Hình học không gian - Doãn Xuân Huy

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1/ Cho h/c S.ABC có đáy là tgvc với BA = BC = a, SA = a và vg với đáy; M,N là trđ của AB & AC. Tính cos(SAC;SBC) (= 0,5); cos(SMN;SBC) ( = 310 ).
2/ Cho hlp ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng a. Gọi O’ là tâm hv A’B’C’D’. Tính thể tích khối tứ diện A’O’BD. =a36 
3/ Cho h/c S.ABCD có đáy ABCD là hcn với AB=a;AD=a2 SA=a và SA⊥(ABCD). Gọi M&N là trđ của AD≻ I là giao điểm của BM và AC. CM SAC⊥SMB.Tính VANIB? (a3236 )
4/ Cho hhcn ABCD.A’B’C’D’ cóAB=a, AD=2a, AA'=a. M là điểm nằm trên cạnh AD thỏa mãn hệ thức MA =3MD. Tính k/c từ M đến mp(AB’C) ( = a/2 ).
5/ Cho ltru đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tgvc AB=AC=a, AA'=a2. Gọi M,N là trđ của AA’, BC’. Chứng minh MN là đường vg chung của AA’ và BC’. Tính V(MA’BC’) =a3212 
6/ Cho h/c tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Gọi I là trđ của cạnh SC. Tính d(S;ABI). Mp(ABI) cắt SD tại J. Tính V(S.ABIJ) ( d=2ah4h2+9a2 ;V=a2h18 )
7/ Cho td OABC có OA, OB, OC đôi một vg. Tính độ dài cạnh của hlp nội tiếp trong h/c này có một đỉnh trùng với O còn đỉnh đối diện với O nằm trong miền tg ABC.x=abcab+bc+ca 
8/ Cho h/c S.ABC có tg ABC là tgvc tại B, BA = BC =2a. Hcvg của S lên mp(ABC) là trđ E của AB, SE = 2a.Gọi I,J là trđ của CE,CS.M là điểm di động trên tia đối của tia BA saochoECM=αα<900 và H là h/c của S lên MC.Tính V(EHIJ) theo a,α.Tìm α để Vlớn nhấtV=a3sin2α2
9/ Cho tg ABC có AB = c, AC = b; BC nằm trong mp(P). Gọi H là h/c của A lên mp(P). Biết tg HBC vuông tại H và HA = m. Tính d(H; ABC); g( (P);(ABC) ).
10/ Cho h/c S.ABCD có đáy là hthoi cạnh a, BDA=600, SA⊥ABCD,SA=a. Gọi C’ là trđ của SC. Mp(P) đi qua AC’ và // BD cắt các cạnh SB, SD tại B’ và D’. Tính V(S.AB’C’D’). =a3318 
11/ Cho hh đứng ABCD.A’B’C’D’ cóAB=AD=a, AA'=a32, BAD=600. Gọi M,N là trđ của các cạnh A’D’ và A’B’. CM AC'⊥BDMN.Tính VA.BDMN.
12/ Cho htru có đáy là 2 htròn (O ) và (O’); bk đáy bằng chiều cao bằng a. Trên đ tròn tâm O lấy điểm A, đ tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính (OO’AB). =a3312 
13/ Cho hh đứng ABCD.A’B’C’D’ cóAB=AD=a, BAD=600. Gọi M,N là trđ của các cạnh AA’ và CC’.Chứng minh 4 điểm B’,M,D,N đồng phẳng. Tính độ dài AA’ theo a để tứ giác B’MDNlà hv.(a2)
14/ Cho h/c S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA⊥ABCD, SA=a2. Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt ACM=α, hạ SN⊥CM. CM N luôn thuộc 1 đ tròn cố định và tính V(SACN) theo a và α.Hạ AH⊥SC, AK⊥SN.CM SC⊥AHKvà tính HK? HK=acosα1+sin2α 
15/ Cho h/c tg đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M,N là trđ của SB&SC. Tính theo a S(AMN) biết mpAMN⊥mpSBC . S=a21016
16/ Cho khối ltrtg đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên AA'=a3. Gọi D,E là trđ của AB và A’B’. Tính V(ABA’B’C’); d( AB; CEB’) ? ( d=a62 )
17/ Cho tứ diện ABCD. MP(P) // AD,BC cắt AB,AC,CD,DB tại M,N,P,Q. CM MNPQ là hbh; xác định vị trí của (P) để dt hbh MNPQ có GTLN.
18/ Cho h/c S.ABCD có đáy là hcn. Trên các cạnh SB,SD lấy các điểm M,N sao cho SM/MB = SN/ND = 2. Mp(AMN) cắt SC tại P; tính SP/PC ? Tính V(S.AMPN) theo V(S.ABCD) ?
19/ Cho h/c S.ABC có SA = x, BC = y; các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính V(S.ABC) theo x, y. Với gt nào của x, y thì V(S.ABC) có GTLN ? (V=xy4-x2-y212có GTLN:x=y=23 ) 
20/ Cho h/c S.ABC có đáy là tgv tại A, SB vg với đáy. Hạ BH⊥SA,BK⊥SC.CM SC⊥BHK. Tính dttg BHK biết AC=a, BC=a3, SB=a2 . ( SBHK=a2510 ) 
21/ Cho hlp ABCD,A’B’C’D’có cạnh bằng a.Giả sử M,N,P,Q là trđ của các cạnh A’D’,D’C’,CC’,AA’. Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q đồng phẳng. Tính chu vi và diện tích của tứ giác MNPQ theo a .
22/ Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Giả sử I là điểm thay đổi trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tg IAB nhỏ nhất.
23/ Cho h/c O.ABC có 3 cạnh bên đôi một vg và có độ dài bằng a. Gọi K,M,N là trđ của AB,BC,CA; E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE và mp(OMN). CM CE⊥(OMN); tính dttg OMIN theo a. ( HD: dựng hlp OAEB.CA’E’B’; S=a236 ) )
24/ Cho h/c S.ABCD có đáy là hbh với AB = a, AD = 2a; tg SAB vuông cân tại A. M là điểm nằm trên cạnh AD; mp(P) qua M và // mp(SAB) cắt BC, SC, SD tại N,P,Q. CM MNPQ là hình thang vuông. Đặt AM = x. Tính dt(MNPQ) theo a và x. ( S=4a2-x28 ) 
25/ Cho tứ diện OABC có OA=OB=OC=a; AOB=AOC=600; BOC=900. Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và CM tg ABC là tg vuông. CM OA⊥CB.
26/ Tính V(S.ABC) biết SA=a, SB=b, SC=c,ASB=600, BSC=900, CSA=1200.V=abc212
27/ Tính tt của kh hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a biết AA’B’D’ là tứ diện đều cạnh a. ( V=a32 )
28/ Cho hctg đều S.ABCD; O là giao của AC và BD. Biết mặt bên của h/c là tg đều và k/c từ O tới mặt bên bằng d. Tính thể tích khối chop đã cho. (V=33d3 )
29/ Cho hctg đều S.ABCD có d( A; SBC ) = 2a. Xác định góc giữa mặt bên và đáy để thể tích khối chop nhỏ nhất. Tính thể tích đó. ( V=a33sin2xcosx≥a332 ;x=arccos13 )
30/ Khối chop tg S.ABC có đáy ABC là tgvc đỉnh C; SA⊥ABC, SC=a. Hãy tìm góc giữa 2 mp (SCB) & (ABC) để thể tích khối chop lớn nhất.( V=a3cos2xsinx6≤a3327;x=arcsin13)
31/ Cho hc S.ABCD có đáy là hv tâm O, cạnh bằng a, SA⊥ABCD, SA=a2 . Gọi H,K là h/c của A trên SB & SD; N là gđ của SC và mp(AHK). CM AN⊥HK.Tính VS.AHNK?
32/ / Khối chop tg S.ABC có đáy ABC là tgv đỉnh C; SA⊥ABC, SA=5, AC=2, BC=4. Gọi D là trđ của cạnh AB. Tính g(AC;SD) và d(BC;SD) ? ( góc=arccos0,4 ;d=526 )
33/ Cho h/c S.ABC có SA vg với đáy. Gọi H,K là h/c của A lên SB, SC. Biết SA = h, AB = 2a, BC = 4a và CA = 5a. Tính V(S.BCHK) theo a và h.
34/ Cho ltrtg đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, gAB';BCC'B'=α. Tính dtxq của hình ltr.
35/ Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tgvc đỉnh C, AB=2,AA'B'B⊥ABC, AA'=3 , gA'AC;ABC=600; A'AB nhọn.Tính tt khối ltr . ( V=325 ) 
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Khối A(2007): Cho h/c S.ABCD có đáy là hv cạnh a; mặt bên SAD là tg đều và nằm trong mp vg với đáy. Gọi M,N,P là trđ của SB,BC,CD. CM: AM⊥BP và tính V(CMNP). ( V=a3396 )
Khối B(2007): Cho hctg đều S.ABCD có đáy là hv cạnh a. Gọi E là điểm đx của D qua trđ của SA, M và N là trđ của AE và BC. CM: MN⊥BD và tính d( MN; AC). ( d=a24 )
Khối D(2007): Cho hc S.ABCD có đáy là hthang, ABC=BAD=900,BA=BC=a,AD=2a,SA⊥ABCD,SA=a2. Gọi H là h/c của A trên SB. CM tg SCD vuông và tính d( H; SCD) (d=a/3 )
Khối A(2008): Cho ltr ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tgv tại A, AB=a,AC=a3; hình chiếu của A’ trên mp(ABC) là trđ của BC. Tính V(A’.ABC) và cos(AA’;B’C’) (V=a32; 14 )
Khối B(2008): Cho h/c S.ABCD có đáy là hv cạnh 2a; SA=a,SB=a3 , SAB⊥ABCD. Gọi M,N là trđ của AB&BC. Tính V(S.BMDN) và cos(SM:DN). ( V=a333 ; 55 )
Khối D(2008): Cho ltrđ ABC.A’B’C’ có đáy là tgvc, AB=BC=a,AA'=a2 . Gọi M là trđ của cạnh BC. Tính ttkltr và d(AM;B’C) ( V=a322 ;d=a77 )
Khối A(2009): Cho h/c S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a, g ABC;ABCD =600.Gọi I là trđ của AD. Biết SBI,SCI⊥ABCD.Tính tthc?(=315a35)
Khối B(2009): Cho ltrtg ABC.A’B’C’ có BB'=a,g(BB;(ABC))=600,ACB=900,BAC=600. Hình chiếu của B’ trên mp(ABC) là trọng tâm của tg ABC. Tính V(A’.ABC) ? (V=9a3208 )
Khối D(2009): Cho ltrđtg ABC.A’B’C’ có CBA=900,AB=a,AA'=2a,A'C=3a. Gọi M là trđ của A’C’; I là giao điểm của AM và A’C. Tính V(IABC) và d(A;(IBC)) ? (V=4a39;d=2a55)
Khối A(2010): Cho h/c S.ABCD có đáy là hv cạnh a. Gọi M,N là trđ của AB&AD; H là gđ của CN&DM.Biết SH⊥ABCD và SH=a3.Tính V(S.CDNM) và d(DM;SC)?(V=53a324;d=257a19)
Khối B(2010): Cho ltrtg đều ABC.A’B’C’ có gA'BC;ABC=600,AB=a. Gọi G là trọng tâm tg A’BC. Tính ttkltr và tính bkmc ngoại tiếp td GABC ? ( V=33a38 ;R=7a12 )
Khối D(2010): Cho h/c S.ABCD có đáy là hv cạnh a, cạnh bên SA = a; h/c của S trên mp(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho AC = 4AH. Gọi CM là đc của tg SAC. CM M là trđ của SA và tính V(SMBC) ? ( V=a31448 )
--------------- O0O --------------