Hệ thống bài tóan thi tốt nghiệp

HỆ THỐNG BÀI TÓAN THI TỐT NGHIỆP
KHẢO VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số y = x3 -3x – 2 (C)
Khảo sát và vẽ đồg thị hàm số (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0(-2;-4)
Biện luận số nghiệm của phương trình x3 -3x + 6m – 3 = 0
Giải
1.Khảo sát và vẽ đồg thị hàm số (C).
a/ Tập xác định : D = R
b/ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y’ = 3x2 – 3 
y’ = 0 3x2 – 3 = 0 x = 1
	y’ Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1)
	y’> 0 (-;-1)(1; +) => Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng(-;-1) và (1; +)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1 => yCĐ = 0
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 => yCT = -4
Giới hạn: ; 
Bảng biến thiên: 
x
 -1 1 
y/
 + 0 - 0 +
y
 0 
 -4
Điểm đặc biệt: Ta có y” = 6x, y” = 0 x = 0 nên hàm số có điểm uốn là U(0; -2)
c/ Đồ thị:
2.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0(-2;-4)
	 Ta có y’(-2) = 9. Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M0(-2;-4) là: y = 9x +14
3.Biện luận số nghiệm của phương trình x3 -3x + 6m – 3 = 0 (1)
Phương trình (1) x3 -3x – 2 = 1 - 6m . Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = 1 – 6m; Do đó dựa vào đồ thị ta thấy:
Nếu thì phuơng trình (1) có 1 nghiệm.
Nếu thì phương trình (1) có 2 nghiệm.
Nếu -4< m < 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm .
Bài 2: Cho hàm số y = 2x3 +3x2 –1 (C)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
Biện luận số nghiệm của phương trình 2x3 +3x2 –1 =m
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = -1
Giải
1.Khảo sát và vẽ đồg thị hàm số (C).
a/ Tập xác định : D = R
b/ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y’ = 6x2 +6x 
y’ = 0 6x2 +6x = 0 
	y’ Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1)
	y’> 0 (-;-1)(0; +) => Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng(-;-1) và (0; +)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1 => yCĐ = 0
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 => yCT = -1
Giới hạn: ; 
Bảng biến thiên: 
x
 -1 0 
y/
 + 0 - 0 +
y
 0 
 -1
Điểm đặc biệt: Ta có y” = 12x + 6, y” = 0 x = nên hàm số có điểm uốn là U(; )
c/ Đồ thị:
2.Biện luận số nghiệm của phương trình 2x3 +3x2 –1 =m (1)
Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = m; Do đó dựa vào đồ thị ta thấy:
Nếu thì phuơng trình (1) có 1 nghiệm.
Nếu thì phương trình (1) có 2 nghiệm.
Nếu -1< m < 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm .
3.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = -1
Với x0 = -1 ta có:
Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = -1 là: y = 0
Bài 3: Cho hàm số y = x3 -6x2 +9x - 1 (C)
Khảo sát và vẽ đồg thị hàm số (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
Tìm m để phương trình x3 -6x2 +9x - 1 = m có 3 nghiệm phân biệt.
Giải
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
a/ Tập xác định : D = R
b/ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y’ = 3x2 – 12x + 9 
y’ = 0 3x2 – 12x + 9 = 0 	
y’ Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)
	y’> 0 (-;1)(3; +) => Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng(-;1) và (3;+)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1 => yCĐ = 3
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 => yCT = -1
Giới hạn: ; 
Bảng biến thiên: 
x
 1 3 
y/
 + 0 - 0 +
y
 3 
 -1
Điểm đặc biệt: Ta có y” = 6x -12, y” = 0 x = 2 nên hàm số có điểm uốn là U(2; 1)
c/ Đồ thị:
2.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
Giao điểm của (C) với trục tung là: M(0; -1); Ta có y’(0) = 9
Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung là: y = 9x – 1
3.Tìm m để phương trình x3 -6x2 +9x - 1 = m (1)có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = m; Do đó dựa vào đồ thị ta thấy: Phuuơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. Khi đó: -1 < m < 3
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x3 + 3x2 -9x+1 trên đoạn [-4;4]
Giải
f’(x) = 3x2 +6x – 9
 Trên khoảng (-4; 4): f’(x) = 0 
Ta có: f(-4) = 21; f(1) = -4; f(-3) = 28; f(4) = 77
Vậy và 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x4 -8x2+16 trên đoạn [-1;3]
Giải
f’(x) = 4x3 -16x =4x(x2 -4)
 Trên khoảng (-1; 3): f’(x) = 0 
Ta có: f(-1) = 9; f(2) = 0; f(3) = 25
Vậy và 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 2x3 -3x2-12x +1 trên đoạn [-2;]
Giải
f’(x) = 6x2 -6x -12 
 Trên khoảng (-2;): f’(x) = 0 
Ta có: f(-2) = 7 ; f(-1) = 8; f(2) = -19; f() = 
Vậy và f() = 
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bài 1 : Giải phương trình sau : 2.16x – 17.4x + 8 = 0 (1)
Giải
Đặt t = 4x (t>0), khi đó : (1) 2t2 -17t +8 = 0
t= 4 4x = 4 x = 1
t = 4x = x = -
Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 1 và x = -
Bài 2 : Giải phương trình sau : 34x+8 – 4.32x+5 + 27 = 0 (1)
Giải
34x+8 – 4.32x+5 + 27 = 0 . (32x+5 )2 -4.32x+5 + 27 = 0(2)
Đặt t = 32x+5 (t>0) : (2) t2 -4.t + 27 = 0 
*Với t = 9, ta có : 32x+5 = 9 2x +5 = 2 x = -
	*Với t = 27, ta có : 32x+5 = 27 2x +5 = 3 x = -1
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm : x = - và x = -1
Bài 3 : Giải phương trình sau : 4x+1 – 6.2x+1 +8 = 0 (1)
Giải
(1) 4.4x -12.2x + 8 = 0 (2)
Đặt t = 2x (t > 0) : (2) 4t2 -12t + 8 = 0
*Với t = 1, ta có : 2x= 1 x = 0
	*Với t = 2, ta có : 2x= 2 x = 1 
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm : x = 0và x = 1
IV. TÍCH PHÂN
	Bài 1 : Tính tích phân sau : 
Giải 
Ta có : sin2x.sin4x = (cos2x – cos6x)
= = (sin2x - sin6x= 0
Bài 2 : Tính tích phân sau : 
Giải 
I== =
-Đặt t = sinx =>dt = cosx.dx
-Đổi cận : x = 0 => t = 0
	 x = => t = 1 
Khi đó I = = 
Bài 3 : Tính tích phân sau : 
Giải 
 = =I1 + I2
*Tính I1 = :
 Đặt :u = x =>du = dx
	dv = sinx.dx => v =-cosx.dx
=> I1 = = + = = 1
*Tính I2 = :
 -Đặt t =cosx => dt = -sinx.dx
 -Đổi cận : : x = 0 => t = 1
	 x = => t = 0 
=> I2 = ==
Vậy I = I1 + I2 = 1 + =
	V. SỐ PHỨC
 Bài 1 : Giải phương trình sau trên tập số phức : z2 -3x + 3 = 0
Giải 
 = -3< 0 
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là : 
Bài 2 : Giải phương trình sau trên tập số phức : z2 +2z + 2 = 0
Giải
’ = -1< 0 
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là : 
Bài 3 : Giải phương trình sau trên tập số phức : z2 +4z +10 = 0
Giải
’ = -6< 0 
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là : 
VI. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP
S
A
B
D
C
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp(ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy 1 góc 300. Tính thể tích khối chóp.
Giải
300
Ta có Ac = a ; AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD), nên góc giữa AC và SC chính bằng góc giữa SC và mặt đáy=>
Xét tam giác SAC vuông tại A ta có : SA = AC. tan =a.tan300=
Mặt khác SABCD = a2
Vậy thể tích khối chóp là : V = SABCD. SA = .a2.=
S
A
B
D
C
Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp(ABCD), cạnh SB = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng mình trung điểm I của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Giải
I
Xét tam giác SAB vuông tại A có : SA2 = SB2 – AB2 = 3a2 –a2 = 2a2 => SA =a
Mặt khác SABCD = a2
Vậy thể tích khối chóp là : V = SABCD. SA = .a2.a=
Ta có các góc: ,, và đều nhìn SC dưới 1 góc vuông, nên : IA = IS=IC = IB = ID. Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
V.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho A(-2; 0; 1), B(0;10; 3), C(2; 0; -1), D(5;3;-1)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)
Giải :
1.Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương là: và nên mp(ABC) nhận : =[ ,] = (-20; 12; -40) làm 1 vectơ pháp tuyến .
Vậy phương trình mp(ABC) đi qua A và có vectơ pháp tuyến là:
5x - 3y + 10 z +36 = 0
2.Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Gọi d là đường thẳng vuông góc với mp(ABC), khi đó d có 1 vectơ chỉ phương là :
=(5;-3;10). Mặt khác d đi qua điểm D, nên phương trình tham số của d là:
3.Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)
Gọi (S) là mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(ABC) khi đó bán kính của (S) là
R = d(D, (ABC)) =
Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: (x- 5)2 + (y- 3)2 + (z+1)2 =
Bài 2: Cho mặt cầu (S) x2+y2 +z2-6x+4y-2z-86 = 0 và mặt phẳng (): 2x-2y+z+9 = 0
Định tâm và bán kính mặt cầu 
Viết phương trình đường thẳng (d) qua tâm mặt cầu và vuông góc với ()
Chứng tỏ () cắt mặt cầu (S)
Giải :
1.Định tâm và bán kính mặt cầu 
x2+y2 +z2-6x+4y-2z-86 = 0 (x-3)2 + (y +4)2 +(z-1)2 = 100
Vậy mặt cầu (S) có tâm là I(3; -4; 1) và có bán kính R = 10
2.Viết phương trình đường thẳng (d) qua tâm mặt cầu và vuông góc với ()
Do (d) vuông góc với mặt phẳng () nên (d) có 1 vectơ chỉ phương là: 
= (2; -2; 1)
Mặt khác (d) đi qua tâm I(3; -4; 1) của mặt cầu (S) nên phương trình tham số của đường thẳng d là:
3.Chứng tỏ () cắt mặt cầu (S)
d(I, ()) =< R
Vậy () cắt mặt cầu (S)
 Bài 3: Cho A(-1;3;2) ; B(4;0;-3) ; C(5;-1;4) ; D(0;6;1)
Viết phương trình tham số của BC. Hạ AHBC. Tìm tọa độ điểm H 
Viết phương trình tổng quát của (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm (3;-2;1) và vuông góc với đường thẳng (d):
Giải :
1.Viết phương trình tham số của BC. Hạ AHBC. Tìm tọa độ điểm H 
	Ta có: =(1; -1; 7) , vậy phương trình tham số của đường thẳng BC là:
2.Viết phương trình tổng quát của (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
 =(1; -1; 7) , =(-4; 6; 4) 
Mặt phẳng (BCD) có cặp vectơ chỉ phương là: và nên mp(BCD) nhận : =[ ,] = (-46; -32; 2) làm 1 vectơ pháp tuyến => = (23; 16; -1) cũng là 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD)
Vậy phương trình mp(BCD) đi qua B và có vectơ pháp tuyến là:
23(x -4) + 16(y- 0) - (z +3 ) = 0 23x +16y –z -95= 0
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD):
d(A, (BCD)) =
3.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm (3;-2;1) và vuông góc với đường thẳng (d): 
Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) nên (P) có 1 vectơ pháp tuyến là:
 = (-4; 2; -7)
Mặt khác (P) đi qua điểm (3; -2; 1) nên phương trình mặt phẳng (P) là:
-4(x - 3) +2(y+2) – 7(z- 1) = 0 4x -2y +7z +23 = 0