Khóa luận Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã được sự chỉ đạo, hướng dẫn, động viên tận tình của cô giáo: Th.S Đoàn Thị Chuyên, giảng viên khoa Toán - Lí – Tin, đồng thời nhận được sự góp ý về đề tài, tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo của các thầy cô trong khoa Toán – Lí – Tin, phòng nghiên cứu khoa học và thư viện trường đại học Tây Bắc. Bên cạnh đó tôi còn nhận được sự động viên giúp đỡ của các bạn trong tập thể lớp K47 - đại học sư phạm Toán, sự giúp đỡ trong việc đánh máy, in ấn của tất cả bạn bè, người thân.
	Nhân dịp này, cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ, động viên quý báu của các thầy cô, các bạn, tới những người thân, các đơn vị liên quan, đặc biệt là cô giáo Th.S Đoàn Thị Chuyên.
Sơn La, tháng 05 năm 2010
Người thực hiện
Lê Thị Liễu
MỤC LỤC
Lời cảm ơn.....1
Phần mở đầu..3
	1. Lí do chọn khoá luận...3
	2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu....3
	3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận.....4
Chương 1. Một số kiến thức liên quan..............5
1.1 Không gian Sobolev....5
1.2 Một vài không gian của các hàm...................................................................17
1.2.1 Không gian hàm H -1...17
1.2.2 Không gian phụ thuộc thời gian ... 18
 	Không gian hàm Lp(0,T;X) .....18
Không gian hàm C([0,T];X)......18
1.3. Các bất đẳng thức.19
1.3.1 Bất đẳng thức Gronwall-Bellman...19
1.3.2 Bất đẳng thức năng lượng...19
Chương 2.Tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương
 trình Parabolic cấp hai........21
2.1 Mở đầu..........................................................................................................21
2.1.1 Thiết lập bài toán........................................................................................21
2.1.2 Mô típ của định nghĩa nghiệm suy rộng.....................................................22
2.1.3 Nghiệm suy rộng........................................................................................23
2.2 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng......................................................25
2.2.1 Một số đánh giá tiên nghiệm......................................................................25
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng.... ...................................................................28
2.2.3 Tính duy nhất nghiệm suy rộng..................................................................30
Kết luận.............................................................................................................. 31
Tài liệu tham khảo:..32
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khoá luận
	Trong chương trình của bậc đại học, bước đầu chúng ta đã được làm quen với môn phương trình đạo hàm riêng. Trong đó, ta đã biết được các vấn đề cơ bản liên quan đến phương trình Lapace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần lượt đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình loại eliptic, hypebolic và parabolic. Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩa thông thường thường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn đến cấp của phương trình, điều này gây khó khăn khi xét các bài toán đối với các phương trình trên những miền bất kì hoặc đối với những bài toán của các phương trình tổng quát hơn. Để khắc phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm suy rộng, tức là là nghiệm “ thô” lúc đầu là nghiệm “ khá gần” với nghiệm hầu khắp nơi hoặc nghiệm cổ điển gọi chung là nghiệm thông thường. Sau đó nhờ các công cụ của giải tích hàm, ta làm cho nghiệm dần đến nghiệm thông thường. Chính vì vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đề rất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự khám phá của những sinh viên yêu thích nó. Nhằm góp phần giúp những bạn sinh viên và những độc giả yêu môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học này và tiếp tục tìm hiểu khám phá, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai”.
2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu
 2.1. Đối tượng nghiên cứu
	Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic cấp hai.
 2.2. Phương pháp nghiên cứu
	Vấn đề nghiên cứu trong luận văn là vấn đề mới đối với sinh viên bậc đại học, vì vậy phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lí thuyết cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin. Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bày thành một hệ thống để giải quyết các vấn đề đặt ra của luận văn.
 2.3. Phạm vi nghiên cứu
	Phạm vi nghiên cứu của luận văn là phương trình parabolic cấp hai và những kiến thức cơ sở liên quan đến việc nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet.
 3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận
 3.1. Mục đích nghiên cứu
	Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sâu hơn về môn phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình parabolic cấp hai. 
	Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và tất cả những ai quan tâm đến môn phương trình đạo hàm riêng.
 3.2 Nhiệm vụ của khoá luận
	Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của khoá luận là nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai.
 3.3. Những đóng góp của khoá luận
	Đóng góp nổi bật của khoá luận là cung cấp được một hệ thống tri thức mới chuyên sâu về môn phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Đó là các khái niệm mới như: định nghĩa đạo hàm suy rộng, các không gian Sobolev. Ngoài ra ta biết các tính chất, vấn đề liên quan đến các khái niệm kiến thức này. Đặc biệt nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai, cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin.
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1 Không gian Sobolev
 1.1.1. Không gian 
Ta dùng các kí hiệu sau:
+) là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên .
+) là tập hợp các hàm xác định trên sao cho đạo hàm đến cấp k tồn tại và liên tục trên .
+) là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên .
	Giả sử là một tập mở trong . Nếu thì bao đóng của tập hợp các điểm x sao cho được gọi là giá của hàm u(x) và kí hiệu là suppu.
Như vậy hàm u(x) = 0, \.
	Ta có
	+) là tập hợp tất cả các hàm thuộc sao cho giá của chúng compact và thuộc vào .
	+) .
	+) .
 1.1.2. Không gian Lp
 	Trong không gian định chuẩn có một lớp không gian Banach đặc biệt quan trọng là không gian Lp mà dưới đây ta sẽ khảo sát.
Định nghĩa.
Cho một không gian và một độ đo trên một đại số F các tập con 
của . Họ tất cả các hàm số có lũy thừa bậc p, của modun khả tích trên có nghĩa là
	’
gọi là không gian 
	Khi là một tập đo được Lebesgue trong đó và là một độ đo Lebesgue thì ta viết 
	Tập hợp ( trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương nhau, nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi) là một không gian tuyến tính định chuẩn với phép toán thông thường về cộng hàm số, nhân hàm số, và với chuẩn
Định lí 1.
	Không gian với là một không gian tuyến tính định chuẩn đủ ( không gian Banach).
 Định lí 2.
	Giả sử là một miền trong . Tập hợp tất cả các hàm liên tục trong với giá compact trù mật trong không gian 
	Định lí 3.(Tính khả ly)
	Giả sử p ≥ 1 và là một miền thuộc . Tồn tại một tập con đếm được các phần tử của không gian sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong 
Chứng minh
	Giả sử R là một số hữu tỉ nào đó, 
 	Kí hiệu là hình hộp
Giả sử và . Đặt với , và xét như một hàm thuộc . Chọn R là một số nguyên đủ lớn sao cho
Nhờ định lí 2 tồn tại một hàm liên tục trong sao cho
 vì hàm liên tục trên nên nó liên tục đều trên . 
Do vậy sao cho
lấy với N là một số nguyên nào đó để đủ nhỏ. Chia hình hộp thành các hình hộp nhỏ không giao nhau có độ dài cạnh là và xét tập hợp S bao gồm các hàm đặc trưng của các hình hộp này với mọi N.
Đặt
 trong đó là tâm của các hình hộp nhỏ.
Khi đó
Nếu x thuộc vào hình hộp với tâm . Ta có
 	Đặt
, h(x) = 0 đối với ta được
 Do vậy tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các hàm trù mật trong .
 	Một trong những ứng dụng quan trọng của các hàm thuộc không gian là tính liên tục toàn cục của nó.
Định lí 4.(Tính liên tục toàn cục)
Giả sử là một miền thuộc bên ngoài Khi đó với mỗi tồn tại một số , sao cho
với mọi y thỏa mãn 
 1.1.3. Trung bình hóa
	Giả sử là một hàm trực thuộc lớp sao cho 
	 nếu và 
Hàm được gọi là nhân trung bình hoá.
Định lí 5.
	Nếu thì 
Định lí 6.
	Nếu , thì 
Định lí 7.
	Nếu và với mọi thì 
 1.1.4. Đạo hàm suy rộng
	Giả sử là một miền trong . Một hàm được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm nếu
	, với mọi ,
 ở đó và 
 Chú ý
 i) Hàm không có quá một đạo hàm suy rộng.
Thật vậy giả sử và là đạo hàm suy rộng của hàm .
 Khi đó 
 Mà nên hầu khắp nơi trong . 
 Suy ra hầu khắp nơi trong .
ii) Nếu thì theo công thức Ostrograsdki ta có
	 với hàm tuỳ ý . 
Có nghĩa hàm có đạo hàm suy rộng bằng .
Đặc biệt nếu hàm bằng hằng số ( hầu khắp nơi) trên thì có đạo hàm suy rộng tuỳ ý.
iii) Từ định nghĩa ta suy ra đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Thật vậy giả sử tồn tại đạo hàm cấp α. 
 	Ta chứng minh
	 + 
	 = ,.
Do nên theo định nghĩa đạo hàm suy rộng
	 = 
 với Suy ra
iv) Một hàm có đạo hàm bình thường (đạo hàm theo nghĩa cổ điển) cấp α thì có đạo hàm suy rộng cấp α nhưng điều ngược lại nói chung không đúng.
 Ví dụ
	Xét hàm trên (-1;1).
ta đã biết tồn tại đạo hàm thường tại . Tại x = 0 thì không tồn tại đạo hàm vì . Ta sẽ chứng minh có đạo hàm suy rộng trên toàn trục số.
 Xét
lấy 
do đó nên
Nên	 
hay 	
như vậy hàm không có đạo hàm thường trên khoảng ( -1;1) nhưng có đạo hàm suy rộng trên khoảng ( -1;1).
v) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền .
 	Thật vậy
	Giả sử ta có
Do với nên
Ta có suy ra vậy sẽ tồn tại sao cho
Do đó tồn tại đạo hàm suy rộng
	 trên 
vi) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng được xác định ngay với cấp α mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tương ứng tồn tại. Các đạo hàm cấp thấp hơn có thể không tồn tại.
	Sau đây ta đi xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung bình hoá.
Định lí 8.
	Giả sử là một miền trong không gian là miền con của sao cho khoảng cách giữa và bằng d > 0. Khi đó, đối với 0 < h < d và ta có
	.
Chứng minh
	Do 0 < h < d, và hàm với nên khi sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta nhận được
 	 hay	
 1.1.5. Không gian Sobolev ( )
	Một không gian phiếm hàm được sử dụng rộng rãi trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev. Sobolev S.L đã xây dựng không gian này vào giữa thế kỉ 20 và từ đó đến nay nhiều nhà toán học khác đã tiếp tục mở rộng và phát triển để nghiên cứu những bài toán phương trình đạo hàm riêng ngày càng khó khăn, phức tạp.
 	Không gian là không gian bao gồm tất cả các hàm sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng đến tận cấp α thuộc và được trang bị bởi chuẩn sau
	 	(4.1).
 Định lí 9.
	Giả sử là một miền trong và Khi đó là một không gian Banach. 
	Không gian với chuẩn (4.1) được gọi là không gian Sobolev.
 Chú ý
Từ tính chất là không gian đầy ta cũng suy ra được cũng là không gian đầy.
 là không gian Hilbert suy ra cũng là không gian Hilbert. Ở trường hợp này để ngắn gọn người ta kí hiệu là .
	Ta đi xét vấn đề xấp xỉ một hàm thuộc không gian bằng các hàm thuộc .
Định lí 10.
	Giả sử là một miền thuộc và là một miền con của sao cho . Nếu thì 
Chứng minh
Theo định lí 9 ta có
 	 (4.2).
Đặt . Từ định lí 6 suy ra
	(4.3).
Từ (4.2) và (4.3) ta nhận được
Định lí 11.
	Giả sử dãy các phần tử của không gian bị chặn 
	Ngoài ra, giả sử dãy này hội tụ yếu trong không gian tới một 
 hàm khi . Khi đó hội tụ yếu trong không gian 
 tới hàm và
Chứng minh
Ta có
 ở đó . Điều này kéo theo dãy hội tụ yếu trong tới hàm . Ta có
Do đó đạo hàm suy rộng tồn tại và bằng . Hơn nữa
Từ đó nhận được
Định lí 12.
	Nếu là một miền thuộc thì không gian trù mật trong .
Định lí 13.
	Giả sử là một hình hộp trong 
 và . Khi đó tồn tại một hàm sao cho với mọi và
 hơn nữa
ở đó C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u.
 1.1.6. Không gian 
	Không gian là bao đóng của trong chuẩn 
của không gian .
 Định lí 14. ( Friedrichs)
	Giả sử là một miền bị chặn trong . Khi đó tồn tại một hằng số , phụ thuộc vào sao cho
	 với mọi hàm 
Định lí 15.
	Giả sử và Khi đó 
Định lí 16.
	Giả sử trong không gian hội tụ yếu trong không gian tới hàm hơn nữa dãy này bị chặn. Khi đó cũng bị chặn và 
Định lí 17.
	Các không gian và là trùng nhau.
 1.1.7. Không gian 
	Giả sử là một miền trong và T = const > 0.
 Kí hiệu
 và gọi nó là trụ với chiều cao T và đáy .
 là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm sao cho tồn tại tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến tận cấp m và theo t đến tận cấp l thuộc trong nó trang bị chuẩn
	(4.4).
 Trường hợp l = 0, số hạng thứ hai trong vế phải của (4.4) coi như không có.
	Không khó khăn có thể kiểm tra được là một không gian Banach, hơn nữa, nó là không gian Hilbert với tích vô hướng được sinh từ chuẩn (4.4).
	là không gian con của bao gồm tất cả các hàm u(x,t) bằng không gần biên ST = . Điều đó có nghĩa là, khi và chỉ khi tồn tại dãy
khi đó và trong khi 
	 cũng là một không gian Hilbert.
1.2 Một vài không gian của các hàm
 1.2.1. Không gian hàm 
Định nghĩa 1. là không gian đối ngẫu thứ nhất của 
Định nghĩa 2. Nếu chuẩn xác định bởi
Định lí 1. (Đặc trưng quan trọng của )
(i) Giả sử khi đó xuất hiện các hàm trong 
 sao cho
 (1) 
(ii) Hơn nữa
	 thoả mãn (1) cho 
 1.2.2. Không gian phụ thuộc thời gian
Định nghĩa 3. Không gian Lp(0,T;X) gồm tất cả các hàm đo được 
 với
	(i) 	 với 
(ii)	
 Khi p=1, . Ta nói là đạo hàm suy rộng của u 
viết là
 u’ = v
sao cho 
 	với mọi hàm thử 
Định nghĩa 4. Không gian hàm bao gồm tất cả các hàm
 liên tục với 
	Định lí 2. Cho với 
	(i) Khi đó
	(ii) Ánh xạ 
 là liên tục tuyệt đối, với
	, a.e. .
	(iii) Xa hơn, ta có bất đẳng thức
 (10)	
	C là hằng số phụ thuộc duy nhất vào T.
 1.3. Các bất đẳng thức
 1.3.1. Bất đẳng thức Gronwall – Bellman
Định lí 3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
	(i) 
	(ii) 
	(iii) 
	Khi đó
 1.3.2. Bất đẳng thức năng lượng
Định lí 4. Tồn tại một hằng số và sao cho
	(i) 	 
và
	(ii)	
trong đó với 
CHƯƠNG 2
TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
2.1. Mở đầu 
 2.1.1. Thiết lập bài toán
	Giả sử U là một tập mở, bị chặn trên không gian , và đặt với biến thời gian T > 0. Ta sẽ nghiên cứu điều kiện ban đầu - điều kiện biên bởi
(1)	
 trong đó và là các hàm đã cho, và là hàm chưa biết, L là một toán tử vi phân cấp hai có dạng
 (2) 	 
 hoặc khai triển thành
 (3)	 
 aij, bj, c ( i, j = 1,,n) là các hệ số. 
 Định nghĩa. Giả sử toán tử vi phân gọi là toán tử Parabolic mạnh nếu tồn tại một hằng số sao cho
	 (4) 	
đúng với mọi 
 Giả sử rằng
	 (5)	 	
	(6)	,	
(7)	,	
	trong đó 
Kí hiệu dạng song tuyến tính phụ thuộc vào thời gian
 (8) 
	với và a.e. .
Chúng tôi gọi bài toán (1) là bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình Parabolic cấp hai.
 2.1.2. Mô típ của định nghĩa nghiệm suy rộng
 Để mô tả định nghĩa nghiệm suy rộng, chúng ta giả sử rằng u = u(x,t) 
là một hàm nghiệm trơn của bài toán (1). Coi u là một ánh xạ
xác định bởi .
Trong định nghĩa đó xét u không giống như hàm x và t cùng nhau 
 nhưng giống như một ánh xạ u của t vào không gian của các hàm x. 
 Điều này chỉ ra biểu diễn sau đây
trở lại bài toán (1) ta có định nghĩa tương tự
bởi .
Khi đó nếu cố định hàm , ta có thể nhân phương trình đạo hàm riêng
 bởi v và tích phân chúng, ta được
 (9) 	
 với mỗi cặp kí hiệu ( , ) là tích vô hướng trong .
 Ta thấy
	(10)	 trong UT .	
	Cho và 
 Từ (10) và định nghĩa không gian đối ngẫu kéo theo vế phải của (10) thuộc không gian Sobolev ta được
 Đánh giá này gợi ý rằng có thể tìm nghiệm suy rộng với 
 a.e. trong trường hợp này số hạng tử đầu tiên trong (9) có thể biểu diễn giống kí hiệu là một cặp của và .
 2.1.3. Nghiệm suy rộng
 	Định nghĩa. Một hàm , với , được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu thứ nhất nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
	, a.e. 
và 	
 Chú ý 1.
Theo định lí 2 của 1.2.2. chương 1 thấy và do đó đẳng thức (ii) hiểu theo nghĩa trù mật.
 	Một hàm u được gọi là nghiệm cổ điển của bài toán (1) nếu và thoả mãn (1).
Giả sử u là nghiệm cổ điển của bài toán trên. Khi đó . Nhân hai vế của đẳng thức với rồi lấy tích phân hai vế trên trụ ta được
 (11) 
Áp dụng công thức tích phân từng phần và điều kiện biên ta có
Thay vào (11) ta được
Điều này có nghĩa là
, a.e. .
	Nhưng do trù mật trong suy ra đẳng thức trên đúng với Mặt khác từ và điều kiện biên của bài toán (1) suy ra 
Ta thấy rằng nếu bài toán có nghiệm cổ điển thì luôn có nghiệm suy rộng tuy nhiên điều ngược lại không đúng vì nghiệm cổ điển đòi hỏi hàm u có đạo hàm theo đến cấp của phương trình cấp hai và đạo hàm theo t đến cấp một Trong khi đó nghiệm suy rộng của bài toán chỉ đòi hỏi đạo hàm suy rộng theo đến cấp một.
Bởi vậy trong phương trình đạo hàm riêng hiện đại người ta đi tìm nghiệm suy rộng của bài toán và chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng. Sau đó đi tìm một số điều kiện để nghiệm suy rộng có thể thành nghiệm cổ điển hoặc nghiệm hầu khắp nơi của bài toán .
 2.2. Sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng
 2.2.1. Một số đánh giá tiên nghiệm 
Chúng ta đã xây dựng nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu thứ nhất
 bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.
Giả sử các hàm ( k =1,) là trơn và 	
(12) là trực giao của 
 và 	(13) là trực chuẩn của 
Cố định một số nguyên dương m, ta tìm được một hàm 
 (14) 
 có dạng 
là hệ số,
 do đó (15) 
 và	(16) .
Ta tìm được một hàm um có dạng (14) thoả mãn như là một phép chiếu (16) của bài toán (1) lên không gian con hữu hạn biểu diễn bởi .
Định lí 1. ( Cấu trúc của nghiệm xấp xỉ)
	Mỗi số nguyên m = 1,sẽ xuất hiện duy nhất một hàm um có dạng (14) thoả mãn (15), (16).
	 Chứng minh	
	Giả sử um có cấu trúc như (14), từ (13) ta có
	(17) ==
 Mặt khác 
 (18) 
 	với 
	Giả sử 
 	Từ đó (16) trở thành hệ tiếp tuyến của phương trình vi phân thường
(19) 	
Do đó tồn tại duy nhất một hàm liên tục tuyệt đối có dạng (14) thỏa mãn (15), (19) tức là thỏa mãn (15), (16), a.e. .
 Chú ý 2.
 Cho và chỉ ra dãy con của nghiệm thỏa mãn (15), (16) hội tụ yếu đến nghiệm của (1), để làm được điều này ta cần có đánh giá sau	
Tồn tại một hằng số C, phụ thuộc duy nhất vào U, T và các hệ số của L 
sao cho
 (20) 
,
 cho m = 1,2,(Bất đẳng thức năng lượng).
Chứng minh
Nhân (16) bởi lấy tổng và kết hợp (14) ta được 
 (21) , a.e. .
Theo định lí 4 của 1.3.2. chương 1 ta thấy xuất hiện sao cho
 (22) 	, 
 	Hơn nữa 
 	 và
 a.e. 
Từ (21) dẫn đến bất đẳng thức
 (23) 	
 	 a.e. và C1,C2 là các hằng số.
 	 Giả sử (24) 	.
	 (25) .
 kéo theo a.e. .
Do đó từ bất đẳng thức Gronwall-Bellman ta có
 (26) 	
 trong đó 
Từ (24) đến (26) ta có đánh giá sau
	 (27)	
 	Từ bất đẳng thức (23), tích phân từ và sử dụng (27) ta được	
 	Cố định với 
 , trong đó thuộc dãy con và 
Hàm là trực giao trong 
	 Từ (16) giả sử a.e. ta được
 Từ (14) kéo theo 
 Ta có
 với 
Vì vậy
 suy ra
 2.2.2. Sự tồn tại nghiệm suy rộng
 Tiếp theo ta chuyển qua giới hạn xây dựng nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu thứ nhất (1).
Định lí 2. 
Tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu thứ nhất (1).
Chứng minh
 Qua đánh giá năng lượng (20) ta thấy dãy bị chặn trong và dãy bị chặn trong 
Tồn tại dãy con và một hàm với do đó
 (28) 
Cố định một số nguyên N và chọn hàm 
có dạng
 (29) 	
trong đó là hàm trơn. Ta chọn nhân (16) bởi lấy tổng và tích phân theo t ta được 
 (30)	
Ta đặt m = ml và từ (29), qua giới hạn yếu ta được
 (31)	
Với mọi hàm ta thấy (31) có dạng 
 (32)	 cho và a.e. .
Từ định lí 2 của1.2.2. chương 1 ta thấy .
 Ta chứng minh u(0) = g.
 	từ dạng (31) ta có 
 (33)	
 cho với 
Giả sử ta có
 (34)	
 đặt m = ml và sử dụng (28) ta được
 (35)	
 trong đó thuộc . Với v(0) bất kì, so sánh (33) và (35) ta thu được u(0) = g .
 2.2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
Định lí 3. Nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu thứ nhất (1) là duy nhất.
Chứng minh
	Kiểm tra sự duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán (1) với là
 ta cần chỉ ra
(36) 
 	Thật vậy	
 đặt v = u trong đồng nhất (32), với (sử dụng định lí 2 của1.2.2 chương 1),
 ta được
 	 (37) 	
 	Trong đó 
 từ bất đẳng thức Gronwall-Bellman và (37) (36) .
 KẾT LUẬN
Trên đây là một số kết quả mà chúng tôi thu được nhờ việc vận dụng kiến thức giải tích hàm, phương pháp xấp xỉ Galerkin, các bất đẳng thức vào việc nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy-Dirichlet đối với phương trình parapolic cấp hai.
Tuy nhiên nhiệm vụ của khoá luận chỉ dừng ở yêu cầu nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy- Dirichlet đối với phương trình parapolic cấp hai.
Thông qua khoá luận này chúng tôi mong nó có thể trở thành một tài liệu có ích cho các bạn, ngoài ra khóa luận này còn ứng dụng với nhiều phương trình khác như phương trình phi tuyến tính, phương trình cấp cao, phương trình hypepolic ,eliptic .
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý chỉ bảo thêm của các thầy cô và các bạn .
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Lawrence C.Evans, Partial differential equations.American Mathematical 
Society.
[2]. Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học sư phạm Hà Nội 2007.
[3]. Nguyễn Thị Thanh Mai, Chứng minh tính giải được của bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình Parapolic mạnh trong trụ hữu hạn với biên không trơn, Khóa luận tốt nghiệp-Đại học Tây Bắc 2007.
[4]. Vũ Trọng Lưỡng, Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, ĐHTB 2007.