Khảo sát hàm số 12 - THPT Tân Bình

THPT Tân Bình – Bình Dương. KHẢO SÁT HÀM SỐ 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 1 
 KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  
§1. HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN. 
1) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 
a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). 
 Nếu (x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì (x)  0 x(a; b). 
 Nếu (x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì (x) ≤ 0 x(a; b). 
b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). 
 Nếu (x) > 0 x(a; b) thì (x) đồng biến trên khoảng (a; b). 
 Nếu (x) < 0 x(a; b) thì (x) nghịch biến trên khoảng (a; b). 
 Nếu (x) = 0 x(a; b) thì (x) không đổi trên khoảng (a; b). 
c) Điều kiện đủ mở rộng để hàm số đơn điệu: Giả sử (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). 
 Nếu (x)  0 x(a; b) thì (x) đồng biến trên (a; b), (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. 
 Nếu (x) ≤ 0 x(a; b) thì (x) nghịch biến trên (a; b), (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. 
d) Chú ý: Giả sử (x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b). 
 Nếu (x) > 0 x(a; b) thì (x) đồng biến trên đoạn [a; b]. 
 Nếu (x) < 0 x(a; b) thì (x) nghịch biến trên đoạn [a; b]. 
 1Vd Chứng minh hàm số ( )f x =
21 x đồng biến trên đoạn [–1;0] và nghịch biến trên đoạn [0; 1]. 
Giải: Hàm số xác định x[–1; 1] nên trên đoạn [–1; 0] và [0; 1] hàm số đã cho liên tục. 
Ta có / ( )f x =
21
x
x


> 0 x(–1; 0) do đó hàm số đồng biến trên đoạn [–1; 0]. 
Ta có / ( )f x =
21
x
x


< 0 x(0; 1) do đó hàm số nghịch biến trên đoạn [0; 1]. 
2) QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 
 Tìm tập xác định. 
 Tính đạo hàm (x). Tìm các điểm ( 1;2;3..., )ix i n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. 
 Sắp xếp các điểm ix theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 
 Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 
 2Vd Xét chiều biến thiên của hàm số y = 
2 3 4
3
x x
x
 

Giải: 
 Tập xác định D = R\ {3}. 
 Đạo hàm: y = 
 
2
2
6 5
3
x x
x
 

, y = 0  x = 1 hoặc x = 5. 
 Bảng biến thiên: 
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–; 1) và (5; +) 
 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (1; 3) và (3; 5). 
 3Vd Xét chiều biến thiên của hàm số 
3 21 12 4
3 3
y x x x    
Giải: 
 Txđ: D = R 
 y = 2x – 4x + 4 =  22x   0 x; y = 0  x = 2. 
 Bảng biến thiên: 
1 
THPT Tân Bình – Bình Dương. KHẢO SÁT HÀM SỐ 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 2 
 Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng (–; 2] và [2; +) nên đồng biến trên khoảng (–; +). 
 4Vd Tìm m để hàm số y = (m – 2)
3x – mx + 2 nghịch biến trên R 
Giải: 
 Tập xác định D = R. 
 y = 3(m – 2) 2x – m. 
 Hàm số nghịch biến trên R khi ( )f x/ = 3(m – 2) 2x – m  0 xR 
 m = 2: ( )f x/ = –2 < 0 xR nên hàm số nghịch biến trên R. 
 m  2: để ( )f x/  0 xR  
3( 2) 0
12 ( 2) 0
a m
m m
  

   
  
2 0
( 2) 0
m
m m
 

 
 0  m < 2 
 Kết hợp hai trường hợp trên, kết luận với 0  m  2 thì hàm số nghịch biến trên R. 
BÀI TẬP 
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 ( );
( ) ( )
( ) 2( ) ( )
( )
ÑAÏO HAØM HAØM HÖÕU TYÛ
ax b ad cb ax bx c adx aex be dc
cx d cx d dx e dx e
a x b x c a b a b x a c a c x b c b c
a x b x c a x b x c
                  
       
     
//
/
1) Xét chiều biến thiên của hàm số: 
a) y = 4 + 3x – 2x ; b) y = 1/3 3x + 3 2x – 7x – 2; c) y = 4x – 2 2x + 3; 
d) y = – 3x + 2x – 5; e) y = 3 1
1
x
x


; f) y = 
2 2
1
x x
x


; 
 Hướng dẫn: 
a) Hàm số đồng biến trên khoảng (–; 3/2), nghịch biến trên khoảng (3/2; +). 
b) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–;–7) và (1; +), nghịch biến trên khoảng (–7; 1). 
c) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–1; 0) và (1; +), nghịch biến trên mỗi khoảng (–; –1) và (0; 1). 
d) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2/3), nghịch biến trên mỗi khoảng (–; 0) và (2/3; +). 
e) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–; 1) và (1; +) 
f) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (–; 1) và (1; +) 
2) Chứng minh hàm số y = 2 1
x
x 
 đồng biến trên (–1; 1), nghịch biến trên mỗi khoảng (–; –1) và (1; +). 
 Hướng dẫn: 
Hàm số xác định x R, ( )f x/ = 
 
2
22
1
1
x
x


; ( )f x/ = 0  x = –1 hoặc x = 1. Theo bảng biến thiên ta có 
hàm số đồng biến trên khoảng (–1; 1), nghịch biến trên mỗi khoảng (–; –1) và (1; +) 
THPT Tân Bình – Bình Dương. KHẢO SÁT HÀM SỐ 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 3 
3) Chứng minh rằng: 
a) Hàm số y = 2
2
x
x


 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó 
b) Hàm số y = 
2 2 3
1
x x
x
  

 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó 
 Hướng dẫn: 
a) D = R\{–2}; y = 2
4
( 2)x 
> 0 x  –2 do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–; –2) và (–2; +) 
b) D = R\{–1}; y = 
 
/
2
4 41 1
1 1
x
x x
         
 < 0 x  –1 do đó hàm số nghịch biến trên mỗi 
khoảng (–; –1) và (–1; +). 
4) Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R: 
a) ( )f x = 3x – 6 2x + 17x + 4; b) ( )f x = 3x + x – cosx – 4 
 Hướng dẫn: 
a) Hàm số xác định x R, ( )f x/ = 3 2x – 12x + 17 > 0 x R  hàm số đồng biến trên R 
b) Hàm số xác định x R, ( )f x/ = 3 2x + 1 + sinx > 0 x R  hàm số đồng biến trên R 
5) Tìm các giá trị của tham số a để hàm số ( )f x = 1/3 3x + a 2x + 4x + 3 đồng biến trên R. 
 Hướng dẫn: 
( )f x/ = 2x + 2ax + 4. Để hàm số đồng biến trên R khi ( )f x/  0 xR 
 = 2a – 4  0  | a |  2  –2  a  2. 
6) Chứng minh rằng hàm số ( )f x = cos2x – 2x + 3 nghịch biến trên R 
 Hướng dẫn: 
( )f x/ = –2sin2x – 2 = –2(sin2x + 1). 
Ta có sin2x + 1  0 x  ( )f x/  0 xR  hàm số nghịch biến trên R. 
7) Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a) sinx 0; sinx > x x 1 – 
2
2
x x  0 
c) sinx > x – 
3
6
x x > 0; sinx < x – 
3
6
x x 2x x (0; 
2
 ) 
Hướng dẫn: 
a) Chứng minh sinx 0: Hiển nhiên x > sinx x  1.570796...
2

 vì sin x  1 x. 
Ta chứng minh x > sinx x (0; 
2
 ): Hàm số ( )f x = x – sinx liên tục trên nửa khoảng [0; 
2
 ) và 
( )f x/ = 1 – cosx > 0 x (0; 
2

) do đó đồng biến trên nửa khoảng [0; 
2
 )  ( )f x > ƒ(0) x (0; 
2
 ) 
 x – sinx > 0 x (0; 
2
 ) x > sinx x (0; 
2
 ). Vậy sinx 0. 
Chứng minh sinx > x x < 0: 
Hiển nhiên sinx > x x  1.570796...
2

   vì sin x  –1 x. Ta chứng minh sinx > x x (–
2
 ; 0): 
Hàm số ( )f x = x – sinx liên tục trên nửa khoảng (–
2
 ; 0] và / ( )f x = 1 – cosx > 0 x (–
2

; 0) do đó 
đồng biến trên nửa khoảng (
2
 ; 0]  ( )f x < ƒ(0) x (
2
 ; 0)  x – sinx < 0 x (
2
 ; 0)  x < sinx 
x (
2
 ; 0). Vậy sinx > x x < 0 
THPT Tân Bình – Bình Dương. KHẢO SÁT HÀM SỐ 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 4 
b) ( )f x = cosx + 
2
2
x – 1 xác định x R do đó liên tục trên nửa khoảng [0; +) 
và ( )f x/ = x – sinx > 0 x > 0 (Ta đã chứng minh x – sinx > 0 x > 0) do đó hàm số đồng biến trên nửa 
khoảng [0; +)  ( )f x > ƒ(0) x > 0  cosx + 
2
2
x – 1 > 0 x > 0  cosx > 1 –
2
2
x x > 0 (1). 
Tương tự: ( )f x = cosx + 
2
2
x – 1 xác định x R do đó liên tục trên nửa khoảng (–; 0] và 
( )f x/ = x – sinx ƒ(0) x < 0 
 cosx + 
2
2
x – 1 > 0  cosx > 1 –
2
2
x x < 0 (2) 
Từ (1) và (2)  cosx > 1 –
2
2
x x  0 
c) Chứng minh sinx > x – 
3
6
x x > 0: 
( )f x = sinx + 
3
6
x – x xác định x R do đó liên tục trên nửa khoảng [0; +) 
và / ( )f x = cosx + 
2
2
x – 1 > 0 x > 0 nên hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0; +) 
 ( )f x > ƒ(0) x > 0  sinx + 
3
6
x – x > 0 x > 0  sinx > x – 
3
6
x x > 0; 
Chứng minh sinx < x – 
3
6
x x < 0: 
( )f x = sinx + 
3
6
x – x xác định x R do đó liên tục trên nửa khoảng (–; 0] 
và / ( )f x = cosx + 
2
2
x – 1 > 0 x < 0 nên hàm số đồng biến trên nửa khoảng (–; 0] 
 ( )f x < ƒ(0) x < 0  sinx + 
3
6
x – x < 0 x < 0  sinx < x – 
3
6
x x < 0. 
d) ( )f x = sinx + tanx – 2x xác định x R nên liên tục trên nửa khoảng [0; 
2
 ) và 
( )f x/ = cosx + 2
1
cos x
– 2 > 2cos x + 2
1
cos x
– 2 > 0 x (0; 
2
 ) 
(vì x (0; 
2
 ) cosx 2cos x và 2cos x + 2
1
cos x
> 2) do đó hàm số đồng biến trên nửa 
khoảng [0; 
2
 )  ( )f x > ƒ(0) x (0; 
2
 )  sinx + tanx – 2x > 0  sinx + tanx > 2x x (0; 
2
 ) 
8) Tìm m để hàm số. 
a) y = 3x – 3 2x + (m – 2)x + 7 đồng biến trên R; 
b) y = 1
3
m 3x + m 2x + (3m – 2)x + 1 đồng biến trên R; 
c) y = 3x + 3 2x + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên khoảng (–1; 1); 
d) y = – 1
3
3x + (m – 1) 2x + (m + 3)x + 4 đồng biến trên khoảng (0; 3). 
e) y = 3x – 3 2x + 3mx – 1 nghịch biến trên khoảng (0; 3); 
f) y = – 1
3
3x + 2x – (m – 3)x + 1 nghịch biến trên khoảng (2; +); 
g) y = 3x + 3 2x – mx – 4 đồng biến trên khoảng (–; 0). 
THPT Tân Bình – Bình Dương. KHẢO SÁT HÀM SỐ 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 5 
 Hướng dẫn: 
2 20 00 0
0 0
 ; 
a a
ax bx c x R ax bx c x R
  
            
    
a) Hàm số xác định x  R, để hàm số đồng biến trên R  / ( )f x = 3 2x – 6x + m – 2  0 xR 
  = 15 – 3m  0  m  5. 
b) Hàm số xác định x  R, để hàm số đồng biến trên R  
( )f x/ = (m – 1) 2x + 2mx + 3m – 2  0 x  
2
1 0
' 2 5 2 0
a m
m m
  

     
 1 < m  2. 
(m = 1  (x) = 2x + 1  0  x  –1/2 nên loại) 
c) D = R. Để hàm số nghịch biến trên khoảng (–1; 1)  ( )f x/ = 3 2x + 6x + m + 1  0 x (–1; 1). 
Parabol 2( ) 3 6 1g x x x m     0 x(–1; 1) khi 
( 1) 2 0 2
10
(1) 10 0 10
g m m
m
g m m
     
    
     
. 
d) D = R. Để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3)  ( )f x/ = – 2x + 2(m – 1)x + m + 3  0 x (0; 3). 
Parabol 2( ) 2( 1) 3g x x m x m       0 x(0; 3) khi 
(0) 3 0 3 12
(3) 7 12 0 12 / 7 7
y m m
m
y m m
     
   
    
e) D = R. Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 3)  ( )f x/ = 3( 2x – 2x + m)  0 x (0; 3). 
Parabol g(x) = 2x – 2x + m  0 (0; 3) khi 
(0) 0 0
3
(3) 0 3
g m
m
g m
  
    
   
. 
f) D = R. Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +)  ( )f x/ = – 2x + 2x + 3 – m  0 x(2; +). 
Xét g(x) = – 2x + 2x + 3 – m có  = 4 – m. 
 Nếu   0  m  4 thì g(x)  0 xR nên hàm số nghịch biến trên R. 
 Nếu  > 0  m < 4 thì g(x) = 0 có 2 nghiệm 1 2,x x . Khi đó Parabol g(x)  0 x(2; +) khi g(2)  0 
 3 – m  0  m  3 so sánh điều kiện, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +) khi 3  m < 4. 
g) D = R. Để hàm số đồng biến trên khoảng (–; 0)  y = 23 6 0 ( ;0)x x m x      
Xét ( )g x = 23 6x x m  có  = 9 + 3m. 
 Nếu   0  m  –3 thì ( )g x  0 xR nên hàm số đồng biến trên R. 
 Nếu  > 0  m > –3 thì ( )g x có 2 nghiệm 1 2,x x . Khi đó Parabol g(x)  0 x(–; 0) khi g(0)  0 
 – m  0  m  0 so sánh điều kiện, ta có hàm số đồng biến trên kh ... rình bậc hai trên có 2 nghiệm phân biệt, tức là 2' 0 0m m     
Gọi A, B là 2 điểm cực trị, ta có:    3 31 ; 2 2 , 1 ; 2 2 A m m B m m      
Vì O cách đều A, B và m  0 nên OA = OB  2 3 2 2 3 2(1 ) ( 2 2 ) (1 ) ( 2 2 )m m m m         
 3 32 8 2 8m m m m     1
2
m   
25) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối A) Cho hàm số 
2 22( 1) 4
2
x m x m my
x
   


 có đồ thị  mC . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 
b) Tìm m để  mC có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cùng với gốc tọa đô O tạo thành một tam giác 
vuông tại O. 
 Hướng dẫn: 
a) m = –1  
2 3 12
2 2
xy x
x x

   
 
b) 
2 2
2
4 4'
( 2)
x x my
x
  


. 
Để  mC có cực đại và cực tiểu khi 2 2( ) 4 4 0g x x x m     có 2 nghiệm phân biệt khác –2, tức là 
2
2
' 0
0
( 2) 0
m
m
g m
    
   
. Gọi A, B là các điểm cực trị, ta có    2 ; 2 , 2 ; 4 2 A m B m m      
Để OAB vuông tại O khi . 0OA OB 
 
  ( 2 )( 2 ) 2(4 2) 0m m m        4 2 6m    
26) (Đề thi Cao Đẳng năm 2008) Cho hàm số 
1
xy
x


. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
b) Tìm m để đường thẳng (d): y x m   cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. 
 Hướng dẫn: 
a) 
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là 
2
0
1 1
x x mx mx m
x x
 
    
 
. Để (d) cắt (C) 
tại hai điểm phân biệt khi phương trình 2( ) 0f x x mx m    có hai nghiệm phân biệt khác 1  
2 0 04 0
4
4(1) 0
1 0
m
mm m
m
mf
m m
 
              
27) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối D) Cho hàm số 3 23 4y x x   . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > –3) đều cắt (C) tại 3 điểm 
phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm AB. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. KHẢO SÁT HÀM SỐ 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 51 
 Hướng dẫn: 
a) 
b) Đường thẳng đi qua điểm uốn I(1; 2) có phương trình (D): y = k(x – 1) + 2. 
Hoành độ giao điểm của (C) và (D) là nghiệm phương trình 
3 2 23 4 2 ( 1) 2 ( 2) 0x x kx k x x x k              2
1
2 ( 2) 0
 öùng ñieåm I
 (*)
x
x x k
 

   
 Vì k > –3  
(*) có  = 3 + k > 0  (*) luôn có 2 nghiệm  1 do đó (D) luôn cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 
   ; , ;A A B BA x y B x y , I(1; 2). Theo Viét từ (*)  12
A Bx x  
 I trung điểm AB. 
28) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối B) Cho hàm số 3 24 6 1y x x   . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua  1; 9M   . 
 Hướng dẫn: 
a) 
b) Đường thẳng (d) đi qua  1; 9M   có dạng ( 1) 9y k x   . 
Để (d) tiếp xúc (C) khi hệ sau có nghiệm: 
3 2
2
4 6 1 ( 1) 9
12 12
 (1)
 (2)
x x k x
x x k
     

 
. Lấy (2) thay vào (1) ta 
dược 3 2 24 6 1 (12 12 )( 1) 9x x x x x       3 28 6 12 10 0x x x     
1
5
4
x
x
 

 

Với x = –1  k = 24  phương trình tiếp tuyến (d): 24 15y x  
Với 5
4
x   k = 15
4
  phương trình tiếp tuyến (d): 15 21
4 4
y x  
29) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối A) Cho hàm số 
2 2(3 2) 2
3
mx m xy
x m
  


 có đồ thị là  mC . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 
b) Tìm các giá trị m để góc giữa hai đường tiệm cận của  mC bằng 045 . 
 Hướng dẫn: 
b) 
2 2(3 2) 2 6 22
3 3
mx m x my mx
x m x m
   
   
 
Khi 1
3
m   mC không tồn tại 2 tiệm cận. 
Khi 1
3
m   mC có 2 tiệm cận: 1 : 3 3 0d x m x m     và 2 : 2 2 0d y mx mx y      
THPT Tân Bình – Bình Dương. KHẢO SÁT HÀM SỐ 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 52 
Hai đường thẳng trên có các véctơ pháp tuyến là 1 2(1;0), ( ; 1) n n m  
 
. Góc giữa hai đường tiệm cận 
của  mC bằng 045 khi 
1 2 0
2
1 2
. 12cos 45
121
n n mm
mn n m

       
 
  
30) (Đề thi Cao Đẳng năm 2009) Cho hàm số 3 2(2 1) (2 ) 2 (1)y x m x m x      , m là tham số thực. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 
b) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó có hoành độ dương. 
 Hướng dẫn: 
a) 
b) 3 2(2 1) (2 ) 2y x m x m x      , 2' 3 2(2 1) 2y x m x m     (*). 
Yêu cầu bài toán  (*) có 2 nghiệm dương phân biệt  
2' 4 5 0
2 0
3
2(2 1) 0
3
m m
mP
mS

    

  


 
  5 2
4
m  
31) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối D) Cho hàm số 4 2(3 2) 3y x m x m    có đồ thị là  mC . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0. 
b) Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị  mC tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 
 Hướng dẫn: 
b) Phương trình hoành độ giao điểm của  mC và y = –1 là 4 2(3 2) 3 1 0x m x m      
2
2
1
3 1
x
x m
 

 
(*). Yêu cầu bài toán  
3 1 1
0 3 1 4
m
m
 

  
  
0
1 1
3
m
m



  
32) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối B) Cho hàm số 4 22 4y x x  . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Với giá trị nào của m, phương trình 2 2 2x x m  có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ? 
 Hướng dẫn: 
a) 
b) Phương trình 2 2 2x x m   4 22 4 2x x m  (*). 
(*) có 6 nghiệm thực khi đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số 4 22 4y x x  tại 6 điểm phân biệt. 
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán  0 < 2m < 2  0 < m < 2. 
33) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối A) Cho hàm số 2
2 3
xy
x



. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. KHẢO SÁT HÀM SỐ 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 53 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai 
điểm phân biệt A, B và AOB cân tại gốc tọa độ O. 
 Hướng dẫn: 
b) AOB cân tại gốc tọa độ O nên ta có hệ số góc của tiếp tuyến qua A, B là 1. 
Gọi tọa độ tiếp điểm là  0 0;x y , ta có  
0
2
00
21 1
12 3
x
xx
 
      
0 02 0x y    phương trình tiếp tuyến là y = –1(x + 2) + 0 hay y = –x – 2 
0 01 1x y    phương trình tiếp tuyến là y = –1(x + 1) + 1  y = –x đi qua O nên loại. 
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = –x – 2. 
34) (Đề thi CĐ năm 2010 – Khối A, B, D) Cho hàm số y = 3 23 1x x  
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = –1. 
 Hướng dẫn: 
a) 0 1x    0 1y  và 
2' 3 6y x x   y(–1) = –3. Pt tiếp tuyến là y = –3x – 2. 
35) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối D) Cho hàm số 4 2 6y x x    . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1
6
y x  . 
 Hướng dẫn: 
b) Tiếp tuyến  vuông góc d : 1 1
6
y x   Phương trình tiếp tuyến () : y =  6x + b. 
 tiếp xúc (C)  hệ sau có nghiệm: 
4 2
3
6 6 1
104 2 6
x x x b x
bx x
        
    
. Vậy  : y =  6x + 10 
36) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối B) Cho hàm số 2 1
1
xy
x



. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Tìm m để đường thẳng 2y x m   cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AOB có diện 
tích bằng 3 
 Hướng dẫn: 
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (C) là 2 1 2
1
x x m
x

  

 2 1 ( 2 )( 1)x x m x     
(do x = –1 không là nghiệm phương trình)  22 (4 ) 1 0(1)x m x m     
(1) có  = 2 8m  > 0 nên (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt    1 1 2 2; , ;x y x y , với 1 12y x m   , 
2 22y x m   . Ta có  , 5
m
d O AB  và AB = 2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) 5( )x x y y x x     = 
2
2 1 1 25( ) 20x x x x  = 
25(8 )
2
m
.  1 . ,
2AOB
S AB d O AB = 
2 8
4
m m 
. 
Vì 3AOBS   
21 8 3
4
m m    m = 2 
37) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối A) Cho hàm số 3 22 (1 )y x x m x m     (1), m là số thực. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 2 2 21 2 3 4x x x   . 
 Hướng dẫn: 
THPT Tân Bình – Bình Dương. KHẢO SÁT HÀM SỐ 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 54 
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục Ox là 3 22 (1 ) 0x x m x m      
2 2( 1)( ) 0 1 ( ) 0 hoaëc (*)x x x m x g x x x m          , (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi (*) có 
2 nghiệm phân biệt  1 và 2 2 21 2 3 4x x x   , tức là 
2 2
2 3
1 4 0
(1) 0
3
m
g m
x x
   

  
  

1 4 0
10 1
4
1 2 3
m
m m
m
 

     
  
 và m  0 
38) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối D) Cho hàm số 2 1
1
xy
x



, m là số thực. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách 
từ A và B đến trục hoành bằng nhau. 
 Hướng dẫn: 
b) Pt hoành độ giao điểm: 2 1 2 1
1
x kx k
x

  

 k 2x + (3k – 1)x + 2k = 0 (x = –1 không là nghiệm) 
Ycbt  k  0 và  = 2 6 1 0k k    k < 3 2 2 3 2 2k    và k  0 (*) 
Khoảng cách từ A và B đến Ox bằng nhau  A By y  2 1 2 1A Bkx k kx k      
( ) 1 3 4 2 0
( ) 4 2 0
loaïiA B
A B
kx kx kk k
k x x k k
            
 k = – 3 thỏa đk (*). Vậy YCBT  k = – 3. 
39) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối B) Cho hàm số 4 22( 1)y x m x m    (1), m là tham số thực. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị 
thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. 
 Hướng dẫn: 
b) y =  3 24 4( 1) 4 ( 1)x m x x x m     ; y = 0  x = 0 hay 2x = m + 1. 
Hàm số có 3 cực trị  m + 1 > 0  m > –1. Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị A (0; m), 
B ( 1m  ; 2 1m m   ); C (– 1m  ; 2 1m m   ). 
Ta có: OA = BC  2 4( 1)m m   m = 2  2 2 (thỏa m > –1) 
40) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối A) Cho hàm số 1
2 1
xy
x
 


, m là số thực. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. 
Gọi 1 2,k k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng 1 2k k đạt giá trị 
lớn nhất. 
 Hướng dẫn: 2
1
(2 1)
y
x

 

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là 21 2 2 1 0
2 1
x x m x mx m
x
 
      

(*) (do x = 
½ không là nghiệm). (*) có  = 2 2 2 0,m m m    nên đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại 
hai điểm phân biệt A và B. 
Gọi 1 2,k k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại 1 1 2 2( ; ), ( ; )A x y B x y . Ta có 
2
1 2 1 2 1 2
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
4( ) 8 4( ) 21 1
(2 1) (2 1) [4 2( ) 1]
x x x x x xk k
x x x x x x
    
     
    
Với 1 2 1 2
1;
2
mx x m x x      , ta có 2 21 2 4 8 6 4( 1) 2 2k k m m m            1 2k k đạt 
giá trị lớn nhất bằng –2 khi m = –1.