Hình giải tích Hình học không gian

 1 
Hình giải tích_HHKg 
Câu 1(ĐH AN GIANG_00D) 
 Cho hình chóp tam giác OABC đỉnh O, dáy là tam giác đều ABC, AB=a, góc của các cạnh bên OA, 
OB, OC với mặt phẳng đáy (ABC) bằng nhau và bằng 
o
45 . 
1. CMR : OA=OB=OC. 
2. H7y tính thể tích của hình chóp theo a. 
Câu 2(ĐH AN GIANG_01B) 
 Cho hình lập ph−ơng 1 1 1 1ABCD.A B C D có các cạnh bên 1 1 1 1AA , BB ,CC , DD và độ dài cạch 
AB=a. Cho các điểm M, N trên cạnh 1CC sao cho 1CM MN NC= = . Xét mặt cầu (K) đi qua bốn điểm: 
A, 1B ,M và N. 
1. CMR các đỉnh 1A và B thuộc mặt cầu (K). 
2. H7y tính độ dài của bán kính mặt cầu (K) theo a. 
Câu 3(ĐH AN GIANG_01B) 
 Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Các cạnh bên AA’, BB’, CC’ ,DD’. 
Đặt hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). 
1. H7y viết ph−ơng trình chùm mặt phẳng chứa đ−ờng thẳng CD’. 
2. Kí hiệu (P) là mặt phẳng bất kì chứa đ−ờng thẳng CD’ còn α là góc giữa mặt phẳng (P) và mặt 
phẳng (BB’D’D). h7y tìm giá trị nhỏ nhất của α . 
Câu 3(ĐH AN NINH_98A) 
 Trong không gian Oxyz cho đ−ờng thẳng (d):
x y z 1 0
x y z 1 0
+ + + =

− + − =
Và hai mặt phẳng 1(P ) : x 2y 2z 3 0+ + + = 
 2(P ) : x 2y 2z 7 0+ + + = 
 Viết ph−ơng trình mặt cầu có tâm I trên đ−ờng thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng 1 2(P ),(P ) . 
Câu 4(ĐH AN NINH_99A) 
 Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA=x, BC=y, các cạnh còn lại đều bằng 1. 
1. Tính thể tích hình chóp theo x và y. 
2. Với x, y nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất? 
Câu 5(ĐH AN NINH_00A) 
 Cho góc tam diện Oxyz và 
1
8
 đ−ờng tròn đơn vị 
2 2 2x y z 1+ + = , x 0, y 0, z 0≥ ≥ ≥ trong góc 
tam diện ấy. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với 
1
8
 mặt cầu ấy tại M, cắt Ox, Oy, Oz lần l−ợt tại A, B, C sao cho 
OA=a>0, OB=b>0, OC=c>0. Chứng minh rằng: 
1. 
2 2 2
1 1 1
1
a b c
+ + = . 
2. 
2 2 2(1 a )(1 b )(1 c ) 64+ + + ≥ . Tìm vị trí điểm M để đạt dấu đẳng thức. 
Câu 5(ĐH AN NINH_01A) 
 Cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz. Trên các nửa trục toạ độ Ox, Oy, Oz lấy các điểm t−ơng ứng 
A(2a;0;0), B(0;2b;0), C(0;0;c) với a>0, b>0, c>0. 
1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo a, b, c. 
2. Tính thể tích khối đa diện OABE trong đó E là chân đ−ờng cao AE trong tam giác ABC. 
Câu 6(ĐH AN NINH_01D) 
 2 
 Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần l−ợt các điểm A, B, C có OA = a, OB = b, 
OC = c (a,b,c>0) . 
1. CMR tam giác ABC có ba góc nhọn. 
2. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H7y tính OH theo a, b, c. 
3. CMR bình ph−ơng diện tích tam giác ABC bằng tổng bình ph−ơng diện tích các mặt còn lại của tứ 
diện OABC. 
Câu 7(ĐH BK HN_97A) 
 Trong không gian với hệ toạ độ đề các trực chuân Oxyz cho M(1;2;-1) và đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng 
trình : 
x 1 y 2 z 2
3 2 2
+ − −
= =
−
Gọi N là điểm đối xứng của M qua đ−ờng thẳng (d). H7y tính độ dài MN. 
Câu 8(ĐH BK HN_98A) 
 Trong không gian với hệ tọa độ đề các trực chuẩn Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có 
ph−ơng trình: 
x 1 2t
(d) : y 2 t (P) : 2x y 2z 1 0
z 3t
= +

= − − − + =
 =
1. Tìm toạ độ các điểm thuộc (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó tới (P) bằng 1. 
2. Gọi K là điểm đối xứng với I(2;-1;3) qua đ−ờng thẳng (d). H7y xác định toạ độ K. 
Câu 9(ĐH BK HN_99A) 
Trong không gian với hệ toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có 
ph−ơng trình: 
x 1 y 1 z 3
(d) :
1 2 2
(P) : 2x 2y z 3 0
+ − −
= =
−
− + − =
1. Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P). Tính góc giữa (d) và (P). 
2. Viết ph−ơng trình hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên mặt phẳng (P). lấy điểm B nằm trên (d) sao 
cho AB=a, với a là số d−ơng cho tr−ớc. Xét tỉ số 
AB AM
BM
+
 với điểm M di động trên mặt phẳng 
(P). CMR tồn tại một vị trí của M để tỉ số đó đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy. 
Câu 9(ĐH BK HN_00A) 
Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho bốn điểm S(3;1;-2), A(5;3;-1), 
B(2;3;-4), C(1;2;0). 
1. CMR hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuông cân. 
2. Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đ−ờng thẳng AB. M là điểm bất kì trên mặt cầu có tâm 
là D, bán kính R 18= (điểm M không thuộc mặt phẳng (ABC)). Xét tam giác có độ dài các cạnh 
bằng độ dài các đoạn thẳng MA, MB, MC. Hỏi tam giác ấy có đặc điểm gì? 
Câu 10(ĐH BK HN_01A) 
 Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0), B(1;1;0), 
C(0;1;0), D(0;0;m) với m là tham số. 
1. Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng AC và BD khi m=2. 
2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD. Tìm các giá trị của tham số m để diện tích tam giác 
OBH đạt giá trị lớn nhất. 
Câu 11(PV BC TT_98A) 
 Trong không gian Oxyz cho đ−ờng trẳng (∆) có ph−ơng trình : 
 3 
2x y 1 0
x y z 1 0
+ + =

− + − =
và đ−ờng thẳng (∆’) có ph−ơng trình 
3x y z 3 0
2x y 1 0
+ − + =

− + =
1. CMR hai đ−ờng thẳng đó cắt nhau. Tìm giao điểm I của chúng. 
2. Viết ph−ơng trình tổng quát của mặt phẳng (β) đi qua hai đ−ờng thẳng (∆) và (∆’). 
3. Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi (β) và ba mặt phẳng tọa độ. 
Câu 12(PV BC TT_99A) 
 Cho hai đ−ờng thẳng (∆) và (∆’) có ph−ơng trình sau đây: 
x 1 y 1 z 2
( ) :
2 3 1
x 2 y 2 z
( ') :
2 5 2
+ − −
∆ = =
− +
∆ = =
−
1. CMR hai đ−ờng thẳng (∆) và (∆’) chéo nhau. 
2. Viết ph−ơng trình đ−ờng vuônmg góc chung của (∆) và (∆’). 
Câu 13(ĐH CS NN_00A) 
 Cho hai đ−ờng thẳng 1(d ) 2 và (d ) c ph−ơng trình: 
 1 2
x 1 t x 0
(d ) : y 0 (d ) : y 4 2t '
z 5 t z 5 3t '
= + = 
 
= = − 
 = − + = + 
1. CMR hai đ−ờng thẳng chéo nhau. 
2. Gọi đ−ờng vuông góc chung của 1(d ) 2 và (d ) là MN ( 1M (d ),∈ 2N (d∈ )). Tìm toạ độ của M,N 
và viết ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng MN. 
Câu 14(ĐH Cần Thơ_98B) 
 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M,N lần l−ợt trên các cạnh SB,SD,sao 
cho 
SM SN
2
BM DN
= = . 
1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỉ số 
SP
CP
. 
2. Tính thể tích hình chóp SAMPN theo thể tích V của hình chóp SABCD 
Câu 15(ĐH Cần Thơ_98D) 
 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có ph−ơng trình x+y+z+1=0 và đ−ờng thẳng (d) có 
ph−ơng trình 
x 1 y 2 z 1
1 2 3
− − −
= = 
 Viết ph−ơng trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P). 
Câu 16(HV BCVT_98A) 
 Cho hình nón đỉnh S, đáy là đ−ờng tròn C bán kính a, chiều cao h=3a/4 
Và cho hình chóp đỉnh S, đáy là một đa giác lồi ngoại tiếp C. 
1. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp . 
2. Biết thể tích khối chóp bằng4 lần thể tích khối nón, h7y tính diện tích toàn phần của hình chóp. 
Câu 17(HV BCVT_99A) 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập ph−ơng ABCD. 1 1 1 1A B C D 
 4 
 mà D(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0), 1D (0;0;a) . Gọi M là trung điểm của AD, N là tâm của hình vuông 
1 1CC D D . Tìm bán kính của mặt cầu đi qua các điểm B, 1C , M, N. 
Câu 18(HV BCVT_00A) 
 Trong không gian cho hai đ−ờng thẳng : 
 1 2
x 3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9
( ) : ( ) :
7 2 3 1 2 1
− − − − − −
∆ = = ∆ = =
− −
1. H7y lập ph−ơng trình chính tắc của đ−ờng thẳng 3( )∆ đối xứng với 2( )∆ qua 1( )∆ 
2. Xét mặt phẳng (α ) : x+y+z+3=0. 
a) Viết ph−ơng trình hình chiếu của 2( )∆ theo ph−ơng 1( )∆ lên mặt phẳng (α ) . 
b) Tìm điểm M trên mặt phẳng (α ) để 1 2MM MM+





 





 đạt đ−ợc giá trị nhỏ nhất, biết 
1M (3;1;1) và 2M (7;3;9) . 
Câu 19(HV BCVT_01A) 
 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a,AA’=a. 
1. Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng AD’ và B’C. 
2. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số 
AM
3
MD
= . Tính khoảng cách từ M đến (AB’C). 
3. Tính thể tích tứ diện AB’D’C. 
Câu 20(ĐH D−ợc HN_98A) 
 Cho A(0;1;1) và hai đ−ờng thẳng 1 2(d ),(d ) 
 1 2
x y z 2 0x 1 y 2 z
(d ) : (d )
x 1 03 1 1
+ − + =− +
= = 
+ =
 Lập ph−ơng trình đ−ờng thẳng qua A, vuông góc với 1(d ) và cắt 2(d ) . 
Câu 20(ĐH D−ợc HN_99A) 
 Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-4;8).Tính độ dài 
đ−ờng cao của tứ diện xuất phát từ A. 
Câu 21(ĐH D−ợc HN_01A) 
 Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là điểm bất kì trên đ−ờng thẳng At 
vuông góc với (P) tai A. 
1. Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi SA=2a. 
2. M, N lần l−ợt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD(M∈CB, N∈CD) và đặt CM=m, CN=n. Tìm 
một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một góc 
o
45 . 
Câu 22(ĐH Đà Lạt_99B) 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy. Độ dài các cạnh 
AB=a, AD=b, SA=2a. Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện gì? Tính 
diện tích thiết diện ấy. 
Câu 23(ĐH Đà Lạt_01D) 
 Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 27, diện tích toàn phần bằng 9a và các cạnh lập thành cấp số 
nhân. 
1. Tính các cạnh của hình chữ nhật khi a=6. 
2. XĐ a để tồn tại hình hộp chữ nhật có các tính chất nêu trên. 
Câu 23(ĐH Đà Nẵng_01A) 
 Cho mặt phẳng (P) có ph−ơng trình x 2y 3z 14 0− − + = và điểm M(1;-1;1) 
1. H7y viết ph−ơng trình mặt phẳng qua M và song song với (P). 
2. H7y tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P). 
3. H7y tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua (P). 
Câu 24(ĐH Đà Nẵng_01A) 
 5 
 Cho tứ diện S.ABC có SA=CA=AB=a 2 . SC vuông góc với (ABC), Tam giác ABC vuông tai A, 
các điểm Mthuộc SA và N thuộc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a). 
1. Tính độ dài đoạn thẳng MN. 
2. Tìm giá trị t để MN ngắn nhất. 
3. Khi MN ngắn nhất h7y chứng minh MN là đ−ờng vuông góc chung của BC và SA. 
Câu 25(ĐH GTVT_97A) 
 Trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho ba điểm 
1 1 1
H( ;0;0), K(0; ;0), I(1;1; )
2 2 3
a) Viết ph−ơng trình giao tuyến của mặt phẳng (HKI) với mặt phẳng x+z=0 ở dạng chính tắc. 
b) Tính cosin của góc phẳng tạo bởi (HKI) với mặt phẳng tọa độ Oxy. 
Câu 26(ĐH GTVT_97A) 
 Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Trên đ−ờng thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S. 
Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. 
1. CMR các điểm A, B, C, H, K cùng nằm trên một mặt cầu. 
2. Tình bán kính của mặt cầu trên biết AB=2, AC=3, 
oBAC 60= . 
Câu 27(ĐH GTVT_98A) 
 Viết ph−ơng trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu có ph−ơng trình 
2 2 2x 2x y 4y z 6z 2 0− + − + − − = và song song với mặt phẳng (P) có ph−ơng trình 4x+3y-12z+1=0. 
Câu 28(ĐH GTVT_99A) 
 Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho mặt phẳng (P) có ph−ơng trình 16x 15y 12z 75 0− − + = . 
1. Lập ph−ơng trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với (P). 
2. Tìm tọa độ tiếp điểm H của (P) với (S). 
3. Tìm điểm đối xứng của gốc tọa độ O qua (P). 
Câu 29(ĐH GTVT_00A) 
 Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’, các cạnh của nó có độ dài bằng 1. Trên các cạnh BB’, CD, 
A’D’ lần l−ợt lấy các điểm M, N, P sao cho: B’M=CN=D’P=a(0<a<1). CMR: 
1. MN a.AB AD (a 1)AA '= − + + −




 


 


 




2. AC '





 vuông góc với mặt phẳng (MNP). 
Câu 30(ĐH GTVT_01A) 
 Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S có các cạnh đáy đều bằng a, đ−ờng cao SH=h. 
1. XĐ thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua cạnh đáy BC và vuông góc với cạnh bên 
SA. 
2. Nếu tỉ số 
h
3
a ... ề chung_03D) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho đ−ờng thẳng: 
 k
x 3ky z 2 0
(d ) :
kx y z 1 0
+ − + =

− + + =
 Tìm k để đ−ờng thẳng k(d ) vuông góc với mặt phẳng (P): 
 x y 2z 5 0− − + = 
Câu 146(Dự bị_03) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): 
 22x 2y z m 3m 0+ + − − = 
và mặt cầu (S): 2 2 2(x 1) (y 1) (z 1) 9− + + + − = . Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với 
m tìm đ−ợc h7y xác định toạ độ tiếp điểm của (P) và (S). 
Câu 147(Dự bị_03) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;1;1) và B(0; 1;3)− và 
đ−ờng thẳng (d): 
3x 2y 11 0
y 3z 8 0
− − =

+ − =
. 
a. Viết ph−ơng trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB, gọi K là 
giao điểm của (d) và (P), chứng minh rằng (d) vuông góc với IK. 
b. Viết ph−ơng trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng có ph−ơng trình: x y z 1 0+ − + = . 
Câu 148(Đề chung_04A ) 
 22 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là 
hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), );;( 2200S . Gọi M là trung điểm đoạn SC. 
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng SA, BM. 
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đ−ờng thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 
Câu 149(Đề chung_04B ) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho );;( 424A −− và đ−ờng thẳng (d) có 
ph−ơng trình: 





+−=
−=
+−=
t41z
t1y
t23x
Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng ∆ qua A, cắt và vuông góc với (d). 
Câu 150(Đề chung_04D) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hình lăng trụ đứng 111 CBAABC. . Biết 
A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), );;( b0aB1 − , 0b0a >> , . 
a. Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng CB1 và 1AC theo a và b. 
b. Cho a, b thay đổi nh−ng luôn thoả m7n a + b = 4. Tìm a, b để khoàng cách giữa hai đ−ờng thẳng 
CB1 và 1AC lớn nhất. 
Câu 151(Đề chung_04D) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho ba điểm );;( 102A , );;( 001B , C(1;1;1) 
và mặt phẳng (P): 02zyx =−++ . Viết ph−ơng trình mặt cầu đi qua ba điểm ABC và có tâm thuộc mặt 
phẳng (P). 
Câu 152(Đề chung_05A) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) và mặt phẳng (P): 
09z2yx2P
1
3z
2
3y
1
1x
d
=+−+
−
=
+
=
−
−
:)(
:)(
a. Tìm toạ độ điểm I thuộc (d) sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng 2. 
b. Tìm toạ độ giáo điểm A của (d) và (P). Viết ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng ∆ nằm trong 
mặt phẳng (P) biết ∆ đi qua A và vuông góc với (d). 
Câu 153(Đề chung_05B) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hình lăng trụ đứng 111 CBAABC. với 
);;( 030A − , B(4;0;0), C(0;3;0), );;( 404B1 . 
a. Tìm toạ độ các đỉnh 11 CA , . Viết ph−ơng trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng 
)( 11BBCC . 
b. Gọi M là trung điểm của 11BA . Viết ph−ơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với 
1BC . Mặt phẳng (P) cắt đ−ờng thẳng 11CA tạ điểm N. Tính độ dài đoạn MN. 
Câu 154(Đề chung_05D) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đ−ờng thẳng 



=−+
=−−++
=
−
+
=
−
012y3x
02zyx
2
1z
1
2y
3
1x
d1 :)(d ;:)( 2 
a. Chứng minh )( 1d và )( 2d song song với nhau. Viết ph−ơng trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đ−ờng 
thẳng )( 1d và )( 2d . 
 23 
b. Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đ−ờng thẳng )( 1d và )( 2d lần l−ợt tại các điểm A và B. Tính diện 
tích tam giác OAB(O là gốc toạ độ). 
Câu 155(Dự bị_05) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0;0;4). 
a. Tìm toạ độ điểm B thuộc Oxy sao cho tứ giavs OABC là hình chữ nhật. Viết ph−ơng trình mặt cầu đi 
qua bốn điểm O, B, C, S. 
b. Tìm toạ độ điểm 1A đối xứng với điểm A qua đ−ờng thẳng SC. 
Câu 156(Dự bị_05) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). 
1. Viết ph−ơng trình mp(P) đi qua gốc toạ độ và vuông góc với BC. Tìm toạ độ giao điểm của đ−ờng 
thẳng AC với (P). 
2. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết ph−ơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 
Câu 157(Dự bị_04) 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0) và M(1;1;1). 
a. Tìm toạ độ điểm O’ đối xứng với gốc toạ độ O qua đ−ờng thẳng AM. 
b. Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi nh−ng luôn đi qua đ−ờng thẳng AM và cắt các trục Oy, Oz lần l−ợt 
tại các điểm B(0;b;0), C(0;0;c) với b > 0, c > 0. Chứng minh rằng: 
bc
b c
2
+ = 
 Và tìm b, c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. 
Câu 158(Dự bị_04) 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt 
BD tại gốc toạ độ O. Biết A( 2; 1;0)− − , B( 2; 1;0)− , S(0;0;3) . 
a. Viết ph−ơng trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với hai đ−ờng thẳng AD và 
SC. 
b. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp 
S.ABCD với mặt phẳng (P). 
Câu 159(Dự bị_05) 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(5;2; 3)− và mặt phẳng (P): 
 2x 2y z 1 0+ − + = 
a. Gọi 1M là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Xác định tọa độ điểm 1M và tính độ 
dài đoạn 1M M . 
b. Viết ph−ơng trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và chứa đ−ờng thẳng (d): 
x 1 y 1 z 5
2 1 6
− − −
= =
−
. 
Câu 160(Dự bị_05) 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đ−ờng thẳng: 
 1
x y z
(d ) :
1 1 2
= = và 2
x 1 2t
(d ) : y t
z 1 t
= − −

=
 = +
1. Xét vị trí t−ơng đối của 1(d ) và 2(d ) . 
2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc 1(d ) và N thuộc 2(d ) sao cho đ−ờng thẳng MN song song với mặt 
phẳng (P): x y z 0− + = và độ dài đoạn MN bằng 2 . 
Câu 161(Đề chung_06A) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), 
D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọc M, N lần l−ợt là trung điểm của AB và CD. 
 24 
1. Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng A’C và MN. 
2. Viết ph−ơng trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết 
1
cos
6
α = . 
Câu 162(Dự bị_06) 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A(0;0;0), B(2;0;0), 
C(0;2;0), A’(0;0;2). 
1. Chứng minh A’C vuông góc với BC’. Viết ph−ơng trình mặt phẳng (ABC’). 
2. Viết ph−ơng trình hình chiếu vuông góc của đ−ờng thẳng B’C’ trên (ABC’). 
Câu 163(Dự bị_06) 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ( )α : 3x 2y z 4 0+ − + = và hai điểm 
A(4;0;0), B(0;4;0). Gọi I là trung điểm của đoạn AB. 
1. Tìm tọa độ giao điểm của đ−ờng thẳng AB với ( )α . 
2. Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với ( )α , đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mặt 
phẳng ( )α . 
Câu 164(Đề chung_06D) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;3) và hai đ−ờng thẳng: 
 1 2
x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1
(d ) : , (d ) :
2 1 1 1 2 1
− + − − − +
= = = =
− −
1. Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua đ−ờng thẳng 1(d ) . 
2. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng (d) đi qua A, vuông góc với 1(d ) và cắt 2(d ) . 
Câu 165(Dự bị_06) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 4x 3y 11z 26 0− + − = và hai đ−ờng 
thẳng: 
 1 2
x y 3 z 1 x 4 y z 3
(d ) : , (d ) :
1 2 3 1 1 2
− + − −
= = = =
−
1. Chứng minh 1 2(d ),(d ) chéo nhau. 
2. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng (d) nằm trên (P) đòng thời cắt cả 1 2(d ),(d ) . 
Câu 166(Đề chung_06B) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(0;1;2) và hai đ−ờng thẳng: 
 1 2
x 1 t
x y 1 z 1
(d ) : , (d ) : y 1 2t
2 1 1
z 2 t
= +
− + 
= = = − −
−  = +
1. Viết ph−ơng trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với 1(d ) và 2(d ) 
2. Tìm toạ độ các điểm M thuộc 1(d ) , N thuộc 2(d ) sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng. 
Câu 167(Dự bị_06) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3). 
1. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC). 
2. Viết ph−ơng trình mặt phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C 
đến (P). 
Câu 168(Dự bị_06) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ−ờng thẳng: 
 25 
 1 2
x 1 t
x 3 y 1 z
( ) : y 1 t , ( ) :
1 2 1
z 2
= +
− −
∆ = − − ∆ = =
− =
1. Viết ph−ơng trình mặt phẳng chứa 1( )∆ và song song với đ−ờng thẳng 2( )∆ . 
2. Xác định điểm A trên 1( )∆ và điểm B trên 2( )∆ sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. 
Câu 169(Dự bị_06) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x y z 5 0+ − + = và các điểm A(0;0;4), 
B(2;0;0). 
1. Viết ph−ơng trình hình chiếu vuông góc của đ−ờng thẳng AB trên (P). 
2. Viết ph−ơng trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với (P). 
Câu 170(Dự bị_04) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa 
độ O, B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;0 2) . 
1. Viết ph−ơng trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A’, B, C và viết ph−ơng trình hình chiếu vuông góc 
của đ−ờng thẳng B’D’ trên (P). 
2. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A’C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp A’ABCD 
với (Q). 
Câu 171(Dự bị_04) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(4;2;2), B(0;0;7) và đ−ờng thẳng (d): 
x 3 y 6 z 1
2 2 1
− − −
= =
−
 Chứng minh rằng hai đ−ờng thẳng (d) và AB thuộc cùng một mặt phẳng. Tìm điểm C thuộc đ−ờng 
thẳng (d) sao cho tam giác ABC cân tại A. 
Câu 172(Dự bị_04) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(0;1;1) và đ−ờng thẳng (d): 
x y 0
2x z 2 0
+ =

− − =
 Viết ph−ơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với (d). Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H 
của điểm B(1;1;2) trên (P). 
Câu 173(Dự bị_05) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2;0;0), B(2;2;0), S(0;0;m) 
1. Khi m = 2 tìm tọa độ điểm C đối xứng với O qua mặt phẳng (SAB). 
2. Gọi H là hình chiếu của O trên đ−ờng thẳng SA. Chứng minh rằng với mọi m 0> diện tích tam giác 
OBH nhỏ hơn 4. 
Câu 174(Dự bị_04) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;1), B(3; 1;2)− . Cho đ−ờng thẳng (d) và mặt phẳng 
(P) có các ph−ơng trình: 
x y 2 z 4
(d) : , (P) : 2x y z 1 0
1 1 2
− +
= = − + + =
−
1. Tìm tọa độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phằng (P). 
2. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng ( )∆ đi qua điểm A, cắt đ−ờng thẳng (d) và song song với mặt phẳng 
(P). 
3. Tìm tọa độ điểm M thuộc mp(P) sao cho tổng khoảng cách MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 175(Dự bị_05) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ với A(2;0;0), B(0;4;0), 
O’(0;0;4). 
 26 
1. Tìm tọa độ các điểm A’, B’. Viết ph−ơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A, B, O’. 
2. Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O’A và cắt OA, AA’ lần l−ợt tại 
N, K. Tính độ dài KN. 
Câu 176(Dự bị_05) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(2;0;0), 
D’(0;2;2). 
1. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập ph−ơng. Gọi m là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 
hai mặt phẳng (AB’D’) và (AMB’) vuông góc với nhau. 
2. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đ−ờng thẳng AC’(N A'≠ ) tới hai mặt phẳng 
(AB’D’) và (AMB’) không phụ thuộc vào vị trí của N.