Lượng giác Một số Chuyên đề và ứng dụng - Tập 1: Biến đổi lượng giác và hệ thức lượng

 LƯỢNG 
GIÁC 
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG 
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG 
VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH 
 VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH 
LƯỢNG GIÁC 
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG 
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG 
TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 7 – 2011 
 LỜI NÓI ĐẦU 
Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” này được biên 
soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọc 
quan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tập và làm việc. Ở cuốn sách này, 
ngoài việc đưa ra những khái niệm và dạng bài tập cơ bản, chúng tôi sẽ thêm vào đó lịch 
sử và ứng dụng của môn học này để các bạn hiểu rõ hơn “Nó xuất phát từ đâu và tại sao 
chúng ta lại phải học nó?”. 
Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần : 
- Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết 
cách trình bày bài. Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thường gặp trong quá trình 
làm bài trên lớp của học sinh THPT. Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạn 
đọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót. 
- Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợp tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào 
phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng 
giải LƯỢNG GIÁC thành thạo hơn khi gặp phải những dạng toán này. 
- Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải gợi ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểm 
tra lại đáp số, lời giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm. 
Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượng 
rất lớn các tài liệu có sẵn và tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dần 
hoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi tầm hiểu biết và kinh 
nghiệm còn hạn chế, chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc 
gần xa. 
Chi tiết liên hệ tại : anhkhoavo1210@gmail.com 
 minh.9a1.dt@gmail.com 
 CÁC TÁC GIẢ 
VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH. 
 LỜI CẢM ƠN 
Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham 
khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều 
kiện hoàn thành cuốn sách này : 
- Tô Nguyễn Nhật Minh (ĐH Quốc Tế Tp.HCM) 
- Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) 
- Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) 
- Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) 
- Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM) 
- Nguyễn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bội Châu Tp.Vinh) 
- Phan Đức Minh (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội) 
và một số thành viên diễn đàn MathScope. 
 MỤC LỤC 
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG 
CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ ....................................... 1 
CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC ........................................................ 4 
 2.1 CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC ................................... 7 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 15 
 2.2 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ............................................................... 21 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 33 
 2.3 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC SUY TỪ ĐẲNG THỨC 
 LƯỢNG GIÁC KHÁC CHO TRƯỚC .......................................................... 36 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 45 
 2.4 CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO 
 BIẾN SỐ ....................................................................................................... 46 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 51 
CHƯƠNG 3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ....................................... 52 
 3.1 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC ......... 55 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 77 
 3.2 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
 TRONG TAM GIÁC ..................................................................................... 81 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN .................................................................................. 133 
 3.3 NHẬN DẠNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC..... 143 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN .................................................................................. 191 
 ĐỌC THÊM : 
 TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC 
 CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC .................................................. 199 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 205 
Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử 
1 
CHƯƠNG 1 
SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ 
I. KHÁI NIỆM 
Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là các 
hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất 
tuần hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài 
hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối 
các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Sâu xa hơn, ở khía cạnh hiện đại hơn, định nghĩa 
hàm lượng giác là chuỗi vô hạn hoặc là nghiệm của phương trình vi phân, điều này cho 
phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số phức bất kỳ. 
( Dạng đồ thị hàm sin ) 
II. LỊCH SỬ 
Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác 
được cho là thực hiện đầu tiên bởi Hipparchus(1) (180-125 TCN), người đã lập bảng tính 
độ dài các cung tròn và chiều dài của dây cung tương ứng. Sau đó, Ptomely(2) tiếp tục 
phát triển công trình, tìm ra công thức cộng và trừ cho và , 
Ptomely cũng đã suy diễn ra được công thức hạ bậc, cho phép ông lập bảng tính với bất 
kỳ độ chính xác cần thiết nào. Tuy nhiên, những bảng tính trên đều đã bị thất truyền. 
Các phát triển tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, công trình của Surya Siddhanta(3) (thế kỷ 
4-5) định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung. Đến thế kỷ 10, người Ả Rập đã 
dùng cả 6 hàm lượng giác cơ bản với độ chính xác đến 8 chữ số thập phân. 
Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác cơ bản đều được phát triển 
nhằm phục vụ trong các công trình thiên văn học, cụ thể là dùng để tính toán các đồng hồ 
mặt trời. 
Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử 
2 
Ngày nay, chúng được dùng để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, giữa các mốc 
giới hạn hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. Rộng hơn nữa, chúng được áp dụng vào 
nhiều lĩnh vực khác : quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác 
suất, thống kê, sinh học, dược khoa, hóa học, lý thuyết số, địa chấn học, khí tượng học, 
hải dương học 
Ta lấy ví dụ từ một bài toán sau trích từ Lucia C. Hamson, Daylight, Twilight, 
Darkness and Time : 
Việc mô hình hóa về số giờ chiếu sáng của mặt trời là hàm thời gian trong năm tại 
nhiều vĩ độ khác nhau. Cho biết Philadelphia nằm ở vĩ độ Bắc, tìm hàm biểu thị số 
giờ chiếu sáng của mặt trời tại Philadelphia. 
Chú ý rằng mỗi đường cong tương tự với một hàm số sin mà bị di chuyển và kéo 
căng ra. Tại độ cao của Philadelphia, thời gian chiếu sáng kéo dài 14,8 giờ vào ngày 21 
tháng 6 và 9,2 giờ vào ngày 21 tháng 12, vậy nên biên độ của đường cong (hệ số kéo 
căng theo chiều dọc) là : 
Hệ số nào mà chúng ta cần để kéo căng đồ thị hình sin theo chiều ngang nếu 
chúng ta đo thời gian trong ngày? Bởi có 365 ngày/ năm, chu kỳ của mô hình nên là 365. 
Nhưng mà giai đoạn của là , nên hệ số kéo căng theo chiều ngang là : 
Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử 
3 
Chúng ta cũng để ý rằng đường cong bắt đầu một chu trình của nó vào ngày 21 
tháng 3, ngày thứ 80 của năm nên chúng ta phải phải dịch chuyển đường cong về bên 
phải 80 đơn vị. Ngoài ra, chúng ta phải đưa nó lên trên 12 đơn vị. Do đó chúng ta mô 
hình hóa số giờ chiếu sáng của của mặt trời trong năm ở Philadelphia vào ngày thứ của 
năm bằng hàm số : 
 [
 ] 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
4 
CHƯƠNG 2 
CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC 
BIỆT 
Ta gọi cung có liên quan đặc biệt với 
cung là các cung : 
- Đối với : 
- Bù với : 
- Hiệu với : 
- Hơn kém 
 với : 
cos 
sin 
tan 
cot 
Ngoài ra, có một số hàm lượng giác khác : 
II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
1. CÔNG THỨC CƠ BẢN 
 ( 
 ) 
 ( 
 ) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
5 
Từ hình vẽ thực tiễn trên, ta rút ra được một số công thức cơ bản về hàm lượng giác : 
2. CÔNG THỨC CỘNG 
 ( 
 ) 
3. CÔNG THỨC NHÂN 
a. CÔNG THỨC NHÂN 2 
 {
 ( 
 ) 
b. CÔNG THỨC NHÂN 3 
 (
 ) (
 ) 
 (
 ) (
 ) 
 (
 ) (
 ) 
Công thức tổng quát đối với hàm tan : 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
6 
c. CÔNG THỨC TÍNH THEO 
 ( 
 ) 
d. CÔNG THỨC HẠ BẬC 
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 
a. TÍCH THÀNH TỔNG 
[ ] 
[ ] 
[ ] 
[ ] 
b. TỔNG THÀNH TÍCH 
 ( 
 ) 
 ( 
 ) 
 ( 
 ) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
7 
c. CÔNG THỨC BỔ SUNG 
 √ ( 
) 
 √ ( 
) 
√ ( 
) ( 
) 
 √ ( 
) ( 
) 
 √ 
Trong đó 
{
√ 
√ 
III. CÁC LOẠI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
1. CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
- Ta thường sử dụng các phương pháp : biến đổi vế phức tạp hoặc nhiều số hạng 
thành vế đơn giản; biến đổi tương đương; xuất phát từ đẳng thức đúng nào đó, biến 
đổi về đẳng thức cần chứng minh. 
- Trong khi biến đổi ta sử dụng các công thức thích hợp hướng đến kết quả phải đạt 
được. 
- Lưu ý một số công thức trên phải chứng minh trước khi sử dụng. 
Giải: 
a. Ta có : 
b. Ta có : 
 (
) 
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau : 
a. 
b. 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
8 
Giải: 
a. Ta có : 
(
 )
b. Ta có điều cần chứng minh tương đương với 
Điều này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh. 
c. Ta có : 
d. Ta có : 
 (
 )
Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau : 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
9 
Giải: 
a. Ta có : 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
b. Ta có : 
Nên 
√ 
 √ 
 √ 
Vậy ( √ )
 ( √ )
Bài 4: Chứng minh 
Áp dụng tính tổng sau : 
Bài 3: Chứng minh : 
a. 
b. 
Suy ra giá trị : 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
10 
Giải: 
Ta có : 
 (
)
Suy ra 
Vì 
Nên 
Giải: 
Ta có : 
 ( ) 
Bài 5: Cho với 
Chứng minh 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
11 
Nên 
 [ ] 
Khi 
- thì 
- thì 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Giải: Đặt 
Ta có : 
 [ 
 ( 
)] [ 
 ( 
)]
 ( 
) 
Do đó 
Bài 7: Chứng minh 
Bài 6: Chứng minh 
(ĐH Đà Nẵng 1998) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
12 
Giải: Ta có điều cần chứng minh tương đương với 
Điều này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh. 
Giải: Ta có : 
 (
)
 ( 
)
Do đó, ta có điều phải chứng minh. 
Giải: 
Ta có : 
Bài 9: Chứng minh 
(
)
Bài 8: Chứng minh 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
13 
(
) 
Do đó, ta có điều phải chứng minh. 
Giải: Đặt 
Ta có : 
Áp dụng công thức trên, ta được : 
Nhân lại, ta được : 
 √ 
Vậy 
√ 
√ 
Bài 10: Chứng minh 
(ĐHSP Hải Phòng 2001) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
14 
Giải: 
 Ta c ... 
(Tam giác vuông cân ở ) 
e. Từ giả thuyết ta suy ra tam giac không tù. Do đó 
{
 {
(Tam giác vuông cân ở hoặc ở hoặc đều) 
3.3.2. 
 ế [
] 
 √ 
 ẫ 
Do đó, 
 ( 
) (
 ) 
Giả sử , chỉ có thể xảy ra khả năng 
 ( 
) (
 ) 
 {
 ( 
) ( 
 )
 ( 
 ) (
) 
Theo bất đẳng thức Jensen, ta có : 
Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 
197 
 (
) 
 √ 
Dấu xảy ra khi và chỉ khi 
{
 {
3.3.3. Áp dụng đẳng thức cơ bản : 
Khi đó giả thuyết tương đương với 
Ta sẽ xét hàm số 
 ( 
) 
 ậ ả ế ( 
) (
) 
3.3.4. Theo bất đẳng thức Cauchy, với ta có : 
(Dấu xảy ra khi và chỉ khi và ) 
 √ √ 
Do 
 √ √ 
 ( √ ) ( √ ) √ √ 
Khi đó, chọn , ta có : 
(√ ) 
Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 
198 
Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác cân tại và góc . 
3.3.10. Đề đã cho được viết lại 
Ta sẽ chứng minh : 
(
) (
) (
) 
Ta đặt : 
{
{
Do đó, điều cần chứng minh tương đương với 
(
) (
) (
) 
Đọc thêm : Tóm lược tiểu sử các nhà khoa học có ảnh hưởng đến lượng giác 
199 
Đọc Thêm 
TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC 
CÓ ẢNH HƯỞNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC 
(1)
HIPPARCHUS (190–120 TCN) 
Hipparchus là một nhà thiên văn học, địa lý học, nhà toán học Hy Lạp. Ông được xem là 
người sáng lập ra môn lượng giác học bởi những tính toán hàm số lượng giác đầu tiên 
được gọi là bảng lượng giác. Qua đó, ông tính toán các giá trị đặc biệt của lượng giác 
bằng các mô hình hình học. Nhờ đó, ông có thể giải được các bài toán lượng giác phẳng, 
cũng như lượng giác cầu. 
Hipparchus đã phát minh và sử dụng các dụng cụ thiên văn có vòng chia độ. Ông đã xác 
định được khoảng cách đến Mặt Trời và Mặt Trăng, là người đầu tiên đưa ra một mô hình 
về lượng mô tả chính xác sự chuyển động của Mặt Trời và Mặt Trăng. Với lý thuyết về 
nhật nguyệt và lượng giác của mình, ông trở thành người đầu tiên xây dựng và phát triển 
phương pháp tiên đoán nhật thực. Một thành tựu khác của ông cũng được biết đến đó là 
việc thiết lập danh mục tọa độ khoảng 850 ngôi sao có chỉ rõ độ chói theo thang độ quy 
ước. 
(2)
PTOMELY (khoảng 85-165 TCN) 
Ptomely là nhà bác học cổ Hy Lạp có sức ảnh hưởng lớn đến các vấn đề về thiên văn học, 
địa lý học, quang học và lượng giác học. 
Đọc thêm : Tóm lược tiểu sử các nhà khoa học có ảnh hưởng đến lượng giác 
200 
Là một người có nhu cầu nghiên cứu thiên văn học và địa lý học nên ông đã góp phần mở 
rộng thêm các ứng dụng của hình học và lượng giác học. Ông được cho là người đầu tiên 
tìm ra công thức cộng và trừ cho và , từ đó suy ra được công thức 
hạ bậc, cho phép ông lập bảng tính với bất kỳ độ chính xác cần thiết nào. Tuy nhiên, 
những bảng tính trên đều đã bị thất truyền. Ngoài ra, ông còn nghiên cứu phép chiếu 
trong không gian mà ông cho là có ích cho việc nghiên cứu bầu trời. 
(3)
SURYA SIDDHANTA (khoảng thế kỷ 4-5) 
Surya Siddhanta là một nhà thiên văn học người Ấn Độ, nhưng những công trình nghiên 
cứu của ông đã góp phần phát triển các vấn đề về hàm lượng giác, đó là việc định nghĩa 
hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung, được cho là mở rộng các kết quả lượng giác của 
Ptomely. 
Xoay quanh các công trình nghiên cứu của ông, ngoài những phép tính lượng giác phục 
vụ cho thiên văn học, ông được biết đến bởi những ước tính gần đúng về đường kính của 
các hành tinh. Chẳng hạn như đường kính của sao Thủy là 3.008 dặm, sao Thổ là 73.882 
dặm, sao Hỏa là 3.772 dặm 
(4)
FRANNCOIS VIÈTE (1540-1603) 
Francois Viète là một luật gia, một nghị sĩ và là nhà toán học vĩ đại người Pháp, ông tổ 
của môn đại số học. Ông viết nhiều công trình về lượng giác, đại số và hình học, và là 
người đề ra cách giải thống nhất các phương trình bậc 2, bậc 3 và bậc 4 bằng việc khám 
phá ra mối liên hệ giữa các nghiệm của một đa thức với các hệ số của đa thức đó, ngày 
nay được gọi là định lý Viète. 
Đọc thêm : Tóm lược tiểu sử các nhà khoa học có ảnh hưởng đến lượng giác 
201 
Cũng chính định lý Viète của ông đã góp phần phát triển những kỹ thuật tính toán quan 
trọng trong các bài toán về biến đổi lượng giác, cũng như xác định được chính xác giá trị 
của các hàm lượng giác ứng với mỗi góc qua việc giải phương trình. Ngoài ra, ông là 
người đầu tiên phát triển hệ thống những phương pháp giải các tam giác phẳng và tam 
giác cầu bằng cách dùng cả sáu hàm lượng giác. Đặc biệt chú ý là ông đã tìm ra được các 
biểu thức cho theo một cách tổng quát và có gợi ý cách giải lượng giác cho 
trường hợp bất khả quy của các phương trình bậc 3. 
Trong công trình nổi tiếng của Viète, ông đã phát triển nhiều ký hiệu đại số và trình bày 
một quá trình có hệ thống để tìm xấp xỉ liên tiếp nghiệm của phương trình. 
(5)
HERON (10-75) 
Heron là nhà toán học và vật lý người Hy Lạp, vào thời đó ông được biết đến như một tác 
gia bách khoa trong hai lĩnh vực này bởi những công trình của ông quá phong phú về nội 
dung cũng như nhiều về số lượng. Mọi luận văn của ông thường hướng tới tính hữu dụng 
thực tiễn hơn là tính hoàn chỉnh về lý thuyết.Công trình của Heron có thể chia thành hai 
loại : Cơ học và Hình học. 
Nói về cơ học thì ông có các công trình nổi bật như mô tả và xây dựng thiết bị mà các 
phản ứng bên trong tương tự như động cơ tên lửa và động cơ hơi nước, công trình về máy 
bán hàng tự động 
Còn về hình học, đây là công trình quan trọng nhất của ông, tiêu biểu là tuyển tập 
“Metrica” gồm 3 bộ. Trong tác phẩm này, Heron đã rút ra được công thức nổi tiếng để 
tính diện tích tam giác theo ba cạnh và nửa chu vi, nay được gọi là công thức Heron. 
Ngoài ra, ông còn đưa ra cách tính xấp xỉ về căn bậc hai của một số nguyên không chính 
phương, cách tính thể tích các hình nón, hình trụ, hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp, hình 
nón cụt, hình cầu 
Đọc thêm : Tóm lược tiểu sử các nhà khoa học có ảnh hưởng đến lượng giác 
202 
(6)
JAKOB STEINER (1796-1863) 
Jakob Steiner là nhà toán học người Thụy Sỹ, được biết đến với các công trình nổi tiếng 
về hình học, và hầu hết ông chỉ nghiên cứu về môn học này. Do đó, đã ảnh hưởng không 
nhỏ đến các vấn đề về lượng giác, cụ thể là hệ thức lượng trong tam giác, vốn dĩ được xây 
dựng trên nền tảng của hình học và thiên văn học. 
Từ một đề xuất của nhà toán học người Đức – (7)Daniel Christian Ludolph Lehmus (1780-
1863), ông đã chứng minh được định lý rằng điều kiện cần và đủ để tam giác cân là hai 
đường phân giác trong bằng nhau, ngày nay định lý này mang tên Steiner – Lahmus. Các 
nghiên cứu quan trọng nhất của ông là hình học xạ ảnh và nguyên lý đối ngẫu. 
(8)
AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789-1857) 
Augustin Louis Cauchy là nhà toán học người Pháp, được xem là người đi đầu trong lĩnh 
vực giải tích toán học. Những công trình của ông hầu hết đặt nền móng cơ sở cho toán 
học hiện đại như lý thuyết hàm, vật lý và giải tích toán học. Đặc biệt các định nghĩa của 
chúng ta hiện nay về giới hạn, tính liên tục, khả vi chủ yếu là do ông đề nghị, ông đã đặt 
ra tiêu chuẩn Cauchy nổi tiếng để nghiên cứu về sự hội tụ của dãy trong các không gian 
riêng biệt. 
Ngoài ra, ông còn phát triển lý thuyết chuỗi, lý thuyết định thức, phép tính tích phân, lý 
thuyết hàm biến phức và có hàng loạt công trình cho các lĩnh vực hình học, đại số và lý 
thuyết số Một hệ quả nhỏ trong các công trình nghiên cứu của ông là bất đẳng thức 
Cauchy, có ảnh hưởng to lớn đến toán học, trong đó có bất đẳng thức lượng giác. 
Đọc thêm : Tóm lược tiểu sử các nhà khoa học có ảnh hưởng đến lượng giác 
203 
(9)
VIKTOR YAKOVLEVICH BUNYAKOVSKY (1804-1889) 
Viktor Yakovlevich Bunyakovsky là nhà toán học người Nga, được biết đến với khoảng 
150 công trình về toán học và cơ học. Và ông còn được biết nhiều hơn về bất đẳng thức 
Bunyakovsky, ngày nay chúng ta vẫn thường gọi là bất đẳng thức Bunyakovsky-Cauchy-
Schwarz. 
Ông còn nghiên cứu trong các lĩnh vực lý thuyết số, lý thuyết xác suất và ứng dụng, hình 
học-đặc biệt là lý thuyết các đường song song, cơ học ứng dụng và thủy tĩnh học và 
quan tâm đến cả tính toán trong thực tiễn, bằng chứng là một loạt công trình về thống kê 
và xác suất đã góp phần đáng kể vào việc phát triển lý thuyết thống kê của nước Nga. 
(10)
PAFNUTY LVOVICH CHEBYSHEV (1821-1894) 
Pafnuty Lvovich Chebyshev là một nhà toán học người Nga, được coi là cha đẻ của nền 
toán học Nga. Ông được biết tới bởi các công trình về lý thuyết xác suất, lý thuyết thống 
kê và lý thuyết số, đặc biệt trong việc nghiên cứu sự phân bố các số nguyên tố trong dãy 
số tự nhiên. 
Ông còn nghiên cứu về giải tích toán học, chẳng hạn như phương trình vi phân. Ông đã 
thiết lập một ngành hoàn toàn mới nổi tiếng là “Lý thuyết xấp xỉ tốt nhất các hàm số bằng 
đa thức”. Ngoài ra, trong nền toán học sơ cấp, ông cũng đóng góp không nhỏ, đó chính là 
bất đẳng thức Chebyshev nổi tiếng. 
Đọc thêm : Tóm lược tiểu sử các nhà khoa học có ảnh hưởng đến lượng giác 
204 
(11)
JAKOB BERNOULLI (1654-1705) 
Jakob Bernoulli là nhà toán học người Thụy Sĩ. Công trình của ông chủ yếu là hình học 
giải tích, lý thuyết xác suất và phép tính biến phân. Ông được biết đến khi đã cùng với hai 
nhà bác học Isaac Newton (1643-1689) người Anh và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-
1716) người Đức, phát triển phép tính vi phân và tích phân. 
Ông là người nghiên cứu sớm về xác suất toán học. Có nhiều loại trong toán học mang 
tên ông : sự phân phối Bernoulli, định lý Bernoulli trong xác suất và thống kê, phương 
trình Bernoulli trong phương trình vi phân, bất đẳng thức Bernoulli 
(12)
JOHAN LUDWIG WILLIAM VALDERMAR JENSEN (1859-1925) 
Johan Ludwig William Valdermar Jensen là nhà toán học và kỹ sư người Đan Mạch. Tuy 
công việc chính của ông là một kỹ sư xuất sắc cho một công ty ở Copenhagen và hầu hết 
các nghiên cứu toán học của ông chỉ được thực hiện trong thời gian rảnh rỗi nhưng ông 
đã đạt đến mức độ rất cao về toán học. Ông nghiên cứu về chuỗi dài vô tận, hàm gamma, 
hàm lồi. Qua đó, ông đã đóng góp vào nền toán học sơ cấp : bất đẳng thức Jensen. 
 205 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán – Hệ thức 
lượng giác, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2010. 
[2] Huỳnh Công Thái, Đậu Thế Cấp, Các chuyên đề - Tìm cực trị và Chứng minh bất 
đẳng thức chứa hàm lượng giác, NXB Đại học Quốc Gia Tp.HCM, 2007. 
[3] Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Văn Thổ, Chuyên đề Lượng giác, NXB Tổng hợp 
Tp.HCM, 2007. 
[4] Võ Giang Giai, Tuyển tập 400 bài toán lượng giác, NXB Đại học Sư Phạm, 2007. 
[5] Phạm Tấn Phước, Các chuyên đề Lượng giác, NXB Tp.HCM, 1999. 
[6] Huỳnh Công Thái, Chuyên đề lượng giác – Đẳng thức, Bất đẳng thức trong tam giác, 
Nhận dạng tam giác, NXB Đại học Quốc Gia Tp.HCM, 2002. 
[7] James Stewart, Calculus – Concepts and Contexts, Richard Stratton, 2005. 
[8] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XII – 2006, Toán học, NXBGD, 2006. 
 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XIII – 2007, Toán học, NXBGD, 2007. 
 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XIV – 2008, Toán học, NXBGD, 2008. 
 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XV – 2009, Toán học, NXBGD, 2009. 
 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XVI – 2006, Toán học, NXBGD, 2010. 
[9] Nguyễn Phúc Lộc, Lịch sử Toán học, NXBGD, 2008.