Hình học giải tích trong mặt phẳng

Mục lục
Tóm tắt Lý thuyết 1
Bài toán có lời giải 15
1 Điểm - Đường thẳng 15
2 Đường tròn - Đường elip 68
Bài tập ôn luyện có đáp số 94
1 Bài tập Điểm - Đường thẳng 94
2 Bài tập Đường tròn - Đường elip 107
bo
xm
at
h.
vn
Lời nói đầu
Hình học giải tích hay hình học tọa độ làmột cách nhìn khác về Hình học . Hình học giải tích
trong mặt phẳng được đưa vào chương trình toán của lớp 10 nhưng vẫn có trong đề thi tuyển
sinh Đại học, Cao đẳng. Để góp phần trong việc ôn tập cho học sinh trước khi dự thi Diễn đàn
BoxMath xin đóng góp tuyển tập này.
Khi thực hiện biên soạn trên diễn đàn BoxMath, tôi đã nhận được sự quan tâm của nhiều
thành viên và quản trị viên. Những người đã góp sức vào quá trình biên soạn, góp ý sửa chữa
về các chi tiết trong tuyển tập. Sự đóng góp của các bạn, và những thầy cô tâm huyết chứng tỏ
cuốn tài liệu này là cần thiết cho học sinh.
Bây giờ đây, khi bạn đang đọc nó trênmáy tính hay đã được in ra trên giấy. Chúng tôi hy vọng
nó sẽ góp phần ôn tập kiến thức của bản thân đồng thời tăng thêm động lực khi học tập hình
học giải tích trong không gian.
Mặc dù đã biên soạn rất kỹ tuy nhiên tài liệu có thể vẫn còn sai sót, mong các bạn khi đọc
hãy nhặt ra dùm và gởi email về hungchng@yahoo.com. Đồng thời qua đây cũng xin phép các
Tác giả đã có bài tập trong tuyển tập này mà chúng tôi chưa nhớ ra để ghi rõ nguồn gốc vào,
cùng lời xin lỗi chân thành.
Thay mặt nhóm biên soạn, tôi xin chân thành cảm ơn!
Chủ biên
Châu Ngọc Hùng
Các thành viên biên soạn
1. Huỳnh Chí hào -THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp
2. Lê ĐìnhMẫn - THPT Nguyễn Chí Thanh - Quảng Bình
3. Lê Trung Tín - THPT Hồng Ngự 2 - Đồng Tháp
4. Đỗ Kiêm Tùng - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội
5. Tôn Thất Quốc Tấn - Huế
6. Nguyễn Tài Tuệ - THPT Lương Thế Vinh - Vụ Bản NamĐịnh
7. Nguyễn Xuân Cường - THPT Anh Sơn 1 - Nghệ An
8. Lê Đức Bin - THPT Đồng Xoài - Bình Phước
9. Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận
10. Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp.
bo
xm
at
h.
vn
Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 
 1 
 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉCTƠ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng : 
· x'Ox : trục hoành 
· y'Oy : trục tung 
· O : gốc toạ độ 
· ,i j
r r
: véctơ đơn vị ( )1 vaø i j i j= = ^r r r r 
Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng 
 Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy) 
II. Toạ độ của một điểm và của một véctơ: 
1. Định nghĩa 1: Cho ( )M mp OxyÎ . Khi đó véctơ OM
uuuur
 được biểu diển một cách duy nhất theo 
 ,i j
r r
 bởi hệ thức có dạng : voi x,yOM xi y j= + Î
uuuur r r
¡ . 
 Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M. 
 Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M ) 
/
( ; ) 
d n
M x y OM xi y jÛ = +
uuuur r r
· Ý nghĩa hình học: 
 và y=OQx OP= 
2. Định nghĩa 2: Cho ( )a mp OxyÎ
r
. Khi đó véctơ a
r
 được biểu diển một cách duy nhất theo 
 ,i j
r r
 bởi hệ thức có dạng : 1 2 1 2 voi a ,aa a i a j= + Î
r r r
¡ . 
 Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véctơ a
r
 . 
 Ký hiệu: 1 2( ; )a a a=
r
/
1 2 1 2=(a ;a ) 
d n
a a a i a jÛ = +
r r r r
· Ý nghĩa hình học: 
 1 1 1 2 2 2 và a =Aa A B B= 
x
y
i
r
j
r
O'x
'y
'x x
y
i
r
j
r
O
'y
MQ
P
x
y
O'x
'y
MQ
Px
y
x
y
1e
v
2e
v
O
'x
'y
P
ar
x
y
O
'x
'y
1A 1B
2A
2B
A
BK
H
bo
xm
at
h.
vn
Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 
 2 
III. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véctơ : 
 Định lý 1: Nếu B( ; ) và B(x ; )A A BA x y y thì 
 ( ; )B A B AAB x x y y= - -
uuur
 Định lý 2: Nếu 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r
 thì 
 * 1 1
2 2
a
b
a b
a b
=ì
= Û í =î
r r
 * 1 1 2 2( ; )a b a b a b+ = + +
r r
 * 1 1 2 2( ; )a b a b a b- = - -
r r
 * 1 2. ( ; )k a ka ka=
r
 ( )k Ρ 
IV. Sự cùng phương của hai véctơ: 
 Nhắc lại 
· Hai véctơ cùng phương là hai véctơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng 
song song . 
· Định lý về sự cùng phương của hai véctơ: 
  Định lý 3 : Cho hai véctơ và voi 0a b b ¹
r r r r
 cùng phuong !k sao cho .a b a k bÛ $ Î =
r r r r
¡ 
 Nếu 0a ¹
r r
 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau: 
 k > 0 khi a
r
 cùng hướng b
r
 k < 0 khi a
r
 ngược hướng b
r
a
k
b
=
r
r 
  Định lý 4 : , , thang hàng cùng phuong A B C AB ACÛ
uuur uuur
 (Điều kiện 3 điểm thẳng hàng ) 
 Định lý 5: Cho hai véctơ 1 2 1 2( ; ) vaø ( ; )a a a b b b= =
r r
 ta có : 
 1 2 2 1 cùng phuong a . . 0a b b a bÛ - =
r r
 (Điều kiện cùng phương của 2 véctơ 
A
B
C
av b
r
2 5
a b , b - a
5 2
= - =
v vv v
);( AA yxA
);( BB yxB
av
b
v
av
b
v
av
b
v
(1;2)
(2;4)
a
b
=
=
v
v1 2
1 2
( ; )
 VD :
( ; )
a a a
b b b
=
=
v
v
bo
xm
at
h.
vn
Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 
 3 
V. Tích vô hướng của hai véctơ: 
 Nhắc lại: 
 . . .cos( , )a b a b a b=
r r r r r r
22
a a=
r r
 . 0a b a b^ Û =
r r r r
  Định lý 6: Cho hai véctơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r
 ta có : 
 1 1 2 2.a b a b a b= +
r r
 (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ) 
  Định lý 7: Cho hai véctơ 1 2( ; ) a a a=
r
ta có : 
 2 21 2a a a= +
r
 (Công thức tính độ dài véctơ ) 
  Định lý 8: Nếu B( ; ) và B(x ; )A A BA x y y thì 
 2 2( ) ( )B A B AAB x x y y= - + - (Công thức tính khoảng cách 2 điểm) 
 Định lý 9: Cho hai véctơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r
 ta có : 
 1 1 2 2 a 0a b b a b^ Û + =
r r
 (Điều kiện vuông góc của 2 véctơ) 
 Định lý 10: Cho hai véctơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r
 ta có 
 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.cos( , )
. .
a b a b a ba b
a b a a b b
+
= =
+ +
r rr r
r r (Công thức tính góc của 2 véctơ) 
VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: 
 Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ¹ 1 ) nếu như : .MA k MB=
uuur uuur
A M B 
 · · · 
  Định lý 11 : Nếu B( ; ) , B(x ; )A A BA x y y và .MA k MB=
uuur uuur
 ( k ¹ 1 ) thì 
 ( ) . .; ;
1 1
A B A B
M M
x k x y k yx y
k k
- -æ ö= ç ÷- -è ø
x
y
b
v
O'x
'y
av
 j
av
b
v
b
v
av
O
B
A
( ; )B BB x y( ; )A AA x y
bo
xm
at
h.
vn
Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 
 4 
 Đặc biệt : M là trung điểm của AB Û ( ); ;
2 2
A B A B
M M
x x y yx y + +æ ö= ç ÷
è ø
VII. Một số điều kiện xác định điểm trong tam giác : 
Gx 31. G là trong tâm tam giác ABC GA 0 
3
A B C
A B C
G
x x x
GB GC
y y yy
+ +ì =ïïÛ + + = Û í + +ï =
ïî
uuur uuur uuur r
2. 
. 0
H là truc tâm tam giác ABC 
. 0
AH BC AH BC
BH AC BH AC
ì ì^ =ï ïÛ Ûí í
^ =ï ïî î
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur 
3. 
'
'
' là chân duong cao ke tu A 
 cùng phuong 
AA BC
A
BA BC
ì ^ïÛ í
ïî
uuur uuur
uuur uuur 
4. 
IA=IB
I là tâm duong tròn ngoai tiêp tam giác ABC 
IA=IC
ì
Û í
î
5. D là chân duong phân giác trong cua góc A cua ABC .ABDB DC
AC
D Û = -
uuur uuur
6. E là chân duong phân giác ngoài cua góc A cua ABC .ABEB EC
AC
D Û =
uuur uuur
7. J là tâm duong tròn nôi tiêp ABC .ABJA JD
BD
D Û = -
uur uuur
VIII. Kiến thức cơ bản thường sử dụng khác: 
 Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh : 
  Định lý 12: Cho tam giác ABC . Đặt 1 2 1 2( ; ) và ( ; )AB a a AC b b= =
uuur uuur
 ta có : 
 1 2 2 1
1 .
2ABC
S a b a bD = - 
 Cơng thức tính góc hai đường thẳng dựa vào hệ số góc : 
 Định lý 13: Cho hai đường thẳng 1D với hệ số góc 1k và 2D với hệ số góc 2k . Khi đó nếu 
 ( )·1 2; aD D = thì 
 1 2
1 2
tan
1
k k
k k
a
-
=
+
G
A
B C
H
A
B C
A'B
A
C
I
A
B C
B
A
C
D
J B
A
C
D
B C
B
bo
xm
at
h.
vn
Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 
 5 
ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Các định nghĩa về VTCP và VTPT (PVT) của đường thẳng: 
a
r
là VTCP của đường thẳng ( D ) 
dn
Û
 0
a có giá song song hay trùng voi ( )
aì ¹ï
í
Dïî
r r
r 
n
r
 là VTPT của đường thẳng ( D ) 
dn
Û
 0
n có giá vuông góc voi ( )
nì ¹ï
í
Dïî
r r
r 
* Chú ý: 
· Nếu đường thẳng ( D ) có VTCP 1 2( ; )a a a=
r
 thì có VTPT là 2 1( ; )n a a= -
r
· Nếu đường thẳng ( D ) có VTPT ( ; )n A B=
r
 thì có VTCP là ( ; )a B A= -
r
II. Phương trình đường thẳng : 
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng : 
 a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng ( D ) qua M0(x0;y0) và nhận 1 2( ; )a a a=
r
 làm 
 VTCP sẽ có : 
 Phương trình tham số là : 0 1
0 2
.
( ) : ( )
.
x x t a
t
y y t a
= +ì
D Îí = +î
¡ 
 Phương trình chính tắc là : 0 0
1 2
( ) : x x y y
a a
- -
D = ( )1 2, 0a a ¹ 
 
)(D
nv
av
av )(D
avnv
)(D
y
av
( ; )M x y
O x
0 0 0( ; )M x y
bo
xm
at
h.
vn
Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 
 6 
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng : 
a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT ( ; )n A B=
r
 là: 
 0 0( ) : ( ) ( ) 0A x x B y yD - + - = (
2 2 0A B+ ¹ ) 
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng : 
 Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng ( D ) có dạng : 
 0Ax By C+ + = với 2 2 0A B+ ¹ 
 Chú ý: 
 Từ phương trình ( D ): 0Ax By C+ + = ta luôn suy ra được : 
 1. VTPT của ( D ) là ( ; )n A B=
r
 2. VTCP của ( D ) là ( ; ) hay a ( ; )a B A B A= - = -
r r
 3. 0 0 0 0 0( ; ) ( ) 0M x y Ax By CÎ D Û + + = 
 Mệnh đề (3) được hiểu là : 
 Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó 
 nghiệm đúng phương trình của đường thẳng . 
3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng : 
a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) : 
 ( ) : A A
B A B A
x x y yAB
x x y y
- -
=
- -
 ( ) : AAB x x= ( ) : AAB y y= 
b. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: 
 Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng ( D ) cắt trục hồng tại điểm A(a;0) và trục tung tại 
 điểm B(0;b) với a, b ¹ 0 có dạng: 1x y
a b
+ = 
);( 000 yxM
);( BAn =v
x
y
O
);( ABa -=v
);( ABa -=v
);( yxM
x
y
O );( AA yxA
);( BB yxB );( AA yxA
);( BB yxB
Ax Bx
Ay
By
x
y
);( AA yxA );( BB yxB
Ay By
x
y
y nv
( ; )M x y
O x
0 0 0( ; )M x y
bo
xm
at
h.
vn
Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 
 7 
c. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k: 
 Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng D . Gọi ( , )Oxa = D thì tank a= được gọi là hệ số góc 
 của đường thẳng D 
 Định lý 1: Phương trình đường thẳng D qua 0 0 0( ; )M x y có hệ số góc k là : 
 0 0y - y = k(x - x ) (1) 
 Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vuông góc 
 Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox là x = x0 
 Chú ý 2: Nếu đường thẳng D có phương trình y ax b= + thì hệ số góc của đường thẳng là k a= 
 Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng 1 2,D D ta có : 
· 1 2 1 2/ / k kD D Û = ( )1 2D ¹ D 
· 1 2 1 2 k . 1kD ^ D Û = - 
d. Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đt cho trước: 
 ... 
21
2
;
5
p
3
6
)
;M
(
−
p
21
2
;−5
p
3
6
)
;M
(p
21
2
;−5
p
3
6
)
Bài 41. Trong mặt phẳngOxy cho đường thẳng (d) : x− y +1= 0 và đường tròn
(C ) : x2+ y2+2x−4y = 0. Tìm điểmM thuộc đường thẳng (d)mà quaM kẻ được 2 tiếp tuyền tiếp
xúc với (C ) tại A và B sao choƒAMB = 60o .
ĐS :
Bài 42. Trongmặt phẳng với hệ tọa độOxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x2+y2−2x−2y+
1= 0, (C ′) : x2+ y2+4x−5= 0 cùng đi qua M(1;0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai
đường tròn (C ), (C ′)lần lượt tại A,B sao choMA = 2MB .
ĐS : 6x+1y −6= 0
Bài 43. Trongmặt phẳngOxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2−6x+5= 0. TìmM thuộc trục tung sao
cho quaM kẻ được hai tiếp tuyến của (C )mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60o.
ĐS :
Bài 44. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn hai đường (C ) : x2+ y2−2x −2y +1 = 0, (C ′) : x2+
y2+ 4x − 5 = 0 cùng đi qua M(1;0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn
(C ), (C ′)lần lượt tại A,B sao choMA = 2MB .
ĐS :
Bài 45. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2+ 2x − 8y − 8 = 0. Viết phương trình
đường thẳng song song với đường thẳng d : 3x+ y−2= 0 và cắt đường tròn theo một dây cung có
độ dài bằng 6.
ĐS :
Bài 46. Trongmặt phẳngOxy cho đường tròn (C ) : x2+y2 = 1, đường thẳng (d) : x+y+m = 0. Tìm
m để (C ) cắt (d) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.
ĐS :
112 boxmath.vn
bo
xm
at
h.
vn
Bài 47. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2− 4x − 2y − 1 = 0 và đường thẳng d :
x+y+1= 0. Tìm những điểmM thuộc đường thẳng d sao cho từ điểmM kẻ được đến (C ) hai tiếp
tuyến hợp với nhau góc 90o
ĐS :
Bài 48. Trongmặt phẳngOxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2+4p3x−4= 0. TiaOy cắt (C ) tại A. Lập
phương trình đường tròn (C ′), bán kính R ′ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C ) tại A.
ĐS :
Bài 49. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2− 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình
đường tròn (C ′) tâmM(5,1) biết (C ′) cắt (C ) tại các điểm A,B sao cho AB =p3.
ĐS :
Bài 50. Trongmặt phẳngOxy cho đường tròn (C ) có phương trình (x−1)2+ (y+2)2 = 9 và đường
thẳng d : x+ y +m = 0. Tìmm để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được
hai tiếp tuyến AB ,AC tới đường tròn (C ) (B ,C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
ĐS :
Bài 51. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2−2x+4y −4 = 0 và đường thẳng d có
phương trình x + y +m = 0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó
kẻ được hai tiếp tuyến AB ,AC tới đường tròn (C ) (B ,C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC
vuông.
ĐS :
Bài 52. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x−2y +4= 0. Viết phương trình đường tròn
có tâm I (3;1) chắn trên đường thẳng d một dây cung có độ dài bằng 4.
ĐS : (x−3)2+ (y −1)2 = 9.
Bài 53. Trongmặt phẳngOxy cho hai điểm A(2;3),B(−1;1) và đường thẳng ∆ : x−3y−11= 0. Viết
phương trình đường tròn có tâm nằm trên ∆ và qua hai điểm A,B.
ĐS : x2+ y2−7x+5y −14= 0.
Bài 54. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0;5),B(2;3). Viết phương trình đường tròn đi qua
hai điểm A,B và có bán kính R =p10.
ĐS : (x+1)2+ (y −2)2 = 10 hoặc (x−3)2+ (y −6)2 = 10.
Bài 55. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ : x+ y −5= 0 và đường thẳng d : 3x+ y −3= 0.
Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ∆ có bán kính bằng 10 đồng thời
tiếp xúc với đường thẳng d .
ĐS : (x−4)2+ (y −1)2 = 10 hoặc (x+6)2+ (y −11)2 = 10.
Bài 56. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ : 2x+ y = 0 và đường thẳng d : x−7y +10 = 0.
Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ∆ và tiếp xúc với d tại A(4;2).
ĐS : (x−6)2+ (y +12)2 = 200.
Bài 57. Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : 2x + y −3 = 0,d2 : 3x +4y +5 = 0,d3 : 4x +
3y +2= 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2,d3.
ĐS : (x−10)2+ y2 = 49 hoặc
(
x− 10
43
)2
+
(
y + 70
43
)2
=
(
7
43
)2
.
 113
bo
xm
at
h.
vn
Bài 58. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x −7y +10 = 0 và đường tròn (C ′) : x2+ y2−
2x+4y −20= 0. Viết phương trình đường tròn (C ) qua A(1;−2) và các giao điểm của (C ′) và d .
ĐS : x2+ y2−2x+4y −10= 0.
Bài 59. Trongmặt phẳngOxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
,A(2;−3),B(3;−2), trọng tâm
G của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d : 3x−y−8= 0. Viết phương trình đường tròn đi qua
ba điểm A,B ,C .
ĐS : x2+ y2− 11
3
x+ 11
3
y + 16
3
= 0 hoặc x2+ y2− 91
3
x+ 91
3
y + 416
3
= 0.
Bài 60. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2−12x−4y +36= 0. Viết phương trình
đườn tròn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa độOx,Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C ).
ĐS : (x−18)2+ (y −18)2 = 324,(x−2)2+ (y −2)2 = 4,(x−6)2+ (y +6)2 = 36.
Bài 61. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(−1;7),B(4;−3),C (−4;−1). Hãy viết phương trình
đường tròn (C ) nội tiếp tam giác ABC .
ĐS : (x+1)2+ (y −2)2 = 5.
Bài 62. Trongmặt phẳngOxy cho đường tròn (C ) : (x−1)2+(y+3)2 = 25. Viết phương trình đường
thẳng ∆ đi qua gốc tọa độO và cắt (C ) theo một dây cung có độ dài bằng 8.
ĐS : y = 0 hoặc 3x−4y = 0.
Bài 63. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2+2x−4y −20 = 0 và điểm A(3;0). Viết
phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và cắt đường tròn (C ) tại hai điểmM ,N sao choMN có độ
dài nhỏ nhất.
ĐS : x+2y −3= 0.
Bài 64. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2+2x−4y −20 = 0 và điểm A(3;0). Viết
phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và cắt đường tròn (C ) tại hai điểmM ,N sao choMN có độ
dài lớn nhất.
ĐS : 2x− y −6= 0.
Bài 65. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2 + y2 + 2x − 4y + 4 = 0 có tâm I và điểm
M(−1;−3). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt đường tròn (C ) tại hai điểm A,B
sao cho tam giác I AB có diện tích lớn nhất.
ĐS : x+ y +4= 0 hoặc 7x+ y +10= 0.
Bài 66. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2−6x +5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục
tung sao cho từM kẻ được hai tiếp tuyến với (C )mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
ĐS :M(0;−p7) hoặcM(0;p7).
Bài 67. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2−4x −2y = 0 và đường thẳng d : x +
2y−12= 0. Tìm điểmM thuộc đường thẳng d sao cho từM kẻ được hai tiếp tuyến với (C )mà góc
giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
ĐS :M(6;3),M
(
6
5
;
27
5
)
.
114 boxmath.vn
bo
xm
at
h.
vn
Bài 68. Trongmặt phẳngOxy cho hai đường tròn (C ) : x2+y2−18x−6y+65= 0 và (C ′) : x2+y2 = 9.
Từ điểm M thuộc đường tròn (C ) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C ′), gọi A,B là hai tiếp điểm.
Tìm tọa độ điểmM , biết độ dài AB bằng
9
5
.
ĐS :M(4;3) hoặcM(5;0).
Bài 69. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : (x + 4)2 + (y − 3)2 = 25 và đường thẳng ∆ :
3x−4y +10= 0. Lập phương trình đường thẳng d biết d vuông góc với ∆ và d cắt (C ) tại A,B sao
cho AB = 6.
ĐS : 4x+3y +27= 0 hoặc 4x+3y −13= 0.
Bài 70. Trong mặt phẳngOxy cho hai đường tròn (C1) : x2+ y2 = 13 và (C2) : (x−6)2+ y2 = 25. Gọi
A là giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt (C1), (C2)
theo hai đay cung có độ dài bằng nhau.
ĐS : x−2= 0 hoặc x−3y +7= 0.
Bài 71. Trong mặt phẳngOxy cho đường thẳng d : x−5y −2= 0 và đường tròn (C ) : x2+ y2+2x−
4y − 8 = 0. Xác định tọa độ các giao điểm A,B của đường tròn (C ) và đường thẳng d biết A có
hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm C thuộc đường tròn (C ) sao cho tam giác ABC vuông ở B.
ĐS : C (−4;4).
Bài 72. Trong mặt phẳngOxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2−2x−4y−5= 0 và A(0;−1). Tìm tọa độ
B ,C thuộc đường tròn (C ) sao cho tam giác ABC đều.
ĐS : B
(
7+p3
2
;
3−3p3
2
)
,C
(
7−p3
2
;
3+3p3
2
)
.
Bài 73. Trongmặt phẳngOxy cho đường tròn (C ) : (x−3)2+ (y−4)2 = 35 và điểm A(5;5). Tìm trên
(C ) hai điểm B ,C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
ĐS : B
(
7+3p13
2
;
11−p13
2
)
,C
(
9+p13
2
;
7+3p13
2
)
hoặc
B
(
7−3p13
2
;
11+p13
2
)
,C
(
9−p13
2
;
7−3p13
2
)
.
Bài 74. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2 = 4 và điểm A
(
1;
−8
3
)
,B(3;0). Tìm M
thuộc (C ) sao cho tam giácMAB có diện tích bằng
20
3
.
ĐS :M(−2;0) hoặcM
(
−14
25
;
48
75
)
.
Bài 75. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2− 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d :
x− y +3= 0. Tìm tọa độ điểmM nằm trên d sao cho đường tròn tâmM có bán kính gấp đôi bán
kính đường tròn (C ) và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C ).
ĐS :M(1;4),M(−2;1).
 115
bo
xm
at
h.
vn
Bài 76. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : (x−1)2+ (y +2)2 = 9 và đường thẳng d : 3x−
4y+m = 0. Tìmm để trên d có duy nhấtmột điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA,PB
tới (C ) (A,B là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC đều.
ĐS :m = 19,m =−41.
Bài 77. Trongmặt phẳngOxy cho đường tròn (C ) : (x−1)2+y2 = 1 có tâm I . Xác định tọa độ điểm
M thuộc đường tròn (C ) sao cho IMO = 300.
ĐS :M
(
3
2
;
p
3
2
)
hoặcM
(
3
2
;−
p
3
2
)
.
Bài 78. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C )
tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của (C ) đến điểm B bằng 5.
ĐS : (x−2)2+ (y −1)2 = 1 hoặc (x−2)2+ (y −7)2 = 49.
Bài 79. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2−2x−6y +6= 0 và điểm M(−3;1). Gọi
A,B là hai tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từM đến (C ). Viết phương trình đường thẳng AB .
ĐS : AB : 2x+ y −3= 0.
Bài 80. Trongmặt phẳngOxy cho đường tròn (C ) : (x−2)2+y2 = 4
5
và hai đường thẳng ∆1 : x−y =
0,∆2 : x − 7y = 0. Xác định tọa độ tâm K của đường tròn (C1) biết đường tròn (C1) tiếp xúc với
đường thẳng ∆1,∆2 và tâm K thuộc đường tròn (C ).
ĐS : K
(
8
5
;
4
5
)
,R = 2
p
2
5
.
Bài 81. Trongmặt phẳngOxy cho đường tròn (C ) : (x−1)2+(y−2)2 = 4 và đường thẳng d : x−y−1=
0. Viết phương trình đường tròn (C ′) đối xứng với đường tròn (C ) qua d .
ĐS : (x−2)2+ y2 = 4.
Bài 82. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(0;2),B(−2;−2),C (4;−2). Gọi H là chân
đường cao kẻ từ B , M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC . Viết phương trình đường tròn
đi qua điểm H ,M ,N .
ĐS : x2+ y2−x+ y −2= 0.
Bài 83. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : x2+ y2+ 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆ :
x+my−2m+3= 0 vớim là tham số thực. Gọi I là tâm đường tròn (C ). Tìmm để ∆ cắt (C ) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho diên tích tam giác I AB lớn nhất.
ĐS :m = 0,m = 8
15
.
Bài 84. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1 :
p
3x+ y = 0 và d2 :
p
3x− y = 0. Gọi (C ) là
đường tròn tiếp xúc với d1 tại A cắt d2 tai hai điểm B ,C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết
phương trình đường tròn (C ) biết tam giác ABC có diện tích bằng
p
3
2
và điểm A có hoành độ
dương.
ĐS :
(
x+ 1
2
p
3
)2
+
(
y + 2
2
)2
= 1.
116 boxmath.vn
bo
xm
at
h.
vn
Bài 85. Trong mặt phẳng Oxy cho các đường tròn (C1) : x2+ y2 = 4,(C2) : x2+ y2−12x+18 = 0 và
đường thẳng d : x− y −4= 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d cắt
(C1) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB vuông góc với d .
ĐS : (x−3)2+ (y −3)2 = 8.
Bài 86. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : 2x− y +3= 0. Viết phương trình đường tròn
có tâm thuộc d , cắtOx tại A,B , cắtOy tại C ,D sao cho AB =CD = 2.
ĐS : (x+1)2+ (y −1)2 = 2 hoặc (x+3)2+ (y +3)2 = 10.
 117