Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2009 - 2010 đề thi môn: Toán (dành cho học sinh trường thpt chuyên Vĩnh Phúc)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1. Tìm tất cả các bộ ba số thực thỏa mãn hệ phương trình sau:
Câu 2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương sao cho y là số nguyên tố; 
 z không chia hết cho 3; z không chia hết cho y và .
Câu 3. Cho phương trình ẩn x:
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất
một nghiệm trong khoảng (0;1); kí hiệu nghiệm đó là .
Chứng minh rằng dãy số hội tụ và tìm .
Câu 4. Cho tứ giác lồi ABCD có . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia DA lấy điểm F sao cho . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của AC.
Câu 5. Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện . 
 Chứng minh rằng: .
-------------------------Hết--------------------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: ..