Giáo trình lớp Toán chuyên đề

Bïi TuÊn Khang 
§¹i häc §µ n½ng 2004 
• Hµm BiÕn Phøc 
• Ph−¬ng Tr×nh VËt Lý - To¸n 
 Lêi nãi ®Çu 
Gi¸o tr×nh nµy ®−îc biªn so¹n nh»m trang bÞ c¸c tri thøc to¸n häc cèt yÕu ®Ó lµm c«ng 
cô häc tËp vµ nghiªn cøu c¸c m«n häc chuyªn ngµnh cho sinh viªn c¸c ngµnh kü thuËt 
thuéc §¹i häc §µ n½ng. Néi dung gi¸o tr×nh gåm cã 8 ch−¬ng víi thêi l−îng 60 tiÕt (4 
®¬n vÞ häc tr×nh) ®−îc chia lµm hai chuyªn ®Ò nhá. 
Chuyªn ®Ò Hµm biÕn phøc gåm 5 ch−¬ng 
Ch−¬ng 1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ sè phøc, dAy trÞ phøc, hµm trÞ phøc vµ c¸c 
tËp con cña tËp sè phøc. 
Ch−¬ng 2 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ hµm trÞ phøc, ®¹o hµm phøc, c¸c hµm gi¶i 
tÝch s¬ cÊp vµ phÐp biÕn h×nh b¶o gi¸c. 
Ch−¬ng 3 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ tÝch ph©n phøc, ®Þnh lý tÝch ph©n Cauchy vµ 
c¸c hÖ qu¶ cña nã. 
Ch−¬ng 4 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ chuçi hµm phøc, khai triÓn Taylor, khai triÓn 
Laurent, lý thuyÕt thÆng d− vµ c¸c øng dông cña nã. 
Ch−¬ng 5 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n, c¸c tÝnh chÊt, c¸c ph−¬ng ph¸p t×m ¶nh - gèc vµ 
c¸c øng dông cña biÕn ®æi Fourier vµ biÕn ®æi Laplace. 
Chuyªn ®Ò Ph−¬ng tr×nh vËt lý To¸n gåm cã 3 ch−¬ng 
Ch−¬ng 6 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt tr−êng : Tr−êng v« h−íng, tr−êng 
vect¬, th«ng l−îng, hoµn l−u vµ to¸n tö vi ph©n cÊp 1. 
Ch−¬ng 7 C¸c bµi to¸n c¬ b¶n cña ph−¬ng tr×nh vËt lý - to¸n, bµi to¸n Cauchy 
vµ bµi to¸n hçn hîp cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng. 
Ch−¬ng 8 Bµi to¸n Cauchy vµ bµi to¸n hçn hîp cña ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt, 
bµi to¸n Dirichlet vµ bµi to¸n Neumann cña ph−¬ng tr×nh Laplace. 
T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c b¹n ®ång nghiÖp GVC. NguyÔn Trinh, GVC. Lª Phó 
NghÜa vµ GVC. TS. Lª Hoµng TrÝ ®A dµnh thêi gian ®äc b¶n th¶o vµ cho c¸c ý kiÕn ®ãng 
gãp ®Ó hoµn thiÖn gi¸o tr×nh. 
Gi¸o tr×nh ®−îc biªn so¹n lÇn ®Çu ch¾c cßn cã nhiÒu thiÕu sãt. RÊt mong nhËn ®−îc ý 
kiÕn ®ãng gãp cña b¹n ®äc gÇn xa. 
§µ n½ng 2004 
T¸c gi¶ 
 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 5 
Ch−¬ng 1 
Sè phøc 
§1. Tr−êng sè phøc 
• KÝ hiÖu ∀ = 3 × 3 = { (x, y) : x, y ∈ 3 }. Trªn tËp ∀ ®Þnh nghÜa phÐp to¸n céng vµ phÐp 
to¸n nh©n nh− sau 
∀ (x, y), (x’, y’) ∈ ∀ 
(x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’) 
(x, y) × (x’, y’) = (xx’ - yy’, xy’ + x’y) (1.1.1) 
VÝ dô (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) vµ (2, 1) × (-1, 1) = (-3, 1) 
§Þnh lý (∀, +, × ) lµ mét tr−êng sè. 
Chøng minh 
KiÓm tra trùc tiÕp c¸c c«ng thøc (1.1.1) 
PhÐp to¸n céng cã tÝnh giao ho¸n, tÝnh kÕt hîp, cã phÇn tö kh«ng lµ (0, 0) 
 ∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) + (0, 0) = (x, y) 
Mäi phÇn tö cã phÇn tö ®èi lµ -(x, y) = (-x, -y) 
∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) + (-x, -y) = (0, 0) 
PhÐp to¸n nh©n cã tÝnh giao ho¸n, tÝnh kÕt hîp, cã phÇn tö ®¬n vÞ lµ (1, 0) 
 ∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) × (1, 0) = (x, y) 
Mäi phÇn tö kh¸c kh«ng cã phÇn tö nghÞch ®¶o lµ (x, y)-1 = (
22 yx
x
+
,
22 yx
y
+
−
) 
∀ (x, y) ∈ ∀ - {(0, 0)}, (x, y) × (
22 yx
x
+
,
22 yx
y
+
−
) = (1, 0) 
Ngoµi ra phÐp nh©n lµ ph©n phèi víi phÐp céng 
 
• Tr−êng (∀, +, × ) gäi lµ tr−êng sè phøc, mçi phÇn tö cña ∀ gäi lµ mét sè phøc. 
Theo ®Þnh nghÜa trªn mçi sè phøc lµ mét cÆp hai sè thùc víi c¸c phÐp to¸n thùc hiÖn 
theo c«ng thøc (1.1.1). Trªn tr−êng sè phøc phÐp trõ, phÐp chia vµ phÐp luü thõa ®Þnh 
nghÜa nh− sau. 
∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀* víi ∀* = ∀ - { (0, 0) } 
z - z’ = z + (- z’), 
'z
z
 = z × (z’)-1 vµ z0 = 1, z1 = z vµ zn = zn-1 × z (1.1.2) 
• B»ng c¸ch ®ång nhÊt sè thùc x víi sè phøc (x, 0) 
Ch−¬ng 1. Sè Phøc 
Trang 6 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò 
x ≡ (x, 0), 1 ≡ (1, 0) vµ 0 ≡ (0, 0) 
tËp sè thùc trë thµnh tËp con cña tËp sè phøc. PhÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè phøc h¹n 
chÕ lªn tËp sè thùc trë thµnh phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè thùc quen thuéc. 
 x + x’ ≡ (x, 0) + (x’, 0) = (x + x’, 0) ≡ x + x’, ... 
Ngoµi ra trong tËp sè phøc cßn cã c¸c sè kh«ng ph¶i lµ sè thùc. KÝ hiÖu i = (0, 1) gäi lµ 
®¬n vÞ ¶o. Ta cã 
i2 = (0, 1) × (0, 1) = (-1, 0) ≡ -1 
Suy ra ph−¬ng tr×nh x2 + 1 = 0 cã nghiÖm phøc lµ x = 1− ∉ 3. 
Nh− vËy tr−êng sè thùc (3, +, ×) lµ mét tr−êng con thùc sù cña tr−êng sè phøc (∀, +, ×). 
§2. D¹ng ®¹i sè cña sè phøc 
• Víi mäi sè phøc z = (x, y) ph©n tÝch 
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) 
§ång nhÊt ®¬n vÞ thùc (1, 0) ≡ 1 vµ ®¬n vÞ ¶o (0, 1) ≡ i, ta cã 
z = x + iy (1.2.1) 
D¹ng viÕt (1.2.1) gäi lµ d¹ng ®¹i sè cña sè phøc. Sè thùc x = Rez gäi lµ phÇn thùc, sè 
thùc y = Imz gäi lµ phÇn ¶o vµ sè phøc z = x - iy gäi lµ liªn hîp phøc cña sè phøc z. 
KÕt hîp c¸c c«ng thøc (1.1.1) - (1.2.1) suy ra d¹ng ®¹i sè cña c¸c phÐp to¸n sè phøc. 
 (x + iy) + (x’ + iy’) = (x + x’) + i(y + y’) 
 (x + iy) × (x’ + iy’) = (xx’ - yy’) + i(xy’ + x’y) 
yix
iyx
′+′
+
 = 
22 yx
yyxx
′+′
′+′
 + i
22 yx
yxyx
′+′
′−′
, ... (1.2.2) 
VÝ dô Cho z = 1 + 2i vµ z’ = 2 - i 
 z × z’ = (2 + 2) + i(-1 + 4) = 4 + 3i, 
'z
z
 = 
i2
i21
−
+
 = i 
 z2 = (1 + 2i) × (1 + 2i) = -3 + 5i, z3 = z2 × z = (-3 + 5i) × (1 + 2i) = -13 - i 
• Tõ ®Þnh nghÜa suy ra 
z = z ⇔ z ∈ 3 z = - z ⇔ z ∈ i3 z = z 
z + z = 2Rez z - z = 2iImz z z = Re2z + Im2z (1.2.3) 
Ngoµi ra liªn hîp phøc cßn cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. 
§Þnh lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀ 
Ch−¬ng 1. Sè Phøc 
Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 7 
1. 'zz + = z + 'z 
2. 'zz = z 'z nz = n)z( 
3. 1z − = 1)z( − 
z
z
′
 = 
z
z
′
Chøng minh 
1. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa 
2. Ta cã 'zz = )yix(iy) (x ′+′×+ = (xx’ - yy’) - i(xy’ + x’y) 
 z 'z = (x - iy) × (x’ - iy’) = (xx’ - yy’) + i(-xy’ -x’y) 
Qui n¹p suy ra hÖ thøc thø hai. 
3. Ta cã 1zz − = z 1z − = 1 ⇒ 1z − = ( z )-1 
Suy ra z/z ′ = 1)z(z −′ = z 1z −′ 
 
• Víi mäi sè phøc z = x + iy, sè thùc | z | = 22 yx + gäi lµ module cña sè phøc z. 
NÕu z = x ∈ 3 th× | z | = | x |. Nh− vËy module cña sè phøc lµ më réng tù nhiªn cña kh¸i 
niÖm trÞ tuyÖt ®èi cña sè thùc. Tõ ®Þnh nghÜa suy ra 
 | Rez |, | Imz | ≤ | z | | z | = | -z | = | z | = | - z | z z = z z = | z |2 
z-1 = z
|z|
1
2
'z
z
 = z(z’)-1 = 
2|'z|
1
z 'z (1.2.4) 
Ngoµi ra module cña sè phøc cßn cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. 
§Þnh lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀ 
1. | z | ≥ 0 | z | = 0 ⇔ z = 0 
2. | z z’ | = | z || z’ | | zn | = | z |n 
3. | z-1 | = | z |-1 
z
z
′
 = 
|z|
|z|
′
4. | z + z’ | ≤ | z | + | z’ | || z | - | z’|| ≤ | z - z’ | 
Chøng minh 
1. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa 
2. Ta cã | zz’ |2 = zz’ 'zz = (z z )(z’ z′ ) = (| z || z’| )2 
Qui n¹p suy ra hÖ thøc thø hai. 
3. Ta cã | z z-1 | = | z || z-1| = 1 ⇒ | z-1 | = 1 / | z | 
Suy ra | z / z’ | = | z (z’)-1 | = | z | | (z’)-1 | 
4. Ta cã z z′ + z z’ = 2Re(z z′ ) ≤ | z z′ = | z || z’| 
Suy ra | z + z’ 2 = (z + z’)( 'zz + ) =  z 2 + 2Re(z z′ ) + | z’|2 ≤ (| z | + | z’|)2 
 
§3. D¹ng l−îng gi¸c cña sè phøc 
Ch−¬ng 1. Sè Phøc 
Trang 8 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò 
• Víi mäi sè phøc z = x + iy ∈ ∀* tån t¹i duy nhÊt sè thùc ϕ ∈ (-pi, pi] sao cho 
cosϕ = 
|z|
x
 vµ sinϕ = 
|z|
y
 (1.3.1) 
TËp sè thùc Argz = ϕ + k2pi, k ∈ 9 gäi lµ argument, sè thùc argz = ϕ gäi lµ argument 
chÝnh cña sè phøc z. Chóng ta qui −íc Arg(0) = 0. 
KÝ hiÖu r = | z | tõ c«ng thøc (1.3.1) suy ra 
 x = rcosϕ vµ y = rsinϕ 
Thay vµo c«ng thøc (1.2.1) nhËn ®−îc 
z = r(cos + isinϕ) (1.3.2) 
D¹ng viÕt (1.3.2) gäi lµ d¹ng l−îng gi¸c cña sè phøc. 
• Tõ ®Þnh nghÜa suy ra 
 argz = ϕ ⇒ arg(-z) = ϕ - pi, arg z = - ϕ vµ arg(- z ) = pi - ϕ 
 x > 0, argx = 0 x < 0, argx = pi 
 y > 0, arg(iy) = pi/2 y < 0, arg(iy) = -pi/2 ... (1.3.3) 
Ngoµi ra argument cña sè phøc cßn cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. 
§Þnh lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀ 
1. arg(zz’) = argz + argz’ [2pi] arg(zn) = n argz [2pi] 
2. arg(z-1) = - argz [2pi] arg(z / z’) = argz - argz’ [2pi] 
Chøng minh 
1. Gi¶ sö z = r(cosϕ + isinϕ) vµ z’ = r’(cosϕ’ + isinϕ’) 
Suy ra 
zz’ = rr’[(cosϕcosϕ’ - sinϕsinϕ’) + i(sinϕcosϕ’ + cosϕsinϕ’)] 
 = rr’[cos(ϕ + ϕ’) + isin(ϕ + ϕ’)] 
Qui n¹p suy ra hÖ thøc thø hai. 
2. Ta cã 
arg(zz-1) = arg(z) + arg(z-1) = 0 [2pi] ⇒ arg(z-1) = - arg(z) [2pi] 
Suy ra 
arg(z / z’) = arg(zz’-1) = argz + arg(z’-1) 
 
VÝ dô Cho z = 1 + i vµ z’ = 1 + 3 i 
Ta cã zz’ = [ 2 (cos
4
pi + isin
4
pi )][2(cos
6
pi + isin
6
pi )] = 2 2 (cos
12
5pi + isin
12
5pi ) 
 z100 = ( 2 )100[cos(100
4
pi ) + isin(100
4
pi )] = -250 
• Víi mäi sè thùc ϕ ∈ 3, kÝ hiÖu 
eiϕ = cosϕ + i sinϕ (1.3.4) 
Ch−¬ng 1. Sè Phøc 
Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 9 
Theo c¸c kÕt qu¶ ë trªn chóng ta cã ®Þnh lý sau ®©y. 
§Þnh lý ∀ (n, ϕ, ϕ’) ∈ ∠ × 3 × 3 
1. eiϕ ≠ 0 eiϕ = 1 ⇔ ϕ = k2pi ϕie = e-iϕ 
2. ei(ϕ+ϕ’) = eiϕeiϕ’ (eiϕ)-1 = e-iϕ (eiϕ)n = einϕ 
Chøng minh 
Suy ra tõ c«ng thøc (1.3.4) vµ c¸c kÕt qu¶ ë trªn 
 
HÖ qu¶ ∀ (n, ϕ) ∈ ∠ × 3 
1. (cosϕ + isinϕ)n = cosnϕ + isinnϕ (1.3.5) 
2. cosϕ = 
2
1
(eiϕ + e-iϕ) sinϕ = 
i2
1
(eiϕ - e-iϕ) (1.3.6) 
C«ng thøc (1.3.5) gäi lµ c«ng thøc Moivre, c«ng thøc (1.3.6) gäi lµ c«ng thøc Euler. 
VÝ dô TÝnh tæng C = ∑
=
ϕ
n
0k
kcos vµ S = ∑
=
ϕ
n
0k
ksin 
Ta cã C + iS = ∑
=
ϕ
n
0k
ike = 
1e
1e
i
)1n(i
−
−
ϕ
ϕ+
Suy ra C = 
1cos
1cosncos)1ncos(
2
1
−ϕ
−ϕ+ϕ−ϕ+
 vµ S = 
1cos
sinnsin)1nsin(
2
1
−ϕ
ϕ−ϕ−ϕ+
• Sè phøc w gäi lµ c¨n bËc n cña sè phøc z vµ kÝ hiÖu lµ w = n z nÕu z = wn 
NÕu z = 0 th× w = 0 
XÐt tr−êng hîp z = reiϕ ≠ 0 vµ w = ρeiθ 
Theo ®Þnh nghÜa wn = ρneinθ = reiϕ 
Suy ra ρn = r vµ nθ = ϕ + m2pi 
Hay ρ = n r vµ θ = 
n
ϕ
 + m
n
2pi víi m ∈ 9 
Ph©n tÝch m = nq + k víi 0 ≤ k < n vµ q ∈ 9. Ta cã 
n
ϕ
 + m
n
2pi ≡ 
n
ϕ
 + k
n
2pi [2pi] 
Tõ ®ã suy ra ®Þnh lý sau ®©y. 
§Þnh lý C¨n bËc n cña sè phøc kh¸c kh«ng cã ®óng n gi¸ trÞ kh¸c nhau 
 wk = 
n r [cos (
n
ϕ
 + k
n
2pi ) + isin(
n
ϕ
 + k
n
2pi )] víi k = 0 ... (n - 1) (1.3.7) 
VÝ dô 
Ch−¬ng 1. Sè Phøc 
Trang 10 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò 
1. Sè phøc z = 1 + i = 2 (cos
4
pi + isin
4
pi ) cã c¸c c¨n bËc 3 sau ®©y 
w0 = 
6 2 (cos
12
pi + isin
12
pi ), w1 = 
6 2 (cos
12
9pi + isin
12
9pi ), w2 = 
6 2 (cos
12
17pi + isin
12
17pi ) 
2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x2 - x +1 = 0 
Ta cã ∆ = -3 < 0 ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm phøc x1,2 = 
2
3i1 ±
HÖ qu¶ KÝ hiÖu ωk = 
n
2
ik
e
pi
, k = 0...(n - 1) lµ c¸c c¨n bËc n cña ®¬n vÞ. 
1. kω = ωn-k 2. ωk = (ω1)
k 3. ∑
−
=
ω
1n
0k
k = 0 
VÝ dô Víi n = 3, kÝ hiÖu j = 3
2
i
e
pi
= ω1 . Suy ra ω2 = j
2 = j vµ 1 + j + j2 = 0 
§4. C¸c øng dông h×nh häc ph¼ng 
• KÝ hiÖu V lµ mÆt ph¼ng vect¬ víi c¬ së trùc chuÈn d−¬ng (i, j). Anh x¹ 
 Φ : ∀ → V, z = x + iy α v = xi + yj (1.4.1) 
lµ mét song ¸nh gäi lµ biÓu diÔn vect¬ cña sè phøc. Vect¬ v gäi lµ ¶nh cña sè phøc z, 
cßn sè phøc z gäi lµ to¹ vÞ phøc cña vect¬ v vµ kÝ hiÖu lµ v(z). 
KÝ hiÖu P lµ mÆt ph¼ng ®iÓm víi hÖ to¹ ®é trùc giao (Oxy). Anh x¹ 
 Φ : ∀ → P, z = x + iy α M(x, y) (1.4.2) 
lµ mét song ¸nh gäi lµ biÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc. §iÓm M gäi lµ ¶nh cña sè phøc z 
cßn sè phøc z gäi lµ to¹ vÞ phøc cña ®iÓm M vµ kÝ hiÖu lµ M(z). 
Nh− h×nh bªn, M(z) víi z = x + iy, M1(- z ), M2(-z) vµ M3( z ). 
NÕu z = x ∈ 3 th× ®iÓm M(z) ∈ (Ox), cßn nÕu z = iy th× ®iÓm 
M(z) ∈ (Oy). Do vËy mÆt ph¼ng (Oxy) cßn gäi lµ mÆt ph¼ng 
phøc, trôc (Ox) lµ trôc thùc vµ trôc (Oy) lµ trôc ¶o. Sau nµy 
chóng ta sÏ ®ång nhÊt mçi sè phøc víi mét vect¬ hay mét ®iÓm 
trong mÆt ph¼ng vµ ng−îc l¹i. 
§Þnh lý Cho c¸c vect¬ u(a), v(b) ∈  ... ........................................................................................ 22 
§2. Giíi h¹n vµ liªn tôc......................................................................................................................... 23 
§3. §¹o hµm phøc................................................................................................................................. 25 
§4. Hµm gi¶i tÝch .................................................................................................................................. 27 
§5. Hµm luü thõa .................................................................................................................................. 28 
§6. Hµm mò .......................................................................................................................................... 30 
§7. Hµm l−îng gi¸c............................................................................................................................... 31 
§8. BiÕn h×nh b¶o gi¸c ......................................................................................................................... 32 
§9. Hµm tuyÕn tÝnh vµ hµm nghÞch ®¶o ................................................................................................ 34 
§10. Hµm ph©n tuyÕn tÝnh vµ hµm Jucop .............................................................................................. 36 
§11. C¸c vÝ dô biÕn h×nh b¶o gi¸c......................................................................................................... 37 
Bµi tËp ch−¬ng 2 .................................................................................................................................... 40 
Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc ......................................................................................................................... 43 
§1. TÝch ph©n phøc................................................................................................................................ 43 
§2. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n phøc .................................................................................................... 44 
§3. §Þnh lý Cauchy ............................................................................................................................... 46 
§4. C«ng thøc tÝch ph©n Cauchy ........................................................................................................... 48 
§5. TÝch ph©n Cauchy ........................................................................................................................... 50 
§6. §Þnh lý trÞ trung b×nh ...................................................................................................................... 52 
§7. Hµm ®iÒu hoµ.................................................................................................................................. 54 
Bµi tËp ch−¬ng 3 .................................................................................................................................... 57 
Ch−¬ng 4. CHUçI hµm PHøC vµ ThÆng d−................................................................................................ 59 
§1. Chuçi hµm phøc.............................................................................................................................. 59 
§2. Chuçi luü thõa phøc........................................................................................................................ 61 
§3. Chuçi Taylor ................................................................................................................................... 63 
§4. Kh«ng ®iÓm cña hµm gi¶i tÝch ........................................................................................................ 64 
§5. Chuçi Laurent ................................................................................................................................. 66 
§6. Ph©n lo¹i ®iÓm bÊt th−êng .............................................................................................................. 67 
§7. ThÆng d− ......................................................................................................................................... 69 
§8. ThÆng d− Loga............................................................................................................................... 71 
§9. C¸c øng dông thÆng d− ................................................................................................................... 73 
Bµi tËp ch−¬ng 4 .................................................................................................................................... 76 
Ch−¬ng 5. BiÕn ®æi fourier vµ BiÕn ®æi laplace .......................................................................................... 79 
§1. TÝch ph©n suy réng ......................................................................................................................... 79 
§2. C¸c bæ ®Ò Fourier............................................................................................................................ 81 
 Trang 158 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò 
§3. BiÕn ®æi Fourier...............................................................................................................................83 
§4. TÝnh chÊt cña biÕn ®æi Fourier ........................................................................................................85 
§5. T×m ¶nh, gèc cña biÕn ®æi Fourier ..................................................................................................87 
§6. BiÕn ®æi Laplace..............................................................................................................................91 
§7. BiÕn ®æi Laplace ng−îc ...................................................................................................................92 
§8. TÝnh chÊt cña BiÕn ®æi Laplace .......................................................................................................94 
§9. T×m ¶nh, gèc cña biÕn ®æi Laplace..................................................................................................96 
Bµi tËp ch−¬ng 5.....................................................................................................................................99 
Ch−¬ng 6. Lý thuyÕt tr−êng ......................................................................................................................101 
§1. Tr−êng v« h−íng ...........................................................................................................................101 
§2. Gradient.........................................................................................................................................102 
§3. Tr−êng vect¬ .................................................................................................................................103 
§4. Th«ng l−îng ..................................................................................................................................104 
§5. Hoµn l−u........................................................................................................................................106 
§6. To¸n tö Hamilton ..........................................................................................................................107 
§7. Tr−êng thÕ .....................................................................................................................................108 
§8. Tr−êng èng....................................................................................................................................110 
Bµi tËp ch−¬ng 6...................................................................................................................................111 
Ch−¬ng 7. Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng.........................................................................................................113 
§1. Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 ................................................................................113 
§2. Ph−¬ng tr×nh vËt lý - to¸n ..............................................................................................................116 
§3. C¸c bµi to¸n c¬ b¶n .......................................................................................................................118 
§4. Bµi to¸n Cauchy thuÇn nhÊt...........................................................................................................120 
§5. Bµi to¸n Cauchy kh«ng thuÇn nhÊt ................................................................................................122 
§6. Bµi to¸n gi¶ Cauchy.......................................................................................................................124 
§7. Bµi to¸n hçn hîp thuÇn nhÊt ..........................................................................................................126 
§8. Bµi to¸n hçn hîp kh«ng thuÇn nhÊt ...............................................................................................128 
Bµi tËp ch−¬ng 7...................................................................................................................................131 
Ch−¬ng 8. Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ........................................................................................................133 
§1. Bµi to¸n Cauchy thuÇn nhÊt...........................................................................................................133 
§2. Bµi to¸n Cauchy kh«ng thuÇn nhÊt ................................................................................................135 
§3. Bµi to¸n gi¶ Cauchy.......................................................................................................................137 
§4. Bµi to¸n hçn hîp thuÇn nhÊt ..........................................................................................................140 
§5. Bµi to¸n hçn hîp kh«ng thuÇn nhÊt ...............................................................................................142 
§6. Bµi to¸n Dirichlet trong h×nh trßn..................................................................................................144 
§7. Bµi to¸n Dirichlet trong h×nh ch÷ nhËt ..........................................................................................147 
§8. Bµi to¸n Neumann .........................................................................................................................150 
Bµi tËp ch−¬ng 8...................................................................................................................................153 
Tµi LiÖu Tham Kh¶o.................................................................................................................................156 
Môc lôc.....................................................................................................................................................157