Giáo trình Toán chuyên đề

Bùi Tuấn Khang 
Đại học Đà nẵng 2004 
• Hàm Biến Phức 
• Ph−ơng Trình Vật Lý - Toán 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
 Lời nói đầu 
Giáo trình này đ−ợc biên soạn nhằm trang bị các tri thức toán học cốt yếu để làm công 
cụ học tập và nghiên cứu các môn học chuyên ngành cho sinh viên các ngành kỹ thuật 
thuộc Đại học Đà nẵng. Nội dung giáo trình gồm có 8 ch−ơng với thời l−ợng 60 tiết (4 
đơn vị học trình) đ−ợc chia làm hai chuyên đề nhỏ. 
Chuyên đề Hàm biến phức gồm 5 ch−ơng 
Ch−ơng 1 Các khái niệm cơ bản về số phức, dAy trị phức, hàm trị phức và các 
tập con của tập số phức. 
Ch−ơng 2 Các khái niệm cơ bản về hàm trị phức, đạo hàm phức, các hàm giải 
tích sơ cấp và phép biến hình bảo giác. 
Ch−ơng 3 Các khái niệm cơ bản về tích phân phức, định lý tích phân Cauchy và 
các hệ quả của nó. 
Ch−ơng 4 Các khái niệm cơ bản về chuỗi hàm phức, khai triển Taylor, khai triển 
Laurent, lý thuyết thặng d− và các ứng dụng của nó. 
Ch−ơng 5 Các khái niệm cơ bản, các tính chất, các ph−ơng pháp tìm ảnh - gốc và 
các ứng dụng của biến đổi Fourier và biến đổi Laplace. 
Chuyên đề Ph−ơng trình vật lý Toán gồm có 3 ch−ơng 
Ch−ơng 6 Các khái niệm cơ bản về lý thuyết tr−ờng : Tr−ờng vô h−ớng, tr−ờng 
vectơ, thông l−ợng, hoàn l−u và toán tử vi phân cấp 1. 
Ch−ơng 7 Các bài toán cơ bản của ph−ơng trình vật lý - toán, bài toán Cauchy 
và bài toán hỗn hợp của ph−ơng trình truyền sóng. 
Ch−ơng 8 Bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp của ph−ơng trình truyền nhiệt, 
bài toán Dirichlet và bài toán Neumann của ph−ơng trình Laplace. 
Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp GVC. Nguyễn Trinh, GVC. Lê Phú 
Nghĩa và GVC. TS. Lê Hoàng Trí đA dành thời gian đọc bản thảo và cho các ý kiến đóng 
góp để hoàn thiện giáo trình. 
Giáo trình đ−ợc biên soạn lần đầu chắc còn có nhiều thiếu sót. Rất mong nhận đ−ợc ý 
kiến đóng góp của bạn đọc gần xa. 
Đà nẵng 2004 
Tác giả 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 5 
Ch−ơng 1 
Số phức 
Đ1. Tr−ờng số phức 
• Kí hiệu ∀ = 3 ì 3 = { (x, y) : x, y ∈ 3 }. Trên tập ∀ định nghĩa phép toán cộng và phép 
toán nhân nh− sau 
∀ (x, y), (x’, y’) ∈ ∀ 
(x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’) 
(x, y) ì (x’, y’) = (xx’ - yy’, xy’ + x’y) (1.1.1) 
Ví dụ (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) và (2, 1) ì (-1, 1) = (-3, 1) 
Định lý (∀, +, ì ) là một tr−ờng số. 
Chứng minh 
Kiểm tra trực tiếp các công thức (1.1.1) 
Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử không là (0, 0) 
 ∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) + (0, 0) = (x, y) 
Mọi phần tử có phần tử đối là -(x, y) = (-x, -y) 
∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) + (-x, -y) = (0, 0) 
Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị là (1, 0) 
 ∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) ì (1, 0) = (x, y) 
Mọi phần tử khác không có phần tử nghịch đảo là (x, y)-1 = (
22 yx
x
+
,
22 yx
y
+
−
) 
∀ (x, y) ∈ ∀ - {(0, 0)}, (x, y) ì (
22 yx
x
+
,
22 yx
y
+
−
) = (1, 0) 
Ngoài ra phép nhân là phân phối với phép cộng 
 
• Tr−ờng (∀, +, ì ) gọi là tr−ờng số phức, mỗi phần tử của ∀ gọi là một số phức. 
Theo định nghĩa trên mỗi số phức là một cặp hai số thực với các phép toán thực hiện 
theo công thức (1.1.1). Trên tr−ờng số phức phép trừ, phép chia và phép luỹ thừa định 
nghĩa nh− sau. 
∀ (n, z, z’) ∈ ∠ ì ∀ ì ∀* với ∀* = ∀ - { (0, 0) } 
z - z’ = z + (- z’), 
'z
z
 = z ì (z’)-1 và z0 = 1, z1 = z và zn = zn-1 ì z (1.1.2) 
• Bằng cách đồng nhất số thực x với số phức (x, 0) 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Ch−ơng 1. Số Phức 
Trang 6 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 
x ≡ (x, 0), 1 ≡ (1, 0) và 0 ≡ (0, 0) 
tập số thực trở thành tập con của tập số phức. Phép cộng và phép nhân các số phức hạn 
chế lên tập số thực trở thành phép cộng và phép nhân các số thực quen thuộc. 
 x + x’ ≡ (x, 0) + (x’, 0) = (x + x’, 0) ≡ x + x’, ... 
Ngoài ra trong tập số phức còn có các số không phải là số thực. Kí hiệu i = (0, 1) gọi là 
đơn vị ảo. Ta có 
i2 = (0, 1) ì (0, 1) = (-1, 0) ≡ -1 
Suy ra ph−ơng trình x2 + 1 = 0 có nghiệm phức là x = 1− ∉ 3. 
Nh− vậy tr−ờng số thực (3, +, ì) là một tr−ờng con thực sự của tr−ờng số phức (∀, +, ì). 
Đ2. Dạng đại số của số phức 
• Với mọi số phức z = (x, y) phân tích 
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) 
Đồng nhất đơn vị thực (1, 0) ≡ 1 và đơn vị ảo (0, 1) ≡ i, ta có 
z = x + iy (1.2.1) 
Dạng viết (1.2.1) gọi là dạng đại số của số phức. Số thực x = Rez gọi là phần thực, số 
thực y = Imz gọi là phần ảo và số phức z = x - iy gọi là liên hợp phức của số phức z. 
Kết hợp các công thức (1.1.1) - (1.2.1) suy ra dạng đại số của các phép toán số phức. 
 (x + iy) + (x’ + iy’) = (x + x’) + i(y + y’) 
 (x + iy) ì (x’ + iy’) = (xx’ - yy’) + i(xy’ + x’y) 
yix
iyx
′+′
+
 = 
22 yx
yyxx
′+′
′+′
 + i
22 yx
yxyx
′+′
′−′
, ... (1.2.2) 
Ví dụ Cho z = 1 + 2i và z’ = 2 - i 
 z ì z’ = (2 + 2) + i(-1 + 4) = 4 + 3i, 
'z
z
 = 
i2
i21
−
+
 = i 
 z2 = (1 + 2i) ì (1 + 2i) = -3 + 5i, z3 = z2 ì z = (-3 + 5i) ì (1 + 2i) = -13 - i 
• Từ định nghĩa suy ra 
z = z ⇔ z ∈ 3 z = - z ⇔ z ∈ i3 z = z 
z + z = 2Rez z - z = 2iImz z z = Re2z + Im2z (1.2.3) 
Ngoài ra liên hợp phức còn có các tính chất sau đây. 
Định lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ ì ∀ ì ∀ 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Ch−ơng 1. Số Phức 
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 7 
1. 'zz + = z + 'z 
2. 'zz = z 'z nz = n)z( 
3. 1z − = 1)z( − 
z
z
′
 = 
z
z
′
Chứng minh 
1. Suy ra từ định nghĩa 
2. Ta có 'zz = )yix(iy) (x ′+′ì+ = (xx’ - yy’) - i(xy’ + x’y) 
 z 'z = (x - iy) ì (x’ - iy’) = (xx’ - yy’) + i(-xy’ -x’y) 
Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai. 
3. Ta có 1zz − = z 1z − = 1 ⇒ 1z − = ( z )-1 
Suy ra z/z ′ = 1)z(z −′ = z 1z −′ 
 
• Với mọi số phức z = x + iy, số thực | z | = 22 yx + gọi là module của số phức z. 
Nếu z = x ∈ 3 thì | z | = | x |. Nh− vậy module của số phức là mở rộng tự nhiên của khái 
niệm trị tuyệt đối của số thực. Từ định nghĩa suy ra 
 | Rez |, | Imz | ≤ | z | | z | = | -z | = | z | = | - z | z z = z z = | z |2 
z-1 = z
|z|
1
2
'z
z
 = z(z’)-1 = 
2|'z|
1
z 'z (1.2.4) 
Ngoài ra module của số phức còn có các tính chất sau đây. 
Định lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ ì ∀ ì ∀ 
1. | z | ≥ 0 | z | = 0 ⇔ z = 0 
2. | z z’ | = | z || z’ | | zn | = | z |n 
3. | z-1 | = | z |-1 
z
z
′
 = 
|z|
|z|
′
4. | z + z’ | ≤ | z | + | z’ | || z | - | z’|| ≤ | z - z’ | 
Chứng minh 
1. Suy ra từ định nghĩa 
2. Ta có | zz’ |2 = zz’ 'zz = (z z )(z’ z′ ) = (| z || z’| )2 
Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai. 
3. Ta có | z z-1 | = | z || z-1| = 1 ⇒ | z-1 | = 1 / | z | 
Suy ra | z / z’ | = | z (z’)-1 | = | z | | (z’)-1 | 
4. Ta có z z′ + z z’ = 2Re(z z′ ) ≤ | z z′ = | z || z’| 
Suy ra | z + z’ 2 = (z + z’)( 'zz + ) =  z 2 + 2Re(z z′ ) + | z’|2 ≤ (| z | + | z’|)2 
 
Đ3. Dạng l−ợng giác của số phức 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Ch−ơng 1. Số Phức 
Trang 8 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 
• Với mọi số phức z = x + iy ∈ ∀* tồn tại duy nhất số thực ϕ ∈ (-pi, pi] sao cho 
cosϕ = 
|z|
x
 và sinϕ = 
|z|
y
 (1.3.1) 
Tập số thực Argz = ϕ + k2pi, k ∈ 9 gọi là argument, số thực argz = ϕ gọi là argument 
chính của số phức z. Chúng ta qui −ớc Arg(0) = 0. 
Kí hiệu r = | z | từ công thức (1.3.1) suy ra 
 x = rcosϕ và y = rsinϕ 
Thay vào công thức (1.2.1) nhận đ−ợc 
z = r(cos + isinϕ) (1.3.2) 
Dạng viết (1.3.2) gọi là dạng l−ợng giác của số phức. 
• Từ định nghĩa suy ra 
 argz = ϕ ⇒ arg(-z) = ϕ - pi, arg z = - ϕ và arg(- z ) = pi - ϕ 
 x > 0, argx = 0 x < 0, argx = pi 
 y > 0, arg(iy) = pi/2 y < 0, arg(iy) = -pi/2 ... (1.3.3) 
Ngoài ra argument của số phức còn có các tính chất sau đây. 
Định lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ ì ∀ ì ∀ 
1. arg(zz’) = argz + argz’ [2pi] arg(zn) = n argz [2pi] 
2. arg(z-1) = - argz [2pi] arg(z / z’) = argz - argz’ [2pi] 
Chứng minh 
1. Giả sử z = r(cosϕ + isinϕ) và z’ = r’(cosϕ’ + isinϕ’) 
Suy ra 
zz’ = rr’[(cosϕcosϕ’ - sinϕsinϕ’) + i(sinϕcosϕ’ + cosϕsinϕ’)] 
 = rr’[cos(ϕ + ϕ’) + isin(ϕ + ϕ’)] 
Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai. 
2. Ta có 
arg(zz-1) = arg(z) + arg(z-1) = 0 [2pi] ⇒ arg(z-1) = - arg(z) [2pi] 
Suy ra 
arg(z / z’) = arg(zz’-1) = argz + arg(z’-1) 
 
Ví dụ Cho z = 1 + i và z’ = 1 + 3 i 
Ta có zz’ = [ 2 (cos
4
pi + isin
4
pi )][2(cos
6
pi + isin
6
pi )] = 2 2 (cos
12
5pi + isin
12
5pi ) 
 z100 = ( 2 )100[cos(100
4
pi ) + isin(100
4
pi )] = -250 
• Với mọi số thực ϕ ∈ 3, kí hiệu 
eiϕ = cosϕ + i sinϕ (1.3.4) 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Ch−ơng 1. Số Phức 
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 9 
Theo các kết quả ở trên chúng ta có định lý sau đây. 
Định lý ∀ (n, ϕ, ϕ’) ∈ ∠ ì 3 ì 3 
1. eiϕ ≠ 0 eiϕ = 1 ⇔ ϕ = k2pi ϕie = e-iϕ 
2. ei(ϕ+ϕ’) = eiϕeiϕ’ (eiϕ)-1 = e-iϕ (eiϕ)n = einϕ 
Chứng minh 
Suy ra từ công thức (1.3.4) và các kết quả ở trên 
 
Hệ quả ∀ (n, ϕ) ∈ ∠ ì 3 
1. (cosϕ + isinϕ)n = cosnϕ + isinnϕ (1.3.5) 
2. cosϕ = 
2
1
(eiϕ + e-iϕ) sinϕ = 
i2
1
(eiϕ - e-iϕ) (1.3.6) 
Công thức (1.3.5) gọi là công thức Moivre, công thức (1.3.6) gọi là công thức Euler. 
Ví dụ Tính tổng C = ∑
=
ϕ
n
0k
kcos và S = ∑
=
ϕ
n
0k
ksin 
Ta có C + iS = ∑
=
ϕ
n
0k
ike = 
1e
1e
i
)1n(i
−
−
ϕ
ϕ+
Suy ra C = 
1cos
1cosncos)1ncos(
2
1
−ϕ
−ϕ+ϕ−ϕ+
 và S = 
1cos
sinnsin)1nsin(
2
1
−ϕ
ϕ−ϕ−ϕ+
• Số phức w gọi là căn bậc n của số phức z và kí hiệu là w = n z nếu z = wn 
Nếu z = 0 thì w = 0 
Xét tr−ờng hợp z = reiϕ ≠ 0 và w = ρeiθ 
Theo định nghĩa wn = ρneinθ = reiϕ 
Suy ra ρn = r và nθ = ϕ + m2pi 
Hay ρ = n r và θ = 
n
ϕ
 + m
n
2pi với m ∈ 9 
Phân tích m = nq + k với 0 ≤ k < n và q ∈ 9. Ta có 
n
ϕ
 + m
n
2pi ≡ 
n
ϕ
 + k
n
2pi [2pi] 
Từ đó suy ra định lý sau đây. 
Định lý Căn bậc n của số phức khác không có đúng n giá trị khác nhau 
 wk = 
n r [cos (
n
ϕ
 + k
n
2pi ) + isin(
n
ϕ
 + k
n
2pi )] với k = 0 ... (n - 1) (1.3.7) 
Ví dụ 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Ch−ơng 1. Số Phức 
Trang 10 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 
1. Số phức z = 1 + i = 2 (cos
4
pi + isin
4
pi ) có các căn bậc 3 sau đây 
w0 = 
6 2 (cos
12
pi + isin
12
pi ), w1 = 
6 2 (cos
12
9pi + isin
12
9pi ), w2 = 
6 2 (cos
12
17pi + isin
12
17pi ) 
2. Giải ph−ơng trình x2 - x +1 = 0 
Ta có ∆ = -3 < 0 ph−ơng trình có nghiệm phức x1,2 = 
2
3i1 ±
Hệ quả Kí hiệu ωk = 
n
2
ik
e
pi
, k = 0...(n - 1) là các căn bậc n của đơn vị. 
1. kω = ωn-k 2. ωk = (ω1)
k 3. ∑
−
=
ω
1n
0k
k = 0 
Ví dụ Với n = 3, kí hiệu j = 3
2
i
e
pi
= ω1 . Suy ra ω2 = j
2 = j và 1 + j + j2 = 0 
Đ4. Các ứng dụng hình học phẳng 
• Kí hiệu V là mặt phẳng vectơ với cơ sở trực chuẩn d−ơng (i, j). Anh xạ 
 Φ : ∀ → V, z = x + iy α v = xi + yj (1.4.1) 
là một song ánh gọi là biểu diễn vectơ của số phức. Vectơ v gọi là ảnh của số phức z, 
còn số phức z gọi là toạ vị phức của vectơ v và kí hiệu là v(z). 
Kí hiệu P là mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy). Anh xạ 
 Φ : ∀ → P, z = x + iy α M(x, y) (1.4.2) 
là một song ánh gọi là biểu diễn hình học của số phức. Điểm M gọi là ảnh của số phức z 
còn số phức z gọi là toạ vị phức của điểm M và kí hiệu là M(z). 
Nh− hình bên, M(z) với z ...  hạn và liên tục......................................................................................................................... 23 
Đ3. Đạo hàm phức................................................................................................................................. 25 
Đ4. Hàm giải tích .................................................................................................................................. 27 
Đ5. Hàm luỹ thừa .................................................................................................................................. 28 
Đ6. Hàm mũ .......................................................................................................................................... 30 
Đ7. Hàm l−ợng giác............................................................................................................................... 31 
Đ8. Biến hình bảo giác ......................................................................................................................... 32 
Đ9. Hàm tuyến tính và hàm nghịch đảo ................................................................................................ 34 
Đ10. Hàm phân tuyến tính và hàm Jucop .............................................................................................. 36 
Đ11. Các ví dụ biến hình bảo giác......................................................................................................... 37 
Bài tập ch−ơng 2 .................................................................................................................................... 40 
Ch−ơng 3. Tích Phân Phức ......................................................................................................................... 43 
Đ1. Tích phân phức................................................................................................................................ 43 
Đ2. Các tính chất của tích phân phức .................................................................................................... 44 
Đ3. Định lý Cauchy ............................................................................................................................... 46 
Đ4. Công thức tích phân Cauchy ........................................................................................................... 48 
Đ5. Tích phân Cauchy ........................................................................................................................... 50 
Đ6. Định lý trị trung bình ...................................................................................................................... 52 
Đ7. Hàm điều hoà.................................................................................................................................. 54 
Bài tập ch−ơng 3 .................................................................................................................................... 57 
Ch−ơng 4. CHUỗI hàm PHứC và Thặng d−................................................................................................ 59 
Đ1. Chuỗi hàm phức.............................................................................................................................. 59 
Đ2. Chuỗi luỹ thừa phức........................................................................................................................ 61 
Đ3. Chuỗi Taylor ................................................................................................................................... 63 
Đ4. Không điểm của hàm giải tích ........................................................................................................ 64 
Đ5. Chuỗi Laurent ................................................................................................................................. 66 
Đ6. Phân loại điểm bất th−ờng .............................................................................................................. 67 
Đ7. Thặng d− ......................................................................................................................................... 69 
Đ8. Thặng d− Loga............................................................................................................................... 71 
Đ9. Các ứng dụng thặng d− ................................................................................................................... 73 
Bài tập ch−ơng 4 .................................................................................................................................... 76 
Ch−ơng 5. Biến đổi fourier và Biến đổi laplace .......................................................................................... 79 
Đ1. Tích phân suy rộng ......................................................................................................................... 79 
Đ2. Các bổ đề Fourier............................................................................................................................ 81 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
 Trang 158 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 
Đ3. Biến đổi Fourier...............................................................................................................................83 
Đ4. Tính chất của biến đổi Fourier ........................................................................................................85 
Đ5. Tìm ảnh, gốc của biến đổi Fourier ..................................................................................................87 
Đ6. Biến đổi Laplace..............................................................................................................................91 
Đ7. Biến đổi Laplace ng−ợc ...................................................................................................................92 
Đ8. Tính chất của Biến đổi Laplace .......................................................................................................94 
Đ9. Tìm ảnh, gốc của biến đổi Laplace..................................................................................................96 
Bài tập ch−ơng 5.....................................................................................................................................99 
Ch−ơng 6. Lý thuyết tr−ờng ......................................................................................................................101 
Đ1. Tr−ờng vô h−ớng ...........................................................................................................................101 
Đ2. Gradient.........................................................................................................................................102 
Đ3. Tr−ờng vectơ .................................................................................................................................103 
Đ4. Thông l−ợng ..................................................................................................................................104 
Đ5. Hoàn l−u........................................................................................................................................106 
Đ6. Toán tử Hamilton ..........................................................................................................................107 
Đ7. Tr−ờng thế .....................................................................................................................................108 
Đ8. Tr−ờng ống....................................................................................................................................110 
Bài tập ch−ơng 6...................................................................................................................................111 
Ch−ơng 7. Ph−ơng trình truyền sóng.........................................................................................................113 
Đ1. Ph−ơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 ................................................................................113 
Đ2. Ph−ơng trình vật lý - toán ..............................................................................................................116 
Đ3. Các bài toán cơ bản .......................................................................................................................118 
Đ4. Bài toán Cauchy thuần nhất...........................................................................................................120 
Đ5. Bài toán Cauchy không thuần nhất ................................................................................................122 
Đ6. Bài toán giả Cauchy.......................................................................................................................124 
Đ7. Bài toán hỗn hợp thuần nhất ..........................................................................................................126 
Đ8. Bài toán hỗn hợp không thuần nhất ...............................................................................................128 
Bài tập ch−ơng 7...................................................................................................................................131 
Ch−ơng 8. Ph−ơng trình truyền nhiệt ........................................................................................................133 
Đ1. Bài toán Cauchy thuần nhất...........................................................................................................133 
Đ2. Bài toán Cauchy không thuần nhất ................................................................................................135 
Đ3. Bài toán giả Cauchy.......................................................................................................................137 
Đ4. Bài toán hỗn hợp thuần nhất ..........................................................................................................140 
Đ5. Bài toán hỗn hợp không thuần nhất ...............................................................................................142 
Đ6. Bài toán Dirichlet trong hình tròn..................................................................................................144 
Đ7. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật ..........................................................................................147 
Đ8. Bài toán Neumann .........................................................................................................................150 
Bài tập ch−ơng 8...................................................................................................................................153 
Tài Liệu Tham Khảo.................................................................................................................................156 
Mục lục.....................................................................................................................................................157 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -