Hướng dẫn tính nguyên hàm, tích phân

HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (1) 
I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 
 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm 
các hàm số thƣờng gặp để tính 
 Ví dụ 1 : Tính I = = 
 2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng 
 I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x . 
 *1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành 
tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu 
thức ,hoặc tử thức là hằng số : 
 = q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là 
hằng số.Hàm số y = nếu có thể đƣợc thì biến đổi y = = + với bậc p(x) bé hơn 
bậc r(x) họăc p(x) là hằng số.Ta có : = + + + 
 Nhƣ vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = , I = 
Bậc r(x) , bậc p(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) . p(x) là hằng số. 
 *2. Tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số. 
+ Dạng I: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b). I1 = = = ln + C . 
 Ví dụ2 : I = = = ln(5x+3) + C 
+ Dạng II: với a .( đặt U = ax+b ) . I2 = = = + C 
 Ví dụ3 : I = = = + C . 
+ Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số 
 I3 = .Tùy vào sự có nghiệm hay vô nghiệm của g(x) = ax
2+bx+c .Ta chỉ 
cần xét với a = 1 .Vì nếu a thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đƣa hằng số ra ngoài dấu tích 
phân.Có I3 = = Với b1 = , c1 = 
 Xét I3 = 
HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (2) 
 a -Nếu x2+bx+c = (x- x1)(x- x2) Thì dùng phƣơng pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao 
cho : = + . 
 Do đó : I3 = = A + = Aln(x-x1)+Bln(x-x2) + C 
 Ví dụ 4: I = = - = ln + C 
 Vídụ 5: I = = dx = 
 = - ( - ) = ln - .ln + C 
 b -Nếu x2+bx+c = (x- x0)
2
 .(x0 là nghiệm kép của mẫu thức ) 
Hai trƣờng hợp : 
 * Trƣờng hợp h(x) là hằng số a,ta có : I3 = = = - + C 
 (Dạng I2 khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ) 
 *Trƣờng hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0) . 
Biến đổi: = = + . Do đó ta có: 
I3 = = + (q - ) = + ( - q). + C 
 Vídụ 6: I = = .dx = - 8 
 = - 8 = 3.ln + + C 
 c -Nếu x2+bx+c = 0 vô nghiệm . 
Ta biến đổi: = = + 
Do đó: = + (q - ) 
HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (3) 
 = + C + (q - ) 
Nguyên hàm : J = dạng I = , với u = x + và a = 
Nguyên hàm I = . Đặt u = atant ,Thì: du = a(1 + tan2t)dt và u2+a2 = a2(1 + tan2t) Ta có: 
 I = = = = + C 
 Vídụ 7: I= = - 8 = - 8 
+ Dạng IV : I4 = .Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng 
số 
 a-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c có 3 nghiệm phân biệt , x3+ax2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3) 
Bằng phƣơng pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : 
 = + + Do đó : 
I4 = = + + = A.ln +B.ln + C.ln +D 
 b-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x- x0)
2
 với x1 x0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn) 
Thì bằng phƣơng pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + 
Do đó : I4 = = + = + .dx 
 = A + + 
 = A.ln + .ln + (Bx0-C). + D 
 c-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x
2+px + q) , trong đó x2+px+q = 0 vô nghiệm 
Thì Bằng phƣơng pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : 
HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (4) 
 = + 
Ta có : = + = + + 
Do đó : I4 = = A + . + . 
 = A.ln + .ln + (C - ) + D 
Nguyên hàm : J = = (Đã nói rõ ở Dạng III:c-Nếu mẫu thức vô nghiệm) 
 d-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x – x0)
3
 .Bằng phƣơng pháp hệ số bất định tìm các số A. B, 
C sao cho : = + + . Do đó ta có : 
 = + + = - + C.ln + D 
-Nếu h(x) là hằng số A thì : = = A = + C 
Trường hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi = 
Do đó: I4 = = + .Với p1= p- ; q1= q - 
Nguyên hàm dạng : j = đã nêu rõ ở trên 
Bài tập: Tính nguyên hàm 
1. I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = 
2. I = ; I = ; I = ; I = ; I = 
3. I = ; I = ; I = ; I = ; ; I = 
HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (5) 
 4. I = ; I = ; I = I = ; 
 5. I = ; I = ; I = I = 
6. a/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) 
 b/ I = 
2
1
3 xx
dx
; Chú ý: 
 c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4) 
 d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x
2
+2x+3) 
 e/ I = = + + 
 g/ I= Chú ý: = (x-2)(x
2
+4x+4) 
7. a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4) 
 b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4) 
 c/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) 
 d/ I = Chú ý : = (x+1)(x
2
-x+1) 
8. I = 
Hƣớng dẫn : Tìm các số A,B,C,D,E để = + + 
9. I = = .dx ( , đặt x = tant ) 
10.I = (Hd:I = +3 - 2 ) 
11. I = I = I = I = 
HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (6) 
12.I = I = I = = - 3 + 
13. I = (Hd : I= 3 - + 5 ) 
14. I = (Hd : I= 3 + 2 - 2 ) 
15. I = (Hd : I= 3 + 5 - 7 ) 
16. I = (Hd : I = 2 + 5 - 3 ) 
17. (Hd : I = -4 + - ) 
CHÚ Ý: 
 Tích phân các hàm hữu tỷ có vai trò quan trọng. Nhiều bài toán Tích phân 
hàm số Lƣợng giác , tích phân hàm số có chứa căn thức – bằng cách đổi biến số 
,đƣa về tích phân của hàm hữu tỷ 
 Khi học cũng nhƣ ôn tập ,nên theo tuần tự từ dễ đến khó .Tôi đã biên soạn 
theo tuần tự khoa học . Những dạng bài tập trình bày sau vận dụng các kiến thức 
của dạng bài tập trình bày trƣớc để giải – có trật tự logic ,khoa học. 
 Sắp tới có 
Phần II : Nguyên hàm các hàm số lƣợng giác 
Phần III : Nguyên hàm các hàm số có chứa căn thức (Hàm vô tỷ) 
 Các bạn đón đọc trên trang  
 Chúc các bạn thành công. 
 Tân kỳ ,Giáng sinh 2009 
 TRẦN ĐỨC NGỌC