Luyện tập Hệ phương trình mũ và lôgarit

www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
1 
Hệ ph−ơng trình mũ và lôgarit 
A. Ph−ơng pháp biến đổi t−ơng đ−ơng. 
Ph−ơng pháp: 
B−ớc 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. 
B−ớc 2: Dùng các phép biến đổi để nhận đ−ợc một ph−ơng 
trình một ẩn. 
B−ớc 3: Giải ph−ơng trình một ẩn nhận đ−ợc từ hệ. 
B−ớc 4: Kết luận. 
Bài tập: Giải các hệ sau: 
1. Bài 1. 
)1(
1)1(
2
22



=+
=+
++xxy
yx
Giải. 
Điều kiện y > −1. 



=
=
⇔



=
=+
⇔
















=++
>+
=+
=+
⇔
0
2
0
2
02
01
11
2
)1(
2
y
x
y
yx
xx
y
y
yx
2. Bài 2. 




=
=
⇔>




=
=
−
−−+−+ −−
)2(
)0,:(
1 2
)1()(2
2
22
xy
xxyx
yx
yx xxxxyxyx
KĐ 



−=
=
⇔




=+
=
⇔




−−=+
=
⇔
−− )(1
1
033
1
)(2
1
)1( 322 loạix
x
x
x
xxxx
x
Thay x = 1 vào (2) ta có cặp nghiệm (1,1). 
3. Bài 3. 




−=
=+−
⇔




−=
=+
⇔




=+
=+ −
xyxyyx
xxxxyx
1
022.32
1
322
1
322 21
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
2 






−=




=
=
⇔
xy
x
x
1
22
12










=
=



=
=
⇔
0
1
1
0
y
x
y
x
4. Bài 4. 




=+
=+ −−
1
1)44(2 22
yx
yx
5. Bài 5. 
)1(
12
99




=
=
−+
yx
yx yxyx
Điều kiện: x, y > 0. 




=
=
⇔




=
=
⇔
−
−−+
−
−+ −−
)3(
)2()1(
2
)9(29
2
99 22
xy
xx
xy
yx xxxxyxyx



=
=
⇔




−−=+
=
⇔
−− 3/1
1
)9(29
1
)2( 22 x
x
xxxx
x
. 
Thay vào (3) ta đ−ợc các cặp nghiệm: (1,1); (1/3,9). 
6. Bài 6. 



+=+
+=+
⇔




=
=
⇔




=
=
3log213log.
3log23log
18log)2.3(log
12log)3.2(log
182.3
123.2
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Giải hệ trên bằng ph−ơng pháp định thức ta có cặp nghiêm: (2,1). 
7. Bài 7 (HVNH 99). 




+−=
+=
⇔




−=
=−
⇔




=−
=
⇔




=−
=+ +
312
312
222
2)22(2
222
22
222
1
y
x
xy
xx
yx
yx
yx
yx




+−=
+=
⇔
)31(log
)31(log
2
2
y
x
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
3 
8. Bài 8 (ĐHSP II 98). 




+=++
=+ +−+
)2(113
)1(2.322
2
3213
xxyx
xyyx








−=
−≥
=
⇔



=−+
−≥
⇔




+=++
≥+
⇔
xy
x
x
yxx
x
xxyx
x
31
1
0
0)13(
1
113
01
)2( 2 
Với x = 0 thay vào (1) ta có cặp nghiệm: )
11
8log,0( 2 
Với 



−=
−≥
xy
x
31
1
, thay vào (1) ta có: 
31)31(3113 2.322 +−−−+ =+ xxx 
Giải ra ta đ−ợc cặp nghiệm: ))83(log2,1)83([log
3
1( 22 +−−+ 
9. Bài 9 (ĐHKTQD 99). 





=
=
−
−
+
)2(
)1(
13
)
3
(54
yx
yx
xy
xy
Điều kiện: x, y > 0. 
Từ (2) ta có: y = x− 3, thế vào (1) ta đ−ợc: 



=
=
⇔




−−=+
=
⇔=
−−
−−
+
−
−
2
1
)
3
(154
1
33
)
3
(154
3
3
x
x
x
xxx
x
xx
x
x
xx 
Thay vào (2) ta đ−ợc các cặp nghiệm: (1, 1) và (2, 1/8). 
10. Bài 10 (ĐHQG 95). 




=+
+−=−
)2(2
)1()2)((22
22 yx
xyyxyx
Tháy (2) vào (1) ta đ−ợc: 
333322 2222))((22 yxyxxyyxyx yxyxyx −=−⇔−=−⇔++−=−
 Nhân xét: x = y thoả mãn ph−ơng trình trên. 
Nếu x > y có: 33 22 yx yx +>+ 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
4 
Nếu x < y có: 33 22 yx yx +<+ 
Nh− vậy, từ ph−ơng trình trên ta có x = y. 
Thay vào (2) ta có 


−==
==
1
1
yx
yx
11. Bài 11. 




=
=+
⇔




=
=+
⇔




=+
=+
4
17
2).(log
17
2loglog
17 22
2
22
22
22
xy
yx
yx
yx
yx
yx
Giải ra ta đ−ợc các cặp nghiệm (1, 4); (4, 1). 
12. Bài 12. 
)1(
loglog2
42





=
=
x
y
x
yx
y
Điều kiện: x > 0, 0 < y ≠ 1. 





=−
=
⇔





=−
=
⇔
y
y
yy
yx
y
x
yx
yx
2
2
22
22
2
2
22
4
2
2
2
log
log2loglog2
log2log
log
logloglog
loglog
)1( 










=
=



=
=
⇔








=
=
=
⇔




=−
=
⇔
4
16
1
1
4
1
log2log
0log2log
log2log 22
2
2
2
22
y
x
y
x
y
y
yx
yy
yx
13. Bài 13. 
)1(
1)2(log)2(log
24
22
22




=−−+
=−
yxyx
yx
Điều kiện: 2x+y > 0, 2x − y > 0. 



=−−+
=−++
⇔
1)2(log)2(log
1)2(log)2(log)1(
22
22
yxyx
yxyx



=
=
⇔



=−
=+
⇔



=−
=+
⇔
2/1
4/3
12
22
0)2(log.2
2)2(log.2
2
2
y
x
yx
yx
yx
yx
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
5 
14. Bài 14 (ĐHMĐC 99). 
)1(
1log)4224(log)1(log
)3(log1)2(log)(log
4
2
44
44
22
4





−=+−+−+
+=+−+
y
x
xyyxy
yxxyx
Điều kiện: 
(*)
0
04224
01
03
0
2









>
>+−+
>+
>+
>
y
xyy
xy
yx
x







=
+−+
+
+=
+
⇔







=
+−+
+
+=
+
⇔
y
x
xyy
xy
yx
x
yx
y
x
xyy
xy
yx
x
yx
44224
1
3
2
)(4
4
log
4224
1log
)3(log
2
)(4log
)1(
2
22
424
4
22
4








=
=
=
⇔








=
=
=
⇔



=−−
=−−
⇔




=−+−
=+−
⇔
1
2
2
2
0)2)((
0)2)((
0442
023
2
22
y
x
yx
x
yx
yx
xyx
yxyx
xyxyx
yxyx
Kiểm tra lại điều kiện (*) ta có nghiệm: 








=
=
∈=
1
2
y
x
Ryx
15. Bài 15 (ĐHQG Khối −D 95). 
)1(
)(log1)(log
324
33





+−=−
=
+
yxyx
x
y
y
x
Điều kiện: 





≠
>+
>−
0
0
0
xy
yx
yx
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
6 




=−
=−−
⇔





=−
=+
⇔





=−
=+
⇔
3
0)2)(2(
3
5)(2
1)(log
5)(2
)1( 22
2222
3
yx
xyyx
yx
x
y
y
x
yx
x
y
y
x
(*))(
1
2
33
2
33
2
2
2
do
y
x
y
xy
y
yx



=
=
⇔











=−
=




=
=
⇔
nghiệm)(Vô
16. Bài 16 (ĐHBK 94). 
)1(
813).122(
3log
2
3




=+−
=+
yyy
yx
x
Điều kiện: y > 0. 




=−+
+−=
⇔




=+−
+−=
⇔
− 012
3log
81.27).122(
3log
)1( 2
3
12
3
yy
yx
yyyy
yx



=
=
⇔








<−=
=
+−=
⇔
3
2
)(04
3
3log3
y
x
y
y
yx
loại
17. Bài 17 (ĐHTL 2000). 
)1(
3
2loglog2log.
2
3loglog3log.
333
222






+=+
+=+
y
yxx
xyyx
Điều kiện: x, y > 0. 




=
=
⇔




=
=
⇔






=
=
⇔
−− xyyx
yx
xy
yx
yx
yx
xy
xy
xy
y
x
xy
23
2.33.2
2.33.2
2.33.2
3.
3
22.
2.
2
33.
)1( 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
7 



=
=
⇔





=
=





⇔




=
=
⇔
− 1
1
2
3
2
3
16
2.33.2
y
x
yx
xy
x
yx
yx
18. Bài 18 (ĐHTCKT 2000). 
)1(
1loglog
4
44
loglog 88




=−
=+
yx
yx xy
Điều kiện: x, y > 0. 




=
=+
⇔





=
=+
⇔
yx
yx
y
x
yx xy
xy
4
4
1log
4
)1( 88
88 loglog
4
loglog




=
=
⇔




=
=
⇔




=
=
⇔
−23
3
2
log
2
2
4
2loglog
3
1
4
28
y
x
yx
x
yx
x x
x
( do x = 1 không là nghiệm) 
19. Bài 19. 






−
−
=
−
−
=
⇔







−=
=
−
⇔






−=
=
⇔







−=
+
=
−
5
)1(2
1
3
1
52
3
1
52
3
33
42
3
9
3
9 2112
x
x
x
x
x
xy
y
x
x
y
y
x
x
x
y
x
x
y
y
x
x
yx
y
x
x
y
x
x
20. Bài 20 (ĐHXD 94). Giải và biện luận hệ ph−ơng trình: 



=+
−=
⇔



=+
−=
⇔



=+
−=
⇔



=+
=+
−− )2(1222
)1(2
122
2
122
2
142
2
2 xaxxaxyxyx
xayxayxayayx
Đặt xt 2= , t > 0 thay vào (2) ta có: 022 =+− att (3) 
a2.41∆ −= . 
Nếu 202.410∆ −>⇔<−⇔< aa : Ph−ơng trình(3) vô nghiêm ⇔ hệ vô 
nghiệm. 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
8 
Nếu 202.410∆ −=⇔=−⇔= aa : Ph−ơng trình (3) có nghiệm t = 1/2, suy ra 
x = −1, y= −1/2. 
Nếu 202.410∆ −>⇔>−⇔> aa : Ph−ơng trình (3) có 2 nghiệm: 







−+
=
−−
=
⇔







−+
=
−−
=
⇒







−+
=
−−
=
2
2.411log
2
2.411log
2
2.4112
2
2.4112
2
2.411
2
2.411
2
2
a
a
a
x
a
x
a
a
x
x
t
t
Thay vào (1) ta tính đ−ợc y. 
21. Bài 21 (ĐHMĐC 2000). Giải và biện luận hệ ph−ơng trình: 




=
−−=
⇔




=
=++
−−−−−−+−+ 22 1))1(1(2 22
1
24.2
1
axaxxaxxyyxa
xayayx




−=−−−−−+
−−=
⇔
)2(21))1(1(2
)1(1
axaxxax
xay
22. Bài 22 (Đề 135). Cho hệ ph−ơng trình: 
)1(
0
0loglog
2
1
23
3
2
3





=−+
=−
myyx
yx
a) Giải hệ với m = 2. 
b) Tìm m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm. 
Điều kiện: (*)
0
0



>
≠
y
x




=−+=
=
⇔




=−+
=
⇔
)3((*))(0)(
)2(
0
loglog
)1(
223
33
domyyyf
yx
myyx
yx
a) Với m = 2, giải ra ta có các cặp nghiệm (1, 1); (−1, 1). 
b) (1) có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm y > 0. Do (3) có −b/a= −1 nên 
(3) có nghiệm d−ơng khi và chỉ khi f(0) 0. 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
9 
23. Bài 23. 
)1(
2)3(log
2)3(log



=+
=+
kxy
kyx
y
x
Điều kiện:0 0, 3y + kx > 0 (*). 




=−−−−
=+
⇔




=+
=+
⇔
0)3)((
)1(
yxkyx
2
2
2
x ky 3x
y kx 3y
x ky 3x











−−=
=+




=
=+
⇔








−−=
=
=+
⇔
)3(
3
)2(
3
xky
yx
xky
yx
2
2
2
x ky 3x
x ky 3x
x ky 3x
a) Với k = 2. 



=
=
⇔




=
=−
⇔
5
505)2(
2
y
x
yx
xx





−=



=
−=
⇔




−=
=−−
⇔
xy
x
x
yy
xx
1
2
1
1
02)3(
2
(loại) 
b) Biện luận: 





=



+=
=
⇔



=
=−−
⇔
yx
kx
x
yx
kxx
3
)(0
0)3()2(
loại



=
+=
⇔
yx
kx 3
 là nghiệm của hệ khi và chỉ khi thoả mãn (*), hay 0 < 3+k ≠ 1⇔ −3 < k ≠ −2. 




−−=
=−+−+
⇔
)5(3
)4(0)3()3()3(
2
xky
kkxkx
Xét ph−ơng trình (4) 0)3()3()( 2 =−+−+= kkxkxxf có: 

’ = −3(k − 3)(k + 1). 
+ Nếu 
’ 3 hoăc k < −1: (4) vô nghiệm ⇔ (3) vô nghiệm. 
+ Nếu 
’= 0 ⇔ k = 3 hoăc k = −1: 
+ k = 3: (4) có nghiệm x = 0 không thoả mãn (*) ⇔ (3) vô nghiệm. 
+ k = −1: (4) có nghiệm x = 2, thay vào (5) có y = 2 ⇔ (2,2) là 
nghiệm của (3). 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
10 
+ Nếu 
’> 0 ⇔ −1 < k < 3 (**): (4) có 2: 






+−−−−
==
+−−+−
==
2
)1)(3(33
2
)1)(3(33
2
1
kkk
xx
kkk
xx
Với x = x1, thay vào (5) ta có y1 = x2. 
Với x = x2, thay vào (5) ta có y1 = x1. 
Do đó, (3) có nghiệm thoả mãn 0 < x, y ≠ 1 khi và chỉ khi: 



−≠
<
⇔





≠−++−
>−
>−
⇔





≠
>+
>
31
0
0)3(31
03
0)3(
0)1(
0
0
21
21
k
k
kkk
k
kk
f
xx
xx
Kết hợp (**) ta có 



−≠
<<−
31
01
k
k
Kết luận: 
 + Với k ≤ −3 hoặc k = −2 hệ vô nghiệm. 
 + Với }2{\),0[}31{]1,3( −+∞∪−∪−−∈k hệ có nghiệm x=y=3+k. 
  ... )(1(0∆ <<⇔<−−⇔< mmm , ph−ơng trình (4) vô nghiệm 
⇒ hệ (3) vô nghiệm. 
Kết luận: 
Nếu m ≤ −1, hệ có nghiệm duy nhất: 







+−−−
=
+−+−
=
2
561
2
561log
2
2
2
mmmy
mmm
x
Nếu −1 < m < 1 hệ có 2 nghiệm: 






+
=
+
=
3
1
3
1log 2
my
m
x
và 







+−−−
=
+−+−
=
2
561
2
561log
2
2
2
mmmy
mmm
x
Nếu 1 < m < 5, hệ có nghiệm duy nhất: 






+
=
+
=
3
1
3
1log 2
my
m
x
Nếu m = 5, hệ có hai nghiệm: 



=
=



=
=
4
2
2
1
y
x
y
x
và 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
20 
Nếu m > 5, hệ ph−ơng trình có 3 nghiệm: 






+
=
+
=
3
1
3
1log 2
my
m
x







+−+−
=
+−−−
=







+−−−
=
+−+−
=
2
561
2
561log
2
561
2
561log
2
2
2
2
2
2
mmmy
mmm
x
mmmy
mmm
x
và 
39. Bài 39. Giải và biên luận hệ ph−ơng trình: 
)1(
263
242






−=−
−=−
++
−−
nnnn
mmmm
yxyx
yxyx
Xét với m, n > 0. 
Đặt: 






=
=
+
−
6
4
yx
yx
nv
mu
(*). Thay vào (1) ta có: 
)2(
22
22




−=−
−=−
nnvv
mmuu
Xét hàm số: xxxf −= 2)( là hàm đồng biến trên (0, +∞), nên với x≠y thì 
)()( yfxf ≠ . Do đó 



=
=
⇔
nv
mu)2( . Thay vào (*) ta có: 





∈
=
=




≠=
=
−




=≠
=
−









≠≠
=
+
=
−
⇔






=
=
−
−
Ryx
n
m
nm
yx
nm
yx
nm
yx
yx
nn
mm
yx
yx
,
1
1
1,1
1
6
1,1
1
4
1,1
1
6
1
4
6
4
hoặchoặchoặc 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
21 





∈
=
=



≠=
=−



=≠
=−





≠≠
=
=
⇔
ryx
n
m
nm
yx
nm
yx
nm
y
x
,
1
1
1,1
6
1,1
4
1,1
1
5
hoặchoặchoặc 
Kết luận: Xét với m, n > 0 
+ Với m = n = 1: Mọi x, y ∈ R là nghiệm của hệ. 
+ Với m = 1, n ≠ 1: Mọi (x, y) thoả mãn x − y = 6 là nghiệm của hệ. 
+ Với m ≠ 1, n = 1: Mọi (x, y) thoả mãn x − y = 4 là nghiệm của hệ. 
+ Với 0 < m, n ≠ 1: Hệ có nghiêm duy nhất (5,1). 
40. Bài 40. Cho hệ ph−ơng trình: 
)1(
221
112
122
1




+−=−
++−−=
++
+
my
myy
xx
x
a) Giải hệ ph−ơng trình với m = 0. 
b) Tìm m để hệ có nghiêm. 
c) Tìm m để hệ coa nghiêm duy nhất. 
Giải. 
Đặt: 0,2,
1
2 1 ≥≥




−=
=
+
vu
yv
u
x
 (*), thay vào (1) ta có: 



−++−−=−
+−=
⇔




+−=
+−=
)())((
2
2
2
vuvuvuvu
mvvu
muuv
mvvu










−=
+−=



=
+−=
⇔



=+−
+−=
⇔
(*))(
)2(
0))(( 2
2
2
t/mnghiệmcókhông
vu
mvvu
vu
mvvu
vuvu
mvvu
a) Với m = 0, (2) trở thành: 



==
==
⇔



=−
=
⇔



−=
=
2
)(0
0)2(2 vu
vu
uu
vu
vvu
vu loại
Thay u = v = 2 vào (*) ta có: 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
22 



=
=
⇔





=
=
≥≥
⇔





=−
=
≥≥
⇔




=−
=
+
5
1
5
1
1,0
41
1
1,0
21
22 1
y
x
y
x
yx
y
x
yx
y
x
b) 



=+−=
=
⇔



=+−
=
⇔
)3(02)(
)2( 22
mvvvf
vu
vmvv
vu
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm v ≥ 2 
0)(
21
2
0)2(
0'∆
0)2(
≤⇔
















>=
−
>
≥
≤
m
VN
a
b
f
f
Vậy với m ≤ 0 thì hệ có nghiệm. 
c) 



=+−=
=
⇔



=+−
=
⇔
)4(02)(
)2( 22
mvvvf
vu
vmvv
vu
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) chỉ có 1 nghiệm v ≥ 2 
0
0)2(
21
2
0)2(
≤⇔






<




≤=−
=
m
f
a
b
f
Vậy với m ≤ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất. 
41. Bài 41. Cho hệ ph−ơng trình: 
)1(
4.242
4.2.2)42(
242
42 2
2
22




=++
=−+
⇔




=++
=+
+
m
m
m
m
yxyx
yxyx
yxyx
yx
a) Giải hệ với m = 1. 
b) Tìm m để hệ có nghiệm. 
Giải. 
Đặt: 0,,
4.2
42
>




=
+=
uu
v
u
yx
yx
(*).Thay vào (1) ta có: 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
23 



+−=
−=+−
⇔



+−=
−=
⇔



=+
=−+
mvu
mmmvv
mvu
mmuv
mvu
muvvu
222 )(222)(



+−=
=−+−=
⇔
mvu
mmmvvvf )2(022)( 22
a) Với m = 1 ta có: 
)(
0
1
1
1
)(0
1
022 2
loại
loại



=
=
⇔





+−=



=
=
⇔



+−=
=−
u
v
vu
v
v
vu
vv
Vậy với m = 1, hệ vô nghiệm. 
b) Nhận xét: Với m ≤ 0, ph−ơng trình thứ hai của (1) vô nghiệm nên hệ vô 
nghiệm. Ta xét với m > 0. Khi đó hệ (1) có nghiêm khi và chỉ khi ph−ơng 
trình (2) có nghiêm v thoả mãn 0 < v < m 
)(
2/1
0
0
2/1
0
0)(2
0)(
2
1
2
0
0)(
0)0(
0'∆
0)().0(
2
2
2
22
22
vn
m
mm
mm
m
mm
mmm
mm
m
a
b
mf
f
mff






>
>−
<−
⇔














>
>−
>−−
<−
⇔
















<=
−
<
>
>
>
<
⇔ 
Vậy không có giá trị của m để ph−ơng trình có nghiệm. 
42. Bài 42. Giải và biên luận hệ ph−ơng trình: 
)1(
3lg2lg)6(
1lglg4



+=++
−−=−
myxm
mymx
Giải bằng ph−ơng pháp định thức. 
43. Bài 43.Tìm m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm duy nhất: 
)1(
lglg
1lglg
lg
1lglg 2
2



=−
=+
⇔





=
=+
myx
x
m
y
x
x y
y
Điều kiện: x, y > 0. 
Đặt: 



=
=
yv
xu
lg
lg
, thay vào (1) ta có: 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
24 



+−=
=−+−
⇔



+−=
=++−
⇔



=−
=+
mvu
mvv
mvu
vmv
mvu
vu )2(01221)(1 222222
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ph−ơng trình (2) có nghiêm duy nhất 
220240)1(20'∆ 222 ±−=⇔=−+−⇔=−−⇔=⇔ mmmmm 
Bài 43.Tìm m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm: 
)1(
lnlnln
lnlnln
ln)ln(
ln)ln(
2
2
2
2




+=+
+=+
⇔




+=
+=
myyx
mxyx
myxy
mxxy
Điều kiện: x, y > 0 
Đặt: 



=
=
yv
xu
lg
lg
, thay vào (1) ta có: 










−=
−=



=+−
=
⇔








−=
=
+=+
⇔




+=+
+=+
)(
)3(
)(
)2(02
2
2
2
2
2
II
I
mu
vu
muu
vu
vu
vu
muvu
mvvu
muvu
Hệ (1) có nghiêm khi và chỉ khi 


⇔


nghiệmcó)(
nghiệmcó(2)
nghiệmcó)(I
nghiệmcó)(
3i
i
1
0
1
0
01
0
0'∆ )2( ≤⇔


≤
≤
⇔


≤
≥−
⇔


≤
≥
⇔ m
m
m
m
m
m
44. Bài 44.Tìm m để hệ ph−ơng trình sau có 2 nghiệm: 
)1(
)(
1)(log
2
22
)(2




=+
=++
myx
yxyx
Điều kiện: 



>+
≠+<
0
2/10
22 yx
yx
)2(
)(
0)(22)(
)(
)(2)1(
2
2
2
22




=+
=+−−+
⇔




=+
+=+
⇔
myx
yxxyyx
myx
yxyx
+ Với m ≤ 0, (2) vô nghiệm, suy ra (1) vô nghiệm. 
+ Với m > 0: 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
25 
)3(2
2
)2(





=+
−
=
⇔
myx
mm
xy
(1) có nghiêm khi và chỉ khi (3) có nghiệm 
9
16
0
043
0
24
0
2)( 2
>⇔



>
≥−
⇔



>
−≥
⇔



>
≥+
⇔ m
m
mm
m
mmm
m
xyyx
C. Giải hệ ph−ơng trình bằng ph−ơng pháp hàm số. 
Ph−ơng pháp: 
B−ớc 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. 
B−ớc 2: Rút ra từ hệ một ph−ơng trình dạng f(x) = f(y). 
B−ớc 3: Sử dụng ph−ơng pháp hàm số: Nếu f(x) là hàm số luôn 
đồng biến hoặc nghịch biến thì từ ph−ơng trình f(x) = f(y) ta có 
x = y. 
B−ớc 4: Sử dụng kết quả trên để giải hệ. 
Bài tập: Giải hệ ph−ơng trình: 
45. Bài 45. 
)(
)2(3232
322
2222
322
322
322
I
yx
yx
yxyx
yx
xy
yx
yx
x
yx
x
y
x




+=+
+=+
⇔




+−=−+−
+=+
⇔




+=+
+=+
Xét hàm số: xxf x 32)( += là hàm số đồng biến trên R, nên từ ph−ơng 
trình (2) ta có: f(x) = f(y) ⇔ x = y. 
Khi đó hệ (I) trở thành: 
)(
)3(32322
322
II



+−=
=
⇔



+=+
=
⇔



=
+=+
x
yx
xx
yx
yx
yx
xx
x
Giải ph−ơng trình (3): 
Nhận xét: + x = 1 là nghiêm của (3). 
+ Với x > 1: VT(3) > 2, TP(3) < 2 nên ph−ơng trình (3) không có 
nghiệm x > 1. 
+ Với x 2 nên ph−ơng trình (3) không có 
nghiệm x < 1. 
Vậy ph−ơng trình (3) có nghiệm duy nhất x = 1, do đó từ hệ ph−ơng trình (II) 
ta có (1, 1) là nghiêm của hệ (1). 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
26 
46. Bài 46. 




=++
+=+
⇔




=++
−=−
)2(12
)1(33
12
33
2222 yxyx
yx
yxyx
xy yxyx
Xét hàm số: xxf x += 3)( là hàm số đồng biến trên R, nên từ ph−ơng trình 
(1) ta có: f(x) = f(y) ⇔ x = y. 
Khi đó hệ (1) và (2) trở thành: 



±=
=
⇔



=
=
⇔



=++
=
212312 222 x
yx
x
yx
yxyx
yx
Vậy nghiêm của hệ ph−ơng trình là (2, 2) và −2, −2). 
47. Bài 47. 




+=+
=
⇔




=
=
)2(2222
)1(22
22
22
yx
y
x
y
yx
x
y
x
Xét hàm số xxf x 22)( += là hàm số đồng biến trên R, nên từ (2) ta có: 
yxyfxf =⇔= )()( . Kết hợp với (1) ta có hệ: 








=
=
=
⇔



=−
=
⇔



=
=
2
1
02222
x
x
yx
x
yx
y
yx
xx
( do hàm số 
xxf x 22)( −= là hàm lồi, nên ph−ơng trình: 022 =− xx có đúng hai 
nghiệm. 
D. Giải hệ ph−ơng trình bằng ph−ơng pháp điều kiện cần và đủ. 
Ph−ơng pháp: 
áp dụng co các bài toán: 
1. Tìm điều kiện để hệ ph−ơng trình có nghiệm duy nhất. 
2. Tìm điều kiện để hệ ph−ơng trình có nghiệm với mọi giá trị 
của một tham số. 
Các b−ớc: 
B−ớc 1. Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. 
B−ớc 2. Tìm điều kiện cần cho hệ dừa vào tính đối xứng hoặc đánh giá. 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
27 
B−ớc 3. Kiểm tra điều kiên đủ. 
Bài tập. 
48. Bài 48. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất. 
)1()1(22
22



=+
+−=−
myx
mxyyx
Nhận xét: Nếu x0 là nghiệm của hệ thì − x0 cũng à nghiệm của hệ. Do đó để 
hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = − x0 ⇔ x0 = 0. 
Với x = 0, thay vào hệ ta có: 
)(
0
0)2(21
2
biến nghịch VT(2)biến,dông VP(2)do



=
=
⇔




=
=−
m
y
my
yy
Với m = 0 thay vào (1) ta có: 




=+
+=+
⇔




=
−=−
)4(0
)3(2222
22 yx
yx
xy
xy yxyx
Xét hàm số: ttf t += 2)( là hàm số đồng biến trên R. Nên từ (3) ta có: 
yxyfxf =⇔= )()( , kết hợp (4) ta có: 
0
02
==⇔




=+
=
yx
yx
yx
. 
Vậy với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất. 
49. Bài 49. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 
)1(
1
2
22
2




=+
++=+
yx
mxyxx
Nhận xét: Nếu x0 là nghiệm của hệ thì − x0 cũng à nghiệm của hệ. Do đó để 
hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = − x0 ⇔ x0 = 0. 
Với x = 0, thay vào hệ ta có: 









−=
=



=
=
⇔



=
+=
1
2
1
0
1
1
2
y
m
y
m
y
my
Với m = 0 thay vào (1) ta có: 
www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit 
www.mathvn.com 
28 




=+
+=+
)3(1
)2(2
22
2
yx
xyxx
Từ (3) ta có: 2
2
2
1211
10
xyx
y
xx
y
x x
x
+≥+⇒




≥≥
≥
⇒



≤≤−
≤≤
. Do đó: 



=
=
⇔




==
=
⇔
1
0
12
)2(
2
y
x
y
xx
x
, thoả mãn (3), suy ra m = 0 thoả mãn. 
Với m = 2 thay vào (1) ta có: 




=+
++=+
1
22
22
2
yx
xyxx