Hệ thống kiến thức Hình 12 - Chương 2: Phương pháp tọa độ trong không gian

CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của vectơ trong không gian:
Vectơ 
2. Các phép toán của vectơ:
 Cho hai vectơ , , k Î R khi đó :
 , 
 với 
3. Tọa độ của một điểm :
* Tọa độ của vectơ là tọa độ của điểm M. Như vậy ta có : 
* Cho tứ diện ABCD với : A(xA ; yA ; zA), B(xB ; yB ; zB), C(xC ; yC ; zC) ta có :
 là trung điểm của AB thì 
 là trọng tâm của D ABC thì
 là trọng tâm tứ diện ABCD thì
4. Tích có hướng của hai vectơ:
Cho vectơ , khi đó tích có hướng của hai vectơ , là một vectơ được kí hiệu là [,] và có toạ độ : 
Chú ý:1. Hai vectơ và cùng phương khi và chỉ khi 
Ba vectơ , và đồng phẳng khi và chỉ khi 
 và (Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ vuông góc với hai vectơ đó) 
 với là góc giữa hai vectơ 
5. Diện tích tam giác, thể tích của hình hộp, khối tứ diện:
Diện tích tam giác ABC : 
Thể tích của hình hộp ABCD.A/B/C/D/ : 
Thể tích của khối tứ diện ABCD : 
6. Phương trình mặt cầu:
 a. Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c) bán kính R có dạng
(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2.
 b.Phương trình (S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0) là phương 
 trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính : .
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho ba vectơ = ( 2;1 ; 0 ),= ( 1; -1; 2) , = (2 ; 2; -1 ).
a) Tìm tọa độ của vectơ : b) Chứng minh rằng 3 vectơ không đồng phẳng .
c) Hãy biểu diển vectơ = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ 
d) Tính: 
e) Tính góc giữa hai vectơ và .
Bài 2: Cho 3 vectơ = (1; m; 2), = (m+1; 2;1 ) ,= (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng . 
Bài 3:Tìm tọa độ của vectơ , biết rằng: 
 a) và b) và , 
Bài 4 : Cho điểm M(1; 2; 3). 
 a)Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
i) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. ii) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz.
 b) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
i) Qua gốc tọa độ O 	 ii) Qua mặt phẳng Oxy	iii) Qua Trục Oy.
Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
Bài 6: a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
	b) Trên mpOxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
Bài 7: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
 a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích DABC.
 c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành. d/ Tìm toạ độ trọng, trực tâm của DABC.
 e) Tính độ dài đường cao của DABC hạ từ đỉnh A. f) Tính các góc của DABC.
 g/ Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . h) Tính diện tích hình bình hành ABCD.
Bài 8: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. 
b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d/ Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD.
e/ Xác định toạ độ chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD)
Bài 9: Trong các phương trình sau đây ,phương trình nào là phương trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ tâm và bán kính của nó ,biết:
a) 	b)
c) 	d) 
Bài 10: Lập phương trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4.	 b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0),B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x 
d) Đường kính AB với A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bài 11: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ 0xyz, cho 4 điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mp(ABC).
b) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz)
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Ph trình mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến và đi qua điểm M(x0, y0, z0) 
có dạng (a) : 
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: (a):Ax +By+Cz+D= 0(A2+B2+C2 >0) với 
 là vtpt 
3.Các trường hợp đặc biệt:
Trong không gian (Oxyz) cho ():Ax + By + Cz + D = 0
1) mp đi qua gốc toạ độ OD = 0
2) mp song song hoặc chứa Ox A = 0
3) mp song song hoặc trùng với (Oxy)A = B = 0.
4) Phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn:
 Mặt phẳng (a) cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có toạ độ tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0),(0 ; 0 ; c) có phương trình dạng : (a.b.c≠ 0)
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
 Cho hai mặt phẳng: (a) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0, (b) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
 · (a) cắt (b) Û A1 : B1 : C1 ¹ A2 : B2 : C2 
 · (a) // (b) Û · (a) º (b) Û 
 * 
5. Khoảng cách từ một điểm M(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng (a) : Ax + By + Cz + D = 0 là: 
6. Góc giữa hai mặt phẳng:
 Cho hai mặt phẳng: (a) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
 (b) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng (a) và (b) thì ta có: 
cosj = 
 BÀI TẬP:
Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) thỏa các điều kiện sau:
 a) (P) đi qua điểm M (2;3;-1) và có vtpt 
 b) (P) đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(3;1;-3) , C(1;-5;1)
 c) (P) là mặt phẳng trung trực của AB biết: A(2;1;1), B(2;-1;-1)	
 d) (P) đi qua điểm M (2;1;5)và song song với mặt phẳng (Q): 2x + 5y –z +3 = 0
 e) (P) đi qua M(1;1;1) và song song với các trục 0x và 0y. 
 f) (P) đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và N (2;1;1) và cùng phương với trục 0z
 g) (P) đi qua I(2;6;-3) và song song với mặt phẳng Oxy.
 h) (P) đi qua A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
 a) Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) 
 b) Viết phương trình tổng quát của mp(P) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD. 
 c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P)
Bài 3: Viết phương trình tổng quát của (P) 
 a) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
 b) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) , c) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC.
Bài 5: Cho hai mặt phẳng (P): 2x –y + 5x = 0 và (Q): -2x + y -5z +7 = 0 
 a) Chứng tỏ (P) //(Q) b) Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
š«›
Phương trình tham số – Phương trình chính tắc:
Đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0 ; z0), có VTCP thì :
Phương trình tham số D : 
Phương trình chính tắc D : (a.b.c ≠ 0)
Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Đường thẳng D1 đi qua M1(x1 ; y1 ; z1), vectơ chỉ phương 
Đường thẳng D2 đi qua M1(x2 ; y2 ; z2), vectơ chỉ phương . Khi đó, 
D1 cắt D2 Û
D1 // D2 Û a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2 ¹ (x2 – x1) : (y2 – y1) : (z2 – z1)
D1 º D2 Û a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2 = (x2 – x1) : (y2 – y1) : (z2 – z1)
D1 chéo D2 Û 
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
 Cho đường thẳng D đi qua M(x0 ; y0 ; z0) có vectơ chỉ phương 
 Mặt phẳng (a) : Ax + By + Cz + D = 0 có . Khi đó : 
 cắt (a) Û và không vuông góc Û Aa + Bb + Cc ¹ 0 
D // (a) Û và vuông góc và không có điểm chung Û 
D Ì (a) Û ^ và có điểm chung Û 
4.Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0 ; z0) có vectơ chỉ phương là: 
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : 
 Cho hai đường thẳng D1 và D2 chéo nhau với D1 đi qua M1(x1 ; y1 ; z1), vectơ chỉ phương và D2 đi qua M2 (x2 ; y2 ; z2), vectơ chỉ phương 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng D1 và D2 là 
6. Góc giữa hai đường thẳng:
Đường thẳng D1 có vectơ chỉ phương 
Đường thẳng D2 có vectơ chỉ phương . 
Gọi là góc giữa hai đường thẳng D1 và D2 ta có 
7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng D có vectơ chỉ phương (a ; b ; c) và mặt phẳng (a) có VTPT . Gọi là góc giữa đường thẳng D và (). Ta có : 
BÀI TẬP:
Bài 1:Lập phương trình tham số và phươngtrình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau :
 a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận làm VTCP
 b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
 c) (d) đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng (d’) 
 d) (d) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P)x+y+z+1=0 và vuông góc với đường thẳng 
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phương trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
Bài 4: Lập phương trình tham số, chính tắc ( nếu có) của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với cả 2 đường thẳng (d1): và đường thẳng () cho bởi :.
Bài 5: Lập phương trình tham số, chính tắc ( nếu có) của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và vuông đường thẳng (d1): và cắt đường thẳng () cho bởi :.
Bài 6: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (d) và (d’) biết :
 a) (d): và 
 b) d): và 
Bài 7: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a) (P): x-y+z+3=0	b) (P): y+4z+17=0
Bài 8: Cho mặt phẳng (P) : 2x+y+z=0 và đường thẳng .
	a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phtrình đường thẳng (d1) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P)
c) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P)
Bài 9: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : 
 a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
 b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2).
Bài 10: cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : 
 a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.
 b) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’)
 c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) 
Bài 11: cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : 
 và (d’) : 
 a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d’) song song với nhau
 b) Viết phương mặt phẳng chứa (d ) và (d’)
 c) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’)