Khái niệm nghiệm suy rộng của phương trình loại parabolic và mối liên hệ với nghiệm cổ điển

KHÁI NIỆM NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI NGHIỆM CỔ ĐIỂN
 (Nhóm 3)
Vài kí hiệu
Ta kí hiệu L là toán tử được xác định như sau
trong đó 
Với và là miền bị chặn trong ta kí hiệu 
 ở gần 
Bài toán Cauchy
Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính dạng
với 
với điều kiện ban đầu các hàm cho trước.
Nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy (1), (2) là hàm u mà và thỏa mãn đồng thời (1), (2).
Nghiệm suy rộng của bài toán (1), (2) trong không gian là hàm và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân
Ví dụ 1
Xét phương trình với điều kiện ban đầu 
Ta thấy hàm là (một) nghiệm cổ điển của bài toán (4), (5).
Nghiệm suy rộng của bài toán (4), (5) trong không gian là hàm và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân
Nhận xét
Đối với bài toán (1), (2) nếu có thêm điều kiện , thì mọi nghiệm cổ điển đều là nghiệm suy rộng, nhưng điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng chưa chắc đã là nghiệm cổ điểm, vì nghiệm suy rộng là hàm u(x,t) chỉ đòi hỏi có đạo hàm suy rộng theo x đến cấp 1 thuộc , còn nghiệm cổ điển thì phải có đạo hàm theo x đến cấp 2 và theo t đến cấp 1 liên tục.
Bài toán biên ban đầu
Bài toán biên ban đầu thứ nhất
Ta xét phương trình với điều kiện ban đầu ở đó là các hàm cho trước, và điều kiện biên 
Nghiệm cổ điển của bài toán biên ban đầu thứ nhất (7), (8), (9) là hàm và thỏa mãn đồng thời (7), (8), (9).
Nghiệm suy rộng của bài toán (7), (8), (9) trong không gian là hàm và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân
Ví dụ 2
Chẳng hạn phương trình với điều kiện ban đầu và diều kiện biên , hàm là (một) nghiệm cổ điển. Còn nghiệm suy rộng của bài toán (11), (12), (13) trong là hàm và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân
với mọi 
Nhận xét
Đối với bài toán (7), (8), (9) nếu thêm điều kiện trơn từng khúc, thì mọi nghiệm cổ điển đều là nghiệm suy rộng, nhưng điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng chưa chắc đã là nghiệm cổ điểm.
Ta sẽ chứng minh nhận xét này trong trường hợp 
Thật vậy, giả sử là một nghiệm cổ điển của bài toán (7), (8), (9) với điều kiện bổ sung . Vì lúc này nên u có đạo hàm cổ điển theo mọi biến đến cấp 2, theo biến t đến cấp 1 và các đạo hàm đó liên tục, trên cả và Vì là miền bị chặn trong nên là miền bị chặn trong , và compact trong . Do đó tồn tại số sao cho Ta thấy nên Ta thấy mọi đạo hàm cổ điển của u theo mọi biến đến cấp 2, theo biến t đến cấp 1, liên tục trên cả và , lập luận tương tự như trên suy ra các đạo hàm đó cũng thuộc . Mà các đạo hàm cổ điển này lại chính là đạo hàm suy rộng của u. Chứng tỏ các đạo hàm suy rộng đến cấp 1 của u là thuộc (17). Từ (15), (16), (17) suy ra Mặt khác trên Nên Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng u thỏa mãn (10) với mọi 
Nếu là hệ trực chuẩn trong , sao cho bao đóng tuyến tính của nó trong trùng với , và kí hiệu , thì ta có tính chất trù mật trong Do đó với mỗi tức là luôn tồn tại dãy hội tụ tới trong với (nếu tổng này là tổng hữu hạn thì ta coi với k đủ lớn). Vì , mà là bao đóng của trong nên trù mật trong , nghĩa là tồn tại dãy hội tụ tới khi trong Do trù mật trong , và nên tồn tại dãy hội tụ đến khi trong Khi đó Do u là nghiệm cổ điển của bài toán đang xét nên nó thỏa mãn (7). Nhân hai vế của (7) với rồi lấy tích phân hai vế ở trên ta được
Ta có Ta phân tích thành hợp của ba tập đôi một có giao là tập có thể tích 0 như sau mà u = 0 trên khi xét trên thì và là vectơ pháp tuyến ngoài của biên xét trên đáy trụ cho ta còn trên thì , ta thu được Tương tự 
Vì = 0 trên với là vectơ pháp tuyến ngoài của xét trên các đáy trụ nên Do đó ta thu được đẳng thức tích phân 
 Cho thì nên 
Lần lượt cho k = 1, 2, 3, , k0 rồi cộng k0 đẳng thức này lại, cho , mà , nên ta có
Cho thì ta thu được 
Nhưng nên 
Như vậy với mọi thì đẳng thức (10) được thỏa mãn với u là nghiệm cổ điển đang xét (19). Từ (18) và (19) chứng tỏ u là nghiệm suy rộng của bài toán (7), (8), (9).
Ta thấy rằng nghiệm suy rộng của bài toán (7), (8), (9) trong không gian là hàm , khi đó u có đạo hàm suy rộng theo x đến cấp 1, trong khi nghiệm cổ điển của bài toán này đòi hỏi phải có đạo hàm theo x đến cấp 2 và theo t đến cấp 1, do đó u chưa chắc đã là nghiệm cổ điểm của bài toán đó.
Bài toán biên ban đầu thứ hai và thứ ba
Ta xét phương trình (7) với điều kiện ban đầu (8) và điều kiện biên sau đây
 ở đó với là vectơ đơn vị ngoài tới mặt còn là hàm cho trước xác định trên Khi hoặc thì bài toán (7), (8), (20) tương ứng được gọi là bài toán biên ban đầu thứ hai hoặc thứ ba.
Nghiệm cổ điển của bài toán (7), (8), (20) là hàm u(x, t) mà và đồng thời thoả mãn (7), (8), (20).
Nghiệm suy rộng của bài toán trong là hàm thoả mãn đồng nhất thức tích phân
Tương tự như trên, với điều kiện trơn từng khúc, ta thấy mọi nghiệm cổ điển của bài toán (7), (8), (20) đều là nghiệm suy rộng của nó, nhưng điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng của bài toán đó chưa chắc đã là nghiệm cổ điểm. Lúc này lưu ý
Ví dụ 3
Cho phương trình với điều kiện ban đầu Ta xét bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình này với điều kiện biên lúc này là Ta lưu ý rằng mà lúc này nên điều kiện biên (25) được viết lại thành 
Nghiệm cổ điển của bài toán đang xét là hàm u(x, t) thoả mãn 
Nghiệm suy rộng trong của bài toán là hàm sao cho