Lượng giác Một số Chuyên đề và ứng dụng - Tập 2: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình lượng giác

LƯỢNG 
GIÁC 
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG 
TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, 
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH 
VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH 
LƯỢNG GIÁC 
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG 
TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, 
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 8 – 2011 
LỜI NÓI ĐẦU 
Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” này được biên 
soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọc 
quan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tập và làm việc. Trong tập 2 
“PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” 
này, chúng tôi sẽ xoáy vào trọng tâm là “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”, một dạng 
toán quen thuộc trong các đề thi THPT, đặc biệt là đề thi tuyển sinh Đại Học. 
Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần : 
- Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết 
cách trình bày bài. Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thường gặp trong quá trình 
làm bài trên lớp của học sinh THPT. Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạn 
đọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót. 
- Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợp tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào 
phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng 
giải LƯỢNG GIÁC thành thạo hơn khi gặp phải những dạng toán này. 
- Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải gợi ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểm 
tra lại đáp số, lời giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm. 
Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượng 
rất lớn các tài liệu có sẵn và tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dần 
hoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi tầm hiểu biết và kinh 
nghiệm còn hạn chế, chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc 
gần xa. 
Chi tiết liên hệ tại : anhkhoavo1210@gmail.com 
 minh.9a1.dt@gmail.com 
 CÁC TÁC GIẢ 
VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH. 
LỜI CẢM ƠN 
Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham 
khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều 
kiện hoàn thành cuốn sách này : 
- Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) 
- Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) 
- Nguyễn Thị Thanh Huyền (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) 
- Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM) 
- Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) 
- Vương Tuấn Phong (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) 
- Lê Quang Hiếu (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) 
- Hoàng Minh Quân (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội) 
và một số thành viên diễn đàn MathScope. 
MỤC LỤC 
TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, 
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
CHƯƠNG 4 : SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 
I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 
VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC ........................................................... 1 
II. BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC ............................... 2 
CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ............................................ 3 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 13 
II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ........................................... 20 
1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ...................................................................... 20 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 35 
2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO VÀ .............................. 41 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................. 50 
3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO VÀ ............................... 53 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................. 60 
4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI ......... 61 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 67 
5. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC ............................ 73 
a. TỔNG HỢP ................................................................................................ 73 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 95 
b. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC.................................................... 100 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................... 103 
c. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC .................................................. 107 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................... 127 
d. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ ................................................ 131 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................... 148 
CHƯƠNG 6 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ........................................... 154 
I. TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP ....................... 154 
II. CÁC BÀI TẬP MINH HỌA .................................................................... 155 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................... 171 
CHƯƠNG 7 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ......................................... 175 
I. TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP ....................... 175 
II. CÁC BÀI TẬP MINH HỌA .................................................................... 176 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................... 186 
ĐỌC THÊM : 
 TẢN MẠN VỀ SỐ PI ............................................................................... 189 
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 194 
Chương 4 : Sơ lược về hàm lượng giác ngược 
1 
CHƯƠNG 4 
SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 
I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 
- Hàm số là hàm lượng giác ngược của 
hàm số , có một số tính chất cơ bản sau 
{
 [ 
]
 ( ) [ 
]
 ( ) [ ]
 ( ) 
- Hàm số là hàm lượng giác ngược 
của hàm số , có một số tính chất cơ bản sau 
{
 [ ]
 ( ) [ ]
 ( ) [ ]
 ( ) 
- Hàm số là hàm lượng giác 
ngược của hàm số , có một số tính 
chất cơ bản sau 
{
 ( 
)
 ( ) ( 
)
 ( ) 
 ( ) 
- Hàm số là hàm lượng giác 
ngược của hàm số , có một số tính 
chất cơ bản sau 
{
 ( )
 ( ) ( )
 ( ) 
 ( ) 
Chương 4 : Sơ lược về hàm lượng giác ngược 
2 
II. BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 
 (
 (
√ 
)) 
 {
√ 
 [ 
]
 (
√ 
) 
 (
) 
√ 
 ( 
) 
 [ 
] ( 
) 
 ậ 
 ( 
) 
Do đó, 
 ( 
) ( 
) 
 ( 
) 
Ta thấy : 
 ( 
) 
Do đó, 
 ( 
) ( 
) ( 
) 
Chương 5 : Phương trình lượng giác 
3 
CHƯƠNG 5 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
- CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 
- CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐẶC BIỆT 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 [
 ( ) 
 ( ) 
 𝑢 𝑣 [
𝑢 𝑣 𝑘 𝜋
𝑢 𝜋 𝑣 𝑘 𝜋
 (𝑘 ) 
 𝑢 𝑣 [
𝑢 𝑣 𝑘 𝜋
𝑢 𝑣 𝑘 𝜋
 (𝑘 ) 
 𝑢 𝑣 
𝑢 𝑣 𝑘𝜋
𝑢 
𝜋
 𝑘𝜋 
 (𝑘 ) 
d 𝑢 𝑣 
𝑢 𝑣 𝑘𝜋
𝑢 𝑘𝜋
 (𝑘 ) 
Chương 5 : Phương trình lượng giác 
4 
√ 
 [
 ( ) 
√ 
 ( ) 
 [
 ( ) 
 ( ) 
√ 
 [
 ( ) 
√ 
 ( ) 
Chú ý rằng: 
 ) ươ ( [ ]) ộ ệ ộ [ 
] 
 ệ ệ 
 ) ươ ( [ ]) ộ ệ ộ [ ] 
 ệ ệ 
 ) ươ ( ) ộ ệ ộ ( 
) 
 ệ ệ 
 ) ươ ( ) ộ ệ ộ ( ) 
 ệ ệ 
Chúng ta sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã nêu trong Chương 2, phân tích 
phương trình thành các nhân tử để xuất hiện các dạng phương trình trên. 
Chương 5 : Phương trình lượng giác 
5 
Giải: 
a. Ta có: 
 ( ) 
b. Ta có: 
 ( ) 
c. Ta có: 
√ 
 {
 ( ) 
d. Ta có: 
 {
 ( ) 
 𝑥 𝑥 
√ 
 𝑥 
 d 𝑥 
Bài 1: Giải các phương trình sau 
 (𝑥 ) 
 ( 𝑥 ) √ 
 (𝜋 𝑥) d ( 𝑥 ) √ 
Bài 2: Giải các phương trình sau 
Chương 5 : Phương trình lượng giác 
6 
Giải: 
a. Ta có: 
 ( ) 
 [
 [
 ( ) 
b. Ta có: 
 ( ) ( ) 
c. Ta có: 
 ( ) √ {
 {
 ( ) 
d. Ta có: 
 ( ) √ {
 {
 ( ) 
Giải: 
a. Ta có: 
 ( 
) ( 
) {
 {
 ( ) 
b. Ta có: 
 ( 
) ( 
) ( 
) ( 
) 
 (𝑥 
𝜋
) ( 𝑥 
𝜋
) 
 (𝑥 
𝜋
) ( 𝑥 
𝜋
) 
 𝑥 (𝑥 𝜋) 
Bài 3: Giải các phương trình sau 
Chương 5 : Phương trình lượng giác 
7 
 {
 {
 ( ) 
c. Ta có: 
 ( ) ( 
) [
 [
 ( )
 ( ) 
Giải: 
a. Điều kiện : 
 ( ) ( ) 
Phương trình tương đương với 
 [
( ) 
Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 
b. Điều kiện : 
{
 ( ) ( ) 
Phương trình tương đương với 
 ( ) 
 𝑥 𝑥 
 𝑥
 𝑥
 𝑥
 𝑥
 𝑥
Bài 4: Giải các phương trình sau 
 ( 𝑥 )( 𝑥 𝑥) 𝑥 𝑥 (Tuyển sinh khối D 2004) 
Chương 5 : Phương trình lượng giác 
8 
Kết hợp với ( ) ta được nghiệm là ( ) 
c. Ta có: 
( )( ) 
 ( )( ) ( ) 
 ( )( ) 
 √ ( ) ( 
) 
 [
 ( 
) 
 [
 ( ) 
Giải: 
a. Ta có: 
√ ( ) (với [ ]) 
 ( ) 
√ 
 { 
 { 
 ( ) 
Lại có: 
 [ ] 
 {
 { } 
Vậy nghiệm của phương trình là 
b. Ta có: 
 ( ) ( ) (với [ ]) 
 √ ( 𝑥 ) 𝑥 [ ] 
 ( 𝑥 ) ( 𝑥 ) 𝑥 [ 𝜋 𝜋] 
Bài 5: Giải các phương trình sau 
 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 [ ] (Tuyển sinh khối D 2002) 
Chương 5 : Phương trình lượng giác 
9 
 ( ) 
Lại có: 
 [ ] { 
 { } 
 ậ ệ { 
 } 
c. Ta có: 
 (với [ ]) 
 ( ) 
 ( ) 
 [
 ( ạ )
 ( ) 
Lại có: 
 [ ] 
 { 
 { } 
 ậ ệ ủ ươ {
} 
Giải: 
a. Ta có : 
 ( 
) ( 
) 
 ( 
) ( 
 ) 
Như vậy, phương trình viết lại thành 
 ( 
) 
 ( 𝑥 
 𝜋
) (𝑥 
 𝜋
) 𝑥 𝑥 [
𝜋
 𝜋] 
 𝑥 𝑥
√ 𝑥
 𝑥 𝑥 𝑥 ( 𝜋) 
Bài 6: Giải các phương trình sau 
Chương 5 : Phương trình lượng giác 
10 
[
 ( ) 
 [
 ] ệ ủ ươ { 
} 
b. Phương trình tương đương với 
√ | |
 √ ( 
) 
Nếu ( ) thì nên 
 ( 
) 
 ( ) 
Khi đó, 
 {
} 
Nếu ( ) thì nên 
 ( 
) 
 ( ) 
Khi đó, 
 {
} 
 ệ ủ ươ {
} 
Giải: 
a. Phương trình tương đương với 
( )( ) ( ) 
 ( )( ) 
 𝑥 𝑥 ( 𝑥 
𝑥
) ( ển ố ) 
d 
 𝑥
 (𝑥 
 𝜋
)
 (
 𝜋
 𝑥) ( ển ố ) 
Bài 7: Giải các phương trình sau 
 ( 𝑥 )( 𝑥 𝑥) 𝑥 𝑥 (Tuyển sinh khối D 2004) 
 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 (Tuyển sinh khối B 2005) 
Chương 5 : Phương trình lượng giác 
11 
 [
√ ( 
) 
 [
 ( ) 
b. Phương trình tương đương với 
 ( )( ) 
 [
 ( ) 
c. Đ ều kiện: 
{
 ( ) ( ) 
Ta thấy : 
Do đó, phương trình tương đương với 
 [
 ( ) 
Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 
d. Điều kiện : 
{
 ( 
) 
 ( ) 
Phương trình tương đương với 
 √ ( ) 
Chương 5 : Phương trình lượng giác 
12 
 ( 
) (
 √ ) 
[
 ( ) 
Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 
Giải: Phương trình tương đương với 
( √ ) ( ) 
 √ 
 {
 ( ) 
 {
 ( ) 
Do đó, là ước nguyên của 49. Ta được : 
Vì nên . Thay vào ( ), ta được 
𝜋
( 𝑥 √ 𝑥 𝑥 ) 
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị nguyên của 𝑥 thỏa mãn 
Chương 5 : Phương trình lượng giác 
13 
- BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
5.1.1. Giải các phương trình sau: 
√ 
d 
5.1.2. Giải các phương trình sau: 
 (
) 
 ( 
) 
 (
) 
√ 
d ( ) 
 [
( 
√ 
)] √ 
5.1.3. Giải các phương trình sau: 
 (
 ) 
 ( ) 
d ( 
) 
 ( ) 
5.1.4. Giải các phương t ... 
Ta có : 
 ( ) [
 ( )
 ( ) ( )
Với ( ) : 
√ ( 
) [
Với ( ), ta đặt | | √ : 
 [
 ( ạ )
Suy ra 
 ( 
) 
√ 
 [
Lập bảng xét dấu của ( ) trên [ ] ta thấy 
 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ( 𝑥 𝑥) 
Bài 9: Giải bất phương trình sau : 
(ĐH Kinh Tế Tp.HCM 1997) 
Chương 7 : Bất phương trình lượng giác 
183 
 0 
7 
 ( ) 0 0 0 0 0 
Như vậy, ta có trong 1 chu kỳ nghiệm của bất phương trình là 
[
Do đó, nghiệm của bất phương trình là 
[
 ( ) 
Giải: Đặt ( ) 
Do hàm số tuần hoàn có chu kỳ nên ta chỉ cần xét dấu của ( ) trên [ ]. 
Ta có, bất phương trình tương đương với 
 { 
Lập bảng xét dấu trên [ ] ta thấy 
 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 
Bài 10: Giải bất phương trình sau : 
Chương 7 : Bất phương trình lượng giác 
184 
 0 
5
5
7 
5
9 
5
 0 0 
 0 0 0 0 
 0 0 0 0 0 0 0 
Suy ra nghiệm của bất phương trình là 
[
 ( ) 
Giải: Điều kiện : 
 ( ) 
Bất phương trình tương đương với 
 √ 
 −√ 
Đặt , ta đưa bất phương trình trở thành 
 √ 
 −√ 
Ta xét hàm số 
 ( ) √ 
 √ 𝑥 
 𝑥 𝑥
 𝑥 𝑥
 −√ 𝑥 
Bài 11: Giải bất phương trình sau : 
Chương 7 : Bất phương trình lượng giác 
185 
 ( ) [
 √ 
 √ 
( ) 
] 
Do đó, ( ) đồng biến trên [ ) 
Ta xét thêm hàm số 
 ( ) −√ 
 ( ) −√ 
 √ 
Do đó, ( ) nghịch biến trên [ ) 
Suy ra với mọi [ ) 
{
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) [ ) 
Như vậy, ta có : 
 ( ) ( ) 
Khi đó, 
 ( ) ỏ ( ) 
Giải: Điều kiện : 
 ( ) 
Bất phương trình tương đương với 
 √ 
 √ 
 √ 𝑥 ( 𝑥 𝑥) √ 
( 𝑥 𝑥) 
Bài 12: Giải bất phương trình sau : 
(Đề nghị Olympic 30-4, 2006) 
Chương 7 : Bất phương trình lượng giác 
186 
Đặt . Ta đưa bất phương trình trở thành 
 √ 
 √ 
Ta xét hàm số 
 ( ) √ 
 ( ) [
 √ 
 √ 
( ) 
] 
Do đó, ( ) đồng biến trên [ ). 
Suy ra : 
 ( ) √ 
 √ 
Như vậy, 
 √ 
 ( ) ỏ ( ) 
- BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
7.1.1. Giải các bất phương trình sau : 
 √ 
 ( ) 
7.1.2. Giải các bất phương trình sau : 
Chương 7 : Bất phương trình lượng giác 
187 
7.1.3. Giải các bất phương trình sau : 
 √ √ 
 √ 
7.1.4. Giải các bất phương trình sau : 
 √ 
- GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
7.1.1. Nghiệm của bất phương trình là : 
 ( ) 
 ( 
) 
 ( ) 
7.1.2. Nghiệm của bất phương trình là : 
[
 ( ) 
 ố ệ 
 [
 ( ) 
Chương 7 : Bất phương trình lượng giác 
188 
7.1.3. Nghiệm của bất phương trình là : 
 [
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
7.1.4. Nghiệm của bất phương trình là : 
 [
 ( ) 
 [
 ( ) 
 {
 ( ) 
Đọc thêm : Tản mạn về số pi 
189 
Đọc Thêm 
TẢN MẠN VỀ SỐ PI 
 Số là một trong những hằng số độc đáo và đặc biệt nhất của Toán học, và luôn hấp 
dẫn các nhà khoa học nói chung và nhà Toán học nói riêng bởi ở hầu hết các lĩnh vực đều 
thấy sự xuất hiện của số . Cụ thể như số đóng vai trò là tỉ lệ của đường kính và chu vi 
đường tròn, hay là một số siêu việt, tức là số không là nghiệm của bất kì phương trình đại 
số với hệ số nguyên nào 
 Đã hàng nghìn năm nay, con người luôn cố gắng tính toán nhiều hơn nữa các chữ số 
sau dấu phẩy thập phân của số . Chẳng hạn như Archimedes đã tính giá trị bằng đánh 
giá xuất phát từ cách tăng số cạnh của đa giác nội tiếp vòng tròn 
 Cách xấp xỉ trên của Archimedes có độ chính xác đến 3 chữ số sau dấu phẩy. Còn 
Ptomely vào năm 150 sau Công Nguyên đã tính xấp xỉ bằng . Và cuộc đua này 
 190 
kết thúc bởi kết quả của Ludolf van Ceulen (1540-1610), người đã tốn 10 năm, tính cạnh 
của - giác đều để tìm được số với độ chính xác 35 chữ số sau dấu phẩy. 
 Về mặt lý thuyết, phương pháp xấp xỉ của Archimedes có thể kéo dài vô hạn, nhưng 
với phát minh về phép tính vi phân, phương pháp của người Hy Lạp không được dùng 
đến nữa. Thay vào đó, các chuỗi tích và liên phân số vô hạn hội tụ đã được sử dụng để 
xấp xỉ số . 
 Từ cuối thế kỷ 17, các dãy vô hạn và chuỗi trở thành những đối tượng chủ yếu trong 
nghiên cứu của các nhà Toán học. Một trong những kết quả đầu tiên theo hướng này là 
chuỗi Leibnitz được Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) tìm ra vào năm 1673. 
 Chuỗi Leibnitz là một trường hợp riêng của một chuỗi tổng quát hơn, được tìm ra bởi 
James Gregory (1638-1675) vào năm 1670. 
 ( ) 
 5
 7
 9
 (| | ) 
 Nếu như trong chuỗi Gregory, ngoài việc thay để được chuỗi Leibnitz thì ta có 
thể thay với các giá trị khác nhỏ hơn, để được một chuỗi khác có tốc độ hội tụ cao hơn 
rất nhiều. Abraham Sharp (1651-1742) đã sử dụng kết quả trên để đạt được kết quả kỷ lục 
vào năm 1699 với 71 chữ số sau dấu phẩy. 
√ 
( 
 ) 
 Tiếp theo đó, các nhà Toán học đã thông qua việc tìm nhưng tổ hợp các ( ) 
mà mỗi trong chúng được biểu diễn bởi các chuỗi hội tụ nhanh hơn chuỗi Leibnitz. 
Đọc thêm : Tản mạn về số pi 
191 
 Chúng ta có thể kiểm tra dễ dàng các đẳng thức này bẳng cách sử dụng các hằng đẳng 
thức lượng giác : 
 ( ) 
 ( ) 
 (| | ) 
 Việc khai triển này cho ta được một chuỗi thuận tiện hơn rất nhiều cho việc tính toán. 
Và giúp John Machin (1680-1751) tính được 100 chữ số sau dấu phẩy vào năm 1706. 
Thành công của John Machin đã khởi lên cho các nhà Toán học khác tiếp tục tham gia 
cuộc chạy đua mà nó đã bắt đầu từ thời Archimedes. 
 Sử dụng phương pháp của Abraham Sharp, De Lagny (1660-1734) đã tính được 127 
chữ số sau dấu phẩy vào năm 1719. Không lâu sau đó, Leonard Euler (1707-1783) bằng 
một phương pháp khác kiểm tra kết quả của De Lagny và tìm ra sai sót ở chữ số thứ 113. 
Năm 1841, William Reserford (không rõ năm sinh, năm mất) đã tìm ra 208 chữ số sau 
dấu phẩy và được kiểm tra lại bởi Johan Martin Zacharias Dase (1824-1861) sai ở chữ số 
153. Năm 1847, Thomas Clausen (1801-1885) tiến thêm đến 250 chữ số sau dấu phẩy, 
trong đó có 248 chữ số tính đúng. 
 Năm 1853, William Reserford tăng thành tích của mình lên 440 chữ số sau dấu phẩy. 
Và kỷ lục của thời kỳ này được thiết lập bởi William Shanks (1812-1882) với 530 chữ số 
(trong đó 527 chữ số tính đúng). Về sau, William Shanks đã phải làm việc cật lực để tính 
tiếp các chữ số tiếp theo, đưa kỷ lục lên đến 707 chữ số tính đúng. 
 Đến thế kỷ 20, cuộc cách mạng máy tính đánh dấu những thành tựu vĩ đại của trí tuệ 
con người. Những kiểm tra đầu tiên trên máy tính điện tử vào năm 1945 đã phát hiện 
William Shanks đã sai ngay từ chữ số thứ 528. Điều này khiến nhà Toán học Harold 
Scott MacDonald Coxeter (1907-2003) phải thốt lên rằng : “Không thể không buồn khi 
nghĩ rằng, những tính toán mà Shanks tội nghiệp đã phải bỏ ra một phần lớn của cuộc đời 
để tính, thì máy tính điện tử hiện đại có thể thực hiện trong vài giây như là để khởi động 
vậy”. Và như vậy, sự xuất hiện của máy tính điện tử làm cho tốc độ cuộc đua tìm những 
chữ số sau dấu phẩy càng tăng nhanh. 
 192 
 Năm 1949, John Von Neumann (1903-1957) cùng các cộng sự đã tính được 2037 chữ 
số sau dấu phẩy trên một trong những máy tính điện tử đầu tiên ENIAC. Ngưỡng 10000 
chữ số đạt được vào năm 1958 bởi Fredrick Jenuine (1908-1973) với sự trợ giúp của máy 
tính IBM 704. Và 100.000 chữ số sau dấu phẩy của số được tính vào năm 1961 bởi 
Daniel Shanks (1917-1996) cùng với máy tính IBM 7079. Năm 1973, Jan Gyiu và M. 
Buet (không rõ năm sinh, năm mất) đã lập kỷ lục với mức 1 triệu chữ số sau dấu phẩy, sử 
dụng gần một ngày làm việc của máy CDC-7600. 
 Đến cuối thế kỷ 20, người ta đã tính được số với độ chính xác đến chữ số thứ 200 tỉ. 
Và cho tới hiện tại, mới đây nhất là kỷ lục của Fabrice Bellard (1972) khi tính chính xác 
đến chữ số thứ 2.7 tỉ tỉ của số . Mất đến 131 ngày để tính toán, nhưng đây là một kết 
quả cực kỳ ấn tượng vì Fabrice Bellard chỉ sử dụng máy tính để bàn thông thường để xử 
lý số liệu cùng với việc phát triển một phần mềm xử lý thuật toán mạnh hơn 20 lần so với 
những sản phẩm tương tự trước đó. 
 Tưởng như là kỷ nguyên của máy tính điện tử đã loại bỏ con người ra khỏi cuộc chơi 
một cách dứt khoát, máy tính nào có tốc độ xử lý nhanh hơn thì máy đó thắng. Nhưng sự 
thực thì không như vậy, chính con người đã khởi xướng cuộc chạy đua không tiền khoán 
hậu này và tạo nên nhiều thuật toán nhân nhanh giúp máy tính điện tử xử lý hiệu quả hơn. 
 Trở lại con số 200 tỉ đã được thiết lập vào cuối thế kỷ 20 
 Năm 1987, Jonathan và Peter Borwein (1953) đã tìm ra một chuỗi đáng ngạc nhiên : 
 ∑
( ) ( ) 
( ) ( ) [ √ ]
[ √ 
 √ ] 
 Dãy các số hạng dưới dấu tính tổng với bổ sung thêm khoảng 25 chữ 
số sau dấu phẩy cho số ứng với mỗi số hạng. Chỉ riêng số hạng đầu tiên ( ) cho 
giá trị gần đúng đến 24 chữ số sau dấu phẩy. 
 Thậm chí, Jonathan và Peter Borwein còn đưa ra thuật toán giúp tính toán các chữ số 
sau dấu phẩy của số , có hiệu quả thần kỳ. Mỗi một bước tính của thuật toán này làm 
tăng thêm độ dài các chữ số sau dấu phẩy được tính đúng lên 4 lần. Dưới đây là mô tả 
của thuật toán này : 
 Ta đặt √ và √ , các số hạng tiếp theo được tính theo số 
hạng trước đó bởi công thức 
Đọc thêm : Tản mạn về số pi 
193 
 √ 
 √ 
 Dãy số { } được xây dựng bởi công thức 
 ( )
 ( 
 ) 
 Khi càng tăng thì ta có đánh giá 
 − 
2 
 Nói cách khác, 
→ 
 Cơ sở của phát minh ra thuật toán này là những nghiên cứu trong lĩnh vực tích phân 
elliptic và hàm theta. Thuật toán kỳ diệu này lấy ý tưởng của nhà Toán học thiên tài 
người Ấn Độ Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Và con số 200 tỉ đã xuất hiện từ đó 
 Có thể nói thêm rằng, một trong những phương pháp gây tò mò nhất để tính số là 
của Count Buffon vào thế kỷ 18 cùng với Bài toán chiếc kim của ông. Trên một mặt 
phẳng, ta k các đường thẳng song song cách đều nhau đơn vị chiều dài. Thả chiếc kim 
có độ dài nhỏ hơn lên mặt phẳng đó. Nếu chiếc kim rơi lên trên đường k thì lần thả đó 
được coi là thành công. Khám phá đầy bất ngờ của Buffon là tỉ lệ số lần thả thành công 
so với không thành công là một biểu thức chứa số . 
 Nếu chiều dài kim bằng đơn vị thì xác suất thả thành công là 
 Số lần thả càng nhiều thì xấp xỉ cho số càng chính xác. Trong một phương pháp xác 
suất khác để tính số là vào năm 1904, R. Chartes đã tìm ra xác suất để hai số nguyên 
được viết ngẫu nhiên nguyên tố cùng nhau và xác suất để một số nguyên được chọn ngẫu 
nhiên mà nó không chia hết cho số chính phương đều mang chung giá trị tuyệt vời là 
 194 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Văn Thổ, Chuyên đề Lượng giác, NXB Tổng hợp 
Tp.HCM, 2007. 
[2] Võ Giang Giai, Tuyển tập 400 bài toán lượng giác, NXB Đại học Sư Phạm, 2007. 
[3] Phạm Tấn Phước, Các chuyên đề Lượng giác, NXB Tp.HCM, 1999. 
[4] Huỳnh Công Thái, Đào Khải, Phương pháp giải toán Lượng giác THPT, NXB Đại 
học Sư Phạm, 2004. 
[5] Trần Văn Toàn, Võ Hữu Phước, Luyện Thi Cấp Tốc Toán Học, NXB ĐHQG 
Tp.HCM, 2009. 
[6] Doãn Minh Cường, Giới thiệu Đề Thi Tuyển Sinh Vào Đại Học môn Toán (từ 
1997-1998 đến 2004-2005), NXB ĐHQG Hà Nội, 2004. 
[7] Huỳnh Công Thái, Các dạng toán điển hình : Phương Trình, Hệ Phương Trình 
Lượng Giác, NXB ĐHQG Hà Nội, 2006. 
[8] Theoni Pappas, Niềm vui Toán Học, NXB Kim Đồng, 2009. 
[9] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XII – 2006, Toán học, NXBGD, 2006. 
 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XIII – 2007, Toán học, NXBGD, 2007. 
 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XIV – 2008, Toán học, NXBGD, 2008. 
 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XV – 2009, Toán học, NXBGD, 2009.