Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab="" +="" bc="" +="">
b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: 2. Chứng minh: 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: 6. Chứng minh: ; a , b , c Î R 7. Chứng minh: 8. Chứng minh: 9. a. Chứng minh: b. Chứng minh: 10. Chứng minh: 11. Chứng minh: 12. Chứng minh: 13. Chứng minh: 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: 2. Chứng minh: 3. Chứng minh: với a , b , c ³ 0 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: , với m Î Z+ 5. Chứng minh: 6. Chứng minh: 7. Chứng minh: . 8. Chứng minh: , a > 0 9. Chứng minh: . 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: . 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ³ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc c) 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: 16. Chứng minh: a) ,"x Î R b) , "x > 1 c) 17. Chứng minh: 18. Chứng minh: , "x , y Î R 19. Chứng minh: ; a , b , c > 0 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) b. với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) 22. Chứng minh: ; a , b , c > 0 23. Chứng minh: 24. Cho , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 25. Cho . Định x để y đạt GTNN. 26. Cho . Định x để y đạt GTNN. 27. Cho . Định x để y đạt GTNN. 28. Cho , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 29. Cho , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 30. Tìm GTNN của , x > 0. 31. Tìm GTNN của , x > 0. 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ . Định x để y đạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , . Định x để y đạt GTLN 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , £ x £ . Định x để y đạt GTLN 37. Cho . Định x để y đạt GTLN 38. Cho . Định x để y đạt GTLN III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ³ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 ³ . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 ³ . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 ³ 2. 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: Lời giải: I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: (*) (*) Û Û . ĐPCM. 2. Chứng minh: («) ÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng. ÷ a + b > 0 , («) Û Û , đúng. Vậy: . 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: Û Û Û , ĐPCM. 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: («) («) Û Û Û Û , ĐPCM. 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: («) Û Û Û Û Û Û , ĐPCM. ÷ Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0. 6. Chứng minh: ; a , b , c Î R Û . ĐPCM. 7. Chứng minh: Û Û . ĐPCM 8. Chứng minh: Û Û 9. a. Chứng minh: ÷ ÷ Û b. Chứng minh: ÷ Þ 10. Chứng minh: Û Û . 11. Chứng minh: Û Û Û . 12. Chứng minh: Û Û (x – y + z)2 ³ 0. 13. Chứng minh: Û Û . 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: ° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b3 = (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3 Þ a3 + b3 = . 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). ÷ ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 Û (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 ÷ Þ , , Þ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) ÷ Þ ÷ Þ ÷ Þ Þ Û c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 Û 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0 Û 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0 Û (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0 Û [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0 Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: Þ , , Þ . 2. Chứng minh: ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: Þ , Þ . 3. Chứng minh: , với a , b , c ³ 0. ÷ ÷ , ÷ 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: , với m Î Z+ ÷ 5. Chứng minh: ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: , , Þ . 6. Chứng minh: («) («) Û Û Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: . 7. Chứng minh: («) («) Û . Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: 8. Chứng minh: («) , a > 0 («) Û 9. Chứng minh: . ° ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: ° 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: ° , , ° Vậy: 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: . ° ° ° 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° Tương tự: ; Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: . ° 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ³ 16abc. ° Û ° b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc ° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ³ c) ° ° ° ÷ 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ÷ 16. Chứng minh: a) Û Û b) = c. Û 17. Chứng minh: ° Vì : Þ , , ° , dựa vào: . ° 18. Chứng minh: , "x , y Î R ° ° ÷ 19. Chứng minh: ; a , b , c > 0 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. ° a + b + c = (X + Y + Z) ° ° . Cách khác: ° ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: ° 20. Cho a , b , c > 0. C/m: ° Þ , tương tự ° ° ÷ 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) ÷ ÷ b. với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) ÷ Û Û Û Û . 22. Chứng minh: ; a , b , c > 0 ° , , ° Þ , vì : Vậy: 23. Chứng minh: ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm: ° 24. Cho , x > 0. Định x để y đạt GTNN. ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: ° Dấu “ = ” xảy ra Û , chọn x = 6. Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 25. Cho . Định x để y đạt GTNN. ÷ ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm : ° Dấu “ = ” xảy ra Û Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng 26. Cho . Định x để y đạt GTNN. ÷ ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm : ° Dấu “ = ” xảy ra Û Û Vậy: Khi thì y đạt GTNN bằng 27. Cho . Định x để y đạt GTNN. ÷ ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm : Dấu “ = ” xảy ra Û Vậy: Khi thì y đạt GTNN bằng 28. Cho , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û (0 < x < 1) ° Vậy: GTNN của y là khi 29. Cho , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. ° ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û Û . ° Vậy: GTNN của y là khi 30. Tìm GTNN của , x > 0. ° ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û Û x = 2 (x > 0). ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 31. Tìm GTNN của , x > 0. ° ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û Û x = 2 (x > 0). ° Vậy: GTNN của y là khi . 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) ° f(x) = –10x2 + 11x – 3 = ° Dấu “ = “ xảy ra Û ° Vậy: Khi thì y đạt GTLN bằng . 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6): ° Þ x(6 – x) £ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3 ° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ . Định x để y đạt GTLN. ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,: ° Þ (2x + 6)(5 – 2x) £ ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û ° Vậy: Khi thì y đạt GTLN bằng . 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , . Định x để y đạt GTLN. ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,: °Þ (2x + 5)(10 – 2x) £ ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û ° Vậy: Khi thì y đạt GTLN bằng 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , £ x £ . Định x để y đạt GTLN ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,: ° Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1 ° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. 37. Cho . Định x để y đạt GTLN ° Û Þ ° Dấu “ = “ xảy ra Û ° Vậy: Khi thì y đạt GTLN bằng . 38. Cho . Định x để y đạt GTLN ° Û ° Dấu “ = “ xảy ra Û ° Vậy: Khi thì y đạt GTLN bằng . III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) («) BĐT Bunhiacopxki («) Û Û Û . 2. Chứng minh: ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : ° 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ³ 7. ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số : ° Û 3a2 + 4b2 ³ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 ³ . ÷ ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số : ° Û 3a2 + 5b2 ³ . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 ³ . ÷ ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số : ° Û 7a2 + 11b2 ³ . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 ³ 2. ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: ° Û a2 + b22222 ³ 2 ° Û a4 + b42222 ³ 2 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: ° PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ³ x + y + z. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = . 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: < 2 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2³ 16. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: 8. (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 thì: 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) Cho các số a, b, c thoả: Chứng minh: 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax. Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: (*) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh ... – 2c + 1) ≥ 0 Û –3c2 + 4c ≥ 0 Û (4) Từ (3), (4) ta được: Tương tự ta chứng minh được: 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì: (1) Dấu “=” xảy ra Û x = y. Áp dụng (1) ta được: Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được: Û đpcm Dấu “=” xảy ra Û a = b = c. 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có: x3 + y2 ≥ 2 Þ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có: Þ Tương tự ta cũng có: ; Suy ra: Dấu “=” xảy ra Û Û x = y = z = 1 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = là đồng biến và dương. Do đó hàm số y = logxa = là nghịch biến. Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta được: VT= Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1. 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) · Xét f(x) = xa – ax + a – 1 (x ≥ 0) f¢(x) = a(xa – 1 – 1); f¢(x) = 0 Û x = 1 Vậy với "x ≥ 0 và a > 1 thì f(x) ≥ 0 hay xa + a – 1 ≥ ax. · BĐT cần chứng minh: Áp dụng BĐT đã chứng minh với a = , ta có: ; ; Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có: Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có: Suy ra: 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) BĐT (*) Û Û (1) Theo BĐT Côsi ta có: Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra Û Û a = b = 2. 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0. Do đó theo BĐT Côsi ta có: (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ = 1 Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 Û 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14 = 3(a + b +c)2 – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra Û 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c Û a = b = c = 1. 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Từ giả thiết ta có: = 1 Þ 0 < < 1 Þ = 1 Từ đó suy ra: 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c thì x, y, z > 0. Đ.kiện a + b + c = 0 Û xyz = 2a+b+c = 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3 Mặt khác: x3 + 1 + 1 ≥ 3x Þ x3 ≥ 3x – 2 Tương tự: y3 ≥ 3y – 2; z3 ≥ 3z – 2 Þ x3 + y3 + z3 ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z Þ 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 21. (ĐHQG HN khối D 2000) Ta có: Đặt x = ; y = ; z = thì giả thiết Û và đpcm Û Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: 3(x2 + 2y2) = 3(x2 + y2 + y2) ≥ (x + y + y)2 Þ Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có: Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = Û a = b = c = 3 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Ta có: Û 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 Û (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0 Û (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b)2 ≥ 0 BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng. Đẳng thức xảy ra Û a = ± b. 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) a) a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ca Þ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥ ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Ta có: Đặt x = ; y = ; z = thì giả thiết Û và P = Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: (y + z + z + x + x + y).P ≥ Þ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)2 Þ P ≥ (x + y + z) ≥ Þ P ≥ Nếu P = thì x = y = z = 1 Þ a = b = c = 1 Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = . Vậy minP = 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) (a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ ≥ 1 + 3 + abc = Đẳng thức xảy ra Û a = b = c > 0. 26. (ĐH Y HN 2000) = 6(x + y) Þ x + y ≥ Giá trị đạt được Û Û Vậy min(x + y) = 27. (ĐH An Giang khối D 2000) Giả sử a ≥ b ≥ 0 Þ ac(a – b) ≥ bc(a – b) Þ ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có: 2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 (1) và xy + yz + zx ≥ 3 (2) Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được: 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được: (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx > (vì 2 +xyz > 0) 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Ta có: 34 = 81, 43 = 64 Þ 34 > 43 Þ BĐT cần chứng minh đúng với n = 3. Với n > 3, đpcm Û n > Û < n (1) Ta có: = = = 1 + = 1 + 1 + < < 1 + 1 + < 1 + 1 + < < 1 + 1 + + = 1 + = 3 Þ < 3 < n Þ (1) 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), (), ta có: A = ≤ mà a + b = 1 nên A ≤ Dấu “=” xảy ra Û Û a = b Û a = b = ( do a + b = 1) Vậy maxA = khi a = b = 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) BĐT cần chứng minh Û ≥ 9 Û 3 + ≥ 9 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Áp dụng BĐT Côsi ta có: * (1) * ; ; Þ (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: Þ 33. (ĐH Hàng hải 1999) · Do (x – 1)2 ≥ 0 nên x2 + 1 ≥ 2x Û ≤ 1 Tương tự ta cũng có: ≤ 1; ≤ 1 Do đó: + + ≤ 3 Hay: (1) · Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có: Þ ≤ ≤ 2 Û (2) Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x2 ≥ x3; y2 ≥ y3; z2 ≥ z3. Suy ra: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) Do đó nếu ta chứng minh được: 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (1) thì (*) đúng. Ta có: (1 – y)(1 + y – x2) ≥ 0 Û x2 + y2 – x2y – 1 ≤ 0 (2) Dấu “=” ở (2) xảy ra Û Tương tự ta cũng có: x2 + z2 – z2x – 1 ≤ 0 (3) y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Vậy (1) đúng Þ (*) đúng Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra Û (x; y; z) Î 35. (Đại học 2002 dự bị 1) ≤ ≤ = = ≤ Dấu “=” xảy ra Û Û 36. (Đại học 2002 dự bị 3) · Cách 1: S = ≥ = 5 minS = 5 Û Û · Cách 2: S = = f(x), 0 < x < f¢(x) = ; f¢(x) = 0 Û Û x = 1 Lập bảng xét dấu f¢(x), suy ra minS = 5. · Cách 3: 2 + ≤ (3) Dấu “=” ở (3) xảy ra Û Û Û (3) Û Û ≥ 5 Vậy minS = 5. 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b Î N) nên c ≥ b + 1 thành thử: S = ≥ = Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh. Dấu “=” xảy ra Û Để tìm minS, ta đặt = và xét hàm số có biến số liên tục x: f(x) = (2 ≤ x ≤ 48) f¢(x) = ; f¢(x) = 0 Û Bảng biến thiên: Chuyển về biểu thức f(b) = (2 ≤ b ≤ 48, b Î N) Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)]. Ta có f(7) = ; f(8) = Vậy minS = khi 38. (Đại học 2002 dự bị 6) Ta có diện tích tam giác: S = Þ ha = ; hb = ; hc = Þ Þ Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c)≥ 9 và vì S = , nên ta có: 39. (Đại học khối A 2003) Với mọi ta có: (*) Đặt Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: Vậy P = ³ · Cách 1: Ta có: P³³= với t = Þ 0 < t £ Đặt Q(t) = 9t + ÞQ¢(t) = 9 – < 0, "tÎÞQ(t) giảm trên Þ Q(t) ³ Q = 82. Vậy P ³ Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . · Cách 2: Ta có: (x + y + z)2 + = 81(x + y + z)2 + – 80(x + y + z)2 ³ 18(x + y + z). – 80(x + y + z)2 ³ 162 – 80 = 82 Vậy P ³ Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) · Tìm max: y = sin5x + cosx ≤ sin4x + cosx (1) Ta chứng minh: sin4x + cosx ≤ , "x Î R (2) Û (1 – cosx) – sin4x ≥ 0 Û (1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0 Û (1 – cosx).[ – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ] ≥ 0 (3) Theo BĐT Côsi ta có: (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤ ≤ Vậy BĐT (3) đúng Þ (2) đúng Þ y ≤ , "x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1 Û x = k2p. Vậy maxy = . · Tìm min: Ta có y = sin5x + cosx ≥ – sin4x + cosx. Tương tự như trên, ta được miny = – , đạt được khi x = p + k2p. 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) (1) Û Û Û Û Û Û (do 0 < ) (3) Biến đổi vế trái của (2) như sau: ≤ = = – = – = Do (3) suy ra: = = Dấu “=” xảy ra Û 42. (Đại học khối A 2005) Với a, b > 0 ta có: 4ab £ (a + b)2 Û Û Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Áp dụng kết quả trên ta có: £ = (1) Tương tự: £ = (2) £ = (3) Vậy: = 1 Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . 43. (Đại học khối B 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: Þ ³ 2.3x (1) Tương tự ta có: ³ 2.4x (2) ³ 2.5x (3) Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3) là các đẳng thức Û x = 0. 44. (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có: 1 + x3 + y3 ³ 3 = 3xy Û (1) Tương tự: (2); (3) Mặt khác Þ (4) Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức Û x = y = z = 1. 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Ta có: 3 + 4x = 1 + 1 + 1 + 4x ³ 4 Þ Tương tự: ; Vậy ³ 2³ ³ 6 = 6 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: 1 + x = 1 + 1 + = 1 + 1 + = 1 + Þ Vậy: ³ 256 = 256 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) · Cách 1: Ta có: Suy ra: £ = 3 Dấu "=" xảy ra Û Û a = b = c = · Cách 2: Đặt x = Þ x3 = a + 3b; y = Þ y3 = b + 3c; z = Þ z3 = c + 3a Þ x3 + y3 + z3 = 4(a + b + c) = 4. = 3. BĐT cần ch. minh Û x + y + z £ 3 Ta có: x3 + 1 + 1 ³ 3 = 3x; y3 + 1 + 1 ³ 3 = 3y; z3 + 1 + 1 ³ 3 = 3z Þ 9 ³ 3(x + y + z) (vì x3 + y3 + z3 = 3) Vậy x + y + z £ 3 Dấu "=" xảy ra Û Û Û a = b = c = 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Ta có: 0 £ x £ 1 Þ ³ x2 Û (1) Theo BĐT Côsi ta có:Þ Dấu "=" xảy ra Û 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Ta có: Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có: Û ³ ³ (vì x + y + z ³ 3 = 3) Vậy: . 50. (Đại học khối A 2006) · Cách 1: Từ giả thiết suy ra: . Đặt = a, = b, ta có: a + b = a2 + b2 – ab (1) A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)2 Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab. Vì ab ≤ nên a + b ≥ (a + b)2 – Þ (a + b)2 – 4(a + b) ≤ 0 Þ 0 ≤ a + b ≤ 4 Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16 Với x = y = thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. · Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy với S2 – 4P ³ 0. Từ giả thiết Þ S, P ¹ 0. Ta có: SP = S2 – 3P Û P = A = = = = = Þ A = Đk: S2 – 4P ³ 0 Û S2 – ³ 0 Û S2³ 0 Û ³ 0 (vì S¹0) Û (*) Đặt h = f(S) = Þ h¢ = < 0, "S thoả (*) Từ bảng biến thiên, ta có: 0 < h £ 4 và h ¹ 1, "S thoả (*). Mà A = h Þ MaxA = 16 khi x = y = (S = 1, P = ). · Cách 3: (x + y)xy = > 0 Þ > 0 A = = = Þ Dễ chứng minh được: (với a + b > 0) dấu "=" xảy ra khi a = b. Áp dụng với a = , b = , ta có: Û Û A £ 16. Dấu "=" xảy ra khi . Vậy Max A = 16. · Cách 4: A = , suy ra S2 – 4P ³ 0 Û S2 – 4 ³ 0 Û³ 0 Û (chia cho S2) Nên: A = £ 16. Vậy Max A = 16 (khi x = y = ). 51. (Đại học khối B 2006) Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y). Do OM + ON ≥ MN nên: Do đó: A ≥ 2 = f(y) · Với y ≤ 2 Þ f(y) = 2+ 2 – y Þ f¢(y) = – 1 f¢(y) = 0 Û 2y = Û Û y = Do đó ta có bảng biến thiên như trên · Với y ≥ 2 Þ f(y) ≥ 2 ≥ 2 > 2 + . Vậy A ≥ 2 + với mọi số thực x, y. Khi x = 0 và y = thì A = 2 + Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + .
Tài liệu đính kèm: