Hệ thống bài tập Giải tích 12 ôn thi đại học

Chương I: Đạo hàm
I) Định nghĩa đạo hàm:
 Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm x0 đã chỉ ra:
 	a) y = x2 + x 	x0 = 2
 	b) y = 	x0 = 2
 	c) y = 	x0 = 0
 Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau đây (tại điểm x ẻ R)
 	a) y = - x	b) y = x3 - x + 2
	c) y = x3 + 2x	c) y = 
 Bài3: Tính f'(8) biết f(x) = 
 Bài4: Cho đường cong y = x3. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong đó, biết:
	a) Tiếp điểm là A(-1; -1).
	b) Hoành độ tiếp điểm bằng 2.
	c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x + 5.
	d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - + 1 
 Bài5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 2004).
	Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000)
II) các phép tính đạo hàm:
 Bài1: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
	1) y = 	2) y = 
	3) y = 
	4) y = 
	5) y = 	6) y = 
	7) y = 	8) y = 
	9) y = 	10) y = 
	11) y = 	12) y = 
	13) y = 	14) y = 
	15) y = 	16) y = 
17) y = 
 Bài2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
	1) y = 	2) y = 
	3) y = 	4) y = 
	5) y = 
III) đạo hàm một phía và điều kiện tồn tại đạo hàm:
 Bài1: Cho f(x) = . 	Tính f'(0)
 Bài2: Cho f(x) = . 	Tính f'(0)
 Bài3: Cho f(x) = 
 	1) Xét tính liên tục của f(x) tại x = 0.
	2) Xét tính khả vi của f(x) tại x = 0.
 Bài4: Cho hàm số: f(x) = .
 	Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x = -3 nhưng không có đạo hàm tại x = -3.
 Bài5: Cho f(x) = . Tìm a để $f'(0)
 Bài6: Cho f(x) = 
IV) đạo hàm cấp cao:
 Bài1: Cho f(x) = . 	Tính: f(n)(x) 
 Bài2: Cho f(x) = . 	Tính: f(n)(x) 
 Bài3: Cho f(x) = . 	Tính: f(n)(x) 
 Bài4: Cho f(x) = . 	Tính: f(n)(x) 
 Bài5: Cho f(x) = cosx. 	Tính: f(n)(x) 
 Bài6: Cho f(x) = cos(ax + b). 	Tính: f(n)(x) 
 Bài7: Cho f(x) = x.ex. 	Tính: f(n)(x) 
 Bài8: Cho f(x) = . 	Tính: f(n)(x) 
 Bài9: Cho f(x) = . 	Tính: f(n)(x) 
 V) đẳng thức, phương trình, bất phương trình với các phép toán đạo hàm:
 Bài1: Cho y = . 	CMR: xy' + 1 = ey 
 Bài2: Cho y = . 	CMR: y'' + 2y' + 2y = 0 
 Bài3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). 	CMR: y + xy' + x2y" = 0 
 Bài4: Cho f(x) = sin32x	 ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x. Giải phương trình: f'(x) = g(x) 
 Bài5: Cho f(x) = ; g(x) = . Giải bất phương trình: f'(x) < g'(x) 
 Bài6: Cho y = 
	CMR: 2y = xy' + lny' 
IV) dùng đạo hàm để tính giới hạn:
Tìm các giới hạn sau:
	1) A = 	2) 
	3) 	4) 
Chương II: Khảo sát hàm số và các ứng dụng
II) Tính đơn điệu của hàm số:
Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu: 
 Bài1: Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (-1; 1) 
 Bài2: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 
đồng biến trên (-; -1] ẩ [2; +) 
 Bài3: Tìm m để hàm số: y = 
 	đồng biến trên (-; 0) ẩ [2; +) 
 Bài4: Tìm m để hàm số: y = đồng biến trên R 
 Bài5: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3m(m - 2)x + 1 đồng biến trong các khoảng thoả mãn: 1 Ê Ê 2 
	2) Phương pháp hàm số giải quyết các bài toán chứa tham số: 
 Bài1: Cho phương trình: x2 - (m + 2)x + 5m + 1 = 0
	1) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm thoả mãn: x > 1.
	2) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm thoả mãn: > 4.
	3) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm thoả mãn: x < 2.
	4) Tìm m để phương trình có nghiệm ẻ (-1; 1). 
 Bài2: Tìm a để phương trình: (a + 1)x2 - (8a + 1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm ẻ (0;1) 
 Bài3: Tìm m để phương trình: có nghiệm thoả mãn: ³ 
 Bài4: Tìm m để phương trình: = m có nghiệm
 Bài5: Tìm m để phương trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm 
x ẻ 
 Bài6: Tìm m để phương trình: có ít nhất một nghiệm
 x ẻ 
 Bài7: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
	1) 
	2) 
 Bài8: Tìm a để: + ax có nghiệm duy nhất
 Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x2 + 4x + 6) ³ m nghiệm đúng với "x 
 Bài10: Xác định a để bất phương trình: -4 Ê x2 - 2x + a - 18 nghiệm đúng với "x ẻ [-2; 4] 
 Bài11: Tìm m để: < 0 "x 
 Bài12: Tìm m để Ê 0 nghiệm đúng với "x thoả mãn: 
 Bài13: Tìm m để bất phương trình: Ê m + 1 có nghiệm 
	3) Sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình: 
 Bài1: Giải các phương trình và các bất phương trình sau: 
	1) 
	2) Ê 2 
 Bài2: Giải hệ bất phương trình: 
 Bài3: Giải hệ bất phương trình: 
 Bài4: Giải hệ phương trình: 
 4) Chứng minh bất đẳng thức:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
	1) 	"x > 0 
	2) 	"x > 0; "n ẻ N*
	3) 1 - x Ê Ê 1 - x + 	"x ẻ [0; 1]
	4) 1 - x Ê Ê 1 - x + 	"x ẻ [0; 1]
	5) 	"x > 0
	6) 	"x > 1 
III) cực trị và các ứng dụng:
 Bài1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau đây:
	1) y = x3 + 4x	2) y = 	3) y = 	4) y = x3(1 - x)2 
 Bài2: Tìm cực trị nếu có của mỗi hàm số sau đây (biện luận theo tham số a)
	1) y = x3 - 2ax2 + a2x	2) y = x - 1 + 
 Bài3: Chứng minh rằng hàm số: y = luôn có một cực đại và một cực tiểu với mọi m. 
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
 Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số:
	1) y = sinx(1 + cosx)	2) y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 1
	3) y = 5cosx - cos5x với x ẻ 	4) y = 
 Bài2: Cho phương trình: 12x2 - 6mx + m2 - 4 + = 0
 Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tìm Max, Min của: S = 
 Bài3: Cho a.b ạ 0. Tìm Min của: y = 
 Bài4: Cho x, y ³ 0; x + y = 1. Tìm Max, Min của: S = 
 Bài5: Cho x, y ³ 0; x + y = 1. Tìm Min của: S = 
 Bài6: Tuỳ theo a tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
	y = sin6x + cos6x + asinx.cosx 
IV) tiệp cận:
 Bài1: Tìm tiệm cận của các hàm số:
	1) y = 	2) y = 	 	3) y = 
4) y = 	5) y = 	6) y = 
 Bài2: Tìm các tiệm cận của hàm số (biện luận theo tham số m)
1) y = 	2) y = 
 Bài3: Cho (C): y = , a ạ -1; a ạ 0. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của (C) luôn đi qua một điểm cố định 
 Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) = 
 	1) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M ẻ (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi.
	2) Tìm M ẻ (C) để tổng khoảng cách từ M ẻ (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. 
V) Khảo sát và vẽ đồ thị:
 Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
	1) y = 2x3 + 3x2 - 1	2) y = x3 + 3x2 + 3x + 5
	3) y = x3 - 3x2 - 6x + 8	4) y = -x3 + 3x2 - 4x + 3
	5) y = - - x2 + 3x - 4	 
 Bài2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
	1) y = x4 - 2x2	2) y = -x4 + 2x2 - 1
	3) y = x4 + x2 + 1	4) y = - x2 + 1 
 Bài3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
	1) y = 	2) y = 
 Bài4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
	1) y = 	2) y = 
	3) y = 	4) y = 
 Bài5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
	1) y = 	2) y = 
	3) y = 	4) y = 
	5) y = 	6) y = x + 
VI) phép biến đổi đồ thị:
Vẽ đồ thị của các hàm số:
	1) y = 	2) y = 
	3) y = 	4) y = 
	5) y = 	6) y = 
	7) 
VII) tiếp tuyến:
1) Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
 Bài1: Cho hàm số: y = x3 - 1 - k(x - 1) (1)
 	1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;
 	2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k để tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5 
 Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = tại giao điểm của đường cong với trục tung. 
 Bài3: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + mx + 1
	a) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
	b) Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. 
 Bài4: Cho 2 đồ thị 
	1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với nhau.
 	2) Viết phương trình tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm chung của (C) với (P). 
 Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 - 3x2 + 
	1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có xM = a. CMR: hoành độ các giao điểm của t với (C) là nghiệm của phương trình: 
	2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ. 
 Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y = với trục Ox tiếp tuyến của (C) song song với (D): y = x - 10. Viết phương trình tiếp tuyến đó. 
 Bài7: Cho (C) : y = và M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
	1) CMR: M là trung điểm của A và B.
 	2) CMR: SDIAB không đổi
	3) Tìm m để chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ nhất. 
 Bài8: Cho (C): y = (m ạ 0, 1)
Chứng minh rằng tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1 
 Bài9: Cho (C): y = 
 Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C). 
 Bài10: Cho đồ thị (C): y = 
	1) Điểm M ẻ (C) với xM = m. Viết phương trình tiếp tuyến (tm) tại M.
 	2) Tìm m để (tm) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán và hai tiếp tuyến tương ứng vuông góc với nhau. 
	3) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. CMR: M là trung điểm của AB và diện tích DIAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C). 
2) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trước 
 Bài1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x3 - 3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y = x. 
 Bài2: Cho hàm số (C): y = f(x) = - x3 - 3x2 + 7
	Tìm m để đồ thị (C) luôn có ít nhất hai tiếp tuyến song song với đt: y = mx 
 Bài3: Cho (C): y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (D): 3y - x + 6 = 0 
 Bài4: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = vuông góc với đường thẳng: y = - + 2 
 Bài5: Cho đồ thị (C): y = 
 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận. 
 Bài6: Cho (Cm): y = x4 + mx2 - m - 1
	Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x với A là điểm cố định của (Cm) có hoành độ dương. 
 Bài7: Cho đồ thị (Ca): y = 
	Tìm a để (Ca) có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ toạ độ. 
 Bài8: Cho (C): y = . CMR: trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 450. 
3) Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước đến đồ thị
 Bài1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x3 + 3x2 + 5 
 Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0; -1) đến (C): y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1 
 Bài3: Cho hàm số (C): y = f(x) = x3 + 3x2 + 2
	1) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A đến (C).
	2) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 
 Bài4: Cho (C): y = -x3 + 3x + 2
	Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) 
 Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 - x2 + 1
	Tìm các điểm A ẻ Oy kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) 
 Bài6: Tìm trên đường thẳng x = 3 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C): y = 
ViiI) ứng dụng của đồ thị:
1) Xét số nghiệm của phương trình:
 Bài1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3x - 4x3 = 3m - 4m3 
 Bài2: Tìm m để phương trình: x3 - 3x + 2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
 Bài3: Tìm a để phương trình: x3 - 3x2 - a = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng 2 nghiệm lớn hơn 1. 
 Bài4: Biện luận theo b số nghiệm của phương trình: x4 -2x2 - 2b + 2 = 0 
 Bài5: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x2 + (3 - a)x + 3 - 2a = 0 và so sánh các nghiệm đó với -3 và -1 
 Bài6: Tìm m để = x2 - 5x + m có 4 nghiệm phân biệt. 
2)  ... n hàm của hàm số: f(x) = 
 Bài4: Tính các nguyên hàm sau đây:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
	9) 	10) 
	11) 	12) 
 	13) 	14) 
	15) 	16) 
	17) 	18) 
	19) 
2) Phương pháp đặt ẩn phụ:
Tính các nguyên hàm sau đây:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
	9) 	10) 
11) 	12) 
13) 	14) 
15) 	16) 
17) 	18) 
19) 	20) 
21) 	22) 
23) 	24) 
25) 	 
3) Phương pháp nguyên hàm từng phần:
Tính các nguyên hàm sau đây:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
	9) 
4) Nguyên hàm hàm hữu tỷ:
 Bài1: Tính các nguyên hàm sau đây:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
	9) 	10) 
	11) 	12) 
	13) 	14) 
	15) 
 Bài2: 1) Cho hàm số y = 
a) Xác định các hằng số A, B, C để:
y = 
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm y
 Bài3: a) Xác định các hằng số A, B sao cho
b) Dựa vào kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của hàm số : f(x) = 
5) Nguyên hàm hàm lượng giác:
Tính các nguyên hàm sau đây:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
	9) 	10) 
	11) 	12) 
	13) 	14) 
	15) 	16) 
	17) 	18) 
19) 	20) 
 	21) 
6) Nguyên hàm hàm vô tỷ:
Tính các nguyên hàm sau đây:
1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 	
	7) 	8) 
	9) 	10) 
11) 
II) tích phân :
1) Dùng các phương pháp tính tích phân:
 Bài1: Tính các tích phân sau:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
 Bài2: Cho f(x) = 
	1) Tìm A, B sao cho f(x) = A + B
	2) Tính: I = 
 Bài3: Cho hàm số: h(x) = 
 	1) Tìm A, B để h(x) = 
	2) Tính: I = 
 Bài4: Cho hàm số: f(x) = 4cosx + 3sinx	;	g(x) = cosx + 2sinx
	1) Tìm A, B để g(x) = A.f(x) + B.f'(x)
	2) Tính: I = 
 Bài5: Tính các tích phân sau:
1) 	2) 
3) 	4) 
5) 	6) 
 Bài6: Tính các tích phân sau:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
	9) 	10) 
 Bài7: Tính các tích phân sau:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
2) Tính phân và đẳng thức:
 Bài1: CMR: Nếu f(x) là hàm lẻ liên tục trên [-a; a] thì: I = = 0
 VD: Tính: I = 
 Bài2: CMR: Nếu f(x) là hàm chẵn liên tục trên [-a; a] thì: I = 
 Bài3: CMR: Nếu f(x) là hàm chẵn liên tục trên R thì: I = 
 VD: Tính: I = 
 Bài4: Cho f(x) là hàm số liên tục trên [0; 1]. CMR: 
 VD: Tính: I = 
 Bài5: (Tổng quát hoá bài4)
 	Nếu f(x) liên tục và f(a + b - x) = f(x) thì I = 
 Bài6: Nếu f(x) liên tục và f(a + b - x) = -f(x) thì: I = 
 VD: Tính: I = 	J = 
 Bài7: Nếu f(x) liên tục trên thì: = 
 VD: Tính: I = 	J = 
 Bài8: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T thì: 
 VD: Tính: I = 
3) Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
 Bài1: Cho các hàm số: f(x) = 3x3 - x2 - 4x + 1	;	g(x) = 2x3 + x2 - 3x - 1
	1) Giải bất phương trình: f(x) ³ g(x).
	2) Tính: I = 
 Bài2: Tính các tích phân sau:
	1) 	2) 
 Bài3: Cho I(t) = với t ẻ R.
	1) Tính: I(t).
	2) Tìm minI(t). 
 Bài4: Tính các tích phân sau:
	1) 	2) 	 
 Bài5: Tính các tích phân sau:
	1) I = 	2) 
4) Bất đẳng thức tích phân:
 Bài1: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau:
	1) 	2) 
	2) 
 Bài2: CMR: 
 Bài3: Cho hàm số: f(x) = . CMR: 
5) Tích phân truy hồi:
 Bài1: Cho In = 
	1) CMR: In > In + 1
	2) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In và In - 1
	3) Tính In theo n. 
 Bài2: Cho In = 
	1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In và In - 2
	2) Tính In. áp dụng tính I11 = 
 Bài3: Cho In = 
	1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In và In - 1
	2) Tính In. 
 Bài4: Cho In = 
 	1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In và In - 1
	2) Tính In. 
 Bài5: Tính các tích phân sau:
	1) In = 	2) In = 
III) ứng dụng của tích phân:
1) Tính diện tích hình phẳng:
 Bài1: Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường sau đây:
	1) x = -1; x = 2; y = 0; y = x2 - 2x	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
 Bài2: Vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x3 - 3x + 2 (C)
	1) Viết phương trình tiếp tuyến (d1) với (C) tại A có xA = 2. Viết phương trình tiếp tuyến (d2) với (C) tại điểm uốn của (C).
	2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
	3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
 Bài3: Cho hàm số: y = (C)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
	2) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 1, x = 0, x = b bằng . 
 Bài4: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:
	1) Elíp (E): 	2) Hypebol (H): 
	 Elíp (E1): và Elíp (E2): 
 Bài5: Tính diện tích phần chung của hai Elíp:
 	(E1): và (E2): 
2) Tính thể tích vật thể:
 Bài1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh Ox một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 Bài2: Gọi (D) là miền giới hạn của các đường: . Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành do ta quay D
	1) Quanh Ox	b) Quanh Oy 
 Bài3: Gọi (D) là miền giới hạn của các đường: . Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành do ta quay D quanh Ox. 
 Bài4: Cho miền D giới hạn bởi các đường tròn (C): x2 + y2 = 8 và Parabol (P): y2 =2x
	1) Tính diện tích S của miền D.
	2) Tính thể tích V sinh ra bởi A khi quay quanh Ox. 
 Bài5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi ta quay Elíp (E): quanh Ox. 
Chương IV: đại số tổ hợp
I) quy tắc cộng và quy tắc nhân:
 Bài1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu:
	1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau?
	2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ? 
 Bài2: Có 4 con đường nối liền điểm A và điểm B, có 3 con đường nối liền điểm B và điểm C. Ta muốn đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi và về nếu ta không muốn dùng đường đi làm đường về trên cả hai chặng AB và BC? 
 Bài3: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng bìa này đặt lần lượt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn? 
 Bài4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. 
 Bài5: Một người có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2 quần đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo - quần - giày, nếu:
	1) Chọn áo, quần và giày nào cũng được.
	2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào cũng được; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc với quần đen và đi giày đen. 
II) hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp:
 Bài1: Có n người bạn ngồi quanh một bàn tròn (n > 3). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:
 	1) Có 2 người ấn định trước ngồi cạnh nhau.
 	2) 3 người ấn định trước ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định 
 Bài2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. 
 Bài3: Trong một lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ. Lớp học có 10 bàn, mỗi bàn có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
 a) Các học sinh ngồi tuỳ ý.
 b) Các học sinh ngồi nam cùng 1 bàn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bàn 
 Bài4: Với các số: 0, 1, 2, , 9 lập được bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số. 
 Bài5: Từ hai chữ số 1; 2 lập được bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất 3 chữ số 1 và ít nhất 3 chữ số 2. 
 Bài6: Tìm tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5 
 Bài7: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu:
 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý.
 2) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn. 
 Bài8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số chia hết cho 3 và gồm 5 chữ số khác nhau 
 Bài9: Từ các chữ cái của câu: "Trường THPT Lý Thường Kiệt" có bao nhiêu cách xếp một từ (từ không cần có nghĩa hay không) có 6 chữ cái mà trong từ đó chữ "T" có mặt đúng 3 lần, các chữ khác đôi một khác nhau và trong từ đó không có chữ "Ê" 
 Bài10: Cho A là một tập hợp có 20 phần tử.
 a) Có bao nhiêu tập hợp con của A?
 b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? 
 Bài11: 1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6?
 	2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 nà các số đó nhỏ hơn số 345? 
 Bài12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? 
 Bài13: Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 
 Bài14: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789? 
 Bài15: 1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bãy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần.
 	2) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. 
 Bài16: Số nguyên dương n được viết dưới dạng: n = 
 Trong đó a, b, g, d là các số tự nhiên
 	1) Hỏi số các ước số của n là bao nhiêu?
 	2) áp dụng: Tính số các ước số của 35280. 
III) toán về các số , , :
 Bài1: Giải bất phương trình: 
 Bài2: Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, , xn,  với: xn = 
 Bài3: Cho k, n là các số nguyên và 4 Ê k Ê n; Chứng minh:
 Bài4: Cho n ³ 2 là số nguyên. Chứng minh: Pn = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 +  + (n - 1)Pn - 1 
 Bài5: Cho k và n là các số nguyên dương sao cho k < n. Chứng minh rằng: 
VI) nhị thức newton:
 Bài1: Chứng minh rằng: 
 Bài2: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức:
 ta sẽ được đa thức:P(x) = A0 + A1x + A2x2 +  + A14x14
 Hãy xác định hệ số A9 
 Bài3: 1) Tính (n ẻ N)
 	2) Từ kết quả đó chứng minh rằng: 
 Bài4: Chứng minh rằng: 
 Bài5: Tính tổng S = (n ³ 2) 
 Bài6: Chứng minh rằng: 
 Bài7: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức:
 	 f(x) = 
 Bài8: Trong khai triển của thành đa thức: 
 P(x) = Hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 Ê k Ê 10) 
 Bài9: Tìm số nguyên dương n sao cho: . 
 Bài10: CMR: 
 Bài11: Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
 	1) 
 	2) 
 Bài12: Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10
 1) Tìm hệ số của x2 trong khai triển trên của P(x)
 2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x) 
 Bài13: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức: bằng 1024 hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng a.x12 trong khai triển đó. 
 Bài14: Trong khai triển nhị thức: hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết rằng: 
 Bài15: Chứng minh: 
 Bài16: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức: x ạ 0 
 Bài17: Khai triển nhị thức:
 Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x 
Bài1: Trong khai triển: Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau.
Bài2: Tính tổng của các biểu thức sau:
	S1 = 
	S2 = 
	S3 = 
	S4 = 
	S5 = 
	S6 = 
	S7 = 
	S8 = 
	S9 = 
	S10 = 
	S11 = 
	S12 = 
	S13 = 
	S14 = 
S15 = 
Bài3: Trong khai triển: P(x) = .
	Tìm số hạng chứa x9