Giáo trình Toán rời rạc - Chương II: Bài toán đếm

CHƯƠNG II
BÀI TOÁN ĐẾM
Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên nghiên cứu sự phân bố các phần tử vào các tập hợp. Thông thường các phần tử này là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thoả mãn những điều kiện nhất định nào đó, tùy theo yêu cầu của bài toán cần nghiên cứu. Mỗi cách phân bố như vậy gọi là một cấu hình tổ hợp. Chủ đề này đã được nghiên cứu từ thế kỹ 17, khi những câu hỏi về tổ hợp được nêu ra trong những công trình nghiên cứu các trò chơi may rủi. Liệt kê, đếm các đối tượng có những tính chất nào đó là một phần quan trọng của lý thuyết tổ hợp. Chúng ta cần phải đếm các đối tượng để giải nhiều bài toán khác nhau. Hơn nữa các kỹ thuật đếm được dùng rất nhiều khi tính xác suất của các biến cố. 
2.1. CƠ SỞ CỦA PHÉP ĐẾM.
2.1.1. Những nguyên lý đếm cơ bản:
1) Quy tắc cộng: Giả sử có k công việc T1, T2, ..., Tk. Các việc này có thể làm tương ứng bằng n1, n2, ..., nk cách và giả sử không có hai việc nào có thể làm đồng thời. Khi đó số cách làm một trong k việc đó là n1+n2+ ... + nk.
Thí dụ 1: 1) Một sinh viên có thể chọn bài thực hành máy tính từ một trong ba danh sách tương ứng có 23, 15 và 19 bài. Vì vậy, theo quy tắc cộng có 23 + 15 + 19 = 57 cách chọn bài thực hành.
2) Giá trị của biến m bằng bao nhiêu sau khi đoạn chương trình sau được thực hiện?
	m := 0
	for i1 := 1 to n1
	m := m+1
	for i2 :=1 to n2
	m := m+1
	.......................
	for ik := 1 to nk
	m := m+1
	Giá trị khởi tạo của m bằng 0. Khối lệnh này gồm k vòng lặp khác nhau. Sau mỗi bước lặp của từng vòng lặp giá trị của k được tăng lên một đơn vị. Gọi Ti là việc thi hành vòng lặp thứ i. Có thể làm Ti bằng ni cách vì vòng lặp thứ i có ni bước lặp. Do các vòng lặp không thể thực hiện đồng thời nên theo quy tắc cộng, giá trị cuối cùng của m bằng số cách thực hiện một trong số các nhiệm vụ Ti, tức là m = n1+n2+ ... + nk.
	Quy tắc cộng có thể phát biểu dưới dạng của ngôn ngữ tập hợp như sau: Nếu A1, A2, ..., Ak là các tập hợp đôi một rời nhau, khi đó số phần tử của hợp các tập hợp này bằng tổng số các phần tử của các tập thành phần. Giả sử Ti là việc chọn một phần tử từ tập Ai với i=1,2, ..., k. Có |Ai| cách làm Ti và không có hai việc nào có thể được làm cùng một lúc. Số cách chọn một phần tử của hợp các tập hợp này, một mặt bằng số phần tử của nó, mặt khác theo quy tắc cộng nó bằng |A1|+|A2|+ ... +|Ak|. Do đó ta có:
|A1 È A2 È...È Ak| = |A1| + |A2| + ... + |Ak|.
2) Quy tắc nhân: Giả sử một nhiệm vụ nào đó được tách ra thành k việc T1, T2, ..., Tk. Nếu việc Ti có thể làm bằng ni cách sau khi các việc T1, T2, ... Ti-1 đã được làm, khi đó có n1.n2....nk cách thi hành nhiệm vụ đã cho.
Thí dụ 2: 1) Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đường bằng một chữ cái và một số nguyên dương không vượt quá 100. Bằng cách như vậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế có thể được ghi nhãn khác nhau?
	Thủ tục ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm hai việc, gán một trong 26 chữ cái và sau đó gán một trong 100 số nguyên dương. Quy tắc nhân chỉ ra rằng có 26.100=2600 cách khác nhau để gán nhãn cho một chiếc ghế. Như vậy nhiều nhất ta có thể gán nhãn cho 2600 chiếc ghế.
2) Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài n.
	Mỗi một trong n bit của xâu nhị phân có thể chọn bằng hai cách vì mỗi bit hoặc bằng 0 hoặc bằng 1. Bởi vậy theo quy tắc nhân có tổng cộng 2n xâu nhị phân khác nhau có độ dài bằng n.
3) Có thể tạo được bao nhiêu ánh xạ từ tập A có m phần tử vào tập B có n phần tử?
	Theo định nghĩa, một ánh xạ xác định trên A có giá trị trên B là một phép tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử nào đó của B. Rõ ràng sau khi đã chọn được ảnh của i - 1 phần tử đầu, để chọn ảnh của phần tử thứ i của A ta có n cách. Vì vậy theo quy tắc nhân, ta có n.n...n=nm ánh xạ xác định trên A nhận giá trị trên B.
4) Có bao nhiêu đơn ánh xác định trên tập A có m phần tử và nhận giá trị trên tập B có n phần tử?
Nếu m > n thì với mọi ánh xạ, ít nhất có hai phần tử của A có cùng một ảnh, điều đó có nghĩa là không có đơn ánh từ A đến B. Bây giờ giả sử m £ n và gọi các phần tử của A là a1,a2,...,am. Rõ ràng có n cách chọn ảnh cho phần tử a1. Vì ánh xạ là đơn ánh nên ảnh của phần tử a2 phải khác ảnh của a1 nên chỉ có n - 1 cách chọn ảnh cho phần tử a2. Nói chung, để chọn ảnh của ak ta có n - k + 1 cách. Theo quy tắc nhân, ta có
n(n - 1)(n - 2)...(n - m + 1) = 
đơn ánh từ tập A đến tập B.
5) Giá trị của biến k bằng bao nhiêu sau khi chương trình sau được thực hiện?
	m := 0
	for i1 := 1 to n1
	for i2 := 1 to n2
	.......................
	for ik := 1 to nk
	k := k+1
	Giá trị khởi tạo của k bằng 0. Ta có k vòng lặp được lồng nhau. Gọi Ti là việc thi hành vòng lặp thứ i. Khi đó số lần đi qua vòng lặp bằng số cách làm các việc T1, T2, ..., Tk. Số cách thực hiện việc Tj là nj (j=1, 2,..., k), vì vòng lặp thứ j được duyệt với mỗi giá trị nguyên ij nằm giữa 1 và nj. Theo quy tắc nhân vòng lặp lồng nhau này được duyệt qua n1.n2....nk lần. Vì vậy giá trị cuối cùng của k là n1.n2....nk.
	Nguyên lý nhân thường được phát biểu bằng ngôn ngữ tập hợp như sau. Nếu A1, A2,..., Ak là các tập hữu hạn, khi đó số phần tử của tích Descartes của các tập này bằng tích của số các phần tử của mọi tập thành phần. Ta biết rằng việc chọn một phần tử của tích Descartes A1 x A2 x...x Ak được tiến hành bằng cách chọn lần lượt một phần tử của A1, một phần tử của A2, ..., một phần tử của Ak. Theo quy tắc nhân ta có:
|A1 x A2 x ... x Ak| = |A1|.|A2|...|Ak|.
2.1.2. Nguyên lý bù trừ:
	Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc. Ta có thể phát biểu nguyên lý đếm này bằng ngôn ngữ tập hợp. Cho A1, A2 là hai tập hữu hạn, khi đó
|A1 È A2| = |A1| + |A2| - |A1 Ç A2|.
Từ đó với ba tập hợp hữu hạn A1, A2, A3, ta có:
|A1 È A2 È A3| = |A1| + |A2| + |A3| - |A1 Ç A2| - |A2 Ç A3| - |A3 Ç A1| + |A1 Ç A2 Ç A3|,
và bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1, A2, ..., Ak ta có:
| A1 È A2 È ... È Ak| = N1 - N2 + N3 - ... + (-1)k-1Nk,
trong đó Nm (1 £ m £ k) là tổng phần tử của tất cả các giao m tập lấy từ k tập đã cho, nghĩa là
Nm = 
Bây giờ ta đồng nhất tập Am (1 £ m £ k) với tính chất Am cho trên tập vũ trụ hữu hạn U nào đó và đếm xem có bao nhiêu phần tử của U sao cho không thỏa mãn bất kỳ một tính chất Am nào. Gọi là số cần đếm, N là số phần tử của U. Ta có:
 = N - | A1 È A2 È ... È Ak| = N - N1 + N2 - ... + (-1)kNk,
trong đó Nm là tổng các phần tử của U thỏa mãn m tính chất lấy từ k tính chất đã cho. Công thức này được gọi là nguyên lý bù trừ. Nó cho phép tính qua các Nm trong trường hợp các số này dễ tính toán hơn.
Thí dụ 3: Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ. Bỏ ngẫu nhiên các lá thư vào các phong bì. Hỏi xác suất để xảy ra không một lá thư nào đúng địa chỉ.
	Mỗi phong bì có n cách bỏ thư vào, nên có tất cả n! cách bỏ thư. Vấn đề còn lại là đếm số cách bỏ thư sao cho không lá thư nào đúng địa chỉ. Gọi U là tập hợp các cách bỏ thư và Am là tính chất lá thư thứ m bỏ đúng địa chỉ. Khi đó theo công thức về nguyên lý bù trừ ta có:
 = n! - N1 + N2 - ... + (-1)nNn,
trong đó Nm (1 £ m £ n) là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có m lá thư đúng địa chỉ. Nhận xét rằng, Nm là tổng theo mọi cách lấy m lá thư từ n lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có (n-m)! cách bỏ để m lá thư này đúng địa chỉ, ta nhận được:
Nm = (n - m)! = và = n!(1 - + - ... + (-1)n ),
trong đó = là tổ hợp chập m của tập n phần tử (số cách chọn m đối tượng trong n đối tượng được cho). Từ đó xác suất cần tìm là: 1 - + - ... + (-1)n . Một điều lý thú là xác suất này dần đến e-1 (nghĩa là còn > ) khi n khá lớn.
	Số trong bài toán này được gọi là số mất thứ tự và được ký hiệu là Dn. Dưới đây là một vài giá trị của Dn, cho ta thấy Dn tăng nhanh như thế nào so với n:
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Dn
1
2
9
44
265
1854
14833
133496
1334961
14684570
2.2. NGUYÊN LÝ DIRICHLET.
2.2.1. Mở đầu:
	Giả sử có một đàn chim bồ câu bay vào chuồng. Nếu số chim nhiều hơn số ngăn chuồng thì ít nhất trong một ngăn có nhiều hơn một con chim. Nguyên lý này dĩ nhiên là có thể áp dụng cho các đối tượng không phải là chim bồ câu và chuồng chim.
Mệnh đề (Nguyên lý): Nếu có k+1 (hoặc nhiều hơn) đồ vật được đặt vào trong k hộp thì tồn tại một hộp có ít nhất hai đồ vật.
Chứng minh: Giả sử không có hộp nào trong k hộp chứa nhiều hơn một đồ vật. Khi đó tổng số vật được chứa trong các hộp nhiều nhất là bằng k. Điều này trái giả thiết là có ít nhất k + 1 vật.
	Nguyên lý này thường được gọi là nguyên lý Dirichlet, mang tên nhà toán học người Đức ở thế kỷ 19. Ông thường xuyên sử dụng nguyên lý này trong công việc của mình.
Thí dụ 4: 1) Trong bất kỳ một nhóm 367 người thế nào cũng có ít nhất hai người có ngày sinh nhật giống nhau bởi vì chỉ có tất cả 366 ngày sinh nhật khác nhau.
2) Trong kỳ thi học sinh giỏi, điểm bài thi được đánh giá bởi một số nguyên trong khoảng từ 0 đến 100. Hỏi rằng ít nhất có bao nhiêu học sinh dự thi để cho chắc chắn tìm được hai học sinh có kết quả thi như nhau? 
	Theo nguyên lý Dirichlet, số học sinh cần tìm là 102, vì ta có 101 kết quả điểm thi khác nhau.
3) Trong số những người có mặt trên trái đất, phải tìm được hai người có hàm răng giống nhau. Nếu xem mỗi hàm răng gồm 32 cái như là một xâu nhị phân có chiều dài 32, trong đó răng còn ứng với bit 1 và răng mất ứng với bit 0, thì có tất cả 232 = 4.294.967.296 hàm răng khác nhau. Trong khi đó số người trên hành tinh này là vượt quá 5 tỉ, nên theo nguyên lý Dirichlet ta có điều cần tìm.
2.2.2. Nguyên lý Dirichlet tổng quát:
Mệnh đề: Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất ]N/k[ đồ vật.
(Ở đây, ]x[ là giá trị của hàm trần tại số thực x, đó là số nguyên nhỏ nhất có giá trị lớn hơn hoặc bằng x. Khái niệm này đối ngẫu với [x] – giá trị của hàm sàn hay hàm phần nguyên tại x – là số nguyên lớn nhất có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x.)
Chứng minh: Giả sử mọi hộp đều chứa ít hơn ]N/k[ vật. Khi đó tổng số đồ vật là
£ k (][ - 1) < k = N.
Điều này mâu thuẩn với giả thiết là có N đồ vật cần xếp.
Thí dụ 5: 1) Trong 100 người, có ít nhất 9 người sinh cùng một tháng.
	Xếp những người sinh cùng tháng vào một nhóm. Có 12 tháng tất cả. Vậy theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại một nhóm có ít nhất ]100/12[= 9 người.
2) Có năm loại học bổng khác nhau. Hỏi rằng phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên để chắc chắn rằng có ít ra là 6 người cùng nhận học bổng như nhau.
	Gọi N là số sinh viên, khi đó ]N/5[ = 6 khi và chỉ khi 5 < N/5 £ 6 hay 25 < N £ 30. Vậy số N cần tìm là 26.
3) Số mã vùng cần thiết nhỏ nhất phải là bao nhiêu để đảm bảo 25 triệu máy điện thoại trong nước có số điện thoại khác nhau, mỗi số có 9 chữ số (giả sử số điện thoại có dạng 0XX - 8XXXXX với X nhận các giá trị từ 0 đến 9).
	Có 107 = 10.000.000 số điện thoại khác nhau có dạng 0XX - 8XXXXX. Vì vậy theo nguyên lý Dirichlet tổng quát, trong số 25 triệu máy điện thoại ít nhất có ]25.000.000/10.000.000[ = 3 có cùng một số. Để đảm bảo mỗi máy có một số cần có ít nhất 3 mã vùng.
2.2.3. Một số ứng dụng của n ... hĩa đối tượng này qua chính nó. Kỹ thuật này được gọi là đệ quy. Định nghĩa đệ quy của một dãy số định rõ giá trị của một hay nhiều hơn các số hạng đầu tiên và quy tắc xác định các số hạng tiếp theo từ các số hạng đi trước. Định nghĩa đệ quy có thể dùng để giải các bài toán đếm. Khi đó quy tắc tìm các số hạng từ các số hạng đi trước được gọi là các hệ thức truy hồi.
Định nghĩa 1: Hệ thức truy hồi (hay công thức truy hồi) đối với dãy số {an} là công thức biểu diễn an qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy. Dãy số được gọi là lời giải hay nghiệm của hệ thức truy hồi nếu các số hạng của nó thỏa mãn hệ thức truy hồi này.
Thí dụ 13 (Lãi kép): 1) Giả sử một người gửi 10.000 đô la vào tài khoản của mình tại một ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm. Sau 30 năm anh ta có bao nhiêu tiền trong tài khoản của mình?
	Gọi Pn là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm. Vì số tiền có trong tài khoản sau n năm bằng số có sau n - 1 năm cộng lãi suất của năm thứ n, nên ta thấy dãy {Pn} thoả mãn hệ thức truy hồi sau: 
Pn = Pn-1 + 0,11Pn-1 = (1,11)Pn-1
với điều kiện đầu P0 = 10.000 đô la. Từ đó suy ra Pn = (1,11)n.10.000. Thay n = 30 cho ta P30 = 228922,97 đô la.
2) Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp. Có bao nhiêu xâu nhị phân như thế có độ dài bằng 5?
	Gọi an là số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp. Để nhận được hệ thức truy hồi cho {an}, ta thấy rằng theo quy tắc cộng, số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp bằng số các xâu nhị phân như thế kết thúc bằng số 1 cộng với số các xâu như thế kết thúc bằng số 0. Giả sử n ³ 3.
	Các xâu nhị phân độ dài n, không có hai số 0 liên tiếp kết thúc bằng số 1 chính là xâu nhị phân như thế, độ dài n - 1 và thêm số 1 vào cuối của chúng. Vậy chúng có tất cả là an-1. Các xâu nhị phân độ dài n, không có hai số 0 liên tiếp và kết thúc bằng số 0, cần phải có bit thứ n - 1 bằng 1, nếu không thì chúng có hai số 0 ở hai bit cuối cùng. Trong trường hợp này chúng có tất cả là an-2. Cuối cùng ta có được:
an = an-1 + an-2 với n ³ 3.
Điều kiện đầu là a1 = 2 và a2 = 3. Khi đó a5 = a4 + a3 = a3 + a2 + a3 = 2(a2 + a1) + a2 = 13.
2.5.2. Giải các hệ thức truy hồi.
Định nghĩa 2: Một hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng số là hệ thức truy hồi có dạng:
an = c1an-1 + c2an-2 + ... + ckan-k ,
trong đó c1, c2, ..., ck là các số thực và ck ¹ 0.
	Theo nguyên lý của quy nạp toán học thì dãy số thỏa mãn hệ thức truy hồi nêu trong định nghĩa được xác định duy nhất bằng hệ thức truy hồi này và k điều kiện đầu: a0 = C0, a1 = C1, ..., ak-1 = Ck-1.
	Phương pháp cơ bản để giải hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất là tìm nghiệm dưới dạng an = rn, trong đó r là hằng số. Chú ý rằng an = rn là nghiệm của hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + ... + ckan-k nếu và chỉ nếu
rn = c1rn-1 + c2rn-2 + ... + ckrn-k hay rk - c1rk-1 - c2rk-2 - ... - ck-1r – ck = 0.
Phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi, nghiệm của nó gọi là nghiệm đặc trưng của hệ thức truy hồi.
Mệnh đề: Cho c1, c2, ..., ck là các số thực. Giả sử rằng phương trình đặc trưng
rk - c1rk-1 - c2rk-2 - ... - ck-1r – ck = 0
có k nghiệm phân biệt r1, r2, ..., rk. Khi đó dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + ... + ckan-k nếu và chỉ nếu an = a1r1n + a2r2n + ... + akrkn, với n = 1, 2, ... trong đó a1, a2, ..., ak là các hằng số.
Thí dụ 14: 1) Tìm công thức hiển của các số Fibonacci.
	Dãy các số Fibonacci thỏa mãn hệ thức fn = fn-1 + fn-2 và các điều kiện đầu f0 = 0 và f1 = 1. Các nghiệm đặc trưng là r1 = và r2 = . Do đó các số Fibonacci được cho bởi công thức fn = a1()n + a2()n. Các điều kiện ban đầu f0 = 0 = a1 + a2 và f1 = 1 = a1() + a2(). Từ hai phương trình này cho ta a1 = , a2 = -. Do đó các số Fibonacci được cho bởi công thức hiển sau:
fn = ()n - ()n.
2) Hãy tìm nghiệm của hệ thức truy hồi an = 6an-1 - 11an-2 + 6an-3 với điều kiện ban đầu a0 = 2, a1 = 5 và a2 = 15.
	Đa thức đặc trưng của hệ thức truy hồi này là r3 - 6r2 + 11r - 6. Các nghiệm đặc trưng là r = 1, r = 2, r = 3. Do vậy nghiệm của hệ thức truy hồi có dạng 
an = a11n + a22n + a33n. 
Các điều kiện ban đầu 	a0 = 2 = a1 + a2 + a3
	a1 = 5 = a1 + a22 + a33 
	a2 = 15 = a1 + a24 + a39. 
Giải hệ các phương trình này ta nhận được a1= 1, a2 = -1, a3 = 2. Vì thế, nghiệm duy nhất của hệ thức truy hồi này và các điều kiện ban đầu đã cho là dãy {an} với
an = 1 - 2n + 2.3n.
2.6. QUAN HỆ CHIA ĐỂ TRỊ.
2.6.1. Mở đầu:
	Nhiều thuật toán đệ quy chia bài toán với các thông tin vào đã cho thành một hay nhiều bài toán nhỏ hơn. Sự phân chia này được áp dụng liên tiếp cho tới khi có thể tìm được lời giải của bài toán nhỏ một cách dễ dàng. Chẳng hạn, ta tiến hành việc tìm kiếm nhị phân bằng cách rút gọn việc tìm kiếm một phần tử trong một danh sách tới việc tìm phần tử đó trong một danh sách có độ dài giảm đi một nửa. Ta rút gọn liên tiếp như vậy cho tới khi còn lại một phần tử. Một ví dụ khác là thủ tục nhân các số nguyên. Thủ tục này rút gọn bài toán nhân hai số nguyên tới ba phép nhân hai số nguyên với số bit giảm đi một nửa. Phép rút gọn này được dùng liên tiếp cho tới khi nhận được các số nguyên có một bit. Các thủ tục này gọi là các thuật toán chia để trị.
2.6.2. Hệ thức chia để trị:
	Giả sử rằng một thuật toán phân chia một bài toán cỡ n thành a bài toán nhỏ, trong đó mỗi bài toán nhỏ có cỡ (để đơn giản giả sử rằng n chia hết cho b; trong thực tế các bài toán nhỏ thường có cỡ [] hoặc ][). Giả sử rằng tổng các phép toán thêm vào khi thực hiện phân chia bài toán cỡ n thành các bài toán có cỡ nhỏ hơn là g(n). Khi đó, nếu f(n) là số các phép toán cần thiết để giải bài toán đã cho thì f thỏa mãn hệ thức truy hồi sau:
f(n) = af() + g(n)
Hệ thức này có tên là hệ thức truy hồi chia để trị.
Thí dụ 15: 1) Thuật toán tìm kiếm nhị phân đưa bài toán tìm kiếm cỡ n về bài toán tìm kiếm phần tử này trong dãy tìm kiếm cỡ n/2, khi n chẵn. Khi thực hiện việc rút gọn cần hai phép so sánh. Vì thế, nếu f(n) là số phép so sánh cần phải làm khi tìm kiếm một phần tử trong danh sách tìm kiếm cỡ n ta có f(n) = f(n/2) + 2, nếu n là số chẵn.
	2) Có các thuật toán hiệu quả hơn thuật toán thông thường để nhân hai số nguyên. Ở đây ta sẽ có một trong các thuật toán như vậy. Đó là thuật toán phân nhanh, có dùng kỹ thuật chia để trị. Trước tiên ta phân chia mỗi một trong hai số nguyên 2n bit thành hai khối mỗi khối n bit. Sau đó phép nhân hai số nguyên 2n bit ban đầu được thu về ba phép nhân các số nguyên n bit cộng với các phép dịch chuyển và các phép cộng.
	Giả sử a và b là các số nguyên có các biểu diễn nhị phân độ dài 2n là 
a = (a2n-1 a2n-2 ... a1 a0)2 và b = (b2n-1 b2n-2 ... b1 b0)2.
Giả sử a = 2nA1 + A0 , b = 2nB1 + B0 , trong đó
A1 = (a2n-1 a2n-2 ... an+1 an)2 , A0 = (an-1 ... a1 a0)2
 B1 = (b2n-1 b2n-2 ... bn+1 bn)2 , B0 = (bn-1 ... b1 b0)2.
Thuật toán nhân nhanh các số nguyên dựa trên đẳng thức:
ab = (22n + 2n)A1B1 + 2n(A1 - A0)(B0 - B1) + (2n + 1)A0B0.
Đẳng thức này chỉ ra rằng phép nhân hai số nguyên 2n bit có thể thực hiện bằng cách dùng ba phép nhân các số nguyên n bit và các phép cộng, trừ và phép dịch chuyển. Điều đó có nghĩa là nếu f(n) là tổng các phép toán nhị phân cần thiết để nhân hai số nguyên n bit thì 
f(2n) = 3f(n) + Cn.
Ba phép nhân các số nguyên n bit cần 3f(n) phép toán nhị phân. Mỗi một trong các phép cộng, trừ hay dịch chuyển dùng một hằng số nhân với n lần các phép toán nhị phân và Cn là tổng các phép toán nhị phân được dùng khi làm các phép toán này.
Mệnh đề 1: Giả sử f là một hàm tăng thoả mãn hệ thức truy hồi f(n) = af() + c với mọi n chia hết cho b, a ³ 1, b là số nguyên lớn hơn 1, còn c là số thực dương. Khi đó
f(n) = .
Mệnh đề 2: Giả sử f là hàm tăng thoả mãn hệ thức truy hồi f(n) = af() + cnd với mọi n = bk, trong đó k là số nguyên dương, a ³ 1, b là số nguyên lớn hơn 1, còn c và d là các số thực dương. Khi đó 
f(n) = .
Thí dụ 16: Hãy ước lượng số phép toán nhị phân cần dùng khi nhân hai số nguyên n bit bằng thuật toán nhân nhanh.
	Thí dụ 15.2 đã chỉ ra rằng f(n) = 3f(n/2) + Cn, khi n chẵn. Vì thế, từ Mệnh đề 2 ta suy ra f(n) = O(). Chú ý là log23 » 1,6. Vì thuật toán nhân thông thường dùng O(n2) phép toán nhị phân, thuật toán nhân nhanh sẽ thực sự tốt hơn thuật toán nhân thông thường khi các số nguyên là đủ lớn.
BÀI TẬP CHƯƠNG II:
1. Trong tổng số 2504 sinh viên của một khoa công nghệ thông tin, có 1876 theo học môn ngôn ngữ lập trình Pascal, 999 học môn ngôn ngữ Fortran và 345 học ngôn ngữ C. Ngoài ra còn biết 876 sinh viên học cả Pascal và Fortran, 232 học cả Fortran và C, 290 học cả Pascal và C. Nếu 189 sinh viên học cả 3 môn Pascal, Fortran và C thì trong trường hợp đó có bao nhiêu sinh viên không học môn nào trong 3 môn ngôn ngữ lập trình kể trên.
2. Một cuộc họp gồm 12 người tham dự để bàn về 3 vấn đề. Có 8 người phát biểu về vấn đề I, 5 người phát biểu về vấn đề II và 7 người phát biểu về vấn đề III. Ngoài ra, có đúng 1 người không phát biểu vấn đề nào. Hỏi nhiều lắm là có bao nhiêu người phát biểu cả 3 vấn đề.
3. Chỉ ra rằng có ít nhất 4 người trong số 25 triệu người có cùng tên họ viết tắt bằng 3 chữ cái sinh cùng ngày trong năm (không nhất thiết trong cùng một năm).
4. Một tay đô vật tham gia thi đấu giành chức vô địch trong 75 giờ. Mỗi giờ anh ta có ít nhất một trận đấu, nhưng toàn bộ anh ta có không quá 125 trận. Chứng tỏ rằng có những giờ liên tiếp anh ta đã đấu đúng 24 trận.
5. Cho n là số nguyên dương bất kỳ. Chứng minh rằng luôn lấy ra được từ n số đã cho một số số hạng thích hợp sao cho tổng của chúng chia hết cho n.
6. Trong một cuộc lấy ý kiến về 7 vấn đề, người được hỏi ghi vào một phiếu trả lời sẵn bằng cách để nguyên hoặc phủ định các câu trả lời tương ứng với 7 vấn đề đã nêu. 
Chứng minh rằng với 1153 người được hỏi luôn tìm được 10 người trả lời giống hệt nhau.
7. Có 17 nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi 3 vấn đề. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 người cùng trao đổi một vấn đề.
8. Trong kỳ thi kết thúc học phần toán học rời rạc có 10 câu hỏi. Có bao nhiêu cách gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm bằng 100 và mỗi câu ít nhất được 5 điểm.
9. Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 21 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?
10. Có bao nhiêu xâu khác nhau có thể lập được từ các chữ cái trong từ MISSISSIPI, yêu cầu phải dùng tất cả các chữ?
11. Một giáo sư cất bộ sưu tập gồm 40 số báo toán học vào 4 chiếc ngăn tủ, mỗi ngăn đựng 10 số. Có bao nhiêu cách có thể cất các tờ báo vào các ngăn nếu:
1) Mỗi ngăn được đánh số sao cho có thể phân biệt được;
2) Các ngăn là giống hệt nhau?
12. Tìm hệ thức truy hồi cho số mất thứ tự Dn.
13. Tìm hệ thức truy hồi cho số các xâu nhị phân chứa xâu 01.
14. Tìm hệ thức truy hồi cho số cách đi lên n bậc thang nếu một người có thể bước một, hai hoặc ba bậc một lần.
15. 1) Tìm hệ thức truy hồi mà Rn thoả mãn, trong đó Rn là số miền của mặt phẳng bị phân chia bởi n đường thẳng nếu không có hai đường nào song song và không có 3 đường nào cùng đi qua một điểm.
b) Tính Rn bằng phương pháp lặp.
16. Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi an = 2an-1 + 5an-2 - 6an-3 với a0 = 7, a1 = -4, a2 = 8.