thuyết.
1. Khái niệm về hàm số lũy thừa.
	Hàm số được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định:
	+) Nếu nguyên dương thì TXĐ là R.
	+) Nếu nguyên âm hoặc bằng 0 thì TXĐ là 
	+) Với không nguyên thì TXĐ là 
VD: Tìm TXĐ của hàm số
	a/ 	b/ 	c/ 
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa.
4. Khảo sát hàm số lũy thừa.
Tập khảo sát: 
Sự biến thiên: nên hàm số đồng biến trên .
Giới hạn đặc biệt: 
Tiệm cận: không có tiệm cận.
Bảng biến thiên:
 +
y
0
Tập khảo sát: 
Sự biến thiên: nên hàm số nghịch biến trên 
Giới hạn đặc biệt: 
Tiệm cận: là tiệm cận đứng, là tiệm cận ngang.
Bảng biến thiên:
 - 
y
5. Đồ thị.
Nhận xét : Đồ thị hàm số lũy thừa luôn đi qua điểm 
Chú ý: Khảo sát sự biến thiên của hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể phải xét trên tập xác định của hàm số đó.
II. Các dạng bài tập.
Bài toán1: Tìm TX Đ của hàm số.
VD1: Tìm TX Đ của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 	c/ 
	d/ 	e/ 	f/ 
VD2: Tìm TX Đ của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 	c/ 
Bài toán2: Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa.
VD1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 	c/ 
VD2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
	a/ 	b/ 	c/ 
	d/ 	e/ 	f/ 
Bài toán3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số lũy thừa.
VD1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ.
	a/ và 	b/ và 
VD2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
	a/ 	b/ 	c/ 
VD3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
	a/ và 	b/ và 
BÀI3: LOGARIT
Khởi động: Tìm x để 
a/ 	b/ 	c/ 	d/ 
Như vậy cho a là số dương ta có hai bài toán trái ngược khi có PT: :
	+) Cho tính b	+) Cho tính .
Vấn đề: Tìm x để : ?.
I. Khái niệm logarit.
1. Định nghĩa: Cho 2 số dương a và b với . Số thỏa mãn đẳng thức được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là: . Như vậy:
VD1: a/ vì 	b/ vì 	c/ vì 
VD2: Tính 	
Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.
2. Tính chất.
Từ các tính chất của lũy thừa: ta suy ra các tính chất tương ứng của logarit.
Cho 2 số dương a và b ta có các tính chất sau: 
VD1: 	a/ 	b/ 
VD2: Tính a/ 	b/ 	c/ 
II. Quy tắc tính logarit.
1. Logarit của một tích.
	ĐL1: Cho 3 số dương a, với ta có: 
VD1: Tính 
VD2: Tính 
2. Logarit của một thương.
	ĐL2: Cho 3 số dương với ta có: 
VD1: Tính . Cách khác?
VD2: Tính 
3. Logarit của một lũy thừa.
	ĐL3: Cho 2 số dương với . Với mọi ta có: .
VD1: Tính 
VD2: Tính 	ĐS: 2
III. Đổi cơ số.
	ĐL4: Cho 3 số dương . Khi đó ta có: ; 
	Đặc biệt: và ; 
VD1: 	a/ 	b/ 
VD2: 	a/ 	b/ 
VD3:	
IV. Áp dụng.
VD1: Tính.
	a/ 	b/ 
VD2: Tính 	ĐS: 
VD3: 	a/ Cho . Tính theo a.	ĐS: 
	b/ Cho . Tính theo a.	ĐS: 
VD4: Rút gọn biểu thức:
	ĐS: 
V. Logarit thập phân và logarit tự nhiên.
1. Logarit thập phân
	+) Là logarit cơ số 10. Kí hiệu là ; 
2. Logarit tự nhiên.
	+) Kí hiệu 
	+) Logarit tự nhiên là logarit cơ số e: 
Chú ý: Tính logarit cơ số khác 10 và khác e bằng máy tính bỏ túi ta sử dụng công thức đổi cơ số.
	VD: hoặc