Hình học không gian có lời giải

BÀI 1
Caâu 1: 
Trong khoâng gian Oxyz, vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng (d) : sao cho giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) : laø ñöôøng troøn coù baùn kính r = 1.
Caâu 2: 
Cho laêng truï ABC.A'B'C' coù caùc maët beân ñeàu laø hình vuoâng caïnh a. Goïi D, F laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC, C'B'. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A'B vaø B'C'.
GIẢI
Caâu 1:
	Maët phaúng (P) chöùa (d) coù daïng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0
°	Maët caàu (S) coù taâm I(-1; 1; -1), baùn kính R = 2.
°	(P) caét (S) theo moät ñöôøng troøn giao tieáp (C) coù baùn kính r = 1
°	Cho 
°	Vaäy, coù 2 maët phaúng (P): 
A/
B/
C/
C
B
A
H
F
D
 Caâu 2: 
.	Caùch 1: 
°	Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng 
	Þ 
	Þ caùc tam giaùc ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu.
°	Ta coù: 
°	Ta coù: 
°	Döïng 
°	Vì 
°	DA/FD vuoâng coù: 
°	Vaäy, 
Caùch 2:
A/
C/
B/
A
B
C
D
x
a
z
y
°	Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng 
Þ DABC, DA/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu caïnh a.
°	Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az 
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), 
°	Ta coù: 
°	
°	 vôùi 
°	Phöông trình mp (A/BC) qua A/ vôùi phaùp vectô : 
°	
°	Vaäy, 
BÀI 2
Caâu 1: 
Trong khoâng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) vaø ñöôøng thaúng 
(D) : 
1.	Tìm ñieåm M thuoäc (D) ñeå theå tích töù dieän MABC baèng 3.
2.	Tìm ñieåm N thuoäc (D) ñeå theå tích tam giaùc ABN nhoû nhaát.
Caâu 2: (1,0 ñieåm)
	Cho hình choùp S.ABC ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. SA = SB = SC, khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) laø h. Tính h theo a ñeå hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc nhau.
GIẢI
Caâu 1:
1.	Phöông trình tham soá cuûa (D): 
°	
°	
°	, vôùi 
°	Phöông trình mp (ABC) qua A vôùi phaùp vectô : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.
°	
°	Ñöôøng cao MH cuûa töù dieän MABC laø khoaûng töø M ñeán (ABC): 
°	Theå tích töù dieän MABC baèng 3 
°	Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tìm laø: 
2.	
°	
°	Vaäy, ñieåm N caàn tìm laø N(-3; 0; 1).
Caâu 2: 
S
I
A
O
B
M
C
Caùch 1:
°	Goïi O laø taâm cuûa DABC
°	Ta coù: 
	Þ SO laø truïc cuûa ñöôøng troøn (ABC) 
°	Maø : 
°	Döïng , suy ra: 
	 laø goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C).
°	DSOA vuoâng coù: 
°	Goïi M laø trung ñieåm BC
	Ta coù: 
	 (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc)
	Þ 
°	 caân taïi I.
°	 vuoâng caân taïi I 
S
z
A
z
H
B
M
y
C
°	Vaäy, 
Caùch 2:
°	Goïi H laø taâm cuûa DABC 
vaø M laø trung ñieåm cuûa BC
°	Ta coù: 
°	Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az 
ñoâi moät vuoâng goùc .
°	
°	
	 vôùi 
°	 
vôùi .
°	Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô .
°	Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô .
°	
°	Vaäy: 
BÀI 3
Caâu 1: 
Trong khoâng gian Oxyz cho ñöôøng thaúng (d) vaø maët caàu (S):
	Tìm m ñeå (d) caét (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho MN = 8.
Caâu 2: 
	Cho töù dieän OABC coù ñaùy laø DOBC vuoâng taïi O, OB = a, OC = vaø ñöôøng cao . Goïi M laø trung ñieåm caïnh BC. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø OM.
GIẢI
H
N
M
I
Caâu 1: 
	Maët caàu (S): coù taâm 
I(-2; 3; 0), baùn kính , vôùi m < 13.
°	Döïng 
	, vôùi m < -3.
°	Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d): 
°	(d) coù vectô chæ phöông vaø ñi qua ñieåm A(0; 1; -1)
°	
°	Khoaûng caùch h töø I ñeán ñöôøng thaúng (d): 
°	Ta coù: IH = h 
	 (thoûa ñieàu kieän)
°	Vaäy, giaù trò caàn tìm: m = -12.
Caâu 2: 
	Caùch 1:
°	Goïi N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua O.
°	Ta coù: OM // BN (tính chaát ñöôøng trung bình)
	Þ OM // (ABN)
	Þ d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).
°	Döïng 
°	Ta coù:	
°	Töø caùc tam giaùc vuoâng OAK; ONB coù:
z
A
y
C
N
O
M
a
x
B
°	Vaäy, 
Caùch 2:
°	Döïng heä truïc Oxyz, vôùi Ox, Oy, Oz 
ñoâi moät vuoâng goùc O(0; 0; 0), 
 vaø 
laø trung ñieåm cuûa AC.
°	MN laø ñöôøng trung bình cuûa DABC 
Þ AB // MN
	Þ AB // (OMN) Þ d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).
°	
°	, vôùi 
°	Phöông trình mp (OMN) qua O vôùi phaùp vectô 
°	Ta coù: 
°	Vaäy, 
BÀI 4
Caâu 1: 
Trong khoâng gian Oxyz cho maët phaúng (a) : 2x – y + z – 5 = 0. Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua giao tuyeán cuûa (a) vaø maët phaúng (xOy) vaø (P) taïo vôùi 3 maët phaúng toïa ñoä moät töù dieän coù theå tích baèng .
Caâu 2: 
Cho hình choùp SABC coù ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, AB = AC = a 
(a > 0), hình chieáu cuûa S treân ñaùy truøng vôùi troïng taâm G cuûa DABC. Ñaët SG = x 
(x > 0). Xaùc ñònh giaù trò cuûa x ñeå goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C) baèng 60o.
GIẢI
Caâu 1:
Phöông trình maët phaúng (xOy): z = 0
°	Phöông trình maët phaúng (P) thuoäc chuøm xaùc ñònh bôûi (a) vaø (xOy) coù daïng: 
	m(2x – y + z – 5) – nz = 0 
°	Giao ñieåm A, B, C cuûa (P) vaø 3 truïc Ox, Oy, Oz laàn löôït coù toïa ñoä: 
°	Theå tích töù dieän OABC baèng 
°	Vaäy, coù 2 phöông trình maët phaúng (P): 
G
M
C
S
I
A
B
 Caâu 2: 
.	Caùch 1:
°	Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC 
	 (DABC vuoâng caân)
°	Ta coù: .
	Suy ra: 
°	Döïng vaø 
	 laø goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C).
°	
	 caân taïi I.
°	
°	
	.
°	Ta coù: 
z
x
x
y
C
B
A
E
F
G
M
°	Vaäy, 
Caùch 2:
°	
°	Goïi M laø trung ñieåm BC
°	Goïi E, F laàn löôït laø hình chieáu cuûa G 
treân AB, AC. Töù giaùc AEGF laø hình vuoâng 
°	Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az 
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), 
C(0; a; 0), .
°	
°	, vôùi 
°	 vôùi .
°	Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô 
°	Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô 
°	Goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C) baèng 60o.
°	Vaäy, 
BÀI 5
Caâu 1: 
Trong khoâng gian Oxyz, tìm treân Ox ñieåm A caùch ñeàu ñöôøng thaúng
	(d) : vaø maët phaúng (a) : 2x – y – 2z = 0.
Caâu 2: 
	Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu coù caïnh baèng , SA vuoâng goùc vôùi (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, BC. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SE vaø AF.
GIẢI
Caâu 1: 
	Goïi A(a; 0; 0) .
°	Khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (a) : 
°	(D) qua vaø coù vectô chæ phöông 
°	Ñaët 
°	Do ñoù: d(A; D) laø ñöôøng cao veõ töø A trong tam giaùc 
°	Theo giaû thieát: d(A; a) = d(A; D) 
°	Vaäy, coù moät ñieåm	A(3; 0; 0).
C
S
F
M
B
E
K
H
A
Caâu 2: 
Caùch 1:
°	Goïi M laø trung ñieåm cuûa BF Þ EM // AF
°	DSAE vuoâng taïi A coù: 	
°	
°	
°	
°	AÙp duïng ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán SM trong DSBF coù: 
°	Goïi a laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF
°	AÙp duïng ñònh lyù haøm Coâsin vaøo DSEM coù:
°	Döïng Ta coù: vaø 
°	Vì 
°	DSAK vuoâng coù: 
z
a
S
A
x
E
B
M
F
y
C
°	Vaäy, .
Caùch 2:
°	Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az 
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), 
 vaø .
°	
°	Goïi a laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF.ta coù:
°	 vôùi 
°	Phöông trình maët phaúng (SEM) qua S vôùi phaùp vectô 
°	Khoaûng caùch töø A ñeán (SEM): 
°	Vì 
Vaäy, 
ĐỀ 6
Caâu 1: 
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) vaø maët caàu (S):
	(P): .
	Tìm m ñeå (P) tieáp xuùc (S). Vôùi m tìm ñöôïc xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm.
Caâu : 
Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB = a, BC = 2a, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a. Goïi M laø trung ñieåm SC. Chöùng minh DMAB caân vaø tính dieän tích DMAB theo a.
LỜI GIẢI
Caâu 1:
	 coù taâm I(1; -1; 1) vaø baùn kính R = 3.
	(P) tieáp xuùc (S) 	
°	Vaäy, (P) tieáp xuùc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi ñoù (P): 2x + 2y + z – 10 = 0
°	Ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc vôùi (P) coù phöông trình: 
°	Toïa ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä: 
S
M
C
H
B
K
A
°	Vaäy, toïa ñoä tieáp ñieåm M(3; 1; 2).
Caâu 2: 
Caùch 1:
°	Ta coù: 
	Do ñoù DSAC vuoâng taïi A coù AM laø 
trung tuyeán neân 
°	Ta laïi coù: 
	Þ (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc)
 	Do ñoù DSBC vuoâng taïi B coù BM laø trung tuyeán neân 
°	Suy ra: MA = MB	Þ DMAB caân taïi M.
°	Döïng MH // SA vaø 
	vì: 
°	DMHK vuoâng taïi H coù: 
°	Dieän tích DMAB: 
Caùch 2:
z
S
2a
M
C
y
H
B
A
K
x
°	DABC vuoâng taïi B coù: 
°	Döïng ta coù: 
×	
×	
°	Döïng heä truïc toïa vuoâng goùc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc vaø 
°	Toïa ñoä trung ñieåm M cuûa SC laø 
°	Ta coù: 	
	suy ra: MA = MB	Þ DMAB caân taïi M.
°	Ta coù: 
°	Dieän tích DMAB: 
BÀI 7
Caâu 1: 
Cho hình choùp ñeàu S.ABC, ñaùy ABC coù caïnh baèng a, maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc baèng . Tính theå tích khoái hình choùp S.ABC vaø khoaûng caùch töø ñænh A ñeán maët phaúng (SBC).
Caâu 2: 
.	Trong khoâng gian oxyz cho hai ñöôøng thaúng:
	(d1) : 	; 	(d2) : 
	Chöùng minh (d1) vaø (d2) cheùo nhau. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù ñöôøng kính laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa (d1) vaø (d2).
GIẢI
S
A
O
B
H
C
j
 Caâu 1: 
Caùch 1: 
°	Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC.
°	Do S.ABC ñeàu vaø DABC ñeàu neân 
chaân ñöôøng cao ñænh S truøng vôùi 
giao ñieåm ba ñöôøng cao laø tröïc taâm O 
cuûa DABC vaø coù DSBC caân taïi S.
	suy ra: neân .
°	Ta coù: 
	 vuoâng goùc: vaø 
°	Theå tích hình choùp S.ABC: 
°	Dieän tích DSBC: 
°	Goïi h laø khoaûng caùch töø A ñeán (SBC), ta coù: 
Caùch 2: 
C
j 
M
B
x
A
z
S
O
y
°	Vì S.ABC laø hình choùp ñeàu 
neân chaân ñöôøng cao ñænh S truøng 
vôùi taâm O ñöôøng troøn (ABC).
°	Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Ta coù: 
-	 vaø 
-	
-	DSOM vuoâng coù: 
°	Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), 
°	Theå tích hình choùp: 
°	Ta coù: 
°	
°	Phöông trình maët phaúng (SBC) qua B vôùi vectô phaùp tuyeán 
°	Khoaûng caùch d töø A ñeán (SBC): 
Caâu 2: 
 (d1) ñi qua ñieåm A(0; 0; 4) vaø coù vectô chæ phöông 
	(d2) ñi qua ñieåm B(3; 0; 0) vaø coù vectô chæ phöông 
	°	
°	 khoâng ñoàng phaúng.
°	Vaäy, (d1) vaø (d2) cheùo nhau.
°	(d2) coù phöông trình tham soá: 
°	Goïi MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa (d1) vaø (d2)
°	,	
°	Ta coù: 
°	Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa MN: I(2; 1; 2), baùn kính 
°	Vaäy, phöông trình maët caàu (S): 
BÀI 8
Caâu 1: 
 Trong khoâng gian Oxyz coù 2 maët phaúng 	(P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0, 
	(Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 vaø 2 ñöôøng thaúng:
	(d1): 
	Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (D) song song vôùi hai maët phaúng (P) vaø (Q), 
vaø caét hai ñöôøng thaúng (d1) vaø (d2).
Caâu 2: 
Cho hình laäp phöông ABCD . A'B'C'D' caïnh a. M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø C'D'. Tính khoaûng caùch töø B' ñeán (A'MCN).
GIẢI
Caâu 1: 
 (P) coù phaùp vectô vôùi 
Q
P
Q/
P/
D
B
d2
d1
A
D/
°	(Q) coù phaùp vectô 
°	(d1) coù vectô chæ phöông 
°	(d2) coù vectô chæ phöông 
°	Goïi: 
°	Suy ra (D) laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P/) 
vaø (Q/), vaø (D) // (D/).
°	(D) coù vectô chæ phöông 
	vôùi 
°	mp (P/) coù caëp vectô chæ phöông vaø neân coù phaùp vectô: 
°	Phöông trình mp (P/) chöùa (d1) ñi qua ñieåm A(-5; 3; -1) vôùi laø:
25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0
°	mp (Q/) coù caëp vectô chæ phöông vaø neân coù phaùp vectô: 
°	Phöông trình mp (Q/) chöùa (d2) ñi qua ñieåm B(3; -1; 2) vôùi laø:
°	Ta coù: 
°	Vaäy, phöông trình ñöôøng thaúng (D) : 
Caâu 2: 
Caùch 1: 
D/
A/
B/
C/
D
A
B
C
M
N
°	Boán tam giaùc vuoâng baèng nhau (c.g.c)
 laø hình thoi.
°	Hai hình choùp B/A/MCN vaø B/.A/NC coù chung 
	ñöôøng cao veõ töø ñænh B/ vaø 
neân: 
°	Maø: 
°	Ta coù: vôùi 
°	Goïi H laø hình chieáu cuûa B/ treân (A/MCN), ta coù: 
Caùch 2: 
C
a
A/
C/
D
A
B
M
N
D/
z
a
a
y
x
°	Choïn heä truïc Dxyz, vôùi Dx, Dy, Dz 
ñoâi moät vuoâng goùc, 
A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0), 
D(0; 0; 0), A/(a; 0; a),
B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a), 
°	Ta coù: 
°	Phöông trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) vôùi phaùp vectô 
°	Khoaûng caùch d töø B/(a; a; a) ñeán mp(A/MCN): 
ĐỀ 9
Caâu 1: 
	Trong khoâng gian Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng:
	(d1) : ; 	vaø (d2) : 
	Goïi K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm I(1; -1; 1) treân (d2). Tìm phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng qua K vuoâng goùc vôùi (d1) vaø caét (d1).
Caâu 2: 
Tính theå tích cuûa hình choùp S.ABC, bieát ñaùy ABC laø moät tam giaùc ñeàu caïnh a, maët beân (SAB) vuoâng goùc vôùi ñaùy, hai maët beân coøn laïi cuøng taïo vôùi ñaùy goùc a.
GIẢI
Caâu 1: 
	(d1) coù vectô chæ phöông 
	(d2) coù vectô chæ phöông 
°	
°	
°	Giaû söû (D) caét (d1) taïi 
°	
°	
°	Vaäy, phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (D): .
Caâu 2: 
	Caùch 1:
S
H
P
C
A
B
N
j
°	Döïng 
°	Ta coù: 
	 vaø SH laø ñöôøng cao cuûa hình choùp.
°	Döïng 
°	DSHN = DSHP Þ HN = HP.
°	DAHP vuoâng coù: 
°	DSHP vuoâng coù: 
°	Theå tích hình choùp 
Caùch 2:
°	Döïng 
°	Ta coù: 
°	Vì (SAC) vaø (SBC) cuøng taïo vôùi (ABC) moät goùc a vaø DABC ñeàu, neân suy ra H laø trung ñieåm AB. 
z
h
S
B
C
A
x
H
y
°	Döïng heä truïc toïa ñoä Hxyz, vôùi Hx, Hy, Hz 
ñoâi moät vuoâng goùc, 
°	Phöông trình mp (ABC): 
z = 0, vôùi phaùp vectô 
°	Phöông trình mp (SAC): 
	 vôùi 
°	(SAC) taïo vôùi (ABC) moät goùc a: 
°	Theå tích hình choùp S.ABC: .
ĐỀ 10
Caâu 1: 
Trong khoâng gian Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng:
	(D1) : 
1.	Laäp phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng (D3) ñoái xöùng vôùi (D2) qua (D1).
2.	Xeùt maët phaúng (a) : x + y + z + 3 = 0. Vieát phöông trình hình chieáu cuûa (D2) theo phöông (D1) leân maët phaúng (a).
3.	Tìm ñieåm M treân maët phaúng (a) ñeå ñaït giaù trò nhoû nhaát bieát M1(3; 1; 1) vaø M2(7; 3; 9).
Caâu 2: 
 Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB = AC = a, goùc , caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'. Chöùng minh DAB'I vuoâng taïi A vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB'I).
GIẢI
Caâu 1: 
1.	° coù vectô chæ phöông 
A
A/
B/
B
D2
D1
D3
K
H
	° 
°	Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân (D1)
°	
°	
°	Goïi A/ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua H Þ A/(-1; -1; -7)
°	Goïi K laø hình chieáu cuûa B treân (D1) vaø B/ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua K. Töông töï nhö treân ta tìm ñöôïc: 
°	, vôùi 
°	Phöông trình ñöôøng thaúng (D3) ñoái xöùng vôùi (D2) qua (D1) chính laø phöông trình ñöôøng thaúng qua A/ vôùi vectô chæ phöông .
°	Vaäy, phöông trình chính taéc (D3): .
2.	Maët phaúng (b) chöùa (D2) vaø (b) // (D1)
	Þ (b) coù caëp vectô chæ phöông 
	Þ vôùi 
°	Phöông trình mp (b) qua A(7; 3; 9) vôùi phaùp tuyeán : 
°	Ta coù: laø hình chieáu cuûa (D2) leân (a) theo phöông (D1).
a
M2
M1
I
(D)
M0
M
°	Vaäy, phöông trình hình chieáu 
3.	Goïi I laø trung ñieåm 
°	Ta coù: 
	 nhoû nhaát nhoû nhaát
	 M laø hình chieáu cuûa I treân (a)
°	Phöông trình ñöôøng thaúng (D) qua I 
vaø vuoâng goùc vôùi (a) laø:
°	Goïi M laø giao ñieåm cuûa (D) vaø (a)
°	
°	
°	Vaäy, ñieåm M caàn tìm: M(0; -3; 0).
Caâu 2: 
Caùch 1:
°	Goïi H laø trung ñieåm 
°	DABH laø nöûa tam giaùc ñeàu caïnh AB = a Þ vaø 
A/
B/
C/
A
B
C
30o
H
I
°	 vuoâng coù: 
°	DAIC vuoâng coù: 
°	Ta coù: 
	(AB/ laø ñöôøng cheùo cuûa hình vuoâng AA/B/B caïnh a)
°	Vaäy, DAB/I vuoâng taïi A.
°	Ta coù: 	
°	Goïi a laø goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB/I), theo coâng thöùc chieáu, ta coù:
	Caùch 2:
60o
B/
A/
C/
z
a
B
C
A
H
I
y
z
°	Goïi H laø trung ñieåm BC Þ 
°	DABH laø nöûa tam giaùc ñeàu caïnh AB = a
	 vaø 
°	Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az 
ñoâi moät vuoâng goùc, 
°	
°	Ta coù: 
	Vaäy, DAB/I vuoâng taïi A.
*	Phöông trình mp(ABC): z = 0 coù phaùp vectô 
*	mp (AB/I) coù caëp vectô chæ phöông , neân coù phaùp vectô: 
	vôùi .
°	Goïi a laø goùc giöõa (ABC) vaø (AB/I), ta coù: