Hình học không gian Oxyz luyện thi đại học

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Phần 1: Lí thuyết : 
1. Mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT =(A;B;C) phương trình là:
 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Ax + By + Cz + D = 0
2.Đường thẳng (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP =(a,b,c) có:
 * Phương trình tham số là: với t R 
* Phương trình chính tắc là: (a.b.c ≠ 0)
3.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R : 
4. Phương trình (2) () 
 laø phöông trình maët caàu Taâm I(-A ; -B ; -C) vaø 	
5.Công thức tính góc giữa hai đường thẳng :
 trong đó lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng
6. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
 trong đó lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng 
7. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng : 
trong đó lần lượt là hai VTPT của hai mặt thẳng
8. Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm 
9. Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0z0) đến mặt phẳng (a): Ax+by+Cz+D=0 là: 
10. Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng D đi qua M0 và có vectơ chỉ phương là: 
11. Khoảng cách giữa hai đường thẳng D và D’chéo nhau: 
trong đó D đi qua điểm M0, có VTCP . Đường thẳng D’ đi qua điểm , có VTCP . 
12. Công thức tính diện tích hình bình hành :	 
13. Công thức tính diện tích tam giác : 
14. Công thức tính thể tích hình hộp : 	
15. Công thức tính thể tích tứ diện : 	
2/ Một số bài toán tổng hợp về mặt phẳng :
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : và d’ : .
Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với d’
Giải
.Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương 
 Đường thẳng d’ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương 
Ta có , , do đó vậy d và d’ chéo nhau.
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là nên có phương trình: hay 
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : và d’ : .
 Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và tạo với d’ một góc 
Giải.
.Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương 
 Đường thẳng d’ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .
Mp phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến vuông góc với và . Bởi vậy nếu đặt thì ta phải có :
Ta có . Vậy hoặc .
Nếu ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó , tức là và có phương trình 
 hay 
Nếu ta có thể chọn , khi đó , tức là và có phương trình hay 
Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : và 
 . Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) và hợp với (d2) một góc 300.
Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phương trình: . Viết phương trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 1.
Giải
Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2
Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ làm véctto pháp tuyến có PT: 
Từ giả thiết:
 tìm được a, b, c suy ra PT mp(P)
Kết luận có hai mặt phẳng: (P1): x + y – z – 4 = 0 và (P2): 7x – 17y + 5z – 4 = 0
Bài 5. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), và với H là trực tâm tam giác ABC. Tính góc giữa (DAB) và (ABC).
Giải.
Trong tam giác ABC, gọi .
Khi đó, dễ thấy . Suy ra góc giữa (DAB) và 
(ABC) chính là góc .Ta tìm tọa độ điểm H rồi
Tính được HK là xong.
+ Phương trình mặt phẳng (ABC).
Vecto pháp tuyến 
(ABC): .
+ nên giả sử .
Ta có: 
Khi đó: 
Vậy H(-2; -2; 4).
+ Phương trình mặt phẳng qua H và vuông góc với AB là: .
 Phương trình đường thẳng AB là: .
 Giải hệ: ta được x =2/3; y =-2/3, z =8/3.
Suy ra: K(2/3;-2/3; 8/3). Suy ra: . 
Gọi là góc cần tìm thì:
Vậy là góc cần tìm.
Bài 6. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (S): , (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Giải.
Ta cã: x2 + y2 + z2 - 2x + 4y +2z -3= 0 
=> mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = 3.
Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = 0 ( D)
Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên 
Vậy (Q) có phương trình: 2x + 2y - z + 10 = 0
 Hoặc 2x + 2y - z - 8 = 0
Bài 7. Trong hkông gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình: (S):’ (P): 2x + 2y + z – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q)song song với (P) và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có diện tích 16.
Giải.
Vì (Q) //(P) nên (Q) có phương trình : 2x+2y+z+D=0.G ọi O là tâm đường tròn giao tuyến 
I(1 ;2 ;-2) là tâm mặt cầu R = 5 bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến theo giả thuyết ta có 
mặt khác ta có IO = . l ại c ó R2 = r2 + OI2 
vậy mặt phẳng (Q) cần tìm: 2x+2y+z+5=0 ho ặc 2x+2y+z-13=0.
Bài 8. . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng .
Giải.
•Gọi là véctơ pháp tuyến của (P)
Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) Þ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0
Mà (P) qua B(0;0;-2) Þa-b-2c=0 Þ b = a-2c
Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0
• d(C;(P)) = 
•TH1: ta chọn Þ Pt của (P): x-y+z+2=0
TH2: ta chọn a =7; c = 1 ÞPt của (P):7x+5y+z+2=0
Bài 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: , và mặt phẳng (P): x + 4y + z + 1 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d’) và song song với đường thẳng (d). Lập phương trình mặt cầu có tâm I là giao điểm của (d) và (P), có bán kính là khoảng cách giữa (d) và (d’).
Giải.
+ (d) đi qua điểm A(3;4;6) và có vecto chỉ phương 
(d’) đi qua điểm B(-1;-4;5) và có vecto chỉ phương 
Khi đó mặt phẳng (Q) qua B và có vecto pháp tuyến là 
Phương trình mặt phẳng (Q) : 8x-6y+5z-41= 0 (rõ ràng d song song (Q))
+ Giao điểm của d và (P) là điểm 
Khoảng cách giữa d và d‘ là R = (d;(Q)) = d(A;(Q)) = 
+Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R là:
Bài 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 và (Q):x-y+z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)Ç(Q) và tạo với trục Oz góc 300.
Giải.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 
gọi (với a2+b2+c2≠0) là vectơ pháp tuyến của (a)
d//(a) ÞÛa-2b-3c=0Ûa=2b+3c
Sin((a),Oz)=sin300= Û3c2=a2+b2Û 3c2=(2b+3c)2+b2
Û5b2+12bc+6c2=0
với 
chọn 
Þphương trình mặt phẳng (a) là: 
với 
chọn 
Þphương trình mặt phẳng (a) là: 
Bài 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng và điểm A(2;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng .
Giải.
Đường thẳng đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là = (2 ; -1 ; 1).
 Gọi = (a ; b ; c ) là vtpt của (P). Vì 
2a – b + c = 0 b = 2a + c =(a; 2a + c ; c ) ,
từ đó ta có: Pt(P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0Pt (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0
d(A ; (P)) = 
với a + c = 0 , chọn a = 1 , c = -1 pt(P) : x + y – z = 0
Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : . Viết phương trình mp(P) song song với và , sao cho khoảng cách từ đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ đến (P).
Giải.
Ta có : đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : 
 đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: 
Gọi là vtpt của mp(P), vì (P) song song với và nên 
= [] = (-2 ; -2 ; -1) pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0
d(;(P)) = d(A ; (P)) = ; d( = d( B;(P)) = 
vì d(;(P)) = 2. d(
Với m = -3 mp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0
Với m = -mp(P) : 2x + 2y + z - = 0
Bài 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - z = 0 một góc 600.
Giải.
Mp(P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, và . 
Theo gt: 
Chọn B = 1 ta có : 6A2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3
Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0.
Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu (S) : .
 Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a : và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng 2 .
Giải.
. (S) có tâm bán kính R = 3
 + đt a có vtcp , (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận làm vtpt
 Pt mp (P) có dạng : 
+ (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = 2 nên d( J , (P) ) = 
 nên ta có : 
KL : Có 2 mặt phẳng : (P1) : và (P2) : 
Bài 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu . 
 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ , vuông góc với mặt phẳngvà tiếp xúc với (S).
Giải.
Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4
 Véc tơ pháp tuyến của là 
 Vì và song song với giá của nên nhận véc tơ 
 làm vtpt. Do đó (P):2x-y+2z+m=0
 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên 
Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0.
3/ Một số bài toán tổng hợp về đường thẳng:
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : 
 x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : 
	(d) và (d’) 
Viết phương trình tham số của đường thẳng () nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng
Giải.
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :
+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP 
+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP 
Ta có : 
Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm)
Khi đó : 
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
	(d) và (d’) 
a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau .
b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) .
Giải.
a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP 
+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP 
Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM)
b) Ta lấy . 
Ta đặt : 	
Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ làm VTCP và chúng có phương trình là :
 và 
Bài 3. Cho hai đường thẳng có phương trình:
Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1).
Giải.
 Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b).
 Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> 
=> 
Phương trình đường thẳng AB là: 
Bài 4. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P),đường thẳng d: . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng nằm trong (P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng .
Giải.
• (P) có véc tơ pháp tuyến và d có véc tơ chỉ phương 
• vì có véc tơ chỉ phương 
• Gọi H là hình chiếu của I trên qua I và vuông góc 
Phương trình (Q): 
Gọi có vécto chỉ phương
 và qua I 
Ta có Þ 
• TH1: 
TH2: 
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : 
 ;d2: và d3: . Chứng tỏ rằng là hai đường thẳng chéo nhau,tính khoảng cách giữa hai đường thẳng .Viết phương trình đường thẳng D, biết D cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC.
Giải.
+)Đường thẳng suy ra đi qua điểm A(0;4;-1) và có một vtcp .Đường thẳng d2: suy ra đi qua điểm B(0;2;0) và có một vtcp .Ta có và suy ra .Vậy và là hai đường thẳng chéo nhau. Khoảng cách giữa và là :
+)Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3
Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5 ... ng qua K và vuông góc với AK 
Bài 11. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt di động trên các tia Ox, Oy và Oz sao cho mặt phẳng (ABC) không đi qua O và luôn đi qua điểm M(1; 2; 3). Xác định tọa độ các điểm A, B, C để thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải.
Từ giả thiết ta suy ra tọa độ các điểm A, B, C định bởi: trong đó a, b, c là các số thực dương Þ phương trình mp(ABC): 
+ M(1, 2, 3) Î mp(ABC) nên: 
+ Thể tích của khối tứ diện OABC được tính bởi: 
+ Theo bđt CauChy: 
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy đạt được khi 
Bài 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+z=0 và đường thẳng d có phương trình . Tìm tọa độ điểm A thuộc d và tọa độ điểm B trên trục sao cho AB//(P) và độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Giải.
A(1+t;-2+t;-t)Îd, B(0;0;b)ÎOz, , 
 BÏ(P) Þb≠0 , AB2=6t2+6t+9 ; 
 AB đạt giá trị nhỏ nhất khi 
Vậy 
Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng có phương trình tham số .Một điểm M thay đổi trên đường thẳng , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải.
Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
Đường thẳng có phương trình tham số: .Điểm nên .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ và .
Ta có 
Suy ra và 
Mặt khác, với hai vectơ ta luôn có . Như vậy 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng 
 và 
Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 
Bài 14. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất.
Giải.
Ta có 
Phương trình đường thẳng AB: 
Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB, gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4-3a)
Vì =>-a-16a+12-9a+9=0
Tọa độ điểm 
Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số 
.Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (D). Trong các mặt phẳng qua , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến (D) là lớn nhất.
Giải.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng , thì hoặc . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có và .
Mặt khác 
Trong mặt phẳng , ; do đó . Lúc này (P) ở vị trí (P0) vuông góc với IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P0) là , cùng phương với .
Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 
Bài 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0 ; 0 ; c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho a2 + b2 + c2 = 3. Xác định a, b, c để khỏang cách từ O đến mp(ABC) lớn nhất.
Giải.
Pt mp(ABC): 
Theo bất đẳng thức Côsi : và 3 = a2 + b2 + c2 
Ta có : 
Dấu = xảy ra khi a2 = b2 = c2 hay a = b = c = 1
Vậy d lớn nhất bắng khi a = b = c = 1
Bài 17. Trong không gian tọa độ cho các điểm và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng đi qua điểm A và cắt mặt phẳng theo một đường tròn sao cho bán kính đường tròn nhỏ nhất.
Giải.
Ta có Suy ra pt 
Gọi tâm mặt cầu . Khi đó bán kính đường tròn là
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Khi đó Suy ra pt mặt cầu 
Bài 18.: Cho mặt phẳng . Tìm điểm sao cho:
1). nhỏ nhất, biết , .
2). lớn nhất, biết , .
3). nhỏ nhất, biết , .
4). nhỏ nhất, biết , , .
5). nhỏ nhất, biết , , .
Hướng dẫn :
1). Cách giải
· Xét vị trí tương đối của A, B so với (P).
Đặt . 
Thay tọa độ của A, B vào và tính .
- Nếu thì A, B ở hai phần không gian khác nhau ngăn cách bởi (P).
- Nếu thì A, B ở cùng phía so với (P).
· Nếu A, B ở khác phía so với (P) thì với tùy ý ta có 
. Suy ra đạt được khi .
- Viết p/trình đường thẳng AB.
- Tìm giao điểm M của . (Giải hệ p/trình của AB và (P))
- Kết luận.
· Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) , ta lấy điểm đối xứng với A qua (P).
Khi đó 
 đạt được khi 
§ Tính tọa độ : 
- Viết phương trình đường thẳng qua và 
- Giải hệ tìm được tọa độ của là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
- là trung điểm của . Biết tọa độ của suy ra tọa độ của .
§ Viết p/trình đường thẳng .
§ Giải hệ tìm được tọa độ của .
2). Làm ngược lại của hai trường hợp trên câu 1.
· Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) thì 
· Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P), ta lấy điểm đối xứng với A qua (P).
Khi đó 
Cách làm mỗi trường hợp như câu 1.
3). Xét điểm I tùy ý, ta có 
Suy ra 
Giả sử , ta có tọa độ của I là:
. Hay 
Vậy, với , ta có nên .
Do I cố định nên không đổi. Vậy nhỏ nhất nhỏ nhất
 nhỏ nhất là hình chiếu của I trên (P).
· Đường thẳng qua và vuông góc với (P) nhận vecto pháp tuyến của (P) làm vecto chỉ phương nên có p/trình 
- Tọa độ giao điểm H của là: .
- H là hình chiếu của I trên (P).
· Vậy M là hình chiếu của I trên (P) nên 
Kết luận: nhỏ nhất khi 
4). Làm tương tự câu 3)
5). Cần rút gọn tổng thành một vecto . 
Khi đó nhỏ nhất là hình chiếu của H trên (P).
Làm như câu 3).
Bằng cách phân tích 
Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm sao cho rồi làm tiếp theo hướng dẫn trên.
Chú ý: Suy ra tọa độ của I .
Bài 19.: đường thẳng và hai điểm , .Tìm tọa độ điểm sao cho:
1) nhỏ nhất. 2) nhỏ nhất.
3) nhỏ nhất. 4) lớn nhất.
Hướng dẫn:
1) Chuyển p/trình của sang dạng tham số 
Gọi tọa độ của có dạng , .
Ta có 
Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm ; 
Gọi là điểm đối xứng của điểm qua trục Ox.
· Ta có =.
Dấu “=” xảy ra thẳng hàng .
Đường thẳng có vecto chỉ phương nên có vecto pháp tuyến và đi qua nên có phương trình tổng quát
.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng và trục Ox là nghiệm của hệ 
. Vậy . 
Vậy . 
Đạt được khi .
Suy ra nhỏ nhất bằng khi 
Cách 2: 
· Làm như cách 1, đến đoạn .
Xét hàm số 
Ta có 
 (*)
· Xét hàm số , 
Ta có nên hàm số g đồng biến trên .
· Do đó từ (*) ta có 
Bảng biến thiên của hàm số f :
t
0
3
Từ bảng biến thiên suy ra .Vậy đạt được tại , tức là .
Cách 3: 
Bước 1 : Tìm tọa độ H và H’
Bước 2 : Tính AH và BH’ 
Bước 3 : Tìm M thỏa mãn =>ycbt
2). Làm tương tự câu 1), ta tính được 
.
Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ số nên đạt giá trị nhỏ nhất khi . Tức là .
Nhận xét: nếu không nhớ tính chất về đồ thị bậc hai thì có thể khảo sát hàm số để tìm giá trị hỏ nhất.
3). Theo câu 1) , gọi .
Ta có , .
Suy ra .
.Dấu “=” xảy ra hay .Vậy đạt được tại .
Nhận xét: nếu không phân tích được thì có thể khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất. 
4). Tương tự câu 1), ta tính được 
Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm ; . 
Khi đó . Nhận thấy H, K nằm cùng phía so với trục Ox.
Suy ra . Bài toán này vô nghiệm vì .
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CĐ TỪ NĂM 2005-2011
Bài 1. KA 2005. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x+y-2z+9=0. Tìm giao điểm A của d và (P). Viết phương trình đường thẳng d’đi qua A nằm trong (P) và vuông góc d’.
Bài 2: KD 2005. Cho hai đường thẳng . Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d, d’ lần lượt tại A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ).
Bài 3: KD 2006. Cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng d: và d’: . Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vuông góc với d và cắt d’.
Bài 4: KA 2007. Cho hai đường thẳng , d’: . 
Chứng minh d và d’ chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đt d, d’
Bài 5: KB 08. Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1).
Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Bài 6: CĐ 08. Cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d: 
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d.
Tìm tọa độ M thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O.
Bài 7. KD 08. Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.
Tìm tọa độ tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 8: KD 08. Cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d: . Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d.
Bài 9. KB 09. Cho tứ diện ABCD có A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1), D(0;3;1).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Bài 10. KA09. Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): . Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính đường tròn.
Bài 11. KD 09. Cho ba điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mp(P): x+y+z-20=0. Xác định điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Bài 12. KD 09. Cho đường thẳng d: và mp(P): x+2y-3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) cắt d và vuông góc với d.
Bài 13. CĐ 09. Cho hai mặt phẳng (P): x+2y+3z+4=0, (Q): 3x+2y-z+1=0 và điểm A(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 14. CĐ 09. Cho tam giác ABC với A(1;1;0), B(0;2;1) và trọng tâm G(0;2;-1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C và vuông góc mặt phẳng (ABC).
Bài 15. CĐ 10. Cho hai điểm A(1;-2;3), B(-1;0;1) và mp(P): x+y+z+4=0.
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên (P).
Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng , có tâm thuộc đường thẳng AB 
và mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P).
Bài 16. CĐ 10. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x-y+2z-2=0.
Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P).
Bài 17: KD 10. Cho hai mặt phẳng (P): x+y+z-3=0, (Q): x-y+z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và (Q) và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (R) bằng 2.
Bài 18: KD 10. Cho hai đường thẳng d: và . Xác định M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến d’ bằng 1.
Bài 19: (ĐH – B 2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:. Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM. 
Bài 20: (ĐH - KA2010) (CB). 
 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P) : x - 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của D với (P), M là điểm thuộc D. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = .
Bài 21: (ĐH - KA2010) (NC). 
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; -2) và đường thẳng . Tính khoảng cách từ A đến D. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt D tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
.Bài 22: (ĐH - KA2011) (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2–4x–4y– 4z=0 và điểm A (4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài 23: (ĐH - KA2011) (CB). 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) và mặt phẳng (P): 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
Bài 24: (ĐH - KB2011) (CB). 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ :và mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của Δ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với Δ và .
Bài 25: (ĐH - KB2011) (NC) 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: và hai điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng. 
Bài 26: (ĐH – KD 2011) (CB). 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: 
Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. 
Bài 27: (ĐH – KD 2011) (NC) 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:và mặt phẳng(P) . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng Δ, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P).