Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2006 - 2007 Môn thi: Toán Lớp: 12 Trung học phổ thông

Sở Giáo dục và đào tạo 
thanh hoá 
Đề chính thức 
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh 
Năm học 2006-2007 
Môn thi: TOáN 
Ngày thi: 28/03/2007 
Lớp: 12 Trung học phổ thông. 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề thi) 
Đề thi này có 4 câu, gồm 1 trang. 
Câu 1: (7,0 điểm) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 
2 1
1
x xy
x
+ += + ( )1 
2. Tìm để đ−ờng thẳng: k ( )2 1k x y 0− − + = cắt đồ thị ( )1 tại hai điểm phân 
biệt ,A B sao cho các tiếp tuyến với đồ thị ( )1 tại A và B song song với nhau. 
3. Chứng minh rằng phương trỡnh: ( )2 21 1 9x x x x+ + = + − cú đỳng 2 nghiệm. 
Câu 2: (5,0 điểm) 
1. Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của ( )1002x x+ , chứng minh rằng: 
99 100 198 199
0 1 99 100
100 100 100 100
1 1 1 1100C 101C 199C 200C 0.
2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⋅⋅⋅− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. Cho tích phân 
0
s 2
2cos2n
in nxI dx
a x
π
= −∫ , n∈N. Tìm sao cho a 2006 2007 2008, , I I I 
theo thứ tự ấy lập thành cấp số cộng. 
Câu 3: (7,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đ−ờng tròn 
(V ): tâm 2 2 4 6 3x y x y+ − + − = 0 I và đ−ờng thẳng ( ) 2 0: x byΔ + − = . 
Chứng minh rằng ( và (V ) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với 
mọi b . Tìm để tam giác có diện tích lớn nhất. 
)Δ , P Q
b PIQ
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm ( )2 0 0; ;A , ( )0 8 0; ;B , 
( )0 0 3; ;C và là điểm thoả mãn: ONN OA OB OC= + +uuur uuur uuur uuur . Một mặt phẳng ( )P 
thay đổi cắt các đoạn OA lần l−ợt tại các điểm , , , OB OC ON 1 1, ,A B . 
Hãy xác định toạ độ điểm sao cho: 
1 1, C N
1N
1 1 1
2007OA OB OC
OA OB OC
+ + = . 
Câu 4: (1,0 điểm) 
Tìm tập hợp các điểm M trong không gian có tổng bình ph−ơng các khoảng cách 
đến các mặt của một tứ diện đều ABCD cho tr−ớc bằng một số d−ơng không 
đổi. 
k
 ------------------------------------Hết------------------------------------ 
• Học sinh không đ−ợc sử dụng tài liệu gỡ. 
• Cán bộ coi thi không đ−ợc giải thích gì thêm. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THANH HOÁ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM 2007 
Mụn: TOÁN. THPT 
(Đỏp ỏn - Thang điểm gồm 3 trang) 
Cõu í Nội dung Điểm 
I (7,0 điểm) 
1 (3,0 điểm) 
• TXĐ: { }\ 1− 
• Sự biến thiờn: ( )
2
2
2 0 2
1
' , ' hoặc 
x xy y x
x
+= = ⇔ = −+ 0x = . 
 ( ) ( )2 3 0 1, CTy y= − = =CDy y= − 
1,0 
 Bảng biến thiờn: 
1,0 
• Đồ thị: 
1,0 
2 (3,0 điểm) 
Phương trỡnh hoành độ giao điểm: 
( ) ( ) ( ) (2 21 2 1 1 2 0
1
... 
x x k x k x k x x
x
+ + = − + ⇔ ⇔ − + − = ≠ −+ )1 
Cú 2 nghiệm phõn biệt khi k k1 2và ≠ ≠ 
1,5 
Thoả món yờu cầu bài toỏn khi: ( ) 20 0
1
' ' ...
kf f k
k
−⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟−⎝ ⎠ . 1,5 
3 (1,0 điểm) 
Số nghiệm phương trỡnh là số giao điểm đồ thị cỏc hàm số:
2 1
1
x xy
x
+ += + ( )1 
và ( )2 2 209 9
y
y x
x y
≥⎧= − ⇔ ⎨ + =⎩
2 . Đồ thị hàm số ( )2 là nửa đường trũn 
1,0 
x
y'
y
− ∞ 
− ∞ − ∞ 
+ ∞ 
+ ∞ + ∞ −3 
 1 
 0 
0 0
−2 −1
2− − + + 
y
O
−1 
1
−2 x
−3 
phớa trờn trục Ox , tõm ( )0 0;O , bỏn kớnh bằng 3. Suy ra đpcm. 
II (5,0 điểm) 
1 (3,0 điểm) 
Ta cú: ( )100100 0 100 1 101 99 199 100 200100 100 100 100x 1 x C .x C .x ... C .x C .x+ = + + + + 1,0 
Lấy đạo hàm hai vế ta suy ra 
( )( ) ( )99 0 99 1 100 100 199100 100 100100 x 1 x 1 2x 100.C .x 101.C .x ... 200.C .x .+ + = + + + 1,0 
Thay 1x
2
= − ta suy ra B 0.= 1,0 
2 (2,0 điểm) 
 Ta cú: 2008 2006
0
s 2.2008 s 2.2006
2cos2
in x in xI I d
a x
π ++ = −∫ x 
( )
0 0
s 4014 cos22s 4014 cos2
2cos2 2cos2
in x a x ain x xdx dx
a x a x
π π − −= = −− −∫ ∫ 
1,0 
2007 2007
00 0
s 2.2007 cos4014s 4014
2cos2 4014
in x xin xdx a dx aI aI
a x
ππ π
= − + = + =−∫ ∫ 
Thoả món yờu cầu bài toỏn khi 2a = 
1,0 
III (7,0 điểm) 
1 (3,0 điểm) 
Tõm ( )2 3;I − , bỏn kớnh 4R = , khoảng cỏch từ I đến ( )Δ là 
2
3
1
b
d
b
= + , 
suy ra 2 2 29 16 16 7 16 0d R b b b b ∀
1,5 
Diện tớch tam giỏc là PIQ 
21 8
2 2
. .sin
RS IP IQ PIQ= ≤ = . lớn nhất khi 
. Khi đú 
S
 90PIQ = o
2
32 2 2 2 2
2 1
bRd b
b
= ⇔ = ⇔ = ±+ 
1,5 
2 (4,0 điểm) 
( )2 8 3; ;ON =uuur suy ra phương trỡnh ( )1
2
8 2 8 3
3
: ; ;
x t
ON y t N t t t
z t
=⎧⎪ = ⇒⎨⎪ =⎩
1,5 
Giả sử ( ) ( ) ( ) ( )1 1 10 0 0 0 0 0 0; ; , ; ; , ; ; , ,A a B b C c a b c > suy ra phương trỡnh 
mặt phẳng ( ) 1: x y zP
a b c
+ + = 1,5 
( )1N P∈ suy ra 2 8 3 1t t ta b c+ + = . Từ giả thiết cú: 
2 8 3 2007
a b c
+ + = suy 
ra 
1
2007
t = . Do đú 1 2 8 32007 2007 2007; ;N
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
1,0 
IV (1,0 điểm) 
Gọi G là trọng tõm ABCΔ , O là trung điểm . Tớnh chất tứ diện đều cho 
ta vuụng gúc với nhau từng đụi. Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho: 
DG
, ,OA OB OC
( )3 0 0; ;A a , ( )0 3 0; ;B a , ( )0 0 3; ;C a ( )0a > . Suy ra: ( ); ;G a a a và 
( ); ;D a a a− − − . Ta cú phương trỡnh cỏc mặt của tứ diện là: 
( ) 3 0:ABC x y z a+ + − = , ( ) 5 3:DAB x y z a 0+ − − = , 
 và ( ) 5 3 0:DBC x y z a− + + − = ( ) 5 3 0:DCA x y z a− + − = . Giả sử 
( )0 0 0; ;M x y z và khoảng cỏch từ M đến cỏc mặt ( ) ( ) ( ), ,ABC DAB DBC 
và ( )DCA thứ tự là d d và ta cú: 1 2, , 3d 44d 2 2 2 21 2 3k d d d d= + + + 
( ) ( )2 20 0 0 0 0 01 13 53 27 3x y z a x y z a= + + − + + − − 
+ ( ) ( )2 20 0 0 0 0 01 15 3 527 27 3x y z a x y z a− + + − + − + − 
2 2 2 2
0 0 0
3 9
2 2 2
a a a kx y z −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4
a
2
2 3 9
4
k aIM −⇔ = . Trong đú 
2 2 2
; ;
a a aI ⎛ ⎞⎜⎝ ⎠⎟ là trọng tõm tứ diện ABCD . 
Nếu thỡ tập hợp cỏc điểm 23k a< M là ∅ . Nếu 23k a= thỡ M I≡ . Nếu 
 thỡ tập hợp cỏc điểm 23k a> M là mặt cầu tõm I bỏn kớnh 
23
4
k ar −=
1,0 
y
x
z
O
G
B
D
A
C
---------------- Hết ----------------