Hệ thống kiến thức Giải tích 12 - Chương 4: Số phức

CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC
A. Các kiến thức cơ bản cần nhớ:
x
y
a
b
O
1. Số phức. Dạng đại số của số phức. Biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức, số phức liên hợp.
Số phức có dạng đại số là . Thì:
Số phức liên hợp số phức là 
Môđun của số phức là 
2. Căn bậc hai của số phức. Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số phức. 
Nếu thì có hai căn bậc hai là 
Nếu thì có một căn bậc hai là 0.
Nếu thì có hai căn bậc hai là 
Nếu thì có hai căn bậc hai dạng với là nghiệm của hệ (hệ này luôn có 2 nghiệm dạng )
Cho phương trình và 
+ Nếu thì (*) có hai ngiệm phân biệt , là một căn bậc 2 của .
+ Nếu thì (*) có ngiệm kép .
3. Dạng lượng giác của số phức. Công thức Moa-vrơ và ứng dụng:
Cho và ( là điểm biểu diễn của trên mặt phẳng phức:
Acgumen của là một số đo (radian) của góc lượng giác. 
Nếu có một acgumen là thì mọi acgumen của z đều có dạng .
Dạng lượng giác của là với là góc thỏa ( là một acgumen của z).
Dạng lượng giác của là , với là số thực tùy ý
Công thức Moa-vrơ: , r, r>0)
Đối chiếu công thức Moa-vrơ và công thức khai triển lũy thừa bậc n của nhị thức có thể biểu diễn theo lũy thừa . 
Các căn bậc hai của số phức (r, r>0) là: 
 và 
B. Bài tập:
Bài 1: Chứng minh khi số phức thay đổi tùy ý thì tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biễu diễn số phức là đường tròn đơn vị (tâm O, bán kính bằng 1).
	HD: do nên mọi điểm đang xét thuộc đường tròn đơn vị. Ngược lại, xét điểm tùy ý thuộc đường tròn đơn vị, nó biểu diễn số phức , nếu thì , chọn tùy ý thì 
Bài 2: Cho số phức . Hãy viết dạng lượng giác của căn bậc hai của 
HD: nên . Từ đó, các
căn bậc hai của là v 
Bài 3: Cho , xét các nghiệm của phương trình (ẩn z) . Chứng minh tập hợp các nghiệm đó khi k thay đổi là đường tròn đơn vị (tâm O, bán kính bằng 1).
HD: Nghiệm có dạng nên có phần thực , phần ảo , từ
đó. Vậy do , tập hợp các điểm cần tìm l đường tròn đơn vị.
Bài 4: a. Giải phương trình trên tập số phức. 
	b. Giải phương trình trên tập số phức. 
Bài 5: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa điều kiện . 	HD: nên tập hợp cần tìm trục ảo.
Bài 6: Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
	HD: nn 
Bài 7*: Xét phương trình (ẩn z): . Gọi A, B là điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình đó. Tìm điều kiện b, c để tam giác OAB vuông.
Bài 8: Bài biểu diễn qua 
HD: 
Bài 9: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1) x2 - 3x + 3 = 0	2) x2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0	3)	
4) 	5)	6) 7)	8) 	9) 
10)	11)	12) 
13) 	14) 	15) 
16) z2 + + 2 = 0	17) z2 = + 2	18). (z + )(z - ) = 0
19). 2z + 3 = 2 + 3i	20) (z + 2i)2 + 2(z + 2i) - 3 = 0	21) 
22) 	23)	24) 
25) 26) e/ 27)
28) 	 29) 	30)
Bài 10: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức sau
	a) z + 2i là số thực	b) z - 2 + i là số thuần ảo	c) 
d) là số thực	e)	f)	
f) 	g) 	h) 
k) 
Bài 11 Tìm các số thực x và y, biết:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 12: Thực hiện các phép tính
a) 	 b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	 h) biết 
l) m) n) a) p) 
Bài 13: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
Bài 14: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
Bài 15*: Cho biết .Tìm số phức có module lớn nhất , module nhỏ nhất
Đáp số : Các số phức cần tìm là : và 
-----—²–-----