Câu I( 2,0 điểm): Cho hàm số: y = x+ 2/ x- 1 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
2. Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
SỞ GD&ĐT ĐỒNG THÁP TRƯỜNG THPT- TP CAO LÃNH ĐỀ CHÍNH THỨC -------------- KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN I NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN, KHỐI A,B Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I( 2,0 điểm): Cho hàm số: y=x+2x-1 (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. Câu II (2,0 điểm): Giải phương trình lượng giác. 23cos2x+2sin3xcosx-sin4x-33sinx+cosx=1 Giải hệ phương trình. x+y+1+1=4(x+y)2+3.x+y2x-y=32 Câu III(1,0 điểm): Tính tích phân sau. Câu IV(1,0 điểm): Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn abc=22 ,Chứng minh rằng: a6+b6a4+b4+a2b2+b6+c6b4+c4+b2c2+c6+a6c4+a4+c2a2≥4 Câu V(1,0 điểm): Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a2, BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng a3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng a31527. PHẦN RIÊNG (Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần A hoặc B) Theo chương trình chuẩn. Câu VIa(2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6 Câu VIIa(1,0 điểm): Xác định hệ số của x5 trong khai triển (2+x +3x2 )15 Theo chương trình nâng cao. Câu VIb(2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6 Câu VIIb(1,0 điểm):Giải phương trình: (9x- 2.3x- 3)log3(x-1)+log1327=23.9x+12-9x -------------------------------------------- HẾT------------------------------------------------ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 06 trang) Môn: TOÁN: KHỐI A,B CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I 2,0 1 1,0 TXĐ: D= R\{1} y’= -3(x-1)2<0 ∀x∈D Hàm số luông nghịch biến trên D và không có cực trị 0,25 Giới hạn: limx→1+x+2x-1 = +∞ limx→1-x+2x-1 = -∞ limx→∞x+2x-1 = 1 PT đường TCĐ: x=1; PT đường TCN: y=1 0,25 Bảng biên thiên: t -∞ 1 + ∞ f’(t) ∥ + f(t) 1 + ∞ - ∞ 1 0,25 Đồ thị: 0,25 2 1,0 Gọi k là hệ số góc của đt đi qua A(0;a). PT đt d có dạng y= kx+a (d) d là tiếp tuyến với ( C ) ⇔ hệ PT x+2x-1=kx+ak=-3(x-1)2 có nghiệm Pt (1-a)x2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1 0,25 Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x1 ; x2 phân biệt Đk là : a≠1Δ'=3a+6>0 ⇔ 1≠a>-2 (*) Khi đó theo Viet ta có : x1 +x2 = 2(a+2)a-1; x1.x2 = a+2a-1 0,25 . Suy ra y1 = 1+3x1-1 ; y2 =1+3x2-1 Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía của trục Ox thì y1.y2 <0 ⇔ (1+3x1-1) (1+3x2-1) < 0 ⇔x1.x2+2x1.+x2+4x1.x2-x1.+x2+1<0 0,25 Giải đk trên ta được ⇔ -(3a+2) -2/3 Kết hợp với đk (*) ta có 1 ≠ a>-2/3 0,25 II 2,0 1 1,0 ĐK: 3sinx+cosx≠0⇔cosx-π3≠0⇔x≠5π6+kπ, k∈Z 0,25 Với ĐK trên PT đã cho tương đương với 3cos2x+sin2x=3sinx+cosx⇔cos2x-π6=cosx-π3 ⇔2x-π6=x-π3+k2π2x-π6=-x-π3+k2π⇔x=-π6+k2πx= π6+k2π3;k∈Z 0,5 Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của pt đã cho là x=π6+k2π,x=3π2+k2π, k∈Z 0,25 2 1,0 Đặt : t = x + y ; ĐK: t ≥0 Giải PT: t+1+1=4t2+3.t⇔t+1-3t=4t2-1 0.25 ⇔1-2tt+1+3t=2t-12t+1 ⇔1-2t1t+1+3t+2t+1=0 ⇔t=12 0,5 Hệ đã cho trở thành x+y=122x-y=32⇔x=23y=-16 Vậy hệ dã cho có một nghiệm x=23y=-16 0,25 III 1,0 Đặt : t = tanx⇒dt=dxcos2x Đổi cận: x = π4⇒t=1 x = π3⇒t=3 0,5 Khi đó 0,5 IV 1,0 BĐT cần chứng minh tương đương với (a2+b2)(a4+b4-a2b2)a4+b4+a2b2+b2+c2(b4+c4-b2c2)b4+c4+b2c2+c2+a2(c4+a4-c2a2)c4+a4+c2a2≥4 Nhận xét: Do abc=22 nên a2,b2,c2 là các số thực dương 0,25 Xét : A = (x2+y2-xy)x2+y2+xy với x,y > 0 Chia tử và mẫu cho y2 và đặt t = xy ta được A = t2-t+1t2+t+1 với t > 0 Xét hàm số f(t) = t2-t+1t2+t+1 trên (0;+ ∞) Ta có : f’(t) = 2(t2-1)(t2+t+1)2=0⇔t=1 Bảng biên thiên: t 0 1 + ∞ f’(t) 0 + f(t) 1 1 13 Dựa vao bảng biến thiên ta có f(t) ≥ 13 với mọi t > 0 Từ đó A = (x2+y2-xy)x2+y2+xy≥13 với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nên x = y. 0,5 Do vai trò a2,b2,c2 là như nhau nên BĐT cần chứng minh tương đương 13(a2+b2)+13(b2+c2)+13(c2+a2)≥4 ⇔23(a2+b2+c2)≥4 Áp dụng BĐT cô si ta có a2+b2+c2≥33a2b2c2=6, với abc=22 Thay vào ta suy BĐT được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2 0,25 V 1,0 a3 a2 a α H D E C B A Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH ⊥ AE Ta có △ACD cân tại A nên CD ⊥ AE Tương tự △BCD cân tại B nên CD ⊥ BE Suy ra CD ⊥(ABE) ⇒ CD ⊥ BH Mà BH ⊥ AE suy ra BH ⊥ (ACD) Do đó BH = a3 và góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là α 0,25 Thể tích của khối tứ diện ABCD là V=13BH.SACD=a31527 ⇒SACD=a253⇒AE.DE=a253⇒AE2DE2=a459 Mà AE2+ED2=2a2 Khi đó :AE2,DE2 là 2 nghiệm của pt: x2 - 2a2x + a459 = 0 ⇒AE2=a23DE2=5a23 hoặcAE2=5a23DE2=a23 trường hợp DE2=5a23 loại vì DE<a 0,25 Xét △BED vuông tại E nên BE = BD2-DE2=a2-a23=a23 Xét △BHE vuông tại H nên sinα = BHBE=a3a23=12⇒α=450 Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là α=450 0,25 VIa 2,0 1 1,0 Ta có BC=(2;4;0); BD=(0;4;3) [BC, BD] = (12; -6;8) Mp (BCD) đi qua B và có VTPT n =(6;-3;4) nên có PT: 6x-3y+4z+16=0 Gọi d là đt đi qua A và vuông góc với mp(BCD) thì d có PT: x=4+6t y=-7-3tz= 4t 0,5 Hình chiếu vuông góc H của A lên mp(BCD) là giao điểm của d với mp(BCD) Tọa độ của H là nghiệm của hệ : x=4+6t y=-7-3tz= 4t6x-3y+4z+16=0⇔t=-1x=-2y=-4z=-4 Vậy H( -2; -4; -4) 0,5 2 1,0 Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5 I A H B Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH ⊥AB suy ra IH =4 Mặt khác IH= d( I; Δ ) Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT của Δ có dạng 3x+4y+c=0 0,5 d(I; Δ )= |c-9|5=4⇔c=29c=-11 vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0 0,5 VIIa 1,0 Ta có (2+x+3x2 )15 =k=015C15k.(x+3.x2)k.215-k Mà (x+3.x2)k =i=0kCki.3i.xk+i Vậy (2+x+3x2 )15 =k=015.i=0kC15k.Cki.3i.xk+i 0,5 Theo gt với x5 ta có các cặp số : (k=3; i=2) ( k=4; i=1) (k=5; i=0) Vậy hệ số của x5 trong khai triển trên là : a= C153.C32.32.212+C154.C41.31.211+C155.C50.30.210=82.131.210 0,5 VIb 1,0 ĐK: x > 1 Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương 9x- 2.3x- 3log3x-1-3=2.3x-9x 0,25 ⇔3x- 3)(3x+ 1log3x-1-3-2.3x+9x=0 ⇔3x- 3)(3x+ 1log3x-1+3x+13x-3=0 ⇔3x- 3)(3x+ 1log3x-1+1=0 0,5 ⇔3x- 3=0 log3x-1+1=0⇔x=1 (loại)x=43 ⇔x=43 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm : x=43 0,25
Tài liệu đính kèm: