Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 năm học 2005 - 2006 môn: Toán. Bảng A-B

Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trường THPT Mai Anh Tuấn
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2005-2006
Môn: Toán. Bảng A-B
(Thời gian làm bài 180 phút)
Câu I. (5 điểm). Cho hàm số 
 1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
 2, Chứng minh đường thẳng (d): có đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc. Xác định toạ độ hai điểm đó.
Câu II. (4 điểm). 
 1, Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình 
Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1), (x2;y2) tìm m để lớn nhất.
 2, Giải phương trình: 
Câu III. (5 điểm)
 1, Đường thẳng (d) cắt Parabol (P): tại hai điểm phân biệt A, B lần lượt có hoành độ x1; x2 giả sử x1<x2 và AB=2. Tìm x1; x2 để hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng (d) và Parabol có diện tích lớn nhất.
 2, Tam giác ABC không có góc tù và . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. 
Câu IV. (4 điểm) 
 1, Tính đạo hàm của hàm số: tại x=0
 2, Hình chóp đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên hợp với đáy góc α, . Chứng minh ( với r, R lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp).
Câu V. (2 điểm). Qua đường cao hình tứ diện đều dựng một mặt phẳng cắt ba mặt bên tứ diện theo ba đường thẳng tạo với đáy tứ diện lần lượt góc α, β, γ.
 Chứng minh: .