Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức am-Gm (cauchy)

Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 
Chuyên đề BĐT cauchy 1 
KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 
AM-GM (CAUCHY) 
 Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số. 
Đối với một số BĐT đồng dạng không đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị 
của các biến tướng ứng không bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài 
toán BĐT (hay cực trị) dạng không đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản 
nhất chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi). 
Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để 
tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình 
xác định chúng có nghiệm. 
 Moät soá baát ñaúng thöùc cô baûn 
 Baát ñaúng thöùc Cauchy 
Cho n soá thöïc khoâng aâm 
1 2
, ,..., ( 2)na a a n ta luoân coù 
1 2
1 2
...
n n
n
a a a
a a a
n

. Daáu “=” xaûy ra khi vaø chæ khi 
1 2 na a a . 
 Moät vaøi heä quaû quan troïng: 
 2
1 2
1 2
1 1 1
( ) vôùi 0, 1,n i
n
a a a n a i n
a a a
  
2
1 2 1 2
1 1 1
vôùi 0, 1,i
n n
n
a i n
a a a a a a


 Cho 2n soá döông ( , 2n Z n ): 
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,n na a a b b b ta coù: 
1 1 2 2 1 2 1 2
( )( )...( ) ... ...n n nn n n na b a b a b a a a b b b 
Bài toán mở đầu: 
VD1. Cho . Ta có . Khi đó ta có hệ quả với thì 
Rõ ràng với bài toán trên là kết quả của BĐT Cauchy. 
Nếu thay điều kiện bởi hay hay  thì lời giải bài toán như nào?? 
Bài 1: Cho 3a . Tìm Min của 
a
aS
1
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 
Chuyên đề BĐT cauchy 2 
Bình luận và lời giải : 
+Sai lầm : 
+Nguyên nhân : 
điều này mâu thuẫn với giả thiết 3a 
+Xác định điểm rơi : 
Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và 
3
3
10
min aS . Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau 
nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số 
a
 và 
1
 phải bằng nhau. 
Với a=3 cho cặp số 
+Lời giải đúng : 
Đẳng thức xãy ra 3a 
Bài 2: Cho 2a .Tìm Min của 
2
1
a
aS 
+Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số 
2min2
1
.2
1
S
a
a
a
aS
1
1
2min
a
aS
9
3
13
3
11
3
a
a
3
10
3
10
9
3.81
.
9
2
9
81
9
1
MinS
a
aa
a
a
a
aS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 
Chuyên đề BĐT cauchy 3 
+Sai lầm : 
Với a=2 thì 
4
9
min S 
+Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu 2a thì 
4
2
8
2
a
 là đánh giá 
sai “ 
Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số 
+Lời giải đúng : 
Đẳng thức xãy ra 2a 
Bài 3: Cho 
1
0,
ba
ba
.Tìm min của 
ab
abS
1
+Sai lầm : 
8
4
12
4
11
2
2a
a
4
9
8
2.7
2.8
2
8
7
8
2
8
71
.
8
2
8
71
8
1
222
a
a
a
a
aa
a
a
a
aS
4
9
Smin
4
9
8
2.61
.
8
.
8
3
8
61
88
1
3
222 a
aaa
a
aa
a
aS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 
Chuyên đề BĐT cauchy 4 
+Nguyên nhân : 
(vô lí ) 
+Lời giải đúng : 
Đặt 
điều này dẫn đến một bài toán mới 
Cho 4t .Tìm min của 
t
tS
1
Với 
Ta có : 
Với 4t hay 
2
1
ba thì 
4
17
min S 
Lời giải bài 3: 
Do 
2Smin2
1
ab
abS
2
1
1
2
1
2
1
1
2min
ba
ab
ab
abS
4
2
111
2
baab
t
ab
t
16
4
14
4
11
4
4
t
t
t
4
17
16
4.151
.
16
2
16
151
16
1
t
tt
t
t
t
tS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 
Chuyên đề BĐT cauchy 5 
nên 
Đẳng thức xãy ra 
2
1
ba 
Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn 
2
3
cba .Tìm min 
+Sai lầm : 
+Nguyên nhân : 
trái với giả thiết . 
+Xác định điểm rơi : 
2
1
4 bat
4
17
min
4
17
2
16
15
16
1
.2
16
15
16
11
2
S
baab
ab
abab
ab
ab
abS
2
2
2
2
2
2 111
a
c
c
b
b
aS
23min238.3
1
.2
1
.2
1
.23
1
.
1
.
1
3 66
2
2
2
2
2
23
2
2
2
2
2
2 S
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
aS
2
3
31
111
23min cba
cba
cbaS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 
Chuyên đề BĐT cauchy 6 
+Lời giải đúng : 
Với 
2
1
cba thì 
2
173
min S . 
Bài 5: Cho a,b,c>0 và 2032 cba .Tìm min của 
16
4
4
1
4111
4
1
2
1
222
222
cba
cba
cba
2
173
3
222
2
173
)2.2.2(2
173
16
1
.173
161616
17
16
.17
16
.17
16
.17
16
1
...
16
1
16
1
...
16
1
16
1
...
16
1
17
1517 5
17
5558
17
168
17
168
17
168
17
3216
2
17
3216
2
17
3216
2
16
22
2
16
22
2
16
22
2
cbacbacba
a
c
c
b
b
a
b
a
b
a
b
a
aa
c
cc
b
bb
aS
      
cba
cbaS
4
2
93
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 
Chuyên đề BĐT cauchy 7 
Lời giải : Ta dự đoán được S=1 tại điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 .Sử dụng BĐT Cauchy ta có :
 (1) 
Mà 
 (2) 
 Cộng (1) và (2) vế theo vế được 
Đẳng thức xãy ra 4,3,2 cba 
* Baøi taäp töông töï: 
Bài 6: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Bài 7: Cho a,b,c>0 và a=max{a,b,c} . Tìm min của 
8
4
2
93
424
3
2
16
4
1
3
9
2
1
3
4
4
3
8
16
.2
16
6
9
.2
9
4
4
.2
4
cba
cba
c
c
b
b
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
5
4
3
24
2032
cba
cba
13min13 SS
8;12
0,,
bcab
cba
2
1218111
2)(
abccabcab
cbaS
3 1312
a
c
c
b
b
a
S
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 
Chuyên đề BĐT cauchy 8 
Bài 8: Cho tam giác ABC .Tìm min của 
 Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm min của 
Baøi 10. Cho 
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z
. Tìm GTLN cuûa 
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
. 
Lời giải 
Sai lầm 1: 
Ta coù 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10
9 2 9 2 9 2 18 9
P
x y z x y z x y z x y z
10
9
MaxP 
Sai lầm 2: 
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
3 3 2 3 3 2 3 3 2 93 2 3 .2 3 2
P
x y z x y z x y zxyz x yz xy z
 Nguyeân nhaân sai laàm: Caû hai lôøi giaûi treân ñeàu ñaõ bieát höôùng “ñích” song chöa bieát choïn ñieåm 
rôi. 
2
2
10
( )2
9
1 1 1
4
x y z
y x z
MaxP vnz x y
x y z
, töùc laø khoâng toàn taïi 
10
( , , ) :
9
x y z D P 
Lôøi giaûi ñuùng: Töø hai lôøi giaûi treân vôùi döï ñoaùn MaxP ñaït ñöôïc taïi 
4
3
x y z neân taùch caùc 
soá 2x x x ra cho daáu baèng xaåy ra. 
CBA
CBAT
sin
1
sin
1
sin
1
sinsinsin
A
C
C
B
B
AT
2
2
2
2
2
2
cos
1
sin
cos
1
sin
cos
1
sin
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 
Chuyên đề BĐT cauchy 9 
Caùch 1: Ta coù 
1 1 1 1 1 1 1
2 16x y z x x y z x x y z
, töông töï vaø ta coù: 
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1
16
P
x y z x y z x y z
, vaäy 1MaxP khi 
4
3
x y z . 
Caùch 2: Ta coù 4
24
1 1
2 4 . . .
2 4
x y z x x y z x x y z
x y z x yz
, maët khaùc: 
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
. . .
4 2 16x x y z x x y z x y z x y z
, töông töï ta coù: 
1 1 1 1
.4 1
16
P
x y z
. Daáu “=” xaûy ra khi 
1
4
x y z , suy ra: 
1MaxP khi
1
4
x y z . 
Ta có thể thể mở rộng bài toán 10. Thành bài toán tổng quát sau. 
Cho 
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z
. Tìm GTLN cuûa 
1 1 1
P
x y z x y z x y z
. 
Vôùi , , N