Kỹ năng Tích phân từng phần

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Nhóm kỹ năng: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
I- LÝ THUYẾT: 
 1) Định lí: 
 Nếu ( )u u x= và ( )v v x= là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn K thì: 
 / / ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d = -ò òu x v x x u x v x u x v x x 
 Viết gọn lại: 
 d . d = -ò òu v u v v u 
Chú ý: Trong kỹ thuật đặt ( ), ( )u x v x trong tích phân từng phần thì tiến hành đặt: “cái gì là 
dv ” là hợp lí nhất? Tức là: chọn được ( )v x gọn gàng và nhanh! 
II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN: 
DẠNG 1: 
sin
( ) d
b
a
x
I f x x
cosx
= ò , trong đó ( )f x : đa thức. 
Phương pháp: 
 Đặt 
ì = Þ =ï
í
= =ïî ò
/( ) d ( )d
d sin d chän: sin d
u f x u f x x
v x x v x x
Ví dụ 1: Tính tích phân: ( )
p
= +ò
2
2
0
2 sin dI x x x x 
Gợi ý: ( )ì = + Þ = +ïí
= = -ïî
2 2 d 2 2 d
d sin d chän: cos
u x x u x x
v x x v x
Lúc đó: ( ) ( )
pp
= - + + + = +ò
2
2
1 2
0
2 cos 2 2 cos d2
0
I x x x x x x I I 
* Tính ( )
p
= - + =21 2 cos 02
0
I x x x . 
* Tính ( )
p
= +ò
2
2
0
2 2 cos dI x x x . Đặt 
= + Þ =ì
í = =î
2 2 d 2d
d cos d chän: sin
u x u x
v x x v x
 ( ) ( )
p pp
Þ = + = + -ò ò
2 2
2
0 0
2 2 cos d 2 2 sin 2 sin d2
0
I x x x x x x x 
 ( ) ( )
p p
p p= + + = + - =2 2 sin 2cos 2 22 2
0 0
x x x 
Lúc đó: p= + =1 2I I I . 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Ví dụ 2: Tính tích phân: 
p
+
= ò
3
2
0
sin
d
cos
x x
I x
x
Gợi ý: Biến đổi: 
p p p
+
= = + = +ò ò ò
3 3 3
1 22 2 2
0 0 0
sin sin
d d d
cos cos cos
x x x x
I x x x I I
x x x
* Tính ( ) ( ) ( )
p p pp p p
p
= = = - = + = -ò ò ò
3 3 3
1 2
0 0 0
3
d d tan tan tan d tan ln cos ln 23 3 3
cos 3
0 0 0
x
I x x x x x x x x x x
x
. 
* Tính ( ) ( )
p p p
= = = - = - - = -ò ò
3 3
2 2 2
0 0
sin 1 1
d d cos 2 1 13
cos cos cos
0
x
I x x
x x x
. 
Lúc đó: p p - -= + = - - =1 2
3 3 3 3ln2
ln2 1
3 3
I I I . 
Ví dụ 3: Tính tích phân: 
p
= ò
2
0
sin dI x x 
Gợi ý: Đặt = Þ = Þ =2 2 d dt x t x t t x p p= =Þ
= =
2 : 
0 : 0
x t
x t
Lúc đó: 
p
= ò
0
2 sin dI t t x . Đặt 
= Þ =ì
í = =î
2 d 2d
d sin d chän: cos
u t u x
v x x v x
Ta có: ( ) ( )
pp p p
p= - = - = -ò
0
2 .cos 2 cos d 2 .cos 2sin 2
0 0 0
I t t t t t t t 
Bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 
( ) ( )
p
p
p p
= = =
= + = =
ò ò ò
ò ò ò
12
2 2 2
1 2 3
0 0 0
2 2
3
4 5 6 3
0 0 0
1) sin .cos d 2) cos d 3) tan .d 
sin
4) cos sin d 5) sin ln d 6) d
cos
e
I x x x x I x x x I x x x
x x
I x x x x I x x I x
x
DẠNG 2: ( ). d
xb
x
a
e
I f x x
a
= ò , trong đó ( )f x : đa thức. 
Phương pháp: 
 Đặt 
ì = Þ =ï
í
= =ïî ò
/( ) d ( )d
d d chän: dx x
u f x u f x x
v e x v e x
Ví dụ 1: Tính tích phân: ( )= +ò
1
2 2
0
1 dxI x e x 
Gợi ý: 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Đặt 
( ) ( )ì = + Þ = +ï
í
= =ïî
2
2 2
1 d 2 1 d
1
d d chän: 
2
x x
u x u x x
v e x v e
. 
Lúc đó: ( ) ( ) ( )= + = + - + = -ò ò
1 1
2 22 2
1 2
0 0
1
1 d 1 1 d
2 1
x x xeI x e x x e x e x I I 
* Tính ( ) -= + =21
11 4 1
1
2 20
x eI x e . 
* Tính ( )= +ò
1
2
2
0
1 dxI x e x . Đặt 
( )ì = + Þ =
ï
í
= =ïî
2 2
1 d d
1
d d chän: 
2
x x
u x u x
v e x v e
 ( ) ( ) ( )+ + - - -Þ = + = - = - = - =ò ò
2 21 1 2 2 2 2
2 2
2
0 0
1 11 1 11 2 1 1 3 1
1 d d
2 2 2 4 2 4 40 0 0
x x x
x xx e x e e e e eI x e x e x 
Lúc đó: - - - + -= - = - =
2 2
1 2
4 1 3 1 3 8 1
2 4 4
e e e e
I I I 
Ví dụ 2: Tính tích phân: 
p
= ò
2
cos
0
.sin2 dxI e x x 
Gợi ý: Ta có: 
p p
= =ò ò
2 2
cos cos
0 0
.sin2 d .2sin .cos dx xI e x x e x x x 
Đặt = Þ = -cos d sin dt x t x x 
: 0
2
0 : 1
x t
x t
p
= =
Þ
= =
Lúc đó: = - =ò ò
0 1
1 0
2 d 2 dt tI te t te t . Đặt 
= Þ =ì
í
= =î
2 d 2d
d d chän: t t
u t u t
v e t v e
( )Þ = = - = - = - - =ò ò
1 1
0 0
1 1 1
2 d 2 . 2 d 2 . 2 2 2 2 2
0 0 0
t t t t tI te t t e e t t e e e e 
Ví dụ 3: Tính tích phân: 
p
= ò
2
0
sin2 . dxI x e x 
Gợi ý: 
Đặt 
= Þ =ì
í
= =î
sin2 d 2cos2 d
d d chän: x x
u x u x x
v e x v e
Lúc đó: 
p pp
= = - = -ò ò
2 2
1 2
0 0
sin2 . d .sin2 2 cos2 . d 22
0
x x xI x e x e x x e x I I (*) 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
* Tính 
pp
p
æ ö
= = - =ç ÷
è ø
02
1 .sin2 sin sin0. 02
0
xI e x e e . 
* Tính 
p
= ò
2
2
0
cos2 . dxI x e x . 
= Þ =ì
í
= =î
cos2 d 2sin2 d
d d chän: x x
u x u x x
v e x v e
p p
pp æ ö
Þ = = - = - - -ç ÷
è ø
ò ò
2 2
2
2
0 0
cos2 . d .cos2 2 sin2 . d 1 22
0
x x xI x e x e x x e x e I 
Thay vào (*):
p
p p pé ùæ ö +
= - = - - - - = + + Û - = + Û = -ê úç ÷
ê úè øë û
2
2 2 2
1 2
2 2
2 0 2 1 2 2 2 4 3 2 2
3
e
I I I e I e I I e I 
Bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 
( )
( )
p
p
p
+
-
= = =
= = + + =
ò ò ò
ò ò ò
2
4
ln
1 2 3
1 0 0
1 0 1
2 2 33
4 5 6
0 1 0
1) d 2) 5 sin2 d 3) cos ln d 
4) sin d 5) ( 1) 6) .
e e
x x x
x x x
I e x I e x x I x x
I e x x I x e x dx I x e dx
DẠNG 3: 
ln
( ) d
log
b
aa
x
I f x x
x
= ò , trong đó ( )f x : đa thức. 
Phương pháp: 
 Đặt 
ì = Þ =ï
í
ï = =î ò
1
ln d d
d ( )d chän: ( )d
u x u x
x
v f x x v f x x
Ví dụ 1: Tính tích phân: ( )= +ò
1
2
0
ln 1 dI x x x 
Gợi ý: Đặt = + Þ =2 1 d 2 dt x t x x . 
1: 2
0 : 1
x t
x t
= =
Þ
= =
Lúc đó: = ò
2
1
1
ln d
2
I t t . Đặt 
ì = Þ =ï
í
ï = =î
1
ln d d
d d chän: 
u t u t
t
v t v t
æ ö -Þ = = - =ç ÷
è ø
ò ò
2 2
1 1
21 1 1 2 ln 2 1
ln d ln . d
2 2 21
I t t t t t t
t
Ví dụ 2: Tính tích phân: = ò
1
ln
d
e x
I x
x
Gợi ý: Đặt = == Þ = Þ = Þ
= =
2 : 2 d d 
1: 1
x e t e
t x t x t t x
x t
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Lúc đó: ( )æ ö= = = - = - - = +ç ÷ç ÷è øò ò ò
2
1 1 1
ln
2 d 4 ln d 4 ln d 4 ln 1 1
1
e e et e
I t t t t t t t e e e e
t
Ví dụ 3: Tính tích phân: ( )= -ò
3
2
2
ln dI x x x 
Gợi ý: 
Cách 1: Ta có: ( ) ( ) ( )= - = - = + - = +ò ò ò ò
3 3 3 3
2
1 2
2 2 2 2
ln d ln 1 d ln d ln 1 dI x x x x x x x x x x I I 
* Tính = = - = - -ò ò
3 3
1
2 2
3
ln d ln d 3ln3 2 ln2 1
2
I x x x x x . 
* Tính ( )= -ò
3
2
2
ln 1 d .I x x Đặt ( )
ì = - Þ =ï
-í
ï = =î
1
ln 1 d d
1
d d chän: 
u x u x
x
v x v x
( ) ( ) ( ) æ öÞ = - = - - = - - +ç ÷- -è øò ò ò
3 3 3
2
2 2 2
3 3 1
ln 1 d .ln 1 d .ln 1 1 d
1 12 2
x
I x x x x x x x x
x x
( ) ( ) [ ]é ù= - - + - = - + - = -ë û
3 3
 . ln 1 ln 1 3ln2 3 ln2 2 2 ln2 1
2 2
x x x x . 
Lúc đó: ( )= + = - - + - = -1 2 3ln3 2 ln2 1 2 ln2 1 3ln3 2I I I 
Cách 2: Đặt ( )
-ì = - Þ =ï
-í
ï = =î
2
2
2 1
ln d d
d d chän: 
x
u x x u x
x x
v x v x
Ta có: ( ) ( ) ( )- -= - = - - = - - = -
- -ò ò ò
3 3 3 2
2 2 2
1 22 2
2 2 2
3 32 1 2
ln d .ln . d d . ln d
2 2
x x x
I x x x x x x x x x x x x x I I
x x x x
* Tính ( )= - = -21
3
.ln 3ln6 2 ln2
2
I x x x . 
* Tính -=
-ò
3 2
2 2
2
2
d
x x
I x
x x
. 
Phân tích: 
( )-- - æ ö= + + = + + -ç ÷- - - - -è ø
/22
2 2 2 2
2 1 2 1 1 1 1 1 1 1
2 . . 2 . .
2 2 2 2 1
x xx x x
x x x x x x x x x x
( )
( )
é ù-- æ öê úÞ = = + + -ç ÷ê ú- - -è øë û
-
= + - + = + - = +
ò ò
/23 32
2 2 2
2 2
2
2 1 1 1 1
d 2 . . d
2 2 1
31 1 1
 2 ln ln 2 ln 1 2 ln 2
2 2 2
x xx x
I x x
x x x x x x
x
x x x x x
x
Suy ra: ( ) ( )= + = - - + = -1 2 3ln6 2 ln2 2 ln2 3ln3 2I I I . 
Nhận xét: Cách giải 1 tối ưu và khoa học hơn. Nhưng rõ ràng, cách giải 2 là một phương án chấp nhận 
được!! 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Ví dụ 4: Tính tích phân ( )
2
3
0
cos . ln 1 cos .d
p
= +òI x x x 
Gợi ý: 
( )
( ) ( )
22 2
3
0 0
2
sin
ln 1 cos d d
§Æt 1 cos
cos d d chän sin
sin
Lóc ®ã: cos . ln 1 cos .d sin ln 1 cos d2
1 cos
0
1 cos
1 cos
p pp
ì = + Þ =ï
+í
ï = =î
= + = + -
+
-
= -
+
ò ò
x
u x u x
x
x x v v x
x
I x x x x x x
x
x ( ) ( )
2 2
0 0
2
d 1 cos d sin 2
2
0
p p p
p-
= - - = - =ò òx x x x xx
Bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 
( )
( )
22 2
1 2 3
1 1 0
2
4 5 22
11
1
1) ln d 2) ( 2).ln d 3) sin . ln 1 sin .d 
ln(1 ) ln 3 ln
4) d 5) d 6) 
(1
p
+
= = - = +
+ +
= = =
+
ò ò ò
ò ò
e
e
e
x
I x x I x x x I x x x
x
x x x
I x I x I
x xx
3
2
1
d
1)+ò x