Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng môn Toán - Đề 8

Giải đề số 08 Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 1/11 
GỢI Ý GIẢI ĐỀ 08 
Câu I.1: 
Học sinh tự giải 
Câu I.2: Tìm k để đường thẳng ( ) : 3d y kx= + cắt đồ thị ( )C của hàm số 2 1
1
x
y
x
+
=
-
 tại 
hai điểm phân biệt M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại gốc tọa độ O. 
· P/trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )C : 2 1 3
1
x
kx
x
+
= +
-
 (1) 
( )( )2 1 1 3 , 1x x kx xÛ + = - + ¹ 
( ) ( )2 1 4 0, 1kx k x xÛ + - - = ¹ (2) 
· Đ/kiện để ( )d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt là (1) phải có hai nghiệm phân biệt Û (2) 
có hai nghiệm phân biệt thỏa 1x ¹ . 
Đặt ( ) ( )2 1 4f x kx k x= + - - . 
Điều kiện trên xảy ra khi ( ) ( )
( )
21 4 4 0
. 1 0
k k
k f
ìD = - - - >ï
í
¹ïî
( )( )
2 14 1 0
1 4 0
k k
k k k
ì + + >ïÛ í
+ - - ¹ïî
7 4 3
7 4 3
3 0
k
k
k
ìé < - -
ïê
Û í > - +êë
ï
- ¹î
7 4 3
7 4 3
k
k
é < - -
Û ê
> - +êë
 (*) 
· Khi đó, gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;x y x y lần lượt là tạo độ của giao điểm M, N của ( )d và ( )C . Ta 
có 1 2;x x là nghiệm của phương trình (2). 
Theo định lý Viet, ta có 1 2
1k
x x
k
-
+ = ; 1 2
4
x x
k
-
= . (a) 
Mặt khác ( ),M N dÎ : 3y kx= + nên ta có : 
1 1 3y kx= + ; 2 2 3y kx= + . 
· Tam giác OMN vuông tại O nên . 0OM ON OM ON^ Û =
uuuur uuur uuuur uuur
. (b) 
Ta có ( )1 1;OM x y=
uuuur
, ( )2 2;ON x y=
uuur
. 
Suy ra 1 2 1 2.OM ON x x y y= +
uuuur uuur
( )( )1 2 1 23 3x x kx kx= + + + 
( )21 2 1 2 1 2. 3 9OM ON x x k x x k x x= + + + +
uuuur uuur
Thay dữ kiện ở (a) vào ta được: ( )2 4 1. 1 3 . 9kOM ON k k
k k
- -æ ö= + + +ç ÷
è ø
uuuur uuur
· Theo (b), ta có ( )2 3 1 11 3 . 9 0k kk k
k k
- - -æ ö+ + + =ç ÷
è ø
2 6 4 0k kÛ - + - = . 
Giải p/trình này được hai nghiệm 3 5k = - , 3 5k = + . 
· Đối chiếu đ/kiện (*) ta được 3 5k = - , 3 5k = + . 
· Vậy có hai giá trị của k thỏa yêu cầu bài toán là 3 5k = - , 3 5k = + . 
Giải đề số 08 Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 2/11 
Câu II.1: Giải hệ phương trình 
( )
2 2
2 2
5
2 5
x y x y x y
x y
ì - + + + - =ï
í
+ =ïî
 (1) 
Giải: 
· Để ý: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 22 2 2 2x y x xy y x xy y x y x y+ = + + + - + = + + - 
( ) ( )2 2x y x y= + + - 
· Ta có (1) 
( ) ( )2 2
5
5
x y x y x y x y
x y x y
ì - + + + + - =ïÛ í
+ + - =ïî
( ) ( )( )2
5
2 5
x y x y x y x y
x y x y x y x y
ì - + + + + - =ïÛ í
- + + - + - =ïî
 (2) 
Đặt S x y x y= - + + , ( )( )P x y x y= - + , 0, 0S P³ ³ , hệ (2) trở thành 
2
5
2 5
S P
S P
+ =ìï
í
- =ïî ( )2
5
2 5 5
P S
S S
= -ìïÛ í
- - =ïî
2
5
2 15 0
P S
S S
= -ìïÛ í
+ - =ïî
Hệ này có hai nghiệm 3
2
S
P
=ì
í =î
 và 
5
10
S
P
= -ì
í =î
 (không thỏa mãn 0S ³ ) 
Vậy 3; 2S P= = 
· Ta có hệ 
( )( )
3
2
x y x y
x y x y
ì + + - =ï
í
+ - =ïî
 (3) 
Từ hệ (3) ta có x y+ và x y- là hai nghiệm của p/trình 2 3 2 0X X- + = . 
P/trình này có hai nghiệm 1; 2X X= = 
· Từ đó ta có các hệ 
1
2
x y
x y
ì + =ï
í
- =ïî
 (4); 
2
1
x y
x y
ì + =ï
í
- =ïî
 (5). 
· Từ hệ (4) , ta có bốn hệ sau: 1
2
x y
x y
+ =ì
í - =î
; 
1
2
x y
x y
+ = -ì
í - =î
; 
1
2
x y
x y
+ =ì
í - = -î
; 
1
2
x y
x y
+ = -ì
í - = -î
Giải bốn hệ này ta được bốn nghiệm 
3
2
1
2
x
y
ì =ï
í
= -ïî
; 
1
2
3
2
x
y
ì =ï
í
= -ïî
; 
1
2
3
2
x
y
-ì =ï
í
=ïî
; 
3
2
1
2
x
y
-ì =ï
í
=ïî
· Từ hệ (5) , ta có bốn hệ sau: 2
1
x y
x y
+ =ì
í - =î
; 
2
1
x y
x y
+ = -ì
í - =î
; 
2
1
x y
x y
+ =ì
í - = -î
; 
2
1
x y
x y
+ = -ì
í - = -î
Giải bốn hệ này ta được bốn nghiệm 
3
2
1
2
x
y
ì =ï
í
=ïî
; 
1
2
3
2
x
y
-ì =ï
í
= -ïî
; 
1
2
3
2
x
y
ì =ï
í
=ïî
; 
3
2
1
2
x
y
-ì =ï
í -=ïî
· Tóm lại, hệ đã cho có 8 nghiệm 
Giải đề số 08 Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 3/11 
3
2
1
2
x
y
ì =ï
í
= -ïî
; 
1
2
3
2
x
y
ì =ï
í
= -ïî
; 
1
2
3
2
x
y
-ì =ï
í
=ïî
; 
3
2
1
2
x
y
-ì =ï
í
=ïî
; 
3
2
1
2
x
y
ì =ï
í
=ïî
; 
1
2
3
2
x
y
-ì =ï
í
= -ïî
; 
1
2
3
2
x
y
ì =ï
í
=ïî
; 
3
2
1
2
x
y
-ì =ï
í -=ïî
Câu II.2: Cho p/trình 2 2cos 4 cos 3 .sinx x m x= + (1) 
a) Giải p/trình (1) khi 0m = 
b) Tìm m để p/trình (1) có nghiệm thuộc khoảng 0;
12
pæ ö
ç ÷
è ø
. 
a) Khi 0m = , ta có p/trình 2cos 4 cos 3x x= (2) 
( )1cos 4 1 cos6
2
x xÛ = + 
Nhận thấy: 4 2.2 ; 6 3.2x x x x= = nên ta dùng công thức góc nhân hai và góc nhân 
ba để biến đổi p/trình theo cos 2x . 
( )2 32 2cos 2 1 1 4cos 2 3cos 2x x xÛ - = + - 
3 24cos 2 4cos 2 3cos 2 3 0x x xÛ - - + = 
Đặt cos 2t x= ta có p/trình 3 24 4 3 3 0t t t- - + = . 
Và dùng máy tính để giải được một nghiệm 1t = . 
Sau đó chia 3 24 4 3 3t t t- - + cho 1t - ta được 
( )( )3 2 24 4 3 3 1 4 3t t t t t- - + = - - . Tìm được hai nghiệm còn lại ! 
( )( )2 31 4 3 0 1;
2
t t t tÛ - - = Û = = ± 
· Với 1t = ta có cos 2 1 2 2x x k x kp p= Û = Û = 
· Với 3
2
t = , ta có 
3
cos 2 2 2
2 6 12
x x l x l
p pp p= Û = ± + Û = ± + 
· Với 3
2
t = - , ta có 
3 5 5
cos 2 2 2
2 6 12
x x m x m
p pp p= - Û = ± + Û = ± + 
Kết hợp các nghiệm trên, ta có các nghiệm của p/trình (2) là 
;
12 2
x k x x n
p pp= = = ± + , ( ),k n΢ 
Nhận xét: Khi gặp tr/hợp 2 2 3cos 2
4
t x= = , để tìm nghiệm gọn ta nên hạ bậc, chứ 
đừng tách ra hai trường hợp 3 3cos 2 ;cos 2
2 2
x x= = - sẽ có nhiều công thức 
nghiệm. 
Thật vậy, ( )2 3 1 3 1cos 2 1 cos 4 cos 4
4 2 4 2
x x x= Û + = Û = 
Giải đề số 08 Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 4/11 
Ta giải được 2 công thức nghiệm 4 2
3 12 2
x k x k
p p pp= ± + Û = ± + . 
Và việc hợp nghiệm đã được thực hiện. 
P/trình (2) có các nghiệm cho bởi x kp= ; 
12 2
x k
p p
= ± + . Ok !!! 
b) Tương tự cách giải trên, ta có thể biến đổi ( )2 1sin 1 cos 2
2
x x= - . 
· Ta có (1) ( ) ( )1 1cos 4 1 cos6 . 1 cos 2
2 2
x x m xÛ = + + - 
cos6 2cos 4 .cos 2 1 0x x m x mÛ - - + + = 
( )3 24cos 2 3cos 2 2 2cos 2 1 cos 2 1 0x x x m x mÛ - - - - + + = 
( )3 24cos 2 4cos 2 3 cos 2 3 0x x m x mÛ - - + + + = (3) 
Đặt cos 2t x= , p/trình (3) trở thành ( )3 24 4 3 3 0t t m t m- - + + + = (4) 
Nhận xét : Tổng các hệ số của (4) bằng 0 nên (4) có một nghiệm 1t = . Thực hiện 
phép chia như ở câu a) để tìm nghiệm còn lại ! 
( )( )21 4 3 0t t mÛ - - - = 
2
1
4 3
t
t m
=é
Û ê
= +ë ( )2
1
3
5
4
t
m
t
=é
êÛ +ê =
ë
· Với 0
12
x
p
< < , ta có cos 2 cos ; 1
12
t x
pæ ö= Îç ÷
è ø
 nên nghiệm 1t = không thỏa mãn. 
Ta có ( )2 2 1cos 2 1 cos 4
2
t x x= = + . 
Với 0
12
x
p
< < , ta có 0 4
3
x
p
< < nên 
1
cos 4 ;1
2
x æ öÎç ÷
è ø
. 
Suy ra ( ) ( )21 1 11 1 1
2 2 2
1
1 cos 4
2
t xæ ö+ < = + < +ç ÷
è ø
 hay 2
3
1
4
t< < . 
· Từ đó suy ra p/trình (1) có nghiệm 0;
12
x
pæ öÎç ÷
è ø
 khi và chỉ khi p/trình (5) có nghiệm 
cos ;1
12
t
pæ öÎç ÷
è ø
 2
3
1
4
tÛ < < . 
Như vậy, ta có 23 1
4
3
4
m
t
+
=< < 
3 3 4mÛ < + < 0 1mÛ < < 
· Vậy giá trị của m phải tìm thỏa yêu cầu bài toán là ( )0;1mÎ . 2 5 15
5
y
+
= 
Câu III: Tính tích phân 
2
2
0
1
1
x
I dx
x
+
=
-ò 
· Đặt cosx t= , sindx tdt= - 
Giải đề số 08 Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 5/11 
· Với 0x = , ta có 2t p= ; với 
2
2x = , ta có 4t
p= 
· ( )
4
2
1 cos
sin
1 cos
t
I t dt
t
p
p
+
= -
-ò ( )
22
2
4
1 2cos 1
sin
1 1 2sin
t
tdt
t
p
p
+ -
=
- -ò 
22
2
4
cos
sin
sin
t
I tdt
t
p
p
= ò
2
4
cos
sin
sin
t
tdt
t
p
p
= ò
2
4
cos
.sin
sin
t
tdt
t
p
p
== ò
2
4
cos tdt
p
p
= ò 
2
4
sinI t
p
p=
2
sin sin 1
2 4 2
p p
= - = - 
Còn nhiều cách giải khác, các em có thể tìm thêm ở các sách tham khảo. 
Câu IV: Cho lăng trụ .ABC A B C¢ ¢ ¢ có đáy ABC là tam giác vuông cân, có cạnh huyền 
2AB = . Biết ( ) ( )ABA ABC¢ ^ , 3AA¢ = , góc ·A AB¢ nhọn, góc hợp bởi hai mặt phẳng 
( )A AC¢ và ( )ABC bằng 60o . Tính thể tích khối lăng trụ. 
· Kẻ A H AB¢ ^ ( H thuộc đoạn AB vì 
góc ·A AB¢ nhọn) 
Mặt khác hai mặt phẳng ( ) ( ),ABA ABC¢ 
vuông góc nhau và có giao tuyến là AB. 
Suy ra ( )A H ABC¢ ^ A H AC¢Þ ^ 
· Kẻ ||HI BC ( I CAÎ ). 
Khi đó HI AC^ (do BC AC^ ). 
Từ đó suy ra ( )AC A HI¢^ 
AC A I¢Þ ^ . 
· Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( )A AC¢ 
và ( )ABC bằng góc · 60oA IH¢ = . 
600
I
B'
A'
C
A
B
C'
H
· Để tính thể tích lăng trụ ta chỉ cần tính A H¢ . 
Đặt x AH= , 0 2x< £ . 
Do ||AH BC nên ta có 
1 2
IH AH IH x
BC AB
= Û =
2
x
IHÛ = . 
Trong tam giác vuông A HA¢ , ta có 2 2 23A H A A AH x¢ ¢= - = - (1) 
Trong tam giác vuông A IH¢ , ta có ·( ) 0 3.tan .tan 60 22
x
A H IH A IH x¢ ¢= = = (2) 
So sánh (1) và (2) ta suy ra 2
3
3
2
x x- = 2 2
3
3
2
x xÛ - = 
Giải ta được 2 6 6
5 5
x x= Û = . 
· Suy ra 
3 6 3 3
.
2 5 2 5
A H x¢ = = = 
Giải đề số 08 Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 6/11 
· Diện tích đáy ABC bằng 1 1 1. .1.1
2 2 2ABC
S CACB= = = 
· Vậy, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 1 3 3 5. .
2 105
ABCV S A H¢= = = . 
Lưu ý: Trong hình vẽ, ta tính được 6 1,095
5
AH = » và 2 1,414AB = » nên vị 
trí của H lệch về phía B (vượt quá 23 đoạn AB). 
Cần chú ý để vẽ đúng hình. Nếu góc ·A AB¢ tù thì điểm H nằm ngoài đoạn AB. 
Câu V: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt 
2 4 3
4 21 1
5
x x
m m
- +
æ ö = - +ç ÷
è ø
 (1) 
· Đặt 2 4 3t x x= - + , ( 0t ³ ) (2) 
· P/trình (1) trở thành 4 21 1
5
t
m mæ ö = - +ç ÷
è ø
 (3) 
Nhận thấy, với giá trị của m làm cho (3) có nghiệm t thì (3) chỉ có một nghiệm duy nhất là 
( )4 21
5
log 1t m m= - + . Khi đó số nghiệm của (1) bằng số nghiệm của (2). 
· Do vậy (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có bốn nghiệm phân biệt. 
Xét hàm số ( ) 2 4 3y f x x x= = - + , ta có ( )
2
2
4 3 1 3
4 3 1 3
 nÕu hoÆc 
 nÕu 
x x x x
f x
x x x
ì - + £ ³ï= í
- + - < <ïî
( )
2 4 1 3
2 4 1 3
 nÕu hoÆc 
nÕu 
x x x
f x
x x
- £ ³ì¢ = í- + < <î
. 
( ) ( )0 2 1;3f x x¢ = Û = Î . Ta có bảng biến thiên của hàm số 
x -¥ 1 2 3 +¥ 
( )f x¢ - | + 0 - | + 
( )f x 
+¥ 
0 
1 
0 
 +¥ 
· Dựa vào bảng biên thiên ta nhận thấy, ph/trình 2 4 3t x x= - + có bốn nghiệm phân biệt 
khi và chỉ khi 0 1t< < . 
Khi đó, ta có 
0 1
1 1 1 1 1
1
5 5 5 5 5
t t
æ ö æ ö æ ö æ ö> > Û > >ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
 (do hàm 
1
5
t
y æ ö= ç ÷
è ø
 nghịch biến) 
· Đ/kiện để (1) có bốn nghiệm phân biệt là p/trình (3) chỉ có một nghiệm 0 1t< < . 
Tức là phải có 4 2 11 11
5 5
t
m m= - +æ ö> >ç ÷
è ø
Giải đề số 08 Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 7/11 
4 21 1 1
5
m mÛ < - + <
4 2
4 2
1
1
5
1 1
m m
m m
ì < - +ïÛ í
ï - + <î
4 2
4 2
5 5 4 0
0
m m
m m
ì - + >ïÛ í
- <ïî
( )
( )
2
2
2 2
1 115 02 4
1 0
m
m m
ì - + >ïÛ í
ï - <î
0, 1 1
m
m m
Îì
Û í ¹ - < <î
¡ ( ) ( )1;0 0;1mÛ Î - È 
· Vậy các giá trị của m phải tìm là ( ) ( )1;0 0;1mÎ - È . 
Câu VI.a.1 
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ) : 2 5 1 0d x y- + - = và 
đường tròn ( ) 2 2: 2 3 0C x y x+ - - = cắt nhau tại hai điểm A, B. Viết p/trình đ/tròn ( )C¢ đi 
qua ba điểm ,A B và ( )0;2C . 
· P/trình của ( ) ( )2 2: 1 4C x y- + = (*) 
Ta suy ra ( )C có tâm ( )1;0I , bán kính bằng 2R = . 
· Từ p/trình của ( )d , ta có 2 1 5x y= + - hay 1 2 5x y- = - . 
Thay vào p/trình của ( )C , ta có ( )2 22 5 4 0y y- + - = 
25 4 5 1 0y yÛ - + = . 
Giải p/trình này ta được 2 5 15
5
y
+
= ; 
2 5 15
5
y
-
= . 
Các giá trị tương ứng của x là 2 15 5 1
5
x
-
= + ; 
2 15 5
1
5
x
- -
= + 
· Vậy ( )d cắt ( )C tại hai điểm 
2 15 5 2 5 15
1;
5 5
A
æ ö- +
+ç ÷
è ø
; 
2 15 5 2 5 15
1;
5 5
A
æ ö- - -
+ç ÷
è ø
. 
· Nhận xét với ( )1;2IC = -
uur
, vecto chi phương của ( )d là ( )2;1u =
r
. 
Ta có . 1.2 2.1 0IC u = - + =
uur r
( )IC dÞ ^ . Suy ra CI đi qua trung điểm của AB (tính chất 
của đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với dây cung). Do đó CI là đường trung trực của 
đoạn AB, suy ra CA CB= nên tam giác CAB cân tại C. 
Suy ra, tâm I ¢ của đường tròn ( )C¢ nằm trên đường thẳng IC . 
· Đ/thẳng IC đi qua ( )0;2C và có vecto chỉ phương ( )1;2IC = -
uur
 nên có p/trình 
:
2 2
x t
IC
y t
= -ì
í = +î
Gọi tọa độ của I IC¢Î là ( );2 2I c c¢ - + , cΡ . 
Ta có 2 2I A I C I A I C¢ ¢ ¢ ¢= Û = 
2 2
2 15 5 2 5 15
1 2 2
5 5
c c
æ ö æ ö- +
Û + + + - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
( )22 2 2 2c c= + - - 
Giải đề số 08 Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 8/11 
( ) ( )
2
22 15 5 2 15 5
2 1 1
5 5
c c
æ ö æ ö- -
Û + + + +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
( ) ( )
2
22 5 15 2 5 15
4 1 4 1
5 5
c c
æ ö æ ö+ +
+ - + + +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 24c c= + 
( ) ( )2 24 2 5 1 5 1 5c c cÛ - + + + = ( )10 2 5 2 5 9cÛ - = - 
2 5 9 35 5
4010 2 5
c
- - +
Û = =
-
· Vậy, tọa độ tâm 35 5 5 5;
40 20
I
æ ö- +¢ç ÷
è ø
. 
Bán kính của ( )C¢ bằng 35 5 1 7 55 . 5
40 8
R I C c
- + -¢ ¢= = = = 
· P/trình của ( )C¢ : 
2 2 2
35 5 5 5 1 7 5
40 20 8
x y
æ ö æ ö æ ö- + + -
- + - =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Nhận xét: Bài này tôi đã dùng tính chất ( )IC d^ , để từ đó chứng tỏ tâm đ/tròn 
( )C¢ nằm trên IC nên việc gọi tọa độ của I ¢ đã được đơn giản hơn một bước. 
Nếu chỉ dùng t/chất ( )C¢ đi qua , ,A B C chắc có lẽ phải tính toán rất cồng kềnh các 
bạn nhỉ ? 
Câu VI.a.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 5 0x y za + - + = , 
đường thẳng ( ) 3 1 3:
2 1 1
x y z
d
+ + -
= = . Viết p/trình tham số của hình chiếu vuông góc của 
( )d trên mặt phẳng ( )a . 
Các bước giải: 
· Xác định tọa độ giao điểm ( ) ( )A d a= Ç (bằng cách giải hệ ( ) ( ),d a ) 
· Lấy điểm ( )3; 1;3M - - thuộc ( )d (hoặc chọn điểm khác). Và tìm hình chiếu M ¢ của 
M trên ( )a . Cách làm: Viết p/trình đ/thẳng ( )D qua M và ( )aD ^ . 
Khi đó ( )M a¢ = DÇ . (Giải hệ ( ), aD để tìm tọa độ của M ¢ ). 
· Hình chiếu vuông góc của ( )d trên ( )a chính là đường thẳng AM. 
Câu VII.a: Cho , 2n nÎ ³¥ . Chứng minh rằng 
1
0 1 2 2 2. . ...
1
nn
n
n n n nC C C C n
-
æ ö-
£ ç ÷-è ø
· Xét hkai triển ( ) 0 1 2 21 ...n n nn n n nx C C x C x C x+ = + + + + 
Thay 1x = ta có ( ) 0 1 2 21 1 1 1 ... 1n n nn n n nC C C C+ = + + + + 
1 2 11 ... 1 2n nn n nC C C
-Û + + + + + = 1 2 1... 2 2n nn n nC C C
-Û + + + = - 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 1n - số dương 1 2 1, ,..., nn n nC C C - ta có 
Giải đề số 08 Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 9/11 
( )1 2 1 1 2 11... 1 ...n nnn n n n n nC C C n C C C- --+ + + ³ - ( ) 1 2 112 2 1 ...n nn n n nn C C C --Û - ³ - 
1 2 112 2 ...
1
n
nn
n n nC C Cn
---Û ³
-
1
1 2 12 2 ...
1
nn
n
n n nC C Cn
-
-æ ö-Û ³ç ÷-è ø
. 
Lại có 0 1nn nC C= = . Suy ra 
1
0 1 2 12 2 ...
1
nn
n n
n n n n nC C C C Cn
-
-æ ö- ³ç ÷-è ø
 (đpcm) 
Câu VI.b.1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm 
( )2; 1G - - và các cạnh : 4 15 0AB x y+ + = , : 2 5 3 0AC x y+ + = . Tìm diểm M trên 
đường cao AH của tam giác ABC sao cho tam giác BMC vuông tại M. 
· Tìm tọa độ điểm A (bằng cách giải hệ AB, AC được ( )4;1A - ) 
· Đ/thẳng AB đi qua ( )4;1A - và có vecto chỉ phương ( )1; 4ABu = -
uuur
 nên có p/trình tham 
số ( ) 4:
1 4
x t
AB
y t
= - +ì
í = -î
. 
Đ/thẳng AC đi qua ( )4;1A - và có vecto chỉ phương ( )5; 2ACu = -
uuur
 nên có p/trình tham số 
 ( )
4 5
:
1 2
x t
AC
y t
= - +ì
í = -î
. 
· Gọi tọa độ của ( )B ABÎ là ( )4 ;1 4B b b- + - ; 
gọi tọa độ của ( )C ACÎ là ( )4 5 ;1 2C c c- + - . 
· Gọi N là trung điểm của BC, ta có tọa độ của N bằng 
5
4 ;1 2
2
b c
N b c
+æ ö- + - -ç ÷
è ø
 (1) 
· Theo tính chất của trọng tâm tam giác, ta suy ra 3NA NG=
uuur uuur
, suy ra tọa độ của N là 
( )
( )
4 3 23
1
1 3 2:
1 3 13
2
1 3 2
A G
N
A G
N
x x
x
N
y y
y
ì - - --
= = = -ïï - -
í
- --ï = = = -ï - -î
 (2) 
So sánh (1) và (2) ta được 
5
4 1
2
1 2 2
b c
b c
+ì- + = -ï
í
ï - - = -î
5 6
2 3
b c
b c
+ =ì
Û í + =î
1
1
b
c
=ì
Û í =î
. 
· Từ đó ta có ( )3; 3B - - , ( )1; 1C - 
· Vecto ( ) ( )4;2 2 2;1BC = =
uuur
. 
Đường cao AH vuông góc với BC nên nhận vecto ( )1 2;1
2
n BC= =
r uuur
 làm vecto pháp 
tuyến, suy ra ( )1; 2u = -
r
là vecto chỉ phương, đồng thời đi qua điểm ( )4;1A - nên có 
p/trình tham số là ( ) 4:
1 2
x t
AH
y t
= - +ì
í = -î
. 
Giải đề số 08 Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 10/11 
· Gọi tọa độ điểm ( )M AHÎ dạng ( )4 ;1 2M m m- + - . 
Ta có ( )1 ; 4 2MB m m= - - +
uuur
; ( )5 ; 2 2MC m m= - - +
uuuur
. 
Theo giả thiết ta có tam giác MBC vuông tại M nên . 0MB MC MB MC^ Û =
uuur uuuur uuur uuuur
. 
( )( ) ( )( )1 5 4 2 2 2 0m m m mÛ - - + - + - + = 
25 18 13 0m mÛ - + =
13
1;
5
m mÛ = = 
· Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán là ( )3; 1M - - và 7 21;
5 5
M æ ö- -ç ÷
è ø
Câu VI.b.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 
( )1
1
: 4 2
3
x
d y t
t
=ì
ï = - +í
ï +î
; ( )2
3
: 3 2
2
x t
d y t
z
¢= -ì
ï ¢= +í
ï = -î
Viết p/trình đ/thẳng ( )d đi qua điểm ( )1;1;2M - đồng thời cắt ( )1d và ( )2d . 
· Giả sử ( )d cắt ( )1d , ( )2d lần lượt tại ,A B . 
Gọi tọa độ của A, B là ( )1; 4 2 ;3A a a- + + , ( )3 ;3 2 ; 2B b b- + - . 
Suy ra ( )3 1;2 2 7;5BA b a b a= + - - +
uuur
; ( )2;2 5; 1MA a a= - +
uuur
2 2 7 5 5 3 1 3 1 2 2 7
, ; ;
2 5 1 1 2 2 2 5
a b a a b b a b
BA MA
a a a a
æ ö- - + + + + - -é ù = ç ÷ë û - + + -è ø
uuur uuur
( ), 10 2 2 18; 3 3 9; 2 11 6 9BA MA a b ab a b ab a b abé ù = - - - + - - + - - + +ë û
uuur uuur
· Đường thẳng ( )d đi qua điểm M khi và chỉ khi ba điểm M, A, B thẳng hàng. 
,BA MAÛ
uuur uuur
 cùng phương , 0BA MAé ùÛ =ë û
uuur uuur r
10 2 2 18 0
3 3 9 0
2 11 6 9 0
a b ab
a b ab
a b ab
- - - + =ì
ïÛ - - + =í
ï- - + + =î
32 17 63 0
17 27 0
2 11 6 9 0
a b
b
a b ab
- - + =ì
ïÛ - + =í
ï- - + + =î
 (*) 
Giải hai p/trình đầu ta được 9 27;
8 17
a b= = . Thay vào vế trái p/trình thứ ba ta được 
9 27 9 27
2. 11. 6. . 9 0
8 17 8 17
- - + + = (thỏa mãn) 
Vậy hệ (*) có nghiệm 9 27;
8 17
a bì ü= =í ý
î þ
· Suy ra 
7 33
1; ;
4 8
Aæ ö-ç ÷
è ø
, 
81 105
; ; 2
17 17
Bæ ö- -ç ÷
è ø
 và 
11 17
2; ;
4 8
MA æ ö= -ç ÷
è ø
uuur
Suy ra ( )1 16; 22;17
8
u MA= = -
r uuur
· Đ/thẳng ( )d đi qua điểm ( )1;1;2M - và nhận ( )16; 22;17u = -
r
 làm vecto chỉ phương 
nên có ph/trình tham số là 
Giải đề số 08 Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 11/11 
( )
1 16
: 1 22
2 17
x t
d y t
z t
= - +ì
ï = -í
ï = +î
, ( )tΡ . 
Câu VII.b Giải phương trình ( ) ( )8 4 4 54 2 2 101 0x x x x- -+ - + + = 
· Đặt 12 2 2
2
x x x
xt
-= + = + . 
Theo bất đẳng thức Cô si ta có 2 2 2 2 .2 2x x x x- -+ ³ = . Suy ra 2t ³ . 
Ta có ( )22 2 22 2 2 2 2 4 4 2x x x x x xt - - -= + = + + = + + 
24 4 2x x t-Û + = - 
· P/trình đã cho trở thành ( )28 2 54 101 0t t- - + = ( )2t ³ . 
28 54 85 0t tÛ - + = 
Giải p/trình này được 17 5;
4 2
t t= = (đều thỏa mãn đ/k 2t ³ ) 
· Với 17
4
t = , ta có 
1 17
2
42
x
x+ =
24.2 17.2 4 0x xÛ - + = 
2 4 2
1 22 4
x
x
x
x
é = =é
êÛ Û ê = -=ê ëë
· Với 5
2
t = , ta có 
1 5
2
22
x
x+ =
22.2 5.2 2 0x xÛ - + = 
2 2 1
1 12 2
x
x
x
x
é = =é
êÛ Û ê = -=ê ëë
· Kết luận: Ph/trình đã cho có bốn nghiệm { }2; 1;1;2- - .