Kỳ thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội năm học 1995 - 1996 môn thi: Toán 12 (vòng 1)

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 1 
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI 
Năm học 1995-1996 
 Môn thi: Toán 12 (vòng1) 
Ngày thi:23-12-1995 
Thời gian làm bài:180 phút 
Bài I 
Xét đường cong: 
3 2y mx nx mx n    (C) 
Tìm các cặp số (m; n) sao cho trong các giao điểm của (C) với trục hoành có hai giao điểm 
cách nhau 1995 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến trục hoành là 2000 đơn 
vị. 
Bài II 
Với những giá trị nào của m thì trong khoảng 0;
2
 
  
 ta luôn có: 
3 2 2sin 2 os 3 sin osm mc m c     
Bài III 
Cho hai dãy số  na và  nb trong đó với mọi i = 1, 2, 3 ta luôn có: 
3
1 4
i
i i
aa a   và i ib a 
Chứng minh rằng: có ít nhất một giá trị của ia sao cho dãy  nb có giới hạn khác 0. 
Bài IV 
Cho hình Elíp 
2 2
2 2 1
x y
a b
  với tâm O và các tiêu điểm 1 2,F F . Qua O, 1F vẽ các đường 
song song MOM', MF1N'. Tính tỉ số: 
1 1
. '
. '
OM OM
F N F N
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 2 
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI 
Năm học 1996-1997 
 Môn thi: Toán 12 (vòng1) 
Ngày thi:21-12-1996 
Thời gian làm bài:180 phút 
Bài I 
Cho dãy ( )nx xác định bởi điều kiện: 
x1 = a ; 21
3
4n n n
x x x    ; ( n = 1; 2; 3) 
Tìm giá trị của a sao cho: x1996 = x1997 
Bài II 
Hàm số f(x) được xác định bằng hệ thức: 
2(1 ) 2 ( ) sinf x f x x   
Chứng minh rằng: 2s inf(x)
2
 
Bài III 
Cho phương trình: 
  3 2os2x+ m+3 os2 =8sin 2 os 2 s in +m+4c c c x m    
Hãy xác định giá trị của m sao cho với mọi giá trị của  thì phương trình có nghiệm. 
Bài IV 
Trên mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy, cho các điểm A(-1; 0); B(2; 0); 
H(-2; 0); và M(-1; -0,6). Kẻ đường thẳng   vuông góc với AB tại H và đường tròn (C) 
nhận AB làm đường kính. 
Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn tiếp xúc với   và tiếp xúc trong với (C) sao cho điểm 
M nằm ở bên ngoài đường tròn (I). 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 3 
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI 
Năm học 1997-1998 
 Môn thi: Toán 12 (vòng1) 
Ngày thi:25-12-1997 
Thời gian làm bài:180 phút 
Câu 1 (5 điểm): 
Cho hàm số  
2
2
xef x
e e


1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ln 2; ln 5   
2. Tính tổng 1 2 3 1996 1997( ) ...
1998 1998 1998 1998 1998
S f f f f f                          
Câu 2 (5 điểm): 
Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm: 
     
2 42 sin 1 2 13 log 4 6 3 log 0
2 sin 1 1
x xx a x x
x a 
       
  
Câu 3 (5 điểm): 
Cho 1 2 3 4, , ,6 4
x x x x   
Chứng minh rằng: 
   
2
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3 11 1 1 1cotgx cotgx cotgx cotgx
cotgx cotgx cotgx cotgx 3
 
       
 
Câu 4 (5 điểm): 
Trong hệ toạ độ trực chuẩn xOy cho đường thẳng (d) có phương trình: 3 17
4 12
y x  
1. Tìm điểm M(a; b) với ,a b Z sao cho khoảng cách từ M tới (d) nhỏ nhất và độ dài 
đoạn OM ngắn nhất. 
2. Cho đường tròn (C) tâm M(-2; 0) tiếp xúc với Oy. 
Tìm tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với Ox và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 4 
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI 
Năm học 1998-1999 
 Môn thi: Toán 12 
Ngày thi:9-12-1998 
Thời gian làm bài:180 phút 
Câu 1 (5 điểm): 
Cho họ đường cong (Cm): 3 23 4y x x mx m     ( m là tham số) 
Đường thẳng (d): y=3-x cắt một đường cong bất kỳ (C) của họ (Cm) tại 3 điểm phân biệt A, 
I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong tại điểm 
thứ hai là M và N. Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi. 
Câu 2 (5 điểm): 
Giải hệ phương trình: 
 6 4
s inx
siny
10 x 1 3 2
5;
4
x ye
y
x y 
 
   



 
Câu 3 (5 điểm): 
Chứng minh bất đẳng thức: 
1 1 1 2
1 os4a 1 os8a 1 os12ac c c
 
  
 
Với a làm vế trái có nghĩa. 
Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ để có một bất đẳng thức đúng và mạnh hơn 
không? 
Câu 4 (5 điểm): 
Cho 2 đường tròn thay đổi (C) và (C') luôn tiếp xúc với một đường thẳng lần lượt tại 2 
điểm A và A' cố định. Tìm quỹ tích giao điểm M của (C) và (C') biết rằng chúng luôn cắt 
nhau dưới một góc  cho trước (  là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại M ). 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 5 
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI 
Năm học 1999-2000 
 Môn thi: Toán 12 
Ngày thi:11-12-1999 
Thời gian làm bài:180 phút 
Câu 1 (5 điểm): 
Cho hai hàm số ( )
1
xf x
x


 và ( ) arctgxg x  
1. Cmr: đồ thị của chúng tiếp xúc nhau. 
2. Giải bất phương trình: ( ) ( )f x g x x  
Câu 2 (5 điểm): 
Cho tam giác ABC thoả mãn: 
 
   
2 2 2
2
3
4
cot cot cot
3 cot cot cot 2 2 2
a b cm m m A B Cabc g g g
gA gB gC
 

 
Cmr: tam giác ABC đều. 
Câu 3 (5 điểm): 
Tìm tham số a sao cho phương trình: 
    
2 2
1 2
4 4log 5 10 34 2 0
4 2 2 2 4
a x a x a
x x a x a
   
 
                  
có ít nhất một nghiệm nguyên. 
Câu 4 (5 điểm): 
Trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 4x y  
1. Tìm tham số m để trên đường thẳng y=m có đúng 4 điểm sao cho qua mỗi điểm có 2 
đường thẳng tạo với nhau góc 450 và chúng đều tiếp xúc với đường tròn (C). 
2. Cho 2 điểm A(a;b), B(c;d) thuộc đường tròn (C) chứng minh: 
4 3 4 3 4 3 6a b c d ac bd         . 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 6 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Hµ Néi 
Kú thi chän ®éi tuyÓn líp 12 thµnh phè 
tham dù kú thi häc sinh giái Quèc gia n¨m häc 2000-2001. 
M«n thi: To¸n 
Ngµy thi: 29 th¸ng 12 n¨m 2000 
Thêi gian lµm bµi: 180phót 
______________________ 
C©u I (4 ®iÓm): 
Cho c¸c sè thùc a1, a2, ... ,an ; b1, b2, ... , bn ; c1, c2, ... , cn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ai>0 vµ 
aicibi2, i=1, 2, 3, ..., n. 
Chøng minh r»ng: (a1+a2+...+an).(c1+c2+...+cn)(b1+b2+...+bn)2 
C©u II (4 ®iÓm): 
Gäi N* lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d­¬ng. 
H·y t×m tÊt c¶ c¸c hµm f : N* N* tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: 






lÎ n nÕu12n
ch½n n nÕun
)n(f))n(f(f
12
C©u III (4 ®iÓm): 
Mét h×nh lËp ph­¬ng kÝch th­íc 8x8x8 ®­îc chia thµnh l­íi c¸c h×nh lËp ph­¬ng ®¬n 
vÞ. Ta gäi mét cét cña l­íi lµ mét h×nh hép ch÷ nhËt víi c¸c c¹nh n»m trªn c¸c ®­êng l­íi cã 
kÝch th­íc lµ: 1x8x8 hoÆc 8x1x8 hoÆc 8x8x1. Chøng minh r»ng ta cã thÓ ®¸nh dÊu 64 h×nh 
lËp ph­¬ng ®¬n vÞ sao cho trong 8 h×nh lËp ph­¬ng ®¸nh dÊu tuú ý cã 2 h×nh lËp ph­¬ng cïng 
n»m trªn mét cét vµ trong bÊt kú mét cét nµo ®Òu cã 8 h×nh lËp ph­¬ng ®­îc ®¸nh dÊu. 
C©u IV (4 ®iÓm): 
Cho P(x) lµ mét ®a thøc bËc n víi hÖ sè thùc cã n nghiÖm thùc ph©n biÖt trong kho¶ng 
(1; ). 
Gi¶ sö Q(x)=(x2+1).P(x).P’(x)+x.{[P(x)]2+[P’(x)]2}, xR 
Chøng minh r»ng ®a thøc Q(x) cã Ýt nhÊt 2n-1 nghiÖm thùc ph©n biÖt. 
C©u V (4 ®iÓm): 
Cho tam gi¸c ABC. Gi¶ sö P lµ mét ®iÓm di ®éng trªn ®o¹n th¼ng AB, Q lµ mét ®iÓm 
di ®éng trªn ®o¹n th¼ng AC. Gäi T lµ giao ®iÓm cña hai ®o¹n th¼ng BQ vµ CP. H·y t×m vÞ trÝ 
cña P vµ Q sao cho PQT cã diÖn tÝch lín nhÊt. 
________________________________________________ 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 7 
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI 
Năm học 2001-2002 
 Môn thi: Toán 12 
Ngày thi: 8-12-2001 
Thời gian làm bài:180 phút 
Học sinh: Đỗ Ngọc Nam a1k4 thi đạt 6 điểm 
Câu 1 (4 điểm): 
Cho hàm số 4 2 22y x m x n   
Tìm các giá trị của tham số m và n để đồ thị có 3 điểm cực trị là các đỉnh của một tam giác 
đều ngoại tiếp một đường tròn có tâm là gốc toạ độ. 
Câu 2 (4 điểm): 
Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn điều kiện: 1
2
a  và 1a
b
 
sao cho biểu thức  
32 1aP
b a b


 đạt giá trị nhỏ nhất. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 
Câu 3 (4 điểm): 
Giải bất phương trình: 32 log 6
1 2 1
x
x x

 
 
Câu 4 (4 điểm): 
Tìm các giá trị của x, để với mọi giá trị của y luôn tồn tại giá trị của z thoả mãn: 
 
3
1 2sin os 2x+
2 3 2 osx
y
x y z y c
c


       
Câu 5 (4 điểm): 
Cho Elíp (E) có 2 tiêu điểm là F1 và F2. Hai điểm M và N trên (E). Chứng minh rằng: 4 
đường thẳng MF1, MF2, NF1, NF2 cùng tiếp xúc với một đường tròn. 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 8 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Hµ Néi 
Kú thi chän ®éi tuyÓn líp 12 thµnh phè 
tham dù kú thi häc sinh giái Quèc gia n¨m häc 2001-2002. 
M«n thi: To¸n 
Ngµy thi: 29 th¸ng 12 n¨m 2000 
Thêi gian lµm bµi: 180phót 
______________________ 
Câu 1. (4 điểm) 
Chứng minh rằng không tồn tại 19 số nguyên dương phân biệt a1; a2;...;a19 thỏa mãn đồng 
thời các điều kiện sau: 
S(a1) = S(a2) = ... = S(a19), ở đó S(n) là tổng các chữ số của số nguyên dương n trong hệ biểu 
diễn thập phân 
Và a1 + a2 + ... + a19 = 2001. 
Câu 2. (4 điểm) 
Chứng minh rằng: 
 2 2
2 2sin ,
x x
x x
x




  

Câu 3. (4 điểm) 
Tính limxn biết dãy xn được xác định như sau: 
1 2
2
2 1
1; 1
1 1
2n n n
x x
x x x n 
  
    
Câu 4. (4 điểm) 
Hai người tham gia một trò chơi với luật chơi như sau: Họ lần lượt viết trên cùng một bảng , 
mỗi lần chỉ viết một số là ước nguyên dương lớn hơn 1 của 100! (nhưng không được viết lặp 
lại). Người thua cuộc là người mà sau lượt đi của mình thì tất cả các số trên bảng là nguyên 
tốt cùng nhau. Hỏi ai là người chiến thắng trong trò chơi trên? 
Câu 5. (4 điểm) 
Cho tam giác nhọn không cân A1BC nội tiếp trong đường tròn (C). Gọi H1 là trực tâm của 
tam giác A1BC 
1) Dựng điểm A2 khác A1 nằm trên cung lớn BC của đường tròn (C) sao cho trực tâm H2 
của tam giác A2BC nằm trên đường tròn đường kính A1H1. 
2) Đường thẳng H1H2 cắt A2B, A2C lần lượt tại M, N. Cmr: A1M = A1N (?) 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 9 
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI 
Năm học 2002-2003 
 Môn thi: Toán 12 
Ngày thi: 7-12-2002 
Thời gian làm bài:180 phút 
Bµi I (4 ®iÓm) 
Cho hµm sè y=
2x
3x)m121(mx 22


 T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi ®­êng trßn cã 
t©m I(0; 1) vµ cã b¸n kÝnh lín nhÊt. 
Bµi II (4 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC nhän, chøng minh bÊt ®¼ng thøc 
tg5A+ tg5B+ tg5C  9 (tgA+tgB+tgC) 
Bµi III (4 ®iÓm) 
T×m quü tÝch ®iÓm M(x; y) cã to¹ ®é tho¶ m·n hÖ: 






ysinx.33y7cosycos
x314xx 35
Bµi IV (4 ®iÓm) 
T×m tham sè a (a 0) ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh a3x4+6a2x2-x+9a+3  0 
nghiÖm ®óng víi x [2008; 2009] 
Bµi V (4 ®iÓm) 
Trong hÖ to¹ ®é Oxy cho Hypebol (H) cã ph­¬ng tr×nh: xy=k2 (k0). Mét ®­êng trßn 
(C) t©m J c¾t (H) t¹i 4 ®iÓm A1, A2 , A3 , A4 . Chøng minh: 
1. NÕu J thuéc A1A3 th× O thuéc A2A4 
2. C¸c trùc t©m cña 4 tam gi¸c A1A2A3 , A1A2A4 , A1A3A4 , A2A3A4 cïng n»m trªn 
mét ®­êng trßn. 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 10 
Kú thi chän ®éi tuyÓn líp 12 thµnh phè 
tham dù kú thi häc sinh giái Quèc gia n¨m häc 2002-2003. 
M«n thi: To¸n 
Ngµy thi: 28 th¸ng 12 n¨m 2000 
Thêi gian lµm bµi: 180phót 
______________________ 
Câu 1. (4 điểm) 
Giả sử n là số tự nhiên khác 0 sao cho 2n và 5n bắt đầu cùng bằng chữ số a. Hãy tìm chữ số a. 
Câu 2. (4 điểm) 
Giải hệ phương trình sau: 
3 3cos cos cos
2
3sin sin sin
2
x y z
x y z

  

   
Câu 3. (4 điểm) 
Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f(x) có bậc 4 thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 
1) f(x) có các hệ số hữu tỉ 
2)  min 2f x  

Câu 4. (4 điểm) 
Trong không gian cho đường gấp khúc L có độ dài m. Gọi a, b, c là độ dài các hình chiếu của 
L lên ba mặt phẳng tọa độ. 
1) Chứng minh rằng: a + b + c 6m 
2) Tồn tại hay không đường gấp khúc đóng L sao cho a + b + c = m 6 
Câu 5. (4 điểm) 
Hãy tìm số tự nhiên k lớn nhất sao cho với mọi cách tô đen 2002 ô của một tờ giấy kẻ ô 
vuông vô hạn thì luôn chọn ra được k ô đen đôi một không có điểm chung. 
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI 
Năm học 2003-2004 
 Môn thi: Toán 12 
Ngày thi: 5-12-2003 
Thời gian làm bài:180 phút 
Câu 1 (4 điểm): 
Giải và biện luận theo tham số a số nghiệm của phương trình: 
3 2 3( 2) 2003( 3) 0n n nn x n x a       ( với n là số tự nhiên lẻ ) 
Câu 2 (4 điểm): 
Cho đường cong (C) có phương trình 4 24 3y x x    .Tìm m và n để đường thẳng 
y mx n  cắt đường cong (C) tại 4 điểm phân biệt A, B , C, D ( theo thứ tự ) sao cho 
1
2
AB CD BC  . 
Câu 3 (4 điểm): 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 11 
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi R và R' lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có độ dài 3 cạnh là GA, GB, GC. 
Cmr: 
Nếu có 9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) thì tam giác ABC đều. 
Câu 4 (4 điểm): 
Giải các phương trình sau: 
1. 2cosx+sin19x-5 2 sin 21 3 2 sin10x x  
2. 5 332 40 10 3 0x x x    
Câu 5 (4 điểm): 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P): 2 2y px ( p>0 ), tiêu điểm là F. Từ một 
điểm I kẻ 2 đường thẳng tiếp xúc với (P) tại M và N. 
1. Cmr: FIM đồng dạng với FIN . 
2. Một đường thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) tại T và cắt IM, IN tại Q và Q'. 
Cmr: FQ.FQ'
FT
 không phụ thuộc vị trí của (d). 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 12 
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI 
Năm học 2004-2005 
 Môn thi: Toán 12 
Ngày thi: 3-12-2004 
Thời gian làm bài:180 phút 
Bài 1 (4 điểm): 
Cho hàm số: f(x)= 1
5
4 54  xmx và 122004
3
)( 3
2
 xxmxg có đồ thị là (C) và (C’). 
Hẵy tìm tất cả cac giá trị của tham số m để tồn tại 4 đường thẳng khác nhau, cùng song song 
với trục tung và mỗi đường trong chúng đều cắt (C) và (C’) tại hai điểm sao cho tiếp tuyến 
tương ứng của (C)và (C’) tại hai điểm đó song song với nhau. 
Bài 2 (4điểm): 
Cho bất phương trình: 222 2222 xxaaxxxxx xx  
1.Giải bpt khi a=-1. 
2.Tìm a để bpt có nghiệm x>1. 
Bài 3 (4điểm): 
Giải phương trình:
)(493)(sincos 2223
2
22 
xx
xx   
Bài 4 (4điểm): 
Một tứ giác có độ dài ba cạnh bằng 1 và diện tích bằng 
4
33 .Hãy tính độ dài cạnh còn lại 
và độ lớn các góc của tư giác. 
Bài 5 (4điểm): 
Cho tứ diện ABCD DA=a, DB=b, DC=c đôi một vuông góc với nhau.Một điểm M tuỳ ý 
thuộc khối tứ diện. 
1.Gọi các góc tạo bởi tia DM với DA, DB, DC là  .,, . 
Cmr: 2sinsinsin 222   
2.Gọi DCBA SSSS ,,, lần lượt là diện tích các mặt đối diện với đỉnh A, B, C, D của khối tư 
diện. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 DCBA SMDSMCSMBSMAQ ....  
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 13 
së gi¸o Dôc & §µo t¹o hµ néi 
 kú thi häc sinh giái thµnh phè-líp 12 
 N¨m häc 2005-2006 
M«n thi: To¸n 
Ngµy thi: 01 - 12 - 2005 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót 
Bµi I (4 ®iÓm) 
Cho ph­¬ng tr×nh: 0m35x2x)
3
5m(x2x 3222  
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m. 
Bµi II (4 ®iÓm) 
Gäi A, B, C lµ 3 gãc cña tam gi¸c ABC, chøng minh bÊt ®¼ng thøc: 
 Csin.Bsin.Asin
4
A3Csin.
4
C3Bsin.
4
B3Asin  
Bµi III (4 ®iÓm) 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 







 020062005.22004
0)y2005x121)(yx21(1yx2
2
y1
x1yx
2
Bµi IV (4 ®iÓm) 
 Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®­êng trßn b¸n kÝnh R. Gäi diÖn tÝch tø gi¸c lµ S và 
®é dµi c¸c c¹nh lµ AB=a, BC=b, CD=c, DA=d . 
1. Chøng minh ®¼ng thøc: (4RS)2=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) 
2. Chøng minh r»ng nÕu 4(SR)4 = (abcd)3 th× tø gi¸c lµ h×nh vu«ng. 
Bµi V (4 ®iÓm) 
 H×nh chãp S.ABC cã c¸c c¹nh bªn ®«i mét vu«ng gãc vµ SA=a, SB=b, SC=c. Gäi A’, B’, 
C’ lµ c¸c ®iÓm di ®éng lÇn l­ît thuéc c¸c c¹nh SA, SB, SC nh­ng lu«n tháa m·n 
SA.SA’=SB.SB’=SC.SC’. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c A’B’C’ vµ I lµ giao ®iÓm cña SH víi 
mÆt ph¼ng (ABC). 
1. Chøng minh mÆt ph¼ng (A’B’C’) song song víi mét mÆt ph¼ng cè ®Þnh vµ H thuéc 
mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh. 
2. TÝnh IA2+IB2+IC2 theo a, b, c. 
hÕt 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 14 
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI 
Năm học 2006-2007 
 Môn thi: Toán 12 
Ngày thi:15-11-2006 
Thời gian làm bài:180 phút 
Học sinh: Trần Huy Chung lớp a2k6 thi đạt 10 điểm 
Câu 1 (5 điểm): 
Gọi  mC là đồ thị của hàm số 4 2 2 46 4 6y x m x mx m    ( m là tham số) 
1. Tìm các giá trị của m để  mC có 3 điểm cực trị A, B, C. 
2. Chứng minh rằng tam giác ABC có trọng tâm cố định khi tham số m thay đổi. 
Câu 2 (3 điểm): 
Giải các phương trình sau: 
1. 5 315 11 28 1 3x x x    
2.   2 24 1 1 2 2 1x x x x     
Câu 3 (3 điểm): 
Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp thoả 
mãn hệ thức:  3 2bc R b c a     . Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. 
Câu 4 (4 điểm): 
Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm: 
 
   2 22 2
2 1y y y12 os 5 12 os 7 24 os 13 11 sin
2 2 2 3
32 1 2
4
x y
c c c
x y a x y a
           


          
Câu 5 (5 điểm): 
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Các điển M, N lần lượt chuyển động trên các đoạn 
AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt AM=x, 
AN=y. 
1. Cmr: mặt phẳng (DMN) luôn chứa một đường phẳng cố định và 
 x + y = 3xy. 
2. Xác định vị trí của M, N để diện tích toàn phần tứ diện ADMN đạt giá trị nhỏ nhất và 
lớn nhất.Tính các giá trị đó. 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 15 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Hµ Néi 
Kú thi chän ®éi tuyÓn Häc Sinh Giái líp 12 thµnh phè 
 n¨m häc 2006-2007 
 M«n thi: To¸n 
 Ngµy thi: 28 th¸ng 11 n¨m 2006 
 Thêi gian lµm bµi: 180 phót 
C©u I (4 ®iÓm) 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau: 












0
yx
yx2y
2
yx
y2xx
22
22
C©u II (4 ®iÓm) 
Cho ,   R. Chøng minh r»ng nÕu tËp hîp 
A,  =   Zn0 )ncos()ncos(  
lµ h÷u h¹n th×  vµ  lµ c¸c sè h÷u tû. 
C©u III (4 ®iÓm) 
 T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn (x; y) tháa m·n ph­¬ng tr×nh : 
 2x4 + 1 = y2 
C©u IV (4 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC vµ M lµ mét ®iÓm tïy ý n»m ë miÒn trong cña tam gi¸c ®ã. Chøng 
minh r»ng: 
 min  CABCABMCMBMA MC MB, MA,  
C©u V (4 ®iÓm) 
Cho d·y sè thùc (xn) víi n  N* tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 














 )2n( kxx)2n(x
x3x
)0a,Ra( ax
1n
1k
kn1n
12
1
Chøng minh r»ng tån t¹i sè nguyªn d­¬ng n0 sao cho 0nx > 2006 ! 
HÕt 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 16 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Hµ Néi 
Kú thi chän ®éi tuyÓn Häc Sinh Giái líp 12 thµnh phè 
 n¨m häc 2006-2007 
 M«n thi: To¸n 
 Ngµy thi: 28 th¸ng 11 n¨m 2007 
 Thêi gian lµm bµi: 180 phót 
Câu 1. (4 điểm) 
Hãy tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố (a; b; c) thỏa mãn hệ sau: 
2 7 1826
3 5 7 2007
a b c
a b c
  
   
Câu 2. (4 điểm) 
Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn abcd > a2 + b2 + c2 + d2. Cmr: abcd > a + b + c + d + 8. 
Câu 3. (4 điểm) 
Trong một đường tròn cho 2 dây AB và CD cắt nhau tại M. Gọi N là trung điểm của BD, 
đường thẳng MN cắt AC tại K. Cmr: 
2
2
AK AM
KC CM
 
Câu 4. (4 diểm) 
Tìm tất cả các hàm :f R R thỏa mãn: 
               2 2 2 21 1 1 1 2 , ,f x z f y z f z x f y z z x f y x y z           
Câu 5. (4 điểm) 
Trên mặt phẳng cho 50 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và mỗi điểm được 
tô bằng 1 trong 4 màu. Chứng minh rằng tồn tại 1 màu và ít nhất 130 tam giác không cân với 
các đỉnh được tô bởi màu này. 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
 17 
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI 
Năm học 2008-2009 
 Môn thi: Toán 12 
Ngày thi:26-11-2008 
Thời gian làm bài:180 phút 
Học sinh: Vương Xuân Hồng a1k7 thi đạt 12 điểm giành giải khuyến khích. 
Bài 1 (5 điểm) 
Cho hàm số y = x3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + 1 (m là tham số) 
1. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại cực tiểu. 
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị (Cm) của hàm số đã cho chỉ cắt trục 
hoành tại một điểm. 
Bài 2. (5 điểm) 
1. Giải phương trình:      3 322 1 1 1 1 5x x x x         
2. Cho x và y là các số thực thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 4x – 6y + 12 = 0. Tìm x, y 
saho cho A = x2 + y2 đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. 
Bài 3. (5 điểm) 
1. Cho a, b, c là ba kích thước của một hình hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 . 
Chứng minh: 2 2 2 2 2 2
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
2. Cho dãy số (un) với 2
1
4 1n
u
n


. Thành lập dãy số(sn) với 
1
n
n k
k
s u

 . Tìm lim ns 
Bài 4. (5 điểm) 
Cho hình chóp S.ABCD có SA là đường cao và đáy là hình chữ nhật ABCD, biết SA = a, 
AB = b, AD = c. 
1. Trong mặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G của tam giác SBD một đường thẳng cắt 
cạnh SB tại M và cắt cạnh SD tại N. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC của hình chóp 
S.ABCD tại K. Xác định vị trí của M trên cạnh SB sao cho thể tích của hình chóp 
S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tính các giá trị đó theo a, b, c. 
2. Trong mặt phẳng (ABD), trên tia At là phân giác trong của góc BAD ta chọn một điểm 
E sao cho góc BED bằng 450. Cmr: 
   2 22 2
2
b c b c
AE
  
