Lí thuyết Ôn tập Toán 12 - Phần giải tích

VẤN ĐỀ 1 : CỰC TRỊ .
LÝ THUYẾT :
A QUY TẮC I : ( Dùng bảng biến thiên )
f’( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì x0 gọi là điểm cực đại của hàm số .
f’( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số .
Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 gọi là đạt cực trị tại x0 , khi đó f(x0) gọi là giá trị cực trị của hàm số , điểm (x0 , f(x0) ) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số .
CHÚ Ý : Thông thường cực trị là nghiệm đơn của đạo hàm .
A QUY TẮC II : ( Dùng đạo hàm cấp hai )
x0 là điểm cực đại của hàm số 
x0 là điểm cực tiểu của hàm số 
AQUY TẮC TÍNH GIÁ TRỊ CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC :
Cho hàm số y = f( x ) = . Với và có đạo hàm tại x0 , .
Ta có x0 là cực trị thì giá trị cực trị y0 = f(x0) = = 
A CÁC CÔNG THỨC KHÁC : 
1. Hàm số đạt cực đại bằng y0 khi x = x0 
2. Hàm số đạt cực tiểu bằng y0 khi x = x0 
3. Hàm số đạt cực trị bằng y0 khi x = x0 
 Tìm m để hàm số có cực trị thỏa điều kiện cho trước .
VẤN ĐỀ 2 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f( x ) trên tập D
A Phương pháp chung : Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D
A Đặc biệt : Nếu D = [a;b] ta thực hiện :
+ Tính y’ và tìm các điểm x1 ; x2 .. của hàm số thuộc [ a ; b ]mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định .
+ Tính f(x1) , f(x2) . . . .và f(a) , f(b) .
+ So sánh các giá trị trên và đưa ra kết luận .
VẤN ĐỀ 3 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG
Phương pháp :Cho hai đường (C1) : y = f( x )
 (C2) : y = g( x )
Để xét vị trí tương đối của (C1) và (C2) ta thực hiện :
B1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) 
 f( x ) = g( x ) (1)
B2 : Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của (C1) và (C2) 
 A CHÚ Ý: 
Phương trình bậc hai : f(x) = ax2 + bx + c = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
Dấu của nghiệm số
Phương trình có hai nghiệm trái dấu P = < 0 .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm 
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu 
 ii. Phương trình bậc ba đặc biệt : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a 0 )
Đoán một nghiệm x0 và biến đổi phương trình về dạng ;
(x – x0) . (a’x2 + b’x + c’) = 0 (I)
Điều kiện phương trình bậc ba trên có 3 nghiệm phân biệt là : 
A LƯU Ý : Có những bài ta nên dựa vào BBT hoặc đồ thị thì giải quyết dễ dàng hơn 
VẤN ĐỀ 4 :TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C) : y = f(x) .
Điều kiện tiếp xúc của hai đường
Cho 
Ta có tiếp xúc có nghiệm
Các dạng tiếp tuyến
DẠNG 1 : TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM ( x0 ; y0) ( C ) 
Phương pháp : Tìm x0 , y0 và f’( x0 )
Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x0 ). (x – x0 ) + y0 
DẠNG 2 : TIẾP TUYẾN QUA ĐIỂM A(xA ; yA) 
Phương pháp : Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến 
B1: Chỉ dạng : phương trình tiếp tuyến có dạng :
y = k ( x – xA ) + yA
B2 : Dùng điều kiện tiếp tuyến tiếp xúc ( C ) 
nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm
Giải hệ phương trình này ta tìm được x k phương trình tiếp tuyến 
DẠNG 3 : TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC k CHO TRƯỚC 
( Hoặc song song , vuông góc đường thẳng cho trước )
Phương pháp : Gọi ( x0 ; y0) là tiếp điểm 
 Dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm 
 f’( x0 ) = k . 
Giải phương trình này ta tìm x0 y0 
Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x0 ). (x – x0 ) + y0 
Chú ý :
Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x 
Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = -x
Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau .
Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1 .
Tức là nếu đường thẳng có hệ số góc a thì :
 + Đường thẳng d song song với d có hệ số góc k = a 
 + Đường thẳng d vuông góc với d có hệ số góc k = 
Vấn đề 5 : MŨ - LƠGARIT
1. an = a.aa ( tích của n số a) với n>1. 
2. a0 = 1 
3. ( với a 0 và n nguyên dương ) 
3. 
4.
5) Luỹ thừa : Với các số a> 0 , b> 0 , tuỳ ý ta cĩ:
5.1) ; 
5.2) ; 
5.3) 
5.4) ; 
5.5)
 6) Lơgarit: Với giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều cĩ nghĩa , ta cĩ ;
6.1) ; 6.2) 	6.3) ; 6.4) 
6.5)	6.6) ; 
6.7) 	6.8) ( với tuỳ ý )
6.9) ;6.10), tức là 
6.11) 	6.12)