Kỳ thi chọn học sinh giỏi năm học 2009 - 2010 môn: Toán. Khối 10

 Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi chọn HSG năm học 2009-2010
 Trường THPT DTNT Môn: Toán. Khối 10.
 ( Thời gian làm bài 150 phút).
Câu 1 ( 4 điểm):
 1. Chứng minh rằng với A, B, C là ba tập bất kỳ ta có: 
 2. Cho hàm số . Hãy tìm các hàm số và 
Câu 2 ( 4 điểm):
 1. Cho hàm số chẵn f xác định trên D. Biết rằng f đồng biến trên khoảng , hãy xác định chiều biến thiên của f trên khoảng 
 2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) với trên đoạn là bằng 1.
Câu 3 ( 5điểm):
 1.Giải và biện luận phương trình:, m là tham số.
 2. Chứng minh rằng nếu thì:.
Câu 4( 2 điểm):
 Cho hai điểm A, B phân biệt và hai số không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: 
 a) Nếu thì không tồn tại điểm M sao cho: .
 b) Nếu thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho: .
Câu 5 ( 5 điểm):
 1.Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ trong tam giác. Đặt: . Chứng minh rằng: .
 2.Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: ; trong đó a=BC, b=CA, c=AB là độ dài ba cạnh của tam giác ABC.
----Hết-----
 Hướng dẫn chấm môn Toán khối 10
 ( Hướng dẫn này có 4 trang)
Câu
ý
 Nội dung
Điểm
1
1
Chứng minh (1a): Ta chứng minh tập hợp ở VT là tập con của VP. Thật vậy: giả sử 
+ Nếu 
+Nếu 
Chiều ngược lại c/m tương tự.
(1b): C/m tương tự
1đ
1 đ
2
Ta có 
1 đ
1 đ
2
1
Giả sử . Thế thì . Từ giả thiết hàm số f đồng biến trên khoảng nên ta có . Mặt khác, f là hàm số chẵn nên . Do đó bất đẳng thức trên có nghĩa tức hàm số f nghịch biến trên khoảng 
1,5 đ
2
Hoành độ đỉnh của (P) đã cho là 
Ta có bảng biến thiên sau:
x
y
Ta xét ba trường hợp:
1) Trường hợp ; tức là , hay .Ta có: . Ta cần tìm m để GTNN ấy bằng 1 .( Loại)
2) Trường hợp (1). Lúc này hàm số đã cho đồng biến trên đoạn .Do đó . Chỉ có giá trị 
 thỏa mãn ĐK (1).Đây là một giá trị cần tìm.
3) Trường hợp (2). Lúc này hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn .Do đó . Chỉ có m = 2 thỏa mãn ĐK(2). Tóm lại các giá trị của m thỏa mãn ĐK là 
0,5 đ
1 đ
1 đ
3
1
Giải và biện luận phương trình: (1)
Ta xét hai trường hợp sau:
1) Với . Khi đó . Đối chiếu với ĐK ta có :
Nếu thì cả đều là nghiệm của (1). Nếu thì bị loại và chỉ có là nghiệm của (1). Nếu thì cả bị loại.
2) Với .Khi đó . Đối chiếu với ĐK ta có:
Nếu thì cả đều bị loại. Nếu thì bị loại chỉ có là nghiệm của (1). Nếu thì cả đều là nghiệm của (1).
1,5
1,5 đ
2
 Chứng minh rằng nếu thì: . (1)
Vì vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả thiết . Từ giả thiết ta có nên:. Mặt khác ta có :
. Từ (2) suy ra BDDT cuối cùng đúng. Vậy BĐT (1) được c/m.
1 đ
1 đ
4
a) Giả sử mà có điểm M sao cho suy ra:. Vậy không tồn tại M.
1 đ
b) Giả sử ,ta có .
Đẳng thức này chứng tỏ sự tồn tại và duy nhất điểm M, đồng thời chỉ ra cách dựng điểm M.
1 đ
5
1
A
B
A’
M
C
Gọi A’ là giao điểm của đường thẳng MA với BC. Ta có: . Nhưng 
Mặt khác: . Thay vào (*) ta được 
1 đ
1 đ
1 đ
2
Ta có: 
1 đ
1 đ