Hệ phương trình trong các đề thi đại học

Hệ phương trình trong các đề thi đại học
1. Giải hệ phương trình: 
Giải:
1. §k:
(1) 
 Û x = 4y Thay vµo (2) cã 
 V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 
2. Giải hệ phương trình: 
Giải:
3. Giải hệ phương trình: (x, yÎ R)
Giải: 
ĐK: x + y ³ 0 , x - y ³ 0, y ³ 0
PT(1) Û 
Từ PT(4) Û y = 0 v 5y = 4x
Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9 (Không thỏa mãn đk (3))
Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có 
KL: HPT có 1 nghiệm 
4.Giải hệ phương trình: , .
Giải: 
, ta có: 
Đặt ta có hệ: 
+) Với ta có hệ:.
+) Với ta có hệ: , hệ này vô nghiệm.
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 
5. Giải hệ phương trình : 
Giải: *Biến đổi hệ tương đương với 
*Đặt ẩn phụ , ta được hệ 
*Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3) 
*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0)
6. Giải hệ phương trình: (x, yÎ R)
Giải: 
ĐK: x + y ³ 0 , x - y ³ 0, y ³ 0
PT(1) Û 
Từ PT(4) Û y = 0 v 5y = 4x
Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9 (Không thỏa mãn đk (3))
Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có 
KL: HPT có 1 nghiệm 
7. Giải hệ phương trình 
Giải: 
ĐK : 
hệ đưa hệ về dạng 
 Từ đó ta có nghiệm của hệ
(-1 ;-1),(1 ;1), (), ()
8.Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Giải: §iÒu kiÖn: x-1, y1
Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ
§Æt u=, v =. Ta cã hÖ
 lµ nghiÖm cña hÖ
9. Giải hệ phương trình: .
Giải: 
Điều kiện: x+y>0, x-y>0
Đặt: ta có hệ: 
. Thế (1) vào (2) ta có:
.
Kết hợp (1) ta có: (vỡ u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
10. Giải hệ phương trình :
Giải: 
+) ĐK: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0
+) Lấy loga cơ số 2009 và đưa về pt: 
+) Xét và CM HS đồng biến,
từ đó suy ra x2 = y2 Û x= y, x = - y
+) Với x = y thế vào (2) và đưa về pt: 3log3(x +2) = 2log2(x + 1) = 6t
Đưa pt về dạng , cm pt này có nghiệm duy nhất t = 1 
Þ x = y =7
+) Với x = - y thế vào (2) được pt: log3(y + 6) = 1 Þ y = - 3 Þ x = 3
11. Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm thực
Giải: 
2/. 
Điều kiện: 
Đặt t = x + 1 Þ tÎ[0; 2]; ta có (1) Û t3 - 3t2 = y3 - 3y2.
Hàm số f(u) = u3 - 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: 
(1) Û y = y Û y = x + 1 Þ (2) Û 
Đặt Þ vÎ[0; 1] Þ (2) Û v2 + 2v - 1 = m.
Hàm số g(v) = v2 + 2v - 1 đạt 
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1 £ m£ 2
12. Cho hệ phương trình : 
	Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt (x1; y1), (x2; y2) và (x3; y3) sao cho x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng.
Giải: (I) 
	(2) Û y = x - 2 thay vào (1) ta có :
	(2x - 2)[x2 - 2x + 4 - m] = 0 Û 
	Nhận xét : Nếu pt (*) có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thì : x1 < 1 < x2 và x1 + x2 = 2
	YCBT Û pt (*) có 2 nghiệm phân biệt Û D' = 1 - 4 + m > 0 Û m > 3.
13.Cho hệ phương trình : 
 Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) sao cho x1;x2;x3 lập thành cấp số cộng .Đồng thời có hai số xi thỏa mãn > 1
Giải: 
2.Cho hệ phương trình : 
------------------------------------------------------------------------------------------
 Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) sao cho x1;x2;x3 lập thành cấp số cộng .Đồng thời có hai số xi thỏa mãn > 1
Trước hết phải có 2 nghiệm pbiệt x1 ; x2 
 Có thể xảy ra ba trường hợp sau đây theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
+Trường hợp 1 :  ; x1 ; x2
+Trường hợp 2 : x1 ; x2 ; 
+Trường hợp 3 : x1 ;  ; x2 
Xét thấy Trường hợp 1 ;2 không thỏa mãn. Trường hợp 3 ta có 
 đúng với mọi m > 
Đồng thời có hai số xi thỏa mãn > 1 ta cần có thêm điều kiện sau
 Đáp số : m > 3
14. Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm :
Giải: b)(1 điểm) đ/k .Bất pt ; Vậy và là nghiệm của p/t: T.Rõ ràng hệ trên có nghiệm khi p/t* có 2 nghiệm không âm 
Bài tập
1.Giải hệ phương trình: 
2.Gi¶i hệ ph­¬ng tr×nh : 
3. Giải hệ phương trình : 
4. Gi¶i hệ ph­¬ng tr×nh : 
5. Giải hệ phương trình : 
6. Giải hệ phương trình : 
7. Giải hệ phương trình : 
8. Giải hệ phương trình :
9. Giải hệ phương trình :
10. Giải hệ phương trình 
11. Gi¶i hệ ph­¬ng tr×nh 
12. Giải hệ phương trình: 
13. Giải hệ phương trình 
14. Giải hệ