Hình học giải tích tọa độ Oxy

Nguyễn Phú Khánh 
 505 
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TỌA ĐỘ OXY 
Dạng 1. Tọa độ vectơ 
1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc Ox và Oy với hai vectơ 
đơn vị lần lượt là i, j

 

. Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi là trục hoành và Oy 
gọi là trục tung. 
Kí hiệu Oxy hay ( )O;i, j

 

2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ . 
+ Trong hệ trục tọa độ ( )O;i, j

 

 nếu u xi yj= +

 
 

 thì cặp số ( )x; y được gọi là tọa độ 
của vectơ u


, kí hiệu là ( )u x; y=


 hay ( )u x; y


. x được gọi là hoành độ, y được 
gọi là tung độ của vectơ u


+ Trong hệ trục tọa độ ( )O;i, j

 

, tọa độ của vectơ OM


 gọi là tọa độ của điểm 
M , kí hiệu là ( )M x; y= hay ( )M x; y . x được gọi là hoành độ, y được gọi là 
tung độ của điểm M . 
Nhận xét: Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì ( )M x; y 
OM xi yj OH OK⇔ = + = +

 
 
 
 

Như vậy OH xi, OK yj= =

 
 
 

 hay x OH, y OK= = 
3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác. 
+ Cho A A B BA(x ; y ), B(x ; y ) và M là trung điểm AB . Tọa độ trung điểm 
 ( )M MM x ; y của đoạn thẳng AB là A B A BM M
x x y y
x , y
2 2
+ +
= = 
+ Cho tam giác ABC có ( )A A B B C CA(x ; y ), B(x ; y ), C x ; y . Tọa độ trọng tâm 
 ( )G GG x ; y của tam giác ABC là A B CG
x x x
x ,
3
+ +
= A B CG
y y y
y
2
+ +
= 
4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ. 
Cho u (x; y)=


 ;u' (x'; y')=


 và số thực k . Khi đó ta có : 
 + 
x x'
u u'
y y'
 =
= ⇔ 
=

 

 + u v (x x'; y y')± = ± ±

 

 + k.u (kx; ky)=


 + u'


 cùng phương u


(u 0≠

 

) khi và chỉ khi có số k sao cho 
x' kx
y' ky
 =

=
)Nguyễn Phú Khánh 
 506 
 + Cho A A B BA(x ; y ), B(x ; y ) thì ( )B A B AAB x x ; y y= − −


Ví dụ 1. Cho các vectơ ( ) ( ) ( )a 2; 3 ,b 1; 2 ,c 3; 5= − = − = − −

 
 

1. Tìm các số m,n sao cho : c ma nb= +

 
 

2. Tìm vectơ u


sao cho : a.u 15=

 

 và b.u 11= −



Lời giải 
1. Ta có ( ) ( ) ( )ma 2m; 3m ,nb n; 2n ma nb 2m n; 3m 2n= − = − ⇒ + = − + −

 
 
 

Vậy 
2m n 3 m 11
c ma nb
3m n 5 n 19
− + = −  =
= + ⇔ ⇔ 
− = − = 

 
 

2. Gọi ( )u x; y


( )a.u 15 2x 3y 15 x 3 u 3;7
x 2y 11 y 7b.u 11
 = − + =  =
⇔ ⇔ ⇒ =  
− = − == −  

 




 
 
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy 
1. Cho ( ) ( )A 2; 2 ,B 5; 2− . Tìm trên trục hoành điểm C để ABC∆ vuông. 
2. Tìm trên trục hoành điểm A , cách ( )B 2; 3− , một khoảng bằng 5 . 
3. Tìm trên trục tung điểm C cách điểm ( )D 8;13− một khoảng bằng 17 . 
4. Tìm điểm M trên trục tung cách đều 2 điểm ( )A 1; 3− và ( )B 1; 4 . 
Lời giải 
1. Gọi ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0C x ;0 Ox AC x 2; 2 ,BC x 5; 2 ,AB 3; 4∈ ⇒ = − − = − = −

 
 

 * ABC∆ vuông tại A 
2
AB AC AB.AC 0 C ;0
3
 
⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ − 
 

 

 * ABC∆ vuông tại B 
22
AB BC AB.BC 0 C ;0
3
 
⇔ ⊥ ⇔ = ⇔  
 

 

 * ABC∆ vuông tại C ( ) ( )CA CB AC.CB 0 C 1;0 ,C 6;0⇔ ⊥ ⇔ = ⇔

 

2. Gọi ( ) ( )0 0A x ;0 Ox AB 2 x ; 3 ,AB 5∈ ⇒ = − − =


( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 00
0
x 2
2 x 3 5 A 2;0 ,A 6; 0
x 6
 = −
⇔ − + − = ⇔ ⇒ −
=
3. Gọi ( ) ( )0 0C x ; y Oy : CD 8;13 y ,CD 17∈ = − − =


)Nguyễn Phú Khánh 
 507 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 00
0
y 2
13 y 8 17 C 0; 2 ,C 0; 28
y 28
 = −
⇔ − + − = ⇒ ⇒ −
=
4. Gọi ( )0M 0; y Oy∈ . Khi đó : 2 2MA MB MA MB= ⇔ = 
( ) ( ) ( )2 2 220 0 0
7 7
1 3 y 1 4 y y M 0;
2 2
 
⇔ − + − = + − ⇒ = ⇒  
 
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm ( )A 4; 2 . Tìm tọa 
độ điểm B sao cho 
1. OAB là tam giác đều, ( ) 0OA;OB 60=

 

. 
2. OAB là tam giác cân, ( ) 0OA;OB 45=

 

Lời giải 
1. Ta có : ( ) ( )
0
0
0
tan tan 60
tan Ox;OA tan 60
1 tan .tan 60
α +
= α + =
− α
( )1 1 2 3tan tan Ox;OA
2 2 3
+
α = ⇒ =
−
Từ đó : ( ) 0 0
1 2 3 1 2 3
OB : y x B x ; x
2 3 2 3
   + +
= ⇒      − −   
Khi đó 
2
2
0 0
1 2 3
OA OB x x 20
2 3
 +
= ⇔ + =  − 
( )220x 2 3⇔ = − 
Vì ( )0 0 0y 0 x 0 x 2 3 B 1 3;1 3> ⇒ > ⇒ = − ⇒ − + 
2. Tương tự ( ) ( )
0
0
0
tan tan 45
tan Ox;OB tan 45 3
1 tan .tan 45
α +
= α + = =
− α
( )OB : y 3x⇒ = . ( )AB đi qua A và vuông góc OA nên ( )AB có phương trình : 
( ) ( )4 x 4 2 y 2 0 2x y 10 0− + − = ⇔ + − = 
B là giao điểm OB và AB nên ( )y 3xB : B 2;6
2x y 10 0
 =
⇒
+ − =
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC∆ biết 
( ) ( ) ( )A 1;1 ; B 3; 2 ; C 0;1− − . 
1. Tìm tọa độ trực tâm H của ABC∆ ; 
2. Tìm tọa độ chân đường cao A' vẽ từ A . 
)Nguyễn Phú Khánh 
 508 
Lời giải 
1. Gọi ( )H x; y là trực tâm AH.BC 0ABC
BH.AC 0
 =
∆ ⇔ 
=

 


 
 ( )I 
( ) ( ) ( ) ( )AH x 1; y 1 ,BH x 3; y 2 ,BC 3; 3 ,AC 1;0= − − = + + = = −

 
 
 

Khi đó ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 x 1 3 y 1 0 x 3
I H 3; 5
y 5x 3 0
 − + − =  = −
⇔ ⇔ ⇒ − 
=− + = 
2. Gọi ( )A' a; b là chân đường cao AA' AA'.BC 0⇔ =

 

 và BA'


cùng phương BC


( ) ( ) ( )AA' a 1; b 1 , BA' a 3; b 2 ,BC 3; 3= − − = + + =

 
 

Khi đó, ta có hệ: 
( ) ( )
( ) ( )
1
a3 a 1 3 b 1 0 1 32 A' ;
3 2 23 b 2 3 a 3 0 b
2

= − + − =   
⇔ ⇒   
+ − + =    =

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ( )A 2;1 , ( )B 3; 1 ,− 
( )C 2; 3− . Tìm điểm E Oy∈ để ABEC là hình thang có 2 đáy AB và CE với K là giao 
điểm K của AC và BE . 
Lời giải 
• Gọi ( )E 0,e Oy∈ 
ABEC là hình thang có 2 đáy AB và CE AB⇒


 cùng phương CE


 ( )* 
( ) ( )AB 1; 2 ,CE 2;e 3= − = +

 

. Thì ( )* ( )e 3 4 0 e 7 E 0; 7⇔ + + = ⇒ = − = − 
• K AC BE= ∩ A,C,K⇒ thẳng hàng và B,E,K thẳng hàng ( )AC AK 
BE BK
 ↑↑⇔ ∗∗
↑↑

 


 
 
( ) ( ) ( ) ( )K K K KAC 4; 4 ,AK x 2; y 1 ,BE 3; 6 ,BK x 3; y 1= − − = − − = − − = − +

 
 
 

Khi đó ( )
( ) ( )
( ) ( )
K K K K K
K K KK K
4 y 1 4 x 2 0 x y 1 x 6
2x y 7 y 53 y 1 6 x 3 0
− − + − =  − =  =  
∗∗ ⇔ ⇔ ⇒  
− = =− + + − =   
( )K 6; 5⇒ 
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy 
1. Cho ( )A 3;0 và ( )C 4;1− là đỉnh đối nhau của hình vuông. Tìm 2 đỉnh còn lại. 
2. Cho ( )A 2; 1− và ( )B 1; 3− là 2 đỉnh liên tiếp hình vuông. Tìm 2 đỉnh còn lại. 
)Nguyễn Phú Khánh 
 509 
3. Cho ( ) ( )A 2; 4 ; B 1;1 . Tính tọa độ C,D biết ABCD là hình vuông. 
Lời giải 
1. Gọi 
1 1
I ;
2 2
 
− 
 
 là trung điểm AC , gọi ( )B a; b 
Ta có 
BI AC
1
BI AC
2
 ⊥


=
 ( )2 2
BI.AC 0
I1
BI AC
4
 =

⇒ 
=


 

, trong đó ( )1 1BI a ; b ,AC 7;1
2 2
 
= + − = − 
 

 

Từ ( )
( )
2
2 2 2
1 1
7 a b 0
2 2 a 0,y 4a a 0I
a 1,b 3b 7a 41 1 1
a b 5 2
2 2 4
  
− + + − =     = =  + = 
⇔ ⇔ ⇔   = − = −= +      + + − =   
   
Vậy ( )B 0; 4 hoặc ( )B 1; 3− − ; ( )D 0; 4 hoặc ( )D 1; 3− − 
2. Gọi ( )C c;d là đỉnh đối diện A . Ta có ( )
2 2AB BCAB BC
II
AB BC AB.BC 0
 = = 
⇔ 
⊥ = 

 
 
( ) ( )AB 3; 4 , BC c 1;d 3= − = + −

 

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 C 3;6c 3,d 6c 1 d 3 25
II
c 5,d 0 C 5;03 c 1 4 d 3 0
  = =+ + − = 
⇔ ⇔ ⇒  
= − = −− + + − =   
Vì ABCD là hình vuông AD BC=

 

( )* C 3; 6 , ta có: 
( )
( )
( )
BC 4; 3 x 2 4
D 6; 2
y 1 3AD x 2; y 1
= −  − =
⇒ ⇒ 
+ == − + 



 
( )* C 5;0 ,− ta có: ( )
( )
( )
BC 4; 3 x 2 4
D 2; 4
y 1 3AD x 2; y 1
= − −  − = −
⇒ ⇒ − − 
+ = −= − + 



 
Vậy, ( ) ( )C 3;6 ; D 6; 2 hoặc ( ) ( )C 5;0 ,D 2; 4− − − 
3. Gọi ( )C x; y , ta có: ( ) ( )2 22BA 10,BC x 1 y 1= = − + − 
ABCD là hình vuông 
( ) ( )
( ) ( )2 2
1. x 1 3 y 1 0BA BC
BA BC x 1 y 1 10
 − + − = ⊥ 
⇒ ⇒ 
= − + − =  

 

x 4
y 0
 =
⇔ 
=
 hoặc 
x 2
y 2
 = −

=
TH1 : ( ) ( )C 4;0 AB DC D 5; 3⇒ = ⇒

 

)Nguyễn Phú Khánh 
 510 
TH2: ( ) ( )C 2; 2 AB DC D 1; 5− ⇒ = ⇒ −

 

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho 2 điểm ( ) ( )M 1;1 ,N 7; 5 
và đường thẳng ( )d : x y 8 0+ − = . 
1. Tìm điểm ( )P d∈ sao cho PMN∆ cân đỉnh P 
2. Tìm điểm ( )Q d∈ sao cho QMN∆ vuông đỉnh Q 
Lời giải 
1. ( ) ( )0 0 0 0P x ; y d : x y 8 0∈ + − = 
 PMN∆ cân đỉnh P PM PN⇔ = 
 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 0 0x 1 y 1 x 7 y 5⇔ − + − = − + − 
 Ta có hệ : 
( ) ( ) ( ) ( )
( )0 0 02 2 2 2
00 0 0 0
x y 8 0 x 2
P 2;6
y 6x 1 y 1 x 7 y 5
 + − =  = 
⇔ ⇒ 
=− + − = − + − 
2. ( ) ( )1 1 1 1Q x ; y d : x y 8 0∈ + − = . ( )1 1QM 1 x ;1 y= − −


, ( )1 1QN 7 x ; 5 y= − −


 QMN∆ vuông đỉnh ( )( ) ( )( )1 1 1 1Q QM QN 1 x 7 x 1 y 5 y 0⇔ ⊥ ⇔ − − + − − =

 

Ta có hệ 
( )( ) ( )( ) ( )
1 1 1
1 1 1 1 1
x y 8 0 x 7
Q 7;1
1 x 7 x 1 y 5 y 0 y 1
 + − =  = 
⇔ ⇒ 
− − + − − = = 
Ví dụ 8. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC∆ biết ( )A 3;1 , 
 ( )B 1; 3− trọng tâm G của ABC∆ nằm trên Ox . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích 
 ABC∆ bằng 3. 
Lời giải 
 * ( )G x;0 Ox∈ , G là trọng tâm 2ABC AG AM 3AG 2AM
3
∆ ⇔ = ⇔ = 
 2AG 3AM⇔ =

 

 ; ( ) ( )M MAG x 3; 1 ,AM x 3; y 1= − − = − −

 

( ) ( )
( )
( )
( )
MM
M
M
3
x x 13 x 3 2 x 3 3 122AG 3AM M x 1 ;
1 2 23 2 y 1 y
2

= − − = −   
= ⇔ ⇔ ⇒ − −   
− = −    = −


 

 * Mặt khác M là trung điểm BC 
)Nguyễn Phú Khánh 
 511 
( )
( )
B C C
M C
B C C C
M
x x 1 x3
x x 1 x 3x 42 2 2 C 3x 4; 2
y y 3 y y 21
y
2 2 2
 +  +
= − =   = −  
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ −  
+ − + = = − =
  
( )
( )
B C C
M C
B C C C
M
x x 1 x3
x x 1 x 3x 42 2 2 C 3x 4; 2
y y 3 y y 21
y
2 2 2
 +  +
= − =   = −  
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ −  
+ − + = = − =
  
 ( ) ( )CA 7 3x; 1 ,CB 5 3x; 5= − − = − −

 

 ( ) ( ) ( )ABC 1S 3 3 det CA,CB 6 5 7 3x 5 3x2∆ = ⇔ = ⇔ = − − + −

 

 2x 5 1 x 3⇔ − = ⇔ = hoặc x 2= 
Vậy, ( )C 2; 2 hoặc ( )C 3; 2 là tọa độ cần tìm. 
Ví dụ 9. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD biết 
 ( ) ( )A 3;1 ,B 2; 4− và giao điểm I của 2 đường chéo nằm trên Ox . Hãy xác định tọa độ 
 điểm C và D . 
Lời giải 
 Gọi ( ) ( ) ( )0 0 0I x ;0 Ox AI x 3; 1 ,BI x 2; 4∈ ⇒ = − − = + − 
 I là giao điểm 2 đường chéo hình thoi 
 ( )( ) ( )( )AI BI x 3 x 2 1 4 0⇔ ⊥ ⇔ − + + − − =

 

 ( )x 1,x 2 I 1;0⇔ = − = ⇒ − hoặc ( )I ' 2;0 
 * ( )I 1;0− . I là trung điểm ( )C I A
C I A
x 2x x 5
AC C 5; 1
y 2y y 1
 = − = −
⇔ ⇒ − −
= − = −
 và I là trung điểm ( )D I B
D I B
x 2x x 0
BD D 0; 4
y 2y y 4
 = − =⇔ ⇒ −
= − = −
* ( ) ( ) ( )I 2;0 C 1; 1 ,D 6; 4⇒ − − 
Ví dụ 10. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy 
1. Cho tứ giác ABCD có ( ) ( ) ( ) ( )A 2;14 ,B 4; 2 ,C 6; 2 ,D 6;10− − − . Tìm tọa độ M giao 
 điểm 2 đường chéo AC và BD . 
2. Cho ABC∆ với ( ) ( ) ( )A 3; 5 ,B 5;1 ,C 5; 9− − . Tính góc BAD , AD là trung tuyến. 
)Nguyễn Phú Khánh 
 512 
Lời giải 
1. 
( )
( )
( ) ( )M M M M M M
BM x 4; y 2
12 x 2 2 y 2 0 6x y 26 0
BD 2;12
 = − +
⇒ − − + = ⇔ − − =
=



 
( )
( )
( ) ( )M M M M M M ...  −

 
 

d. ABCM là hình bình hành ( ) ( )AM BC,AM x 4; y 1 2 2 ,BC 4;0⇔ = = − − − =

 
 
 

Vậy AM BC x 8,y 1 2 3= ⇔ = = +

 

Gọi I là tâm hình bình hành ABCM khi I là trung điểm AC 
)Nguyễn Phú Khánh 
 521 
Bài tập 5. Gọi ( )I x; y là giao điểm 2 đường chéo AC,BD 
AI AC
BI BD
 ↑↑
⇔ 
↑↑

 


 
 với 
( ) ( )
( ) ( )
AI x 2; y 4 ,AC 7; 18
BI x 4; y 2 , BD 1;10
 = + + = −

= − + =

 


 
 
( ) ( )
( ) ( )
89
x7 y 14 18 x 2 0 89 1722 I ;
17 22 1110 x 4 y 2 0 y
11

= − + + =   
⇔ ⇔ ⇒ −   
− − + =    = −

Bài tập 6a. Ta có A A
A A
x 2 3 2 x 3
PA MN
y 1 0 4 y 3
 − = − −  = − 
= ⇔ ⇔ 
− = − = −  

 

( ) ( ) ( ): A 3; 3 ; B 7; 5 ;C 3; 3− − − 
b. Gọi M là trung điểm BC . Ta có : 
( ) ( )
( ) ( )
G
G
2 3 3 2 x 1 5
AM 3GM G ;
3 34 3 3 4 y
 − − = −  
= ⇔ ⇒  
− − = −  

 

GM GN GP 0 G+ + = ⇒

 
 

 là trọng tâm MNP∆ . 
Bài tập 7. Ta có 
( )
( )
AB 1; 5 2 0
AB
1 5AC 2;0
 = −
⇒ ≠ ⇒
= −





 không cùng phương AC


. Do đó A, B,C 
 không thẳng hàng. 
( )0D 0; y Oy∈ ( ) ( )0CB 3; 5 ; AD 1; y 2= = − +

 

* ABCD là hình thang có đáy AD AD⇔


 cùng phương CD


( ) ( )0 0
11 11
3. y 2 1 .5 0 y D 0;
3 3
−  − 
⇔ + − − = ⇒ = ⇒  
 
Gọi ( )I a,b là giao điểm 2 đường chéo AC và BD 
Ta có : ( ) ( ) ( )20AC 2;0 ; AI a 1; b 2 ; BD 2; ; BI a 2; b 3
3
 − 
= − = − + = − = − − 
 

 
 
 

I là giao điểm AC và BD A,I,C⇔ thẳng hàng và B,I,D thẳng hàng AC⇔


 cùng 
phương AI


 và BD


 cùng phương BI


( )
A C
I I
A C I
I
x x
x x 52 I 5;1 3
y y y 1 3
y
2
 +
=  = 
⇔ ⇔ ⇒ + 
+ = + =

)Nguyễn Phú Khánh 
 522 
( ) ( )
( ) ( )
2. b 2 0. a 1 0 1
a 1
I ; 2220 22. b 3 . a 2 0 b 23
− + − − = 
=   
⇔ ⇔ ⇒ −   
− − + − =    = −
Bài tập 8a. 
( )
( )
AB 6; 2
AB 2DC AB,DC
DC 3;1
 =
⇒ = ⇒
=



 
 
 


 cùng phương hay ABCD là hình 
thang. 
b. ( ) ( )0AB Ox N x ;0 AN∩ = ⇔


 cùng phương AB


 với ( ) ( )0AN x 2; 3 ; AB 6; 2= + =

 

( ) ( )0 0AN AB 2 x 2 3.6 0 x 7 N 7; 0⇔ + − = ⇔ = ⇒

 

 
c. ( )M CD CM∈ ⇔


 cùng phương CD với ( ) ( )CM x 2;1 ;CD 3; 1= − = − −

 

( ) ( )x 2 1 x 5 M 5; 2 DM 6; 2 AB
3 1
−
= ⇔ = ⇒ ⇒ = =
− −

 

ABMD⇒ là hình bình hành. 
d. Tương tự trên 
2 1
I ;
3 3
 − 
 
 
Bài tập 9a. ( )* H x; y là tọa độ trực tâm H của ABC∆ , ta có 
( )AH BC AH.BC 0 I
BH AC BH.AC 0
 ⊥ =
⇔ 
⊥ = 

 


 
 
mà 
( )
( )
AH x 4; y 6
BC 3; 4
 = − −

= −



 ; 
( )
( )
BH x 4; y
AC 5; 4
 = +

= − −



 và ( )
( ) ( )
( )
3 x 4 4 y 6 0
I
5 x 4 10y 0
 − − − =
⇔ 
− + − =
( )x 4 H 4;0 : H B ABC
y 0
 = −
⇔ ⇒ − ≡ ⇒ ∆
=
 vuông tại B 
* Trọng tâm 
G B C
G
A B C
G
x x x 1
x
1 23 3G : G ;
y y y 3 32
y
3 3
 + +
= = −  
⇒ −  + +   = =

* Tọa độ tâm ( )I a; b của đường tròn ngoại tiếp ABC∆ là giao điểm của 2 đường 
trung trực 
Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,BC , ta có 
( )
( )
M A B
M A B
1
x x x 0
2
1
y y y 3
2

= + =

 = + =

)Nguyễn Phú Khánh 
 523 
( )
( )
( )
N B C
N B C
1
x x x 52 M 0; 3 ; N ; 2
1 2
y y y
2

= +  
⇒ − −  
  = +

Theo bài toán ta có : ( )MI AB MI.AB 0 II
NI BC NI.BC 0
 ⊥ =
⇔ 
⊥ = 

 


 
 mà 
( )MI a; b 3
5
NI a ; b 2
2
 = −

  
= + +  
 



 
( ) ( )AB 8; 6 ; BC 3; 4= − − = −

 

Vậy ( )
( )
( )
4a 3 b 3 0 3
a 3
II I ;125 23 a 4 b 2 0 b 12
 + − = 
=   
⇔ ⇔ ⇒    
+ − + =     = 
* Do ABC∆ vuông tại B nên 
1 5 5
R AC
2 2
= = 
b. Gọi D là tọa độ chân đường cao thì : 
AD BD
AD CD
 ⊥

⊥
Ta có hệ 
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
2x 16 0x 4 x 4 y y 6 0AD.BD 0
3x 4 x 1 y 4 y 6 0 y 3 xAD.CD 0
4
 − =  − + + − ==  
⇔ ⇔  
− + + + − = = +=   

 


 
 
( )
( ) ( )
x 4; y 0; B 4;0
D B 4; 0
x 4; y 6; A 4;6
 = − = −
⇒ ⇒ ≡ = −
= =
Cách khác : Do ABC∆ vuông tại B , nên D B≡ 
c. E là trung điểm BC nên 
3
E ;1 ;E I
2
 
≡ 
 
 và 
11 5 2
BE ;1 BE R
2 2
 
= ⇒ = = 
 


Chú ý : học sinh làm lại bài này nếu thay tọa độ A, B,C là ( ) ( ) ( )A 2; 2 ,B 5;1 ,C 3; 5− − 
Bài tập 10. ( ) ( )C C C C C CC x ; y x 3y 5 x 5 3y C 5 3y ; y∈ − = ⇒ = + ⇒ + 
a. I là tâm đường trong ngoại tiếp ABC IA IC∆ ⇔ = ( )1 
 2IA 10,= ( ) ( )2 22 C CIC 6 3y y 2= + + − 
( )1 ( ) ( )2 22 2 2C C C CIA IC 6 3y y 2 10 y 2y 1 0⇔ = ⇔ + + − = ⇔ + + = 
 ( )C Cy 1 x 2 C 2; 1⇔ = − ⇒ = ⇒ − 
b. Trọng tâm G : 
G
G
2
x 2 73 G ;
7 3 3
y
3

=  
⇒  
  =

)Nguyễn Phú Khánh 
 524 
Trực tâm H : 
( )
( ) ( )
H
H H
6 y 3 0AH.BC 0
4 x 2 4 y 5 0BH.AC 0
  − == ⇔ ⇔ 
− − − ==  

 


 
 ( )H
H
y 3
H 0; 3
x 0
 =⇔ ⇒
=
( )
( )
1 1 1
IG ; 1;1
3 3 3
2 2 2
GH ; 1;1
3 3 3
 
= − = −  
 

  = − = −    



 GH 2IG I,H,G⇒ = ⇒

 

 thẳng hàng. 
Bài tập 11. Gọi ( )C 0;c Oy,∈ ta có : 
B
A B
C B
2
2 .xx k.xCA 2 3x 0 x 3
23 1 kCB 1
3
−−
= ⇒ = ⇔ = ⇒ =
− −



 
 ( )D d;0 Ox∈ , ta có: A BD B
y kyDA 3 4 4
y y B 3;
DB 4 1 k 3 3
−  
= − ⇒ = ⇔ = − ⇒ − −  
Bài tập 12a. 
( )
( )
AB 4; 8
AC 9; 3
 = −

= −



 và 
4 8
A,B,C
9 3
−
≠ ⇒
−
 không thẳng hàng. 
b. 
( )
( ) ( )
BC 5; 5
BA' a 1; b 2 ; A' a; b
 =

= − +



 
Vì 
( ) ( )
( )
a 1 b 2
BC BA' a 3
A' 3;05 5
b 0AA'.BC 0 a 3 .5 b 6 .5 0
 − + =  = 
⇔ ⇔ ⇒  
==   + + − = 

 



 
 
c. 
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
H H
H H
5 x 3 5 y 6 0AH BC AH.BC 0
H 2;1
BH AC 9 x 1 3 y 2 0BH.AC 0
  + + − = ⊥ = 
⇔ ⇔ ⇒  
⊥ − + − + ==  

 


 
 
A B C
G
A B C
G
x x x 4
x
4 73 3 G ;
y y y 3 37
y
3 3
 + +
= =  
⇒  + +   = =

 I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC IA IB IC∆ ⇒ = = 
 ( )
2 2
I
2 2
I
x 1IA IB
I 1; 3
y 3IA IC
  == 
⇔ ⇔ ⇒ 
== 
Ta có : 
( )
( )
IH 1; 2
IG IH1 2 1 1
IG ; 1; 2 IH
3 3 3 3
 = −

⇒  − 
= = − =  
 



 


 
  . Hay G,H,I thẳng hàng. 
㻐ͽ
Nguyễn Phú Khánh 
 525 
Bài tập 13. Với 
( )
( )
2
B B 2 2
B C
2C C
B x ;0 y 0 AB x 16
AB AC x x 0
C x ;0 y 8 AC x 16
 ∈ = = + 
⇒ ⇒ = ⇔ − = 
∈ =  = + 
 ( ) ( ) BB C B C
C
x 41
AB x ; 4 ,AC x ; 4 S 24 x x 24
x 42
−
= − = ⇒ = = ⇔ + =
−

 

Vậy,
2 2
BB C
CB C
x 6x x 0
x 6x x 14
  =− = 
⇔ 
=+ = 
 hoặc 
( )
( )
B
C
B 6;0x 6
x 6 C 6;8
 = − 
⇒ 
= − 
 hoặc 
( )
( )
B' 6;0
C' 6;8
 −

−
Bài tập 14. a. * Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :
A B C
G
A B C
B
x x x
x 3
83G G 3;
y y y 38
y
3 3
 + +
= =  
⇒  + +   = =

 * ( )H x; y là tọa độ trực tâm của tam giác ABC với 
( ) ( )
( ) ( )
AH x 3; y 5 ; BC 4; 1
BH x 1; y 2 ; AC 2; 4
 = − − = −

= − − = −

 


 
 
 Thỏa: 
( ) ( )( )
( ) ( )( )
17
x4 x 3 y 5 1 0AH.BC 0 17 197 H ;
19 7 72 x 1 y 2 4 0BH.AC 0 y
7

=  − + − − ==    
⇔ ⇔ ⇒    
− + − − =  =   =


 


 
 
 * ( )A' x; y là chân đường cao AA' khi AA' BC⊥

 

 và BC


 cùng phương BA'


 ( )∗ 
 Với ( ) ( ) ( )AA' x 3; y 5 ; BC 4; 1 ,BA' x 1; y 2= − − = − = + −

 
 

 ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 x 3 y 5 0AA'.BC 0 4x y 7 0
x 4y 9 04 y 2 x 1 0BC BA'
  − − − ==  − − = 
∗ ⇔ ⇔ ⇔  
+ − =− + − =↑↑  

 


 

37 99
A' ;
7 7
 
⇒  
 
 b. * ( )I x; y là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
23
xx 3 y 5 x 1 y 2IA IB 23 377 I ;
37 7 14IA IC x 3 y 5 x 5 y 1 y
14

 = − + − = − + −=    
⇔ ⇔ ⇔ ⇒    
 =  − + − = − + − = 
* 
8 17 19 23 37
G 3; ,H ; ,I ;
3 7 7 7 14
     
     
     
4 1
BH ;
7 21 4 1 1 6
GH.HI 0
7 14 21 76 1
HI ;
7 14
 
= −  
       ⇒ = − − − =      
       = −    



 


 
끀ο
Nguyễn Phú Khánh 
 526 
 GI⇒


 và HI


 cùng phương hay G,H,I thẳng hàng. 
Bài tập 15. Gọi ( )D x; y . 
 ( ) ( ) ( ) ( )CD x 6; y ,BD x 1; y 1 ,AB 4; 2 ,AC 3; 1= − = + + = − − = −

 
 
 

 Bài toán
( )
( ) ( )
( )2 2
2 x 6 4.y 0 x 2CD AB D 2; 4
y 4BD AC x 1 y 1 10
− − + =  = − 
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ − −  
= −= + + + = 

 


Bài tập 16.a. ( ) 2 2 2B 2a; a ,AB AC 10a− − = = 
b. ( ) 3M 0;15 ,M' 0;
7
 
− 
 
c. Gọi ( )H a; b , ta có : ( ) ( )
( ) ( )
AH BC 4 a 1 2 b 2 0 8 9
H ;
5 52 a 0 4 b 1 0BH BC
 ⊥ − + − =   
⇔ ⇔   
− − − =↑↑    

 
 
d. ( ) ( )A a;0 ,B 0; b .MA : MB 3 : 5 5AM 3MB= ⇔ =

 
 
 

( ) ( ) ( )325 OM OA 3 OB OM 5OA 3OB 8OM A ;0 ,B 0;85
 
⇔ − = − ⇒ + = ⇒ − 
 

 
 
 
 
 
 

Bài tập 17.a. AC CB+ nhỏ nhất khi A, B,C thẳng hàng và Cx 17= 
 b. ( ) 180 208M 4;0 ,M' ;
19 19
 
 
 
Bài tập 18. a. ( )minMA MB+ khi A,M,B thẳng hàng và ( ) ( )
1 12
AB M ;
7 7
 
∆ ∩ =  
 
 b. Gọi A' đối xứng A qua ( )∆ thì ( ) ( ) 1 40A'C N ;
19 19
 
∩ ∆ = − 
 
Bài tập 19.a. ( )
min
AM MB+

 

 khi 
2 1
M 1 ;
5 5
 
+ 
 
b. Gọi ( )0P x ; 0 , có ( ) ( )
2 2
0 0AP PB x 1 4 x 3 16+ = − + + − + 
Xét ( ) ( )0 0a x 1; 2 ,b 3 x ; 4= − = −

 

Ta có ( )minAP PB a b a b 2 10 AP PM 2 10+ = + ≥ + = ⇒ + =

 
 
 

Khi 0 0 0
x 2 3 x 5 5
a b x P ;0
2 4 3 3
− −  
↑↑ ⇔ = ⇔ = ⇒  
 

 

Bài tập 22. a. A, B,C,D lập thành điểm điều hòa CA DA
CB DB
⇔ = −

 


 
 với 
1
CA ; 1
2
3
CB ; 3
2
  
= − −  
  

  =    



 
匀ς
Nguyễn Phú Khánh 
 527 
( )
A B
D
A B
D
x k.x
x 1DA 1 1 1 k; k D 1; 3
y k.y3 3DB y 3
1 k
 −
= = −   −⇒ = = ⇔ ⇒ − −  −   = = −
 −



 
b. Gọi ( ) ( )0 0M x ; y T∈ , 0 0 0 02x y 1 0 y 2x 1− − = ⇔ = − 
( )
( )
( )0 0 0 0
0 0
EM x 1; y 6
EM FM 2x 2; 2y 2
FM x 3; y 4
 = − −
⇒ + = + −
= + +



 


 
( ) ( )
2
2 2
0 0 0
3 16
EM FM 2x 2 2y 2 2 5. x
5 25
 
⇒ + = + + − = − + 
 

 

 ; 0 0y 2x 1= − 
Vậy 
min
8 5
EM FM
5
+ =

 

 khi 
2
0 0 0
3 3 1 3 1
x 0 x y M ;
5 5 5 5 5
   
− = ⇔ = ⇒ = ⇒   
   
Bài tập 23. a. ( )M 4;0 b. 5M ;0
3
 
 
 
 c. ( )C 1; 2 
Bài tập 24. a. 2 8 20D ; ,AD 2
3 3 3
 
− − = 
 
 b. ( )I 1; 1− 
Bài tập 25. a. ( ) ( )51; , 16; 5 , 1;0
2
 
 
 
 b. 
11 33
M ;0
2
 +
  
 
Bài tập 27. 
B C
D
B C
D
x k.x 3
D 1;x
21 k
y k.x AB 5y k
1 k AC 3
 −  
−=    −  ⇒ 
− = = = − 
, 
 ( )
( )A DJ
A D
J
x k'.x
I 1;1x
1 k'E 16;6 BAy k'.y k' 2y BD1 k'
 − = −⇒ ⇒ 
− = = − =  −