Hình học trong hệ tọa độ (Oxy)

HÌNH HỌC TRONG HỆ TỌA ĐỘ (OXY)
I/ Tóm tắt lý thuyết:
 1/ Đường thẳng:
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng: Ax+By+C=0 (1) ( với A2+B2 >0) 
 Chú ý:
Đường thẳng (1) có một véctơ pháp tuyến là =(A;B), véctơ chỉ phương hoặc .
Đường thẳng D đi qua M(x0 ;y0) có véc tơ pháp tuyến là =(A;B) phương trình có dạng: A(x-x0) + B(y-y0) = 0 
Đường thẳng D //D1 có phương trình là Ax+By+C=0 thì phương trình của D có dạng Ax+By+C/ = 0 (C/¹C)
Đường thẳng D D 1 : Ax+By+C=0 thì phương trình của D có dạng Bx-Ay+C/=0 hoặc -Bx+Ay+C/=0 .
 b) Phương trình tham số của đường thẳng: (1) với a2+b2 >0 
Chú ý: Đường thẳng (1) có một véc tơ chỉ phương là và đi qua một điểm là: M(x0;y0), véctơ pháp tuyến là =( b;-a) hoặc =( -b; a) 
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng: với a, b đều khác không
d) Công thức tìm góc giữa 2 đường thẳng.
Giả sử hai đường thẳng và lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là: =(A1 ;B1) ; . Gọi là góc giữa hai đường thẳng đó ta có: 
e) Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 
 Giả sử trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M0 (x0 ;y0 ) và đường thẳngcó phương trình Ax +By +C = 0 (A2 +B2) ta có: d (M0 , )=
 2/ Đường tròn:
a) Phương trình đường tròn. 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ, một đường tròn tâm I (a ;b ) bán kính R có tổng quát là : 
 (x – a )2 + ( y -b)2 =R2 .
Phương trình x2+y2 +2Ax + 2By + C = 0 với A2+B2-C > 0
 Là phương trình dạng khai triển của đường tròn tâm I(-A; -B), bán kính R=
 3/ Elíp:
a.Định nghĩa :
 Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định F1 và F2 , với F1F2 = 2c >0 . Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF1 +MF2=2a (a là một số không đổi lớn hơn c) gọi là một elíp .
Hai điểm F1 và F2 gọi là tiêu điểm của elíp 
Khoảng cách 2c giữa hai tiêu điểm gọi là tiêu cự của elíp 
Nếu điểm M nằm trên elíp thì khoảng cách MF1 và MF2 gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M 
Ta có 
b.Phương trình chính tắc và các kiến thức liên quan 
Phương trình 
(a>b>0) (1) (Phương trình chính tắc)
Biểu thức liên quan giữa a,b,c
b2= a2 – c2 (a>c)
Tiêu điểm
F1(-c;0); F2(c;0)
Tiêu cự
F1F2 = 2c
Trục lớn, độ dài
A1A2 ; 2a
Trục nhỏ, độ dài
B1B2 ; 2b
Toạ độ các đỉnh
A1(-a;0) ;A2(a;0); B1(0;-b ); B2(0;b)
Tâm sai
e =
Bán kính qua tiêu
F1M=a+ ex; F2M=a-ex
Ph tr các cạnh hình HCN cơ sở
x=±a ; y=±b 
Phương trình các đường chuẩn
x=±
Kh cách giữa 2 đường chuẩn là 
2
Ph trình tiếp tuyến tại M(x0;y0) Î (E)
Đ/k d: Ax+By+C=0
Tiếp xúc (E)
A2. a2 + B2. b2 = C2
II/ Bài tập 
Bài 1 : Cho điểm A( 2, 4 ) . Viết phương trình đường trung trực (d) của đoạn OA , suy ra phương trình đường tròn (C) có tâm I trên trục hoành và qua hai điểm O , A .
Bài 2 : Cho tam giác ABC , hai cạnh AB , AC theo thứ tự có phương trình x + 2y – 2 = 0 và 2x + 6y + 3 = 0 , Cạnh BC có trung điểm M( - 1 , 1 ) . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Bài 3 : Cho elip (E) :và điểm M( 1 , 1 ) . Tứ M kẻ hai tiếp tuyến MT , MT’ (T , T’ là các tiếp điểm ) với (E) . Viết phương trình đường thẳng TT’ .
Bài 4 : Cho 2 điểm A( - 1 , 2 ) , B( 3 , 4 ) . Tìm điểm C trên đường thẳng d :x – 2y + 1 = 0 sao cho tam giác ABC vuông tại C .
Bài 5 : Cho đường thẳng (d) : x – y + 1 = 0 và đường tròn (C) : . Tìm trên (d) điểm M mà qua đó kẻ được 2 đường thẳng tiếp xúc (C) tại A , B sao cho góc AMB là 600 .
Bài 6 : Cho đường thẳng (d) : x – y – 1 = 0 và đường tròn (C) : . Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng (C) qua (d) . Tìm giao điểm của (C) và (C’) .
Bài 7 : Viết phương trình đường thẳng (D) qua A(8,0) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích là 6 .
Bài 8: Tam giácABC vuông cân tại A có trọng tâm và M(1,-1 ) là trung điểm BC . Tìm A , B , C 
Bài 9 : Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn biết tiếp tuyến qua A(2,1) . Viết phương trình đường thẳng qua 2 tiếp điểm .
Bài 10 : A(4,3) , B(2,7) , C(-3,-8) , AD là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm ABC. Chứng minh BHCD là hình bình hành .
Bài 11 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : (C) :và (C’) : 
Bài 12 : Cho tam giác ABC với A(3,3) , B(2,-1) , C(11,2) . Viết phương trình đường thẳng (D) qua A chia tam giác thành hai phần và tỉ số diện tích của hai phần ấy là 2 .
Bài 13 : Cho hình chữ nhật OABC theo chiều thuận có A(2,1) và OC = 2OA .Tìm B , C .
Bài 14 : Hình thoi có một đường chéo có phương trình : x + 2y – 7 = 0 , môt cạnh có phương trình : x + 7y – 7 = 0 , một đỉnh (0,1) . Tìm phương trình các cạnh hình thoi 
Bài 15 : A(1,-1) , B(3,2) . Tìm M trên Oy để MA2 + MB2 nhỏ nhất .
Bài 16 : Cho đường tròn (Cm) : .
 a. Định m để (Cm) là một đường tròn .
 b. Tìm m để từ A(7,0) kẻ được hai tiếp tuyến với (Cm) và hai tiếp tuyến hợp với nhau góc 600
Bài 17 : Viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết đỉnh A(1,3) , phương trình hai trung tuyến : x – 2y + 1 = 0 , y – 1 = 0 .
Bài 18: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 8, hai đỉnh A(1,-2) ; B(2, 3) Tìm tọa độ đỉnh C biết C nằm trên đt (d): 2x + y – 2 = 0.
Bài 19: Cho tam giác ABC biết diện tích bằng 3/2, hai đỉnh A(2, -3) ; B(3, -2) và trọng tâm G nằm trên đt (d): 3x – y -8 = 0.
Bài 20: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(5, -4) và phương trình đường chéo BD: x – 7y – 8 = 0. Viết phương trình các cạnh và đường chéo còn lại của hình vuông.
Bài 21:Lập phương trình đường tròn (C) qua A(3;1)và tiếp xúc với đường thẳng 3x– 14y–13=0 tại B(9;1).
Bài 22: Lập phương trình đường tròn (C) có bán kính 5 và tiếp xúc với 2 đường thẳng 4x+3y-5=0 và 3x-4y-25=0.
Bài 23: Lập phương trình đường tròn (C) qua 2 điểm A(-1;2), B(3;0) và có tâm nằm trên đường thẳng 5x + y – 6 = 0
Bài 24: Trên mặt phẳng Oxy cho điểm 
a/ Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết một tiêu điểm là F1 ( -3, 0) và (E) đi qua điểm A.
b/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0,5) và tiếp xúc với (E).
Bài 25: Trên mặt phẳng Oxy cho elip (E) có phương trình: x2 + 9y2 = 9.
a/ Tìm độ dài các trục, tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm, tâm sai của (E).
b/ Tìm các điểm M trên (E) sao cho điểm M nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.
c/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua điểm A(3,4).
HÌNH HỌC TRONG HỆ TỌA ĐỘ (OXYZ)
I/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
 1/ Pt tổng quát của mp(a): Ax + By + Cz + D = 0 ta coù 1VTPT = (A; B; C)
Chuù yù :
 - Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn: 1 ñieåm đi qua vaø 1 veùctô phaùp tuyeán
 -Maët phaúng qua 1 ñieåm M(x0;y0) và có 1 veùctô phaùp tuyeán = (A; B; C) phương trình là: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)= 0
2.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : 
3. Vò trí töông ñoái cuûa hai mp (a1) vaø (a2) :
 ° ° 
 ° · 
 4.KC từ M(x0,y0,z0) đến (a) : Ax + By + Cz + D = 0 : 
 5.Goùc giữa hai maët phaúng : 
 6.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua M(xo ;yo ;zo) coù vtcp = (a1;a2;a3)
7.Phöông trình chính taéc cuûa (d) 
8.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng : Cho 2 đường thẳng:
d1 :x=x1+a1t; y=y1+a2t ; z=z1+a3t có véctơ chỉ phương=(a1;a2;a3) và M1 (x1, y1, z1) Î d1 
d2 :x=x2+b1t/; y=y2+b2t/ ; z=z2+b3t/ có véctơ chỉ phương=(b1;b2;b3) và M2 (x2, y2, z2) Î d2
. 
 * d1// d2 Û *d1º d2 Û 
* d1 cắt d2 Û *d1 chéo d2 Û 
* Đặc biệt d1^d2 Û 
9.Góc giữa 2 đường thẳng : 
10.Khoảng cách giữa từ M đến đường d1: 
11. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d1 ;d2)=d(M1 ;d2).
12.Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: 
13.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R: (1)
14.Phương trình (2) () laø phöông trình maët caàu: Taâm I(-A ; -B ; -C) vaø 	
15: Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu
	Cho vaø a : Ax + By + Cz + D = 0 
	Goïi d = d(I,a) : khoảng caùch töø taâm mc(S) ñeán mp(a ):
d > R : (S) Ç a = f
d = R : a tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, a: tieáp dieän)
ª d < R : a caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt 
II/ Bài tập
Bài 1 : Cho mặt phẳng (P) : x – y + z +3 = 0 và hai điểm A(-1,-3,-2) , B(-5,7,12) .
Tìm điểm A’ đối xứng A qua mặt phẳng (P) .
Điểm M chạy trên (P) . Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + MB .
Bài 2: Cho đường thẳng d : và ba điểm A(2,0,1) , B(2,-1,0) , C(1,0,1) .
	Tìm điểm S thuộc đường thẳng d sao cho nhỏ nhất .
Bài 3: Cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 và mặt cầu (S) có phương trình :
	 .
	Tìm m để (P) tiếp xúc (S) , khi đó tìm tiếp điểm của (P) và (S) .
Bài 4: Cho điểm M(1,2,-2) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + 2z + 5 = 0. Lập phương trình 
mặt cầu (S) tâm M sao cho (S) cắt (P) theo một đường tròn có chu vi là .
Bài 5: Tìm tâm và bán kính đường tròn (C):
Bài 6 : Lập phương trình mặt cầu (S) tâm A(1,2,-1) và (S) tiếp xúc đường thẳng 
Bài 7: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : ,
(P):2x-y-2z+1=0.
(ĐHBK-98):Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.
(ĐHBK-98):Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2,-1,3) qua đường thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB=12.
Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 16?
Bài 8: (CĐSP TP.HCM-99): Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
 và (P):2x+y+z-1=0
Xác định số đo góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng (d1) đi qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P).
Bài 9: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
và (P): x+z+2=0
Xác định số đo góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
Lập phương trình đường thẳng (d1) là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
Bài 10: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P)có phương trình : ,(P):2x-y-2z+1=0
Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng(d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.
Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2,-1,3) qua đường thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
Bài 11: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
 và (P): x+2y+z-1=0.
Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng(d) sao cho khoảng cách từmỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng .
Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2,0,-1) qua đường thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
Bài 12: : (PVBC 99) Cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết:
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) .
Bài 13: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) cắt nhau.
Viết phương trình đường phân giác của (d1),(d2)
Bài 14: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :
 , 
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.
Viết phương trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d1),(d2) .
Bài 15: (ĐHTCKT-2000): Cho điểm A(2,3,5) và mặt phẳng (P) có phương trình :2x+3y+z-17=0
Lập phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông gócvới (P).
CMR đường thẳng (d) cắt trục 0z , tìm giao điểm M của chúng.
Xác định toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (P).
Bài 16: (Đề dự bị 1 khối B năm 2007)Trong không gian Oxyz cho các điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); và mặt phẳng (P): x + y + z = 0
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm M Î (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
Bài 17: (Đề dự bị 2 khối A năm 2007)Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng D // (d) và cắt các đường AB, OC.
Bài 18: (Đề dự bị 1 khối A năm 2007)Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
2. Tìm tọa độ điểm M Î (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK.
Bài 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD.
Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng : và điểm . Tìm toạ độ điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng . 
Bài 23: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng D đi qua , song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng .
Bài 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d) . Viết phương trình đường thẳng D // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC.
Bài 26: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (–1; 3; –2), B (–3; 7; –18) và mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0
	1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
	2. Tìm tọa độ điểm M Î (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.