Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học: 2008 - 2009 môn thi: Toán 12

Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hoá
Số bỏo danh
ĐỀ CHÍNH THỨC
Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI TỉNH
Năm học: 2008-2009
Mụn thi: Toán 
LỚP : 12 THPT
Ngày thi: 28/03/2009
Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1(5,0 điểm) 
 Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
Với mỗi điểm M thuộc (C) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?
Bài 2(4,0 điểm) 
 1. Tính tích phân: I = 
 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó chỉ có một chữ số lẻ ?
Bài 3 (5,0 điểm)
 1. Giải phương trình: 
 2. Tìm giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
 .
 3. Với giá trị nào của x, y thì 3 số theo thứ tự đó, đồng thời lập thành một cấp số cộng và một cấp số nhân. 
Bài 4 (5,0 điểm)
 1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: 
 Chứng minh rằng với mỗi điểm M(m; 3) trên đường thẳng y = 3 ta luôn tìm được hai điểm T1 , T2 trên trục hoành, sao cho các đường thẳng MT1`, MT2 là tiếp tuyến của (C). Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MT1T2.
 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC =1)
và các cạnh bên SA = SB = SC = 3. Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1. Tính thể tích của tứ diện LMNK.
Bài 5 (1,0 điểm)
 Cho n là số nguyên lẻ và n >2. Chứng minh rằng với mọi a khác 0 luôn có:
 Hết
Sở Giáo dục và đào tạo
 thanh hoá
 Đáp án đề chính thức
Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI TỉNH
Năm học: 2008-2009
Mụn thi: Toán 
LỚP : 12 THPT
Ngày thi: 28/03/2009
Đáp án này gồm có 5 trang
Bài
Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm
Bài1
5đ
1(3đ)
1. Tập xác định: R
2 Sự biến thiên 
Bảng biến thiên
x
 0 1 2 
 + 0 - 0 +
y,,
 - 0 +
y
 2 - 2 
3 Đồ thị : 
 y
 x
0,5
0,5
1,0
1,0
 2. (1đ) Đặt 
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng y = với đồ thị (C)
Từ đồ thị (C) ta có -1 < m < 0; 0 < m <2; 2 < m < 3 thì -2 < <2 
 m = -1 hoặc m = 2 thì = -2
 m = 3 hoặc m = 0 thì = 2
 m < -1 thì < -2
 m > 3 thì > 2
Vậy * phương trình có 1 nghiệm
 * phương trình có 2 nghiệm
 * phương trình có 3 nghiệm
0,5
0,5
3.(1đ)
M thuộc đồ thị (C) suy ra M.đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại T(x0;y0) thì (d) có phương trình:
TH1 có 1 tiếp tuyến duy nhất
TH2 có 2 tiếp tuyến 
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài2
4đ
1.(2đ) I = 
Tính J = Đặt
0,25
0,5
 0,5
0,5
0,25
2.(2đ) 
 Ta kí hiệu số A là 
Có 5 khả năng chọn một chữ số lẻ 
Mỗi cách chọn 1 chữ số lẻ và 5 chữ số chẵn có P6=6! Cách sắp xếp 6 chữ số đã cho vào 6 vị trí từ a1đến a6
Như vậy có 5.P6 =5.6! cách sắp xếp 10 chữ số từ 0 đến 9 vào 6 vị trí từ a1 đến a6 mà mỗi cách chỉ có một chữ số lẻ.
*Trong tất cả các cách sắp xếp đó thì những cách xếp có chữ số 0 đứng ở vị trí a1 không phải là một số có 6 chữ số
* Do tính bình đẳng của các chữ số đã chọn có số cách sắp xếp không phải là số có 6 chữ số và bằng 
Vậy số các số có 6 chữ số mà trong nó chỉ có một số lẻ là
 5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 số
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài3
5đ
1.(2đ) Đặt khi đó phương trình đã cho trở thành
 (*)
Đặt z = sin t ĐK phương trình (*) trở thành
* 
* 
Vậy PT có nghiệm là 
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
2.(2đ) Đặt , bất phương trình đã cho trở thành:
 (1)
Vế trái của (1) là một tam thức bâc hai ẩn x có hệ số của x2 là .
TH1: 3 -
Khi đó (1) là suy ra (1) không nghiệm đúng mọi x
TH2 
 Với a > 6 ta có 
 .
0,5
0,5
0,5
0,5
3.(1đ) 
Nếu các số a, b, c đồng thời là cấp số cộng và cấp số nhân thì 
suy ra a, c là nghiệm của pt: từ đó a = b = c. 
Theo bài ra ta có hệ: 
Từ (1) , thay vào (2) ta được:
0,25
0,25
0,5
Bài4
 5đ
1.(3đ) Đường tròn (C) có tâm I ( 0 ; 1 ) bán kính R = 1
 Điểm T thuộc trục hoành thì T( t ; 0)
 Điểm M( m; 3) thuộc đường thẳng y = 3 , ta có: 
 Phương trình đường thẳng MT:
Do MT là tiếp tuyến của (C) nên khoảng cách từ tâm I của (C) đến MT bằng 1, hay
 Do phương trình (*) luôn có hai nghiệm t1 , t2 với mọi m nên luôn tồn tại hai điểm T1(t1;0) và T2(t2;0) để MT1và MT2 là tiếp tuyến của (C).
* Theo định lý Vi ét có t1 + t2 = -2m. Phương trình đường tròn (C1) ngoại tiếp tam giác MT1T2 có dạng:
Vì M, T1, T2 thuộc đường tròn (C1) nên có hệ
Từ (2) và (3) suy ra 
 Thay vào (2) ta có 
Do t1 là nghiệm của(*) nên 
Thay c = -3 vào (1) ta được: 
Vậy phương trình của (C1) là: 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2.(2đ) Lấy điểm E thuộc SA sao cho AN=1 suy ra NE// AB // KL
; 
Mặt khác khoảng cách từ L đén mặt phẳng (MKE) bằng 
Vậy mà
 (đvtt)
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài5
 1đ
Coi a là ẩn , điều kiện a khác 0
Đặt 
Khi đó 
 với mọi a và n lẻ n > 2
Đặt vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là f(a)
Ta có
Do 
Ta có bảng biến thiên
a
 + -
 1
do a khác 0 nên f(a) <1 ( điều phải chứng minh)
0,25
0,25
0,25
0,25