Hướng dẫn giải một số bài tập về thể tích khối đa diện trong chương trình Toán THPT

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT
1. Thể tích của khối chóp
 Trong phần này ta sử dụng định lý: Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao V = B.h trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao
Bài 1 
 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh . Từ A kẻ và . Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE?
Phân tích - tìm lời giải
Ta có: AD, AE là các đường cao trong tam giác SAB, SAC
Để tính thể tích của chóp S.ADE 
ta phải đi tìm được diện tích đáy 
và độ dài đường cao
- Xác định đường cao:
 do 
ta chỉ ra và do đó: 
Kết hợp giả thiết với
 do đó: 
Suy ra: SE là đường cao của chóp S.ADE
- Diện tích tam giác ADE: 
 AD, AE là các đường cao xuất phát từ góc vuông nên:
 AS.AB = AD.SB, AE.SC = AS.AC
Áp dụng định lý Pytago trong ADE ta có:
 DE = 
Từ đó ta tính được diện tích
Độ dài đường cao: SE = 
Thể tích cần tính :
 V = 
 Trình bày lời giải 
Tính đường cao: vuông tại B nên 
 Giả thiết cho: 
AD là đường cao trong tam giác SAB
Mặt khác : 
 Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE
Độ dài SE:
Áp dụng ĐL Pytago trong tam giác SAE có:
 = 
Diện tích tam giác ADE: 
DE = = 
S = = 
 = 
Thể tích:
 V = 
 = 
Nghiên cứu lời giải
Xét một cách giải khác như sau: DE (SAB) và BC (SAB) => DE // BC
 Áp dụng ĐL Pytago trong các tam giác vuông ASD, ASE, ASC ta có:
 SD2 = AS2 - AD2; SE2 = AS2 - AE2, SB2 = SA2+AB2
 SC2 = SA2+AC2 = SA2 + AB2 + AC2
Lập các tỷ số:
 = 
 = 
 => 
 = 
 => = .
 = . 
	= (đvtt)
Bt Tương tự
Bài 2
 Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a. Cạnh , góc. Tìm thể tích của khối chóp S.ABC?
Bài 3 
 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2). Gọi M là trung điểm của SC và mặt phẳng (ABMD) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN?
Bài 4
 Cho hình vuông ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax và Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng đáy. Lấy điểm trên Ax, lấy trên Cy. 
Đặt AM = m, BN = n.
 Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n?
Bài 5
 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh , SA = 2a. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Tính thể tích của khối chóp ABCNM
Bài 6
 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc giữa đường thẳng BE với mặt phẳng (ABC) bằng . Tam giác ABC vuông tại C, góc , hình chiếu vuông góc của E lên (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của tứ diện D.ABC?
Bài 7
 Cho tứ diện ABCD gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, là góc giữa hai đường thẳng đó. Tính thể tích của tứ diện ABCD?
Bài 8
 Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đỉnh A trùng với gốc tọa độ, điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b), M là trung điểm của CG. Tính thể tích của khối tứ diện BDEM theo a và b?
Bài 9
 Tính thể tích của khối tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau 
 AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c?
Bài 10 ( Khối A – 2007 )
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều, , gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD. Tính thể tích của khối chóp CMNP theo a?
Bài 11 ( Khối A – 2009 )
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng , gọi I là trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SDI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a?
Bài 12 ( Khối B – 2006 )
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a, SA = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N là trung điểm của AD, SC, I là giao điểm của AC và BM. Tính thể tích của tứ diện ANIB? 
Bài 13 ( Khối A – 2008 )
 Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF có độ dài cạnh bên bằng 2a. Đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a. Hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm G của cạnh BC. Tính thể tích của khối chóp G.ABC?
2. Thể tích của khối lăng trụ
 Trong phần này ta sử dụng định lý: Thể tích của hình lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
 V = B.h trong đó : B là diện tích đáy
 h là chiều cao
Bài 1
 Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và ED bằng 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích khối lăng trụ ?
 Phân tích - tìm lời giải
 Thể tích cần tìm là V = AE
do đó để tính được thể tích ta phải đi 
xác định độ dài đường cao AE và 
diện tích đáy 
 đường cao AE tính được nhờ vào 
hệ thức AK2 = KE.KD 
Để tính diện tích đáy 
ta đi tìm chiều dài và chiều rộng 
của đáy 
 AD, ED là hai đường thẳng chéo nhau nên khoảng cách giữa chúng bằng độ dài đoạn vuông góc chung giữa chúng.
 Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED AE = d(AB,ED) = 2
 Nếu đặt KE = x và AK là đường cao trong tam giác ADE thì từ hệ thức 
 AK2 = KE.KD ta tính được x, với mỗi x ta tính được AE, từ đó ta tính được thể tích 
 Trình bày lời giải
 Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED 
 Ta có: AB // do đó AB // (EFD) d(A,EFD) = d(AB,ED)
 Mà (EFDA) 
nên AK 
 AK = d(A,EFD) = d(AB,ED) = 2
Đặt EK = x ( 0 x 5 ). Trong tam giác vuông AED ta có: AK2 = KE.KD
 4 = x(5-x) x2 - 5x + 4 = 0 
Với x = 4 ta có AE = 
 V = AE. = (đvtt)
Với x = 4 ta có AE = 2 V = 10(đvtt)
Bài 2
 Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.DEF là tam giác đều. Mặt phẳng đáy tạo với mặt phẳng (DBC) một góc . Tam giác DBC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ đó?
Bài 3
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình bình hành và góc = , các đường chéo EC và DF tạo với đáy các góc và . Chiều cao của lăng trụ bằng 2. Tính thể tích của lăng trụ đó?
Bài 4
 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EGH có đáy ABC là tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng . Biết mặt phẳng (AED) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AE = . Góc là góc nhọn, góc giũa mặt phẳng (AEC) với (ABC) bằng . Tính thể tích của lăng trụ?
Bài 5
 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH có đáy là hình thoi có độ dài cạnh bằng a. Góc = , . Tính thể tích của khối lăng trụ đó?
Bài 6
 Cho lăng trụ ABC.DEF có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. M là trung điểm của AD, góc = . Tính thể tích của lăng trụ đó?
3. Thể tích của khối hộp chữ nhật
Trong phần này ta sử dụng định lý sau: 
 Thể tích của một khối hộp bằng tích độ dài ba kích thước của khối hộp đó 
 V = a.b.c = B.h trong đó: a, b, c là ba kích thước 
 B là diện tích đáy
 h là chiều cao
Bài 1
 Cho khối hộp ABCD.EFGH có tất cả các cạnh đều bằng a, = = ( 0 ). Tính thể tích khối hộp đó?
 Phân tích - tìm lời giải
 Ta xác định đường cao 
 Thể tích: V = AB.AD.EM.sin, đặt = ta có: cos = cos
 Hay cos = , EM = a.sin = 
 Trình bày lời giải
 Hạ 	(1)
 Tam giác EBD cân tại E ( do EB = ED )
 Mà (2) 
Từ (1) và (2) ta có: hay EM là đường cao
Đặt = , hạ (định lý ba đường vuông góc)
 cos = = = cos
cos = EM = a.sin = 
	 = 
Thể tích cần tính: 
	V = AB.AD.EM.sin
 = 
 = (đvtt)
Bài 2
	Cho khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đáy là hình chữ nhật có AB =, AD = , hai mặt bên (ABDE) và (ADEH) lần lượt tạo với đáy các góc và , độ dài tất cả các cạnh bên đều bằng 1. Tính thể tích của khối hộp đó?
Bài 3
	Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo bằng d, đường chéo tạo với đáy góc , tạo với mặt bên lớn góc , tính thể tích của khối hộp đó?
Bài 4
 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a, AD = b, góc , đường chéo AD tạo với đáy góc . Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó?
Bài 5
	Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC, qua mỗi cạnh của tứ diện kẻ mặt phẳng song song với cạnh đối diện, các mặt phẳng nhận được xác định một hình hộp:
Chứng minh hình hộp nói trên là hình hộp chữ nhật?
CMR 
Gọi IJ, EF, MN là các đường trung bình của tứ diện.
 CMR: IJ.MN.EF
Bài 6
	Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, M là trung điểm của AD, mặt phẳng (ABM) cắt đường chéo AG tại I, tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo bởi mặt phẳng (EBM) cắt hộp?
4. Bài toán cực trị thể tích
Bài 1
	Cho hình chóp S.ABC có SA = x, SB = y, các cạnh còn lại bằng 1, với giá trị nào của x, y thì thể tích của khối chóp là lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó?
 Phân tích - tìm lời giải
Gọi M, N là trung điểm của 
SA, BC thì (MBC) chia khối chóp 
làm hai phần bằng nhau S.MBC 
và A.MBC, ta có 
SM là đường cao, 
SM = , tam giác MBC 
là tam giác cân nên:
 = MN.BC = 
 = , = , sau đó ta đánh giá dựa vào BĐT Cauchy thu được kết quả V 
Dấu “=” xảy ra khi x = y = 
 Trình bày lời giải
 Gọi M, N là trung điểm của SA, BC ta có: = 2., các tam giác ABS, ACS có: BA = BS, CA = CS ABS = ACS và là các tam giác cân
Ta có: ,
 SM là đường cao, SM = 
Tính diện tích đáy: 
MB = MC = , MN = = 
 = MN.BC = 
Thể tích: = = 
 = 
Ta có: ( x-y)2 0 x2 + y2 2xy 
 = 
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số , , (2-xy)
ta có:(2-xy) = 
V = , dấu bằng xảy ra khi 
	 x = y = 
Bài 2
 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a, gọi là góc giữa mặt bên với mặt đáy, với giá trị nào của thì thể tích của khối chóp là lớn nhất?
Bài 3
 Cho tam giác đều OAB có AB = a, trên đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M, đặt OM = x. Gọi E, F lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB. Đường thẳng EF cắt d tại N. Xác định x để thể tích khối chóp ABMN là nhỏ nhất? 
Bài 4
 Cho hình chóp S.ABCD có 7 cạnh bằng 1, cạnh bên SC = x. Tính thể tích của khối chóp, với giá trị nào của x thì thể tích là lớn nhất?
Bài 5
	Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, một góc chuyển động trên đáy quay quanh điểm A các cạnh Ax, Ay cắt CB và CD tại M, N, đặt BM = x, CN = y, tìm x, y để thể tích của đạt GTLN?
Bài 6
	Cho hình chóp S.ABC trong đó , ABC là tam giác vuông cân tại C. Giả sử SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp là lớn nhất, tìm giá giá trị lớn nhất đó?
Bài 7 ( Đề số 21- Chuyên đề luyện thi vào ĐH - Trần Văn Hạo)
	Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Xét tam diện Oxyz. Điểm M cố định nằm trong góc tam diện. Một mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) lần lượt là a, b, c. Tính OA, OB, OC theo a, b, c để thể tích khối tứ diện là nhỏ nhất? 
2.2.5. Chứng minh hệ thức hình học bằng phương pháp thể tích
	Để chứng minh các hệ thức trong khối đa diện ta có thể sử dụng các kiến thức về thể tích để giải như sau:
 Gắn bài toán cần chứng minh vào một hệ thức nào đó về thể tích, các hệ thức này thường là: Thể tích của một khối nào đó có thể biểu diễn thành tổng hoặc hiệu các thể tích của khối đa diện cơ bản ( như khối chóp, khối lăng trụ )
 Với các hệ thức về thể tích ấy sau các phép biến đổi tương đương đơn giản ta nhận được điều phải chứng minh. 
Bài 1
 Cho tứ diện ABCD, điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r. Gọi lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện.
 CMR: 
Hướng dẫn giải
Khối tứ diện ABCD được chia thành 4 khối tứ diện OBCD, OCAD, OABD, OABC. Ta có:
, 
, 
Cộng vế với vế của các 
đẳng thức trên ta có:
 ( đpcm ) 
Khóa luận hướng dẫn giải 3 bài và đưa ra 3 bài tập đề nghị về phần này 
Bài 2
	Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm nằm trong tứ diện đến các mặt đối diện của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm nằm trong tứ diện đó?
Bài 3 
 Cho góc tam diện vuông Oxyz đỉnh O trên Ox, Oy, Ox lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho: OA + OB + OC + AB + AC + BC = L, gọi V là thể tích của tứ diện ABCD. CMR: 
Bài 4
 Cho OABC là tứ diện vuông tại đỉnh O, với OA = a, OB = b, OC = c, gọi r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện. 
 CMR: 
Bài 5
 Chứng minh khoảng cách từ một điểm nằm trong hình lăng trụ đến các mặt của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm nằm trong lăng trụ đó?
Bài 6
 Cho hình chóp tam giác có , trong đó a, b, c là ba cạnh của tam giác đáy. Các góc , , tương ứng là các góc nhị diện cạnh a, b, c. Chứng minh tổng khoảng cách từ một điểm O trên mặt đáy đến các mặt xung quanh của hình chóp là một hằng số? 
Bài 7 Cho tứ diện ABCD cạnh AB = a, gọi , là diện tích hai mặt (CAB) và (DAB), là góc nhị diện của hai mặt này, gọi V là thể tích của tứ diện ABCD. 
CMR: V = 
Dẫu có bạc vàng trăm vạn lượng
Chẳng bằng kinh sử một vài pho
 “ Lê Quý Đôn”