Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 và thành lập đội tuyển dự thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2011 Môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÀ THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2011
MÔN: TOÁN
Thời gian : 180 phút
Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình: 
Câu 2 (5 điểm)
 Cho dãy số () xác định bởi: 
 Tìm 
Câu 3 (5 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD.
a. Qua D kẻ các đường thẳng a, b, c sao cho a vuông góc với DA; b vuông góc với DB; c vuông góc với DC. Gọi A’,B’,C’ lần lượt là giao điểm của a và BC, b và CA, c và AB. Chứng minh ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng.
b.Giả thiết AB=AC=BD, AC và BD cắt nhau tại P. Gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABP. Chứng minh rằng nếu O khác I thì OI vuông góc với CD.
Câu 4 (3 điểm)
Cho 2 số nguyên dương m, n thoả mãn mn và mn là số chẵn. Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình: đều là các số nguyên nhưng không là số chính phương.
Câu 5 (3 điểm)
	 Trong mặt phẳng cho 26 điểm đôi một phân biệt nằm trong một tam giác đều cạnh bằng 1. Chứng minh rằng trong số 26 điểm đã cho tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 0,2.	
----------------------- HẾT -----------------------
Họ và tên thí sinh................................ Số báo danh.................................
Chữ kí giám thị số 1............................ Chữ ký giám thị số 2...................