Kỷ yếu hội thảo khoa học, lần thứ III môn Toán học

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ 
KỶ YẾU 
HỘI THẢO KHOA HỌC, LẦN THỨ III
MÔN TOÁN HỌC 
(TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ)
 HÀ NAM, THÁNG 11 NĂM 2010
MỤC LỤC 
STT
NỘI DUNG
TRANG
1
LỜI NÓI ĐẦU
5
2
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH GIỎI
Nguyễn Anh Tuấn (THPT chuyên Bắc Giang)
6
3
LÀM NGƯỢC BẤT ĐẲNG THỨC
Nguyễn Đức Vang (THPT chuyên Bắc Ninh)
27
4
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC SẮP XẾP LẠI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV 
Đào Quốc Huy, Tổ Toán – Tin, Trường THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam
31
5
TÍNH TUẦN HOÀN TRONG DÃY SỐ NGUYÊN
Ngô Thị Hải, trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương
43
6
ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ỨNG DỤNG
Lê Đức Thịnh, THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng
47
7
HÀM SỐ HỌC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ HỌC 
Trường THPT Chuyên Hưng Yên
56
8
MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN
Trần Xuân Đáng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định)
67
9
ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG
Đặng Đình Sơn, Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình
73
10
TỈ SỐ KÉP VÀ PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM
Trường THPT chuyên Thái Bình – Thái Bình
93
11
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN
Trần Ngọc Thắng - THPT Chuyên Vĩnh Phúc
105
12
SỬ DỤNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Trường THPT chuyên Hạ Long
123
13
BẤT BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI
Phạm Minh Phương, trường THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội
130
LỜI NÓI ĐẦU
Hội các trường chuyên vùng Duyên Hải Bắc Bộ đến nay đã có 12 trường tham gia. Trong đó có nhiều trường có truyền thống lâu năm, có thành tích cao trong các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế môn Toán.
Năm nay, lần thứ 3 hội thảo khoa học. Với cương vị là đơn vị đằng cai, chúng tôi đã nhận được 12 bài viết về các chuyên đề chuyên sâu cho học sinh giỏi Toán. Đó là các chuyên đề tâm huyết của các thày cô dạy chuyên Toán của các trường chuyên trong hội.
Xin trân trọng giới thiệu các bài viết của các thày cô trong kỷ yếu môn Toán của hội trong dịp hội thảo khoa học lần thứ 3. Hy vọng rằng cuốn kỷ yếu này sẽ một tài liệu tham khảo cho các thày cô!
DI TRUYỀN HỌC
TỔ TOÁN - TIN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HOÀ - HÀ NAM
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH GIỎI
 Nguyễn Anh Tuấn (THPT chuyên Bắc Giang)
Lời mở đầu
 Toán học có một vẻ đẹp lôi cuốn và quyến rũ, ai đã đam mê thì mãi mãi đam mê Trong vẻ đẹp đầy huyền bí đó thì các bài toán liên quan đến Phương trình vô tỷ (chứa căn thức) - có nét đẹp thật sự xao xuyến và quyến rũ.
 Có lẽ vì lý do đó mà trong các kì thi HSG các nước, thi HSG Quốc gia (VMO) của chúng ta, bài toán liên quan đến Phương trình vô tỷ thường có mặt để thách thức các nhà Toán học tương lai với dung nhan muôn hình, muôn vẻ. Rồi thì còn trong các kì thi HSG cấp tỉnh, thi HSG cấp thành phố, thi Đại học, thi 
 Thật là điều thú vị !
 Chuyên đề: “ Một số dạng phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi ” tôi viết với mong muốn phần nào giúp các Thầy cô giáo dạy Toán, các em học sinh phổ thông trong các đội tuyển thi học sinh giỏi Toán có thể tìm thấy nhiều điều bổ ích và nhiều điều thú vị đối với dạng toán này. Trong Chuyên đề có cả những bài với cấp độ giải trí cho học sinh giỏi (rèn luyện phản xạ nhanh).
 Đối với việc giải phương trình vô tỷ thì hầu hết các phương pháp giải, các phương pháp biến đổi hay đều có trong cuốn Chuyên đề này. Cách phân tích để nhận dạng một phương trình và chọn lựa phương pháp giải thích hợp là khó và đa dạng. Để có khả năng này chúng ta phải giải quyết nhiều phương trình và tự rút ra những nhận xét, kinh nghiệm và hay hơn nữa là một vài thuật giải toán, cũng như lưu ý rằng một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau.
 Tôi viết Chuyên đề này với một tinh thần trách nhiệm cao. Tôi hy vọng rằng Chuyên đề sẽ để lại trong lòng Thầy cô và các em học sinh một ấn tượng tốt đẹp.
Với mỗi ví dụ trong từng phương pháp giải, người đọc có thể tự sáng tác cho mình những bài toán với những con số mà mình yêu thích. Tuy nhiên Chuyên đề chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những điều không mong muốn. Tôi rất mong nhận được sự động viên và những ý kiến đóng góp chân thành của Quý Thầy cô và các em học sinh để Chuyên đề tiếp tục được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
§1. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1. MỘT SỐ QUY ƯỚC KHI ĐỌC CHUYÊN ĐỀ
1.1 	Vt: Vế trái của phương trình. Vt: Bình phương của vế trái phương trình.
1.2 	Vp: Vế phải của phương trình. Vp: Bình phương của vế phải phương trình.
1.3 	Vt: Vế trái của phương trình .
1.4 	Vp: Vế phải của phương trình .
1.5 	Đk, đk: Điều kiện. 
1.6 	BĐT: Bất đẳng thức. HSG, HSG: Học sinh giỏi.
1.7 	VMO, VMO: Thi học sinh giỏi Việt Nam, CMO: Thi học sinh giỏi Canada.
2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
2.1 Một số lưu ý
Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta có thể gặp các dạng như: 
2.1.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình đại số không còn chứa căn thức với ẩn mới là ẩn phụ.
2.1.2 Đặt ẩn phụ mà vẫn còn ẩn chính, ta có thể tính ẩn này theo ẩn kia.
2.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ hai phương trình với hai ẩn là hai ẩn phụ, cũng có thể hai ẩn gồm một ẩn chính và một ẩn phụ, thường khi đó ta được một hệ đối xứng.
2.1.4 Đặt ẩn phụ để được phương trình có hai ẩn phụ, ta biến đổi về phương trình tích với vế phải bằng 0.
Thường giải phương trình ta hay biến đổi tương đương, nếu biến đổi hệ quả thì nhớ phải thử lại nghiệm.
2.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 
1) 	.
2) 	.
3) 	.
4) 	.
Hướng dẫn (HD): 1) Đặt với . Khi đó phương trình đã cho trở thành , suy ra , ta được . Từ đó phương trình có nghiệm là . 
2) Ta có , với mọi x.
Mặt khác .
Đặt (có thể viết đk hoặc chính xác hơn là ), ta được 
, ta được (loại ). 
Từ đó phương trình có nghiệm là .
 	3) Ta thấy không thỏa mãn. 
Khi đó phương trình tương đương với hệ . 
Đặt, ta được .
Xét (do hai vế không âm).
Dẫn đến (do với mọi thỏa mãn (1)).
Từ đó phương trình có nghiệm là .
Nhận xét: Bài toán này ta có thể giải bằng Phương pháp đánh giá trong phần sau. 
4) Ta có phương trình tương đương với
Xét (1), đặt , suy ra và . 
Ta được 
 . Từ đó suy ra . 
Thử lại ta được nghiệm của phương trình là và .
Nhận xét: Bài toán này ta có thể giải bằng Phương pháp lượng giác trong phần sau. 
Ví dụ 2. Giải phương trình .
HD: Đặt , với . Khi đó ta được 
 .
Dẫn đến và . Từ đó phương trình có nghiệm là .
Ví dụ 3. Giải phương trình . 
HD: Đặt với và . Khi đó ta được hệ .
Xét .
Suy ra được y - 2 = 0. Từ đó nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1. 
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: 
1) 	.
2) 	. 
HD: 1) Đặt , với . 
Khi đó ta được hệ .
Thế hoặc lại đặt rồi giải tiếp ta được nghiệm của phương trình là
; và .
2) Đặt . 
Khi đó ta được hệ . 
Xét hiệu hai phương trình dẫn đến (do ).
Thay vào hệ và giải phương trình ta được .
Ví dụ 5. Giải phương trình . 
HD: Đk . Với điều kiện đó ta biến đổi phương trình đã cho như sau:
Đặt , với . 
Ta được , từ đó ta được .
Nếu thì ta được (do).
Nếu thì ta được . Vậy phương trình có ba nghiệm trên.
Ví dụ 6. Giải phương trình , với .
Nhận xét: Dạng phương trình này ta thường đặt , sau đó bình phương lên rồi ta “cố ý” biến đổi về hệ đối xứng với hai ẩn . Từ đó ta sẽ biết được giá trị của a, b. Với bài toán này ta tìm được . (Nếu a = 1 và b = 0 mà giải được thì đó là phương trình quá đơn giản, ta không xét ở đây).
HD: Đặt , do nên , từ đó .
Ta được hệ . Giải hệ bình thường theo dạng ta được .
Ví dụ 7. Giải phương trình .
Nhận xét: Khi giải một phương trình không phải lúc nào cũng có nghiệm thực, có những phương trình vô nghiệm nhưng khi cho học sinh làm bài ta cũng kiểm tra được năng lực của học sinh khi trình bầy lời giải bài toán đó. Chẳng hạn như bài toán trong ví dụ này.
	HD: Đặt = y với . Khi đó ta được hệ và từ phương trình ban đầu ta có . Xét hiệu hai phương trình của hệ ta được phương trình .
Với thì , dẫn đến vô nghiệm.
Còn với mọi và . Do đó hệ vô nghiệm hay phương trình đã cho vô nghiệm.
2.3 Một số bài tập tương tự
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 	.
(HD: Đặt , ta được . 
Từ đó và được nghiệm của phương trình là 
).
2) 	.
(HD: Từ phương trình suy ra . Đặt , bình phương dẫn đến . Phương trình trở thành , ta được . Từ đó ).
Bài 2. Giải phương trình .
(HD: Đặt , với . Từ đó ta được . Phương trình có nghiệm ). 
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1) 	.
(HD: Đặt , với . 
Ta được . Từ đó phương trình có 2 nghiệm ).
2) 	.
(HD: Đk . Đặt 
và với .
Suy ra . Từ (1) thay vào (2) ta được . Xét hiệu hai bình phương suy ra . 
Từ đó ta được nghiệm của phương trình là ).
 Bài 4. Giải phương trình .
(HD: Đặt =, ta được . 
Từ suy ra và , do đó .
Suy ra , ta được nghiệm , loại ).
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1) 	.
(HD: Đặt , ta được 
.
Nếu ta được (vô nghiệm).
Nếu ta được (thỏa mãn)).
2) 	.
(HD: Đk . Đặt và , với . 
Khi đó ta được . Từ đó phương trình có bốn nghiệm là và ).
Bài 6. Giải các phương trình sau:
1) 	.
(HD: Đặt , ta được ).
2) 	, với.
(HD: Đặt ,được (loại), nếu thì ).
3) 	, với .
(HD: Tương tự, ta được ).
3. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
3.1 Một số lưu ý
Khi giải phương trình vô tỷ (chẳng hạn ) bằng phương pháp đánh giá, thường là để ta chỉ ra phương trình chỉ có một nghiệm (nghiệm duy nhất).Ta thường sử dụng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái về tổng bình phương các biểu thức, đồng thời vế phải bằng 0. Ta cũng có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số (có thể thấy ngay hoặc sử dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số) để đánh giá một cách hợp lý. 
Thường ta đánh giá như sau: , hoặc đánh giá cũng như là  
Ngoài ra đối với bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác.
Cũng có một số phương trình vô tỷ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phương pháp đánh giá.
3.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình .
HD: Bài toán này có trong đề thi vào Đại học Bách Khoa và ĐHQG năm 2001. Bài này có nhiều cách giải, đáp án sử dụng đạo hàm.
Ta có thể làm đơn giản như sau: Ta thấy là nghiệm của phương trình.
Nếu thì Vt > 1 = Vp.
Nếu thì Vt < 1 = Vp.
Do đó phương trình không có nghiệm trong hai trường hợp này.
Vậy phương trình có một nghiệm là .
Ví dụ 2. Giải phương trình . 
	HD: Bài này quá đơn giản, đánh giá Vt còn Vp , do đó hai vế cùng bằng 5. Ta được phương trình có nghiệm duy nhất là .
Ví dụ 3. Giải phương trình .
HD: Bài này cách giải có vẻ hơi mất tự nhiên bởi cách “cố ý” cho như vậy. Giáo viên và học sinh có thể sáng tác những bài kiểu đó. 
Đk . Với đk đó Vt = 
 = Vp.
Dấu đẳng thức xảy ra khi . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là .
Ví dụ 4. Giải phương trình .
HD: Phương trình đã cho tương đương với phương trình
, đk . Đặt , suy ra .
Khi đó ta được (bình phương hai vế).
Theo BĐT Cô-si ta được , do đó 
Từ đó ta được , suy ra thỏa mãn đk.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là .
Ví dụ 5. Giải phương trình .
HD: Phương trình đã cho tương đương với 
. Phương trình xác định với mọi x là số thực. Theo BĐT Cô-si cho hai số dương ta được Vt(1) Vp(1).
Do đó (1) . Từ đó phương trình có nghiệm là và .
Ví dụ 6. Giải phương trình .
HD: Đk . Với đk đó, phương trình đã cho tương đương với
phương trình .
Theo BĐT Bunhiacopxki, ta  ... ừ B và dựng các hình bình hành PAQB và PARC. X là giao điểm của AQ và HR. Chứng minh rằng EX//AP.
Giải: Xét tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn đơn vị, khi đó h=a+b+c và . Do APBQ là hình bình hành nên q=a+b-p, tương tự r=a+c-p
Do x, a, q thẳng hàng nên (p, b thuộc đường tròn đơn vị). Do đó (1). Tương tự các điểm h,r,x thẳng hàng nên ta tính được nên (2).
Từ (1) và (2) ta tính được . 
Để chứng minh XE//AP ta chứng minh 
. 
Ta có 
Và nên ta có điều phải chứng minh.
14. Cho tứ giác ABCD nội tiếp, P và Q là các điểm đối xứng với C qua AB và AD. Chứng minh rằng PQ đi qua trực tâm tam giác ABD.
Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đơn vị. Khi đó , và h=a+b+d.
 . Tương tự . Do đó P, Q, H thẳng hàng.
15. Tam giác ABC trực tâm H nội tiếp đường tròn (O) bán kính R. D là điểm đối xứng với A qua BC, E là điểm đối xứng với B qua CA, F đối xứng với C qua AB. Chứng minh rằng các điểm D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi OH=2R.
16. Cho lục giác ABCDEF nội tiếp. Chứng minh rằng các giao điểm của AB và DE, BC và EF, CD và FA thẳng hàng.
17. Cho tứ giác ABCD nội tiếp, AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F, AC cắt BD tại G. Chứng minh rằng O là trực tâm tam giác EFG.
18. Cho tứ giác ABCD nội tiếp và K, L, M, L là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng các trực tâm tam giác AKN, BKL, CLM, DMN tạo thành các đỉnh của một hình bình hành.
Sử dụng định lý 1.7 ta có thể giải được một số bài toán liên quan đến đường tròn nội tiếp đa giác
19. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh của tam giác tại P, Q, R. Gọi H là giao điểm của PR và AC. Chứng minh rằng IH vuông góc với BQ.
20. Cho đường tròn (O) nội tiếp tứ giác ABCD và tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA tại K, L, M, N. KL cắt MN tại S. Chứng minh rằng OS vuông góc với BD.
Trên đây là một số ứng dụng đơn giản của số phức đối với những bài toán hình học phẳng. Hy vọng sau bài viết này, cùng với phương pháp toạ độ trong mặt phẳng chúng ta có thêm một cách nhìn nữa về cách giải cho các bài toán hình học thông thường.
Tài liệu tham khảo
- Complex number in Geometry Marko Radovanovic
-Tạp chí Mathematical Excalibur Vol. 1,No.3,May-Jun,95
- Một số tài liệu trên mạng.
BẤT BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI
Phạm Minh Phương
Giáo viên trường THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội
Bất biến là khái niệm quan trọng của toán học. Nói một cách đơn giản thì bất biến là đại lượng hay tính chất không thay đổi trong khi các trạng thái biến đổi. Người ta sử dụng bất biến để phân loại các vật trong một phạm trù nào đó. Hai vật thuộc cùng một loại nếu nó có cùng tính chất H và nếu vật A có tính chất H, vật B không có tính chất H thì B không cùng loại với A.
Trong chuyên đề này chúng tôi xin giới thiệu về ứng dụng của bất biến trong các bài toán về thuật toán của lý thuyết trò chơi. Đây là dạng toán thường gặp trong các kì thi Olympic.
1. Một số khái niệm của lý thuyết trò chơi
Thuật toán
Cho tập và ta gọi là không gian các trạng thái, mỗi phần tử của là một trạng thái. Khi đó, mỗi ánh xạ: gọi là một thuật toán (ôtômat).
Các bài toán về thuật toán
Bài toán 1 (Bài toán tìm kiếm thuật toán). Cho trạng thái ban đầu và trạng thái kết thúc . Hỏi có hay không thuật toán T trên A sao cho khi thực hiện T hữu hạn lần ta thu được ?
Bài toán 2. Cho thuật toán T trên A và trạng thái ban đầu . 
Xét trạng thái Hỏi có thể nhận được từ sau hữu hạn lần thực hiện thuật toán T hay không?
Tìm tập hợp gồm tất cả các trạng thái có thể nhận được từ sau hữu hạn bước thực hiện thuật toán T:
Hàm bất biến
Cho thuật toán T trên A và I là một tập hợp khác rỗng mà ta gọi là không gian các mẫu bất biến.
Khi đó, ánh xạ gọi là hàm bất biến trên A nếu
2. Một số bài toán minh hoạ
Bài toán 1. Hai người chơi cờ. Sau mỗi ván người thắng được 2 điểm, người thua được 0 điểm, nếu hoà thì mỗi người được 1 điểm. Hỏi sau một số ván liệu có thể xảy ra trường hợp một người được 7 điểm và người kia được 10 điểm được không?
Lời giải. Gọi là tổng số điểm của cả hai người sau ván thứ n. Ta có bất biến theo modun 2. Do đó
Vậy không thể xảy ra trường hợp một người được 7 điểm và người kia được 10 điểm.
Bài toán 2. Thực hiện trò chơi sau: Lần đầu viết lên bảng cặp số Từ lần thứ hai, nếu trên bảng có cặp số thì được phép viết thêm cặp số 
Hỏi có thể viết được cặp số hay không?
Lời giải. Giả sử ở bước thứ n ta viết cặp số Khi đó tổng là đại lượng bất biến. Do đó
Vậy không thể viết được cặp số .
Bài toán 3. Trên bảng có hai số 1 và 2. Thực hiện trò chơi sau: Nếu trên bảng có hai số a và b thì được phép viết thêm số Hỏi bằng cách đó có thể viết được các số 2001 và 11111 hay không?
Lời giải. Dãy các số viết thêm là: 
Dễ dàng chứng minh được dãy các số được viết thêm đều chia cho 3 dư 2. Bất biến trên cho phép ta loại trừ số 2001 trong dãy các số được viết thêm. Tuy nhiên, bất biến đó không cho phép ta loại trừ số 11111. Ta đi tìm một bất biến khác. Quan sát các số viết được và quy tắc viết thêm số, ta có
và nếu cộng thêm 1 vào các số thuộc dãy trên ta có dãy mới: 
Như vậy, nếu cộng thêm 1 vào các số viết thêm thì các số này đều có dạng: Do số nên 11111 không thuộc dãy các số được viết thêm.
Bài toán 4 (VMO – 2006). Xét bảng ô vuông Thực hiện trò chơi sau: mỗi lần đặt 4 viên bi vào 4 ô của bảng, mỗi ô một viên bi, sao cho 4 ô đó tạo thành một trong các hình dưới đây:
Hỏi sau một số lần ta có thể nhận được bảng mà số bi trong các ô bằng nhau được không nếu:
Lời giải
Bảng đã cho có thể chia thành các hình chữ nhật nên có thể nhận được trạng thái mà số bi trong các ô bằng nhau.
Tô màu các ô như hình vẽ
Dễ thấy, mỗi lần đặt bi có 2 viên được đặt vào các ô màu đen và 2 viên được đặt vào ô màu trắng. Do đó, nếu gọi là số bi trong các ô màu đen và là số bi trong các ô màu trắng sau lần đặt bi thứ n thì là đại lượng bất biến. Ta có
Vì là số lẻ nên nếu nhận được trạng thái mà số bi trong các ô bằng nhau thì
vô lý.
Bài toán 5 (IMO – 2004). Ta định nghĩa viên gạch hình móc câu là hình gồm 6 ô vuông đơn vị như hình vẽ dưới đây, hoặc hình nhận được do lật hình đó (sang trái, sang phải, lên trên, xuống dưới) hoặc hình nhận được do xoay hình đó đi một góc:
Hãy xác định tất cả các hình chữ nhật , trong đó m, n là các số nguyên dương sao cho có thể lát hình chữ nhật đó bằng các viên gạch hình móc câu?
(H2)
Lời giải. Dễ thấy Chi hình chữ nhật đã cho thành các ô vuông và đánh số các hàng, các cột từ dưới lên trên, từ trái sang phải. Ta gọi ô là ô nằm ở giao của hàng thứ p và cột thứ q. Hai viên gạch hình móc câu chỉ có thể ghép lại để được một trong hai hình dưới đây:
(H1)
Do đó, để lát được hình chữ nhật thì phải chia hết cho 12. Nếu ít nhất một trong hai số m, n chia hết cho 4 thì có thể lát được. Thật vậy, giả sử được m chia hết cho 4. Ta có thể viết n dưới dạng: , do đó có thể lát được.
Xét trường hợp m, n đều không chia hết cho 4. Ta chứng minh trường hợp này không thể lát được. Giả sử ngược lại, khi đó m, n đều chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4. Ta tạo bất biến như sau: Xét ô . Nếu chỉ một trong hai toạ độ p, q chia hết cho 4 thì điền số 1 vào ô đó. Nếu cả hai toạ độ p, q chia hết cho 4 thì điền số 2. Các ô còn lại điền số 0. Với cách điền số như vậy ta thu được bất biến là tổng các số trong hình (H1) và tổng các số trong hình (H2) đều là số lẻ. Do m, n chắn nên tổng các số trong toàn bộ hình chữ nhật là số chẵn. Để lát được thì tổng số hình (H1) và (H2) được sử dụng phải là số chẵn. Khi đó, chia hết cho 24, vô lý.
3. Bài tập
Bài tập 1. Một con robot nhảy trong mặt phẳng toạ độ theo quy tắc sau: Xuất phát từ điểm , con robot nhảy đến điểm xác định như sau:
Chứng minh rằng, nếu ban đầu con robot đứng ở điểm thì không bao giờ con robot nhảy vào được trong đường tròn (C) có tâm là gốc toạ độ O và bán kính 
Bài tập 2. Ở 6 đỉnh của một lục giác lồi có ghi 6 số chẵn liên tiếp theo chiều kim đồng hồ. Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần chọn một cạnh và cộng thêm mỗi số trên cạnh đó với cùng một số nguyên nào đó. Hỏi có nhận được hay không trạng thái mà 6 số ở 6 đỉnh bằng nhau?
Bài tập 3. Một dãy có 19 phòng. Ban đầu mỗi phòng có một người. Sau đó, cứ mỗi ngày có hai người nào đó chuyển sang hai phòng bên cạnh nhưng theo hai chiều ngược nhau. Hỏi sau một số ngày có hay không trường hợp mà:
Không có ai ở phòng có thứ tự chẵn?
Có 10 người ở phòng cuối dãy?
Bài tập 4 (Đề thi chọn đội tuyển Bắc Ninh năm 2007)
Trên bàn có 2007 viên bi bồm 667 bi xanh, 669 bi đỏ, 671 bi vàng. Thực hiện thuật toán sau: Mỗi lần lấy đi hai viên bi khác màu và đặt thêm hai viên bi có màu còn lại. Hỏi có thể nhận được trạng thái mà trên bàn chỉ còn lại các viên bi cùng màu được không?
Bài tập 5 (VMO – 1991). Cho bảng Kí hiệu ô là ô nằm ở giao của hàng thứ m và cột thứ n. Tô màu các ô của bảng theo quy tắc sau:
Lần thứ nhất: Tô ba ô: 
Từ lần thứ hai: mỗi lần tô đúng ba ô chưa có màu nằm cạnh nhau trên cùng một hàng hoặc trên cùng một cột. 
Hỏi có thể tô hết tất cả các ô của bảng được không?
Bài tập 6 (VMO – 1992). Tại mỗi đỉnh của đa giác lồi ta ghi một dấu cộng (+) hoặc một dấu trừ (-) sao cho trong 1993 dấu đó có cả dấu (+) và dấu (-). Thực hiện việc thay dấu như sau: mỗi lần thay dấu đồng thời tại tất cả các đỉnh của đa giác đã cho theo quy tắc:
Nếu dấu tại và là như nhau thì dấu tại được thay bằng dấu (+).
Nếu dấu tại và khác nhau thì dấu tại được thay bằng dấu (-).
(Quy ước: là )
Chứng minh rằng, tồn tại số sao cho sau khi thực hiện liên tiếp k lần thay dấu ta được đa giác mà dấu tại mỗi đỉnh trùng với dấu tại chính đỉnh đó ngay sau lần thay dấu thứ nhất.
Bài tập 7 (Shortlist). Cho k, n là các số nguyên dương. Xét một bảng ô vuông vô hạn, đặt quân cờ trong hình chữ nhật . Thực hiện trò chơi sau: mỗi quân cờ sẽ nhảy ngang hoặc dọc qua một ô kề với nó và có chứa quân cờ, để đến ô trống kề với ô nó vừa nhảy qua. Sau khi làm như trên ta loại bỏ quân cờ ở ô bị nhảy qua ra khỏi bàn cờ. Chứng minh rằng, với cách chơi đó trên bảng ô vuông sẽ không bao giờ còn lại đúng một quân cờ.
Bài tập 8 (Belarus 1999). Cho bảng và các quân cờ có một trong ba loại sau: , và hình chữ L gồm 3 ô. Người thứ nhất có vô hạn quân và một quân hình chữ L, trong khi người thứ hai chỉ có duy nhất một quân . Chứng minh rằng
 Nếu cho người thứ hai đi trước, anh ta có thể đặt quân cờ của mình vào một ô nào đó sao cho người thứ nhất không thể phủ kín phần còn lại của bảng.
Nếu cho người thứ nhất thêm một quân hình chữ L thì bất kể người thứ hai đặt quân cờ của mình ở đâu thì người thứ hai cũng phủ kính được phần còn lại của bàn cờ.
Bài tập 9. Xét bảng . Ở ô ta viết số: Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần lấy ra một hình vuông và tăng đồng thời các số trong các ô của hình vuông này lên một đơn vị. Chứng minh rằng tại mọi thời điểm, ước số chung lớn nhất của tất cả các số trong bảng luôn bằng 1.
Bài tập 10. Chia góc vuông Oxy thành lưới ô vuông đơn vị. Các hàng và các cột được đánh thứ tự từ dưới lên, từ trái sang phải. Ban đầu, đặt vào ô một viên bi. Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần lấy ra khỏi góc viên bi nằm ở ô nào đó mà tại các ô và không có bi, đồng thời thêm vào hai ô nói trên mỗi ô một viên bi. Hỏi có nhận được hay không trạng thái mà
Các ô đều không có bi?
Các ô đều không có bi?