Kiến thức – kỹ năng giải các dạng toán cơ bản ôn thi tốt nghiệp: Phương pháp tọa độ trong không gian

Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
15 
Bài 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d: 
  
 
  
   
1 x=2-2t'
2 3 , d': y=-2+t'
3 z=9+3t'
x t
y t
z t
 Giải 
Gọi H là giao điểm của d và d’. Xét hệ phương trình: 
   

   
   
1 2 2 ' (1)
2 3 2 ' (2)
3 9 3 ' (3)
t t
t t
t t
Giải hệ pt gồm pt (1) và (2): 
        
   
         
1 2 2 ' 2 ' 1 1
2 3 2 ' 3 ' 4 ' 1
t t t t t
t t t t t
Thế t = −1 và t’= 1 vào pt (3): 3−1=9+3.t (vô lí). Vậy: d và d’ không cắt nhau. 
Cần nhớ: 
Hệ phương trình: 
   

   
   
1 2 2 ' (1)
2 3 2 ' (2)
3 9 3 ' (3)
t t
t t
t t
 có hai ẩn là t và t’. Nghiệm của hệ pt là cặp giá 
trị t, t’ thỏa cả ba pt (1), (2), (3). Để tìm t, t’ ta có thể giải hệ gồm pt (1) và (2) hoặc (1) 
và (3) hoặc (2) và (3). Rồi thế t và t’ vào pt còn lại. 
phương trình mặt cầu 
Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R 
Dạng 1: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (S) 
Dạng 2: x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (Điều kiện: a2 + b2 + c2 – d > 0) 
khi đó tâm I(a; b; c), bán kính R= 2 2 2a b c d   
Vị trí tương đối giữa mặt phẳng () và mặt cầu (S) tâm I, bán kính R: 
1) d[I, ()] > R: ()  (S) =  
2) d[I, ()] = R: () (S) = M (M gọi là tiếp điểm) 
*Điều kiện để mặt phẳng  tiếp xúc mặt cầu (S): d[I, ()] = R ( tại M khi đó n

= IM

) 
3) d[I, ()] < R: () cắt (S) theo đường tròn giao tuyến (C) có phương trình là giao của 
 và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau: 
a. Tìm r = 2 2[ , ( )]R d I  
b. Tìm H là hình chiếu của I trên () 
 Viết phương trình đường thẳng  qua I, vuông góc với () 
  H =   () (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  với ()). 
−−−−−−−−−Hết−−−−−−−−− 
Chúc các em ôn tập tốt, đạt kết quả cao trong các kỳ thi. 
Hồ Văn Hoàng 
 
Kiến thức – Kỹ năng giải 
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 
ÔN THI TỐT NGHIỆP 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
TRONG KHÔNG GIAN 
(Lưu hành nội bộ) 
2011
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
1 
Tóm tắt lý thuyết 
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ 
 Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba 
vectơ đơn vị , ,i j k
  
  1i j k  
  
. 
  1 2 3 1 2 3; ;a a a a a a i a j a k    
    
; 
 M( x; y; z) OM xi y j zk  
   
 Tọa độ của vectơ: cho ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z 
 
1. '; '; 'u v x x y y z z    
 
2.  '; '; 'u v x x y y z z    
 
3. ( ; ; )ku kx ky kz

 4. . ' ' 'u v xx yy zz  
 
5. ' ' ' 0u v xx yy zz    
 
 6. 2 2 2u x y z  

7. ,u v
 
cùng phương[ , ] 0u v 
  
 x: y: z = x’: y’: z’. 9.   .cos ,
.
u v
u v
u v

 
 
  . 
 Tích có hướng cho 1 2 3 1 2 3( ; ; ) ,b ( ; ; )a a a a b b b 
 
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
, ; ; ( ; ; )
b b b b b b
n a b a b a b a b a b a b a b
 
          
 
  
Nếu (P) có cặp vtcp ,ba
 
 (không cùng phương và có giá // (P) hoặc  (P) ) 
 thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định ,pn a b   
  
 Tọa độ của điểm: cho A( xA; yA; zA), B( xB; yB; zB) 
 1. ( ; ; )B A B A B AAB x x y y z z   

 2. 2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z      
3.G là trọng tâm  ABC: xG=
3
A B Cx x x  ;yG=
3
A B Cy y y  ; zG=
3
A B Cz z z  
4. M chia AB theo tỉ số k: ; ; ;
1 1 1
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
  
  
  
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; ; .
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x zy
  
   
5. ABC là một tam giác AB AC
 
 0

 khi đó S=
1
2
AB AC
 
6. ABCD là một tứ diện AB AC
 
. AD

0, VABCD=  1 ,
6
AB ADAC
  
, 
 1; 0; 0i

 0;1; 0j

 0; 0; 1k

O 
z 
x 
y 
Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
14 
Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. 
 Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau   
 
  
, ' . 0a a AB . 
Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: 
  

 
 
2
3
4
x t
y t
z
 và d’: 
  


  
7
8
9
x t
y
z t
 chéo nhau. 
 Đường thẳng d qua điểm A(2;3;4) có vectơ chỉ phương là   

1;1; 0a . 
 Đường thẳng d qua điểm B(7;8;9) có vectơ chỉ phương là   

' 1; 0;1a . 
 Tính        
  
, ' 1;1;1 , 5;5;5a a AB        
 
  
, ' . 1.5 1.5 1.5 15 0a a AB . 
 Vậy: d và d’ chéo nhau. 
Bài 2: Chứng minh d: 
 
 

1 2
2 2 1
x y z
và d’: 
 
 
 
5 4
2 3 1
x y z
 chéo nhau. 
 Đường thẳng d qua điểm A(1;2;0) có vectơ chỉ phương là   

2; 2;1a . 
 Đường thẳng d qua điểm B(0;−5;4) có vectơ chỉ phương là    

' 2;3; 1a . 
          
  
, ' 1;0;2 , 1; 7;4a a AB                
  
, ' . 1 1 0. 7 2.4 9 0a a AB . 
 Vậy: d và d’ chéo nhau. 
Cần nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng ta CM   
 
  
, ' . 0a a AB . 
Dạng 5: Tìm giao điểm của hai đường thẳng. 
Bài 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d: 
  
 
  
   
1 x=2-2t'
2 3 , d': y=-2+t'
3 z=1+3t'
x t
y t
z t
 Gọi H là giao điểm của d và d’. Xét hệ phương trình: 
   

   
   
1 2 2 ' (1)
2 3 2 ' (2)
3 1 3 ' (3)
t t
t t
t t
Giải hệ pt gồm pt (1) và (2): 
        
   
         
1 2 2 ' 2 ' 1 1
2 3 2 ' 3 ' 4 ' 1
t t t t t
t t t t t
 Thế t = −1 và t’ = 1 vào pt (3): 3−(−1)=1+3.t (thỏa). 
Thế t = −1 vào pt d: 
   

      
    
1 1 0
2 3( 1) 1 (0; 1; 4)
3 ( 1) 4
x
y H
z
Cần nhớ: Nếu thế t = −1 và t’ = 1 vào (3) mà không thỏa thì d không cắt d’. 
 Ta có thể thế t’=1 vào pt của d’ để tìm tọa độ điểm H. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
13 
Dang 2: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đt và điểm đối xứng với điểm qua đt. 
 Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d: 
  

  
  
1 2
1
x t
y t
z t
. 
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d. 
2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d. 
 Bài giải 
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d. 
Gọi (P) là đường thẳng qua A(−2;1;0) và vuông góc với d. 
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là    
 
2;1; 1
P d
n a . 
(P):                 1 1 1 1 8 0 2 5 0x y z x y z 
Gọi H là giao điểm của d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc của A lên d. 
 hình chiếu vuông góc của A lên d là H(−1;−2;1). 
2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d. 
Do A và A’ đối xứng nhau qua d nên H là trung điểm của AA’. 
Áp dụng công thức trung điểm tìm A’(−3; −5; −6) 
Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(−3;−5;−6). 
Dạng 3: Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng(bốn đỉnh của một tứ diện). 
Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng    
 
  
, . 0AB AC AD . 
Bài 1: Cho bốn điểm A(−1;−2;0), B(2;−6;3), C(3;−3;−1), D(−1;−5;3). 
1. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. 
 Tính            
  
3; 4;3 , 4; 1; 1 , 0; 3;3AB AC AD . 
 Tính               
    
, 7;15;13 , , . 45 39 6AB AC AB AC AD . 
 Vậy: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. 
2. Tính thể tích tứ diện ABCD. 
Thể tích tứ diện ABCD:     
 
  1 1
, . 6 1
6 6ABCD
V AB AC AD 
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh rằng OABC là một 
tứ diện, tính thể tích tứ diện OABC. 
 Giải 
Chứng minh OABC là một tứ diện. 
 − Tính        
  
1;0; 0 , 0;1;0 , 0;0;1OA OB OC 
 − Tính             
    
, 0; 0;1 , , . 0.0 0.0 1.1 1 0OA OB OA OB OC . 
 − Vậy: OABC là một tứ diện. 
Thể tích tứ diện ABCD:    
 
  1 1 1
, . 1
6 6 6ABCD
V OA OB OC 
.  A  A/  
H 
P) 
(d) 
Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
2 
Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng. 
1. Kiến thức cần nhớ: − 
 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ 

0n được gọi là vectơ pháp tuyến của 
mp(P) nếu giá của 

n vuông góc với (P), viết tắt là 

( )n P . 
 Nếu hai vectơ 
 
, a b không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì 
mp(P) có một vectơ pháp tuyến là:  
 
  
,
P
n a b . 
 Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với   2 2 2 0A B C 
 Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm 
0 0 0
( ; ; )M x y z có vectơ pháp tuyến 
 

; ;
P
n A B C có dạng:           0 0 0 0A x x B y y C z z . 
Nhớ Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm: 
 



 0 0 0
 ñieåm ( ; ; ) thuoäc mp
moät VTPT ; ; 
moät M x y z
n A B C
2. Các dạng toán. 
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua một điểm 
0 0 0
( ; ; )M x y z và vuông góc 
với đường thẳng d.



  0 0 0
 ñi qua ( ; ; )
HD
P d
Ñieåm M x y z
VTPT n a
Nhớ: mặt phẳng vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đường thẳng làm VTPT. 
 Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;−1) và vuông góc với d: 
  

 
 
1 2
3
2
x t
y t
z
Bài giải



 
 ñi qua A(2;2-1)
HD
P d
Ñieåm
VTPT n a
Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;−1); có vectơ pháp tuyến là    
 
2; 3;0
P d
n a . 
(P):                    2 2 3 2 0 1 0 2 4 3 6 0 2 3 2 0x y z x y x y 
Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;−1) và vuông góc với đường thẳng 
d: 
 
 

1 2
1 2 2
x y z
. Bài giải



 
 ñi qua A(2;2-1)
HD
P d
Ñieåm
VTPT n a
Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;−1); có vectơ pháp tuyến là    
 
1;2; 2
P d
n a . 
(P):                        2 2 2 2 1 0 2 2 4 2 2 0 2 2 8 0x y z x y z x y z 
Nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ 

d
a làm vectơ pháp tuyến. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
3 
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). 
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC. 
 Bài giải



 
 ñi qua B(0;2;0)
HD
P
Ñieåm
VTPT n AC
Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0); có vectơ pháp tuyến là    
 
2; 0;2
P
n AC . 
 (P):                0 0 2 2 0 0 x + 2z = 0 x+z=0x y z 
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ 

AC làm vectơ pháp tuyến. 
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B. 
 Bài giải



 
 ñi qua B(0;2;0)
HD
P
Ñieåm
VTPT n BC
Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0); có vectơ pháp tuyến là    
 
0; 2;2
P
n BC . 
 (P):                0 2 2 2 0 0 y+4+2z=0 y+2z+4=0x y z 
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ 

BC làm vectơ pháp tuyến. 
Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt 
phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. 
Bài giải



 
 ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2)
HD
P
Ñieåm ...  1 3 0 2 2 4 3 0 2 9 0x y z x y z x y z 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
5 
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua 
điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC) 
 Bài giải

     
   
 ñi qua M
 ,
HD
P ABC
Ñieåm
VTPT n n AB AC
Mặt phẳng (P) qua M(1;2;3); có vectơ pháp tuyến là   
 
   
,
P ABC
n n AB AC = (1;1;1) 
(P):                        1 1 2 1 3 0 1 2 3 0 6 0x y z x y z x y z 
Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy). 
 Bài giải
 

      
   
 ñi qua M(1;2;3)
 , 0;0;1
HD
P
Ñieåm
VTPT n i j k
. (P): z – 3 = 0. 
Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz). 
Bài giải
 

      
   
 ñi qua M(1;2;3)
 , 0;1;0
HD
P
Ñieåm
VTPT n i k j
.(P): y – 2 = 0. 
Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz). 
Bài giải
 

      
   
 ñi qua M(1;2;3)
 , 1;0;0
HD
P
Ñieåm
VTPT n j k i
; (P): x – 1 = 0. 
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và 
vuông góc với mp(Q) 

    
  
 ñi qua A
 ,
HD
P Q
Ñieåm
VTPT n AB n
Bài 1: Viết pt mp(P) qua A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với (Q): 2x−y+3z−1=0 
Bài giải

    
  
 ñi qua A
 ,
HD
P Q
Ñieåm
VTPT n AB n
Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;−1). Cặp vectơ chỉ phương là: 
       
 
1; 2;5 ; 2; 1;3
Q
AB n  vectơ pháp tuyến là      
  
: , 1;13;5
P Q
n AB n 
(P):                  3 13 1 5 1 0 13 5 5 0x y z x y z 
Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mp(Oxy) 
Bài giải

    
  
 ñi qua A
 ,
HD
P
Ñieåm
VTPT n AB k
. (P): −2x + y + 5 = 0. 
Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz) 
Bài giải

    
  
 ñi qua O
 ,
HD
P
Ñieåm
VTPT n OA i
; (P): y – z = 0. 
Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
10 
 Cách 1: 
 
 vaø a' cuøng phöông doa  
1 1 1
2 2 2
. 
     
   
    
 2: Do ' =2 a neân vaø a' cuøng phöông.
Caùch 3: Do ,a' 0;0; 0 0 neân vaø a' cuøng phöông.
Caùch a a
a a
+ Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d nhưng không thuộc d’. 
 Thế tọa độ điểm A vào pt của d’: 
  
 
     
     
0 2 0
2 2 2 2
1 5 2 3
t t
t t
t t
 suy ra A không thuộc d’. 
 Vậy: d và d’ song song với nhau. 
Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm A vào d’ 
  

 
 t baèng nhau A d'
ba t khoâng baèng nhau A d'
ba
. 
Đề thi Tốt nghiệp năm 2008. 
Cho điểm M(−2;1;−2) và đt d: 
 
 

1 1
2 1 2
x y z
. CMR: OM song song d. 
Đường thẳng OM qua điểm O(0;0;0) có vectơ chỉ phương:    

2;1; 2OM . 
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương:   

' 2; 1;2a . 
Ta có: 
 
 vaø a cuøng phöông doOM
 
   

2 1 2
1
2 1 2
 Thế tọa độ điểm O vào pt của d ta có: 
 
 

0 1 0 1 0
2 1 2
 (sai)  O  d 
 Vậy: OM song song đường thẳng d. 
Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm O vào d 
  

 
 phaân soá baèng nhau d
 phaân soá khoâng baèng nhau d
ba
ba
. 
Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: 
Ta chứng minh 
 
. 0a n và một điểm thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mp. 
Bài 1: Chứng minh đường thẳng d: 
  

 
  
1 2
2 3
3 6
x t
y t
z t
song song mp(P): 3x + 4y + z – 9 = 0 
Đường thẳng d qua A(1;2;3) có vectơ chỉ phương:    

2;3; 6a . 
MP(P) có vectơ pháp tuyến:  

3; 4;1n . Ta có:     
 
. 2.3 3.4 6.1 0a n . 
Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d nhưng không thuộc (P). Vậy: d // (P). 
Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vô hướng của VTCP và 
VTPT bằng 0 và một điểm thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mp.. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
9 
 Bài giải 
Pt tham số của AB là: 
     
 
     
     
0
0
0
0
2 3
1 2
x x at x t
y y bt y t
z tz z ct
. Tương tự t = − 1  H(−1; 5; −1) 
Bài 4: Cho ba điểm A(1;0;0). B(0;1;0), C(0;0;1). Xác định hình chiếu vuông góc 
của A lên BC. 
 Bước 1: Viết phương trình đường thẳng BC. 
 Bước 2: Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc BC. 
 Bước 3: Tìm giao điểm H của BC và (P), H chính là hình chiếu của A lên BC. 
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau: 
Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau  
 
'
. 0
d d
a a 
Bài 1: Cminh hai đường thẳng d: 
 

 
  
2 3
1 2
x t
y t
z t
 , d’: 
 

 
  
2
2 2
1 2
x t
y t
z t
 vuông góc với nhau 
 Đường thẳng d có vtcp   

1; 3;2a . Đường thẳng d’ có vtcp  

' 2;2;2a . 
Ta có:    
 
. ' 1.2 3.2 2.2 0a a . Vậy: d  d’. 
Bài 2: Cho điểm A(1;−3;2). Chứng minh OA d: 
 

 
  
2
2 2
1 2
x t
y t
z t
. 
Bài 3: Chứng minh đường thẳng d: 
 

 
  
2
2 8
1 9
x
y t
z t
 vuông góc với trục Ox 
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau. 
Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương và 
một điểm thuộc đường thẳng này nhưng không thuộc đường thẳng kia. 
Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: 
 

 
  
2
1
x t
y t
z t
 // d’: 
 

  
   
2
2 2
3 2
x t
y t
z t
 . 
 Bài giải 
Đường thẳng d qua điểm A(0;2;1) có vectơ chỉ phương:  

1;1;1a . 
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương:  

' 2;2;2a . 
+ Ta chứng minh hai VTCP cùng phương: 
Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
6 
Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng. 
1. Kiến thức cần nhớ: 
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có giá song song với đt hoặc trùng với đt. 
Đường thẳng d qua điểm 
0 0 0
( ; ; )M x y z có vectơ chỉ phương  

; ;
d
a a b c : 
Có phương trình tham số: 
  

 
  
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
. 
Có phương trình chính tắc: 
  
  0 0 0 , a.b.c 0
x x y y z z
a b c
Cần nhớ: Để viết pt đường thẳng ta tìm: 
 



 0 0 0
 ñieåm ( ; ; ) thuoäc ñöôøng thaúng
moät VTCP ; ; 
d
moät M x y z
a a b c
2. Các dạng toán. 
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B. 
Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là vectơ 

AB . 
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4). 
Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3); có vectơ chỉ phương là: 
 
AB
a AB =(1;−1;1). 
- Pt tham số của AB là: 
  

 
  
1
2
3
x t
y t
z t
. 
Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. 
Viết phương trình đường thẳng OG. 
Ta có G(2;3;4). Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0); có vectơ chỉ phương là: 

 
OG
a OG =(2;3;4). Pt tham số của OG là: 
 


 
2
3
4
x t
y t
z t
. 
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P). 

d
VTCPa = VTPT 

P
n 
Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và  (P): x − 2y – z – 1 = 0. 
Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3); có vectơ chỉ phương là: 
 
d P
a n =(1;−2;−1). 
- Pt tham số của d là: 
  

 
  
1
2 2
3
x t
y t
z t
. 
Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp làm VTCP. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
7 
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa 
độ và vuông góc mp(ABC). 
Bài giải

     
   
 ñi qua O
 ,
HD
d ABC
Ñieåm
VTCP a n AB AC
Đường thẳng d qua O(0;0;0); có vectơ chỉ phương là:   
 
   
,
d ABC
a n AB AC =(1;1;1). 
- Pt tham số của d là: 
 


 
x t
y t
z t
. 
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy). 
Bài giải

     
   
 ñi qua M
 ,
HD
d
Ñieåm
VTCP a i j k
. Pt d:
 


  
1
2
3
x
y
z t
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz). 
Bài giải
 

      
   
 ñi qua M
 , 0;1;0
HD
d
Ñieåm
VTCP a i k j
.Pt tham số của d là: 
 

 
 
1
2
3
x
y t
z
. 
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz). 
Bài giải
 

      
   
 ñi qua M
 , 1;0;0
HD
d
Ñieåm
VTPCP a j k i
.Pt tham số của d là: 
  


 
1
2
3
x t
y
z
. 
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đ thẳng d’. 
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và // d’: 
  

 
  
1
2 3
3 4
x t
y t
z t
Bài giải



 
'
 ñi qua M
HD
d d
Ñieåm
VTCP a a
Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). có vectơ chỉ phương là: 
 
'
d d
a a =(1;−3;4). 
- Pt tham số của d là: 
     
 
     
     
0
0
0
1
2 3
3 4
x x at x t
y y bt y t
z tz z ct
. 
Bài 2: Viết phương trình d qua điểm M(1;2;3) và song song d’: 
 
 

12 23
1 3 4
x y z
Hình học 12  Hồ Văn Hoàng 
8 
Bài giải



 
'
 ñi qua M
HD
d d
Ñieåm
VTCP a a
. Pt tham số của d: 
  

 
  
1
2 3
3 4
x t
y t
z t
. 
Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;−3), C(3;−2;1). Viết phương trình đường thẳng 
d qua điểm A và song song với đường thẳng BC. 
Bài giải



 
 ñi qua A
HD
d
Ñieåm
VTCP a BC
. Pt tham số của d: 
  

 
  
1
2 3
3 4
x t
y t
z t
. 
Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox. 
Bài giải



 
 ñi qua A
HD
d
Ñieåm
VTCP a i
. Pt tham số của d: 
  


 
1
2
3
x t
y
z
Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy. 
Bài giải



 
 ñi qua A
HD
d
Ñieåm
VTCP a j
. Pt tham số của d: 
 

 
 
1
2
3
x
y t
z
. 
Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz. 
Bài giải



 
 ñi qua A
HD
d
Ñieåm
VTCP a k
. Pt (d):
 


  
1
2
3
x
y
z t
. 
Các dạng toán khác. 
Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. 
Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d: 
   

  
  
1
1
2
x t
y t
z t
và mp(P): x + y − 2z – 4 = 0. 
Gọi H( x; y; z) là giao điểm của d và (P). Tọa độ H là nghiệm của hệ pt: 
   

  

 
   
1
1
2
2 – 4 0
x t
y t
z t
x y z
. Ta có −1 + t – 1 + t − 2(−2t) – 4 = 0  t = 1. Vậy H(0; 0; −2) 
Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển về dạng tham số. 
Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: 
 
 

1 1
1 1 2
x y z
và mp(P):x+y−2z−4=0. 
Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;−1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0. Tìm giao điểm của 
đường thẳng AB và mp(P). 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.