Giao điểm giao tuyến

Giao điểm giao tuyến
Lý thuyết cần nắm
³ C/m điểm thuộc mặt phẳng :
 Phương pháp : 
Để chứng minh điểm M mpta chứng minh :
³ Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau :
 Phương pháp : Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ta chứng minh chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng (Thường dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Giả sử hai đường thẳng đó không chéo nhau. Suy luận để suy ra điều vô lý. Vậy hai đường thẳng đó phải // với nhau)
³ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :
 Phương pháp : Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và ta dùng các cách sau :
 Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng
.
³ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
 Phương pháp : Để chứng minh 3 điểm : A, B, C thẳng hàng 
Ta chứng minh 3 điểm này cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt và 
A, B, C thuộc giao tuyến của và nên thẳng hàng
Thường CM như sau:, nên A, B, C thẳng hàng
³ Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy :
 Phương pháp : Để chứng minh 3 đường thẳng : a, b, c đồng quy ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Đặt I = giao điểm của a và b.
Bước 2 : Tìm hai mặt phẳng và nào đó sao cho 
c = giao tuyến của và .
Bước 3 : Chứng minh : 
 3 đường thẳng a, b, c cùng đi qua I nên đồng qui.
Hệ thống bài tập
1. Cho 4 điểm A, B, C, D khơng cùng nằm trong một mặt phẳng 
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD chéo nhau 
b) Trên các đoạn AB và AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD tại I. Hãy xét xem điểm I thuộc những mặt phẳng nào? Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD)
2.Trong mp a cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Gọi c là một đường thẳng cắt a tại điểm I khác O
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (O, c) và a
b) Gọi M là một điểm trên c khác I.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M,a) và (M,b). Chứng minh rằng giao tuyến này luơn luơn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c ( Mặt phẳng cố định là mặt phẳng xác định bởi các yếu tố cố định)
3. Cho hai mặt phẳng a và b cắt nhau theo giao tuyến d. Ta lấy hai điểmA, B thuộc mặt phẳng a nhưng khơng thuộc d và một điểm O nằm ngồi a và b. Các đường thẳng OA, OB lần lượt cắt b tại A’ và B’.Giả sử đường thẳng AB cắt d tại C
a)Chứng minh rằng ba điểm O, A, B khơng thẳng hàng
b)Chứng minh rằng ba điểm A’, B’, C thẳng hàng và từ đĩ suy ra ba đường thẳng AB, A’B’ và d đồng qui
4.Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN khơng //BC, MP khơng //AD. Tìm các giao tuyến sau: 
 a) (MNP)(ABC) b) (MNP)(ABD) c) (MNP)(BCD) d) (MNP)(ACD)
5.Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN khơng // BC,trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau: 
a) (MNI)(ABC) b) (MNI)(BCD) c) (MNI)(ABD) d) (MNI)(ACD)
 6.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy khơng phải hình thang. Tìm các giao tuyến sau: 
a) (SAC)(SBD) b) (SAB)(SCD) c) (SAD)(SBC)
7.Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M, N.Tìm các giao tuyến sau:
 a) (BMN)(ACD) b) (CMN)(ABD) c) (DMN)(ABC) 
8.Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I, trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm J, K.Tìm các giao tuyến sau: 
a) (ABJ)(ACD) b) (IJK)(ACD) c) (IJK)(ABD) d) (IJK)(ABC)
9.Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau b) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (JAD)
c) Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB; N là điểm nằm trên đoạn AC .Tìm giao tuyến: (IBC) (DMN)
10.Cho ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng và một điểm O nằm ngồi mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ là các điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng OA, BO, OC. Giả sử A’B’AB = D , B’C’BC = E , C’A’CA = F. Chứng minh rằng 3 điểm D, E, F thẳng hàng
11.Cho tứ diện ABCD. Gọi I là điểm nằm trên đường thẳng BD nhưng ngồi đoạn BD. Trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn AB và AD lần lượt tại K và L.Trong mặt phẳng (BCD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn CB và CD lần lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng 4 điểm K, L, M, N cùng thuộc một mặt phẳng 
b) Gọi O1= BNDM ; O2 = BLDK và J = LMKN. Chứng minh rằng ba điểm A, J, O1 thẳng hàng và ba điểm C, J, O2 cũng thẳng hàng
c) Giả sử hai đường thẳng KM và LN cắt nhau tại H. Chứng minh rằng điểm H nằm trên đường thẳng AC
12. Cho tứ diện ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB và ABC
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BB’ cùng nằm trong một mặt phẳng 
b) Gọi I là giao điểm của AA’ và BB’,chứng minh rằng : 
c) Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui.
13.Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho ¹ . Mặt phẳng (P) thay đổi luơn luơn đi qua MN cắt CD và BD lần lượt tại E và F
a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luơn luơn đi qua một điểm cố định
b) Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF c)Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE
14.Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, AC, AD sao cho = = = . Gọi I = MN ∩ BC và J = MP ∩ BD
a) Chứng minh rằng các đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng
b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CD và NI; H = MG ∩ BE ;K = GF ∩ mp(BCD). Chứng minh rằng các điểm H, K, I , J thẳng hàng.
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp: 
Bước 1: Chọn một mặt phẳng b chứa a (b gọi là mặt phẳng phụ)
Bước 2: Tìm giao tuyến d của a và b 
Bước 3: Gọi M là giao điểm của a với d thì M là giao điểm của a với a
1. Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AC,BC,BD lần lượt lấy các điểm M, N, K. Tìm các giao điểm sau:
 a) CD (MNK) b)AD (MNK)
2. Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC,BC lần lượt lấy các điểm M,N,P.Tìm các giao điểm sau:
 a) MN (ADP) b) BC (DMN)
3. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trong tam giác BCD lấy điểm N. Tìm các giao điểm sau:
a) BC(DMN) b) AC(DMN) c) MN(ACD) 
4. Cho hình chĩp S.ABCD. Trong tứ giác ABCD lấy một điểm O. Tìm giao điểm của AM với các mặt phẳng (SBC), (SCD) 
5. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC lấy 2 điểmM, N; trong tam giác BCD lấy điểm P.Tìm các giao điểm sau:
a) MP(ACD) b) AD(MNP) c) BD(MNP)
6. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy khơng phải hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm E
a)Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB ,CD và EF đồng qui 
5.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M ,trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm N,K.Tìm các giao tuyến sau: 
a) CD(ABK) b) MK(BCD) c) CD(MNK) d) AD(MNK)
7. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là một hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M, N và B
a) Tìm các giao tuyến (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC)
b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P)
c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC)
d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P). Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng
8.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC
a)Xác định I = AN ∩ (SBD) và J = MN ∩ (SBD)
b)Tính các tỉ số ; và 
9. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC
a) Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC)
b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
c) Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (AIJ)
10.Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I, J.Tìm các giao điểm sau: 
a) IJ (SBC) b) IJ(SAC)
11. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD.Tìm giao điểm của:
a)CD với mặt phẳng (MNP) b)AD với mặt phẳng (MNP)
12.Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB.Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
b) Gọi M là trung điểm IH.Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC)
13. Cho hình chĩp S.ABCD sao cho ABCD khơng phải là hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm M
a)Tìm giao điểm N của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB)
b)Chứng minh rằng ba đường thẳng AB,CD,MN đồng qui
14.Cho 2 hình thang ABCD và ABEF cĩ chung đáy lớn AB và khơng cùng nằm trong 1 mặt phẳng 
a)Xác định các giao tuyến sau : (AEC) (BFD) ; (BCE) (AFD)
b)Lấy 1 điểm M trên đoạn DF. Tìm giao điểm AM(BCE)
15.Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên cạnh BD, ta lấy điểm K sao cho BK = 2KD
a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng DE = DC
b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng FA = 2FD
c) Chứng minh rằng FK song song IJ
d) Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD.Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK)
16.Cho tứ diện SABC.Lấy các điểm A’, B’, C’lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho SA’ = SA ;SB’ = SB; SC’ = SC
a) Tìm giao điểm E,F của các đường thẳng A’B’ và A’C’ lần lượt với mặt phẳng (ABC)
b) Gọi I và J lần lượt là các điểm đối xứng của A’ qua B’ và C’. Chứng minh rằng IJ = BC và BI = CJ
c) Chứng minh rằng BC là đường trung bình của tam giác AEF
17*.Trong mặt phẳng a cho tam giác đều ABC. Gọi b là mặt phẳng cắt a theo giao tuyến BC.Trong mặt phẳng b ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx và Cy song song với nhau và nằm cùng một phía với a. Trên Bx và Cy ta lấy B’ và C’ sao cho BB’ = 2CC’
a)Tìm giao điểm D của đường thẳng BC với mặt phẳng (AB’C’) và tìm giao tuyến của mặt phẳng (AB’C’) với mặt phẳng a
b)Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M sao cho AM = AC’.Tìm giao điểm I của đường thẳng B’M với mặt phẳng a và chứng minh I là trung điểm của AD
c)Chứng minh rằng nếu B’ và C’ theo thứ tự chạy trên Bx và Cy sao cho BB’ = 2CC’ thì mặt phẳng (AB’C’) luơn luơn cắt a theo một giao tuyến cố định
d)Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC.Cạnh AC cắt DE tại G.
Hãy tính tỉ số và chứng minh rằng AD = 2AF
18.Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’
a)Dựng giao điểm D’ của mặt phẳng (P) với cạnh SD
b)Gọi I là giao điểm của A’C’ với SO. Chứng minh rằng : + = 2
c)Chứng minh rằng: + = + 
Dựng thiết diện với hình chĩp
Thiết diện của một hình chĩp với mặt phẳng a là phần chung của hình chĩp với mặt phẳng a
Phương pháp: 
Bước 1: Dựng giao tuyến của a với một mặt nào đĩ của hình chĩp 
Bước 2: Giới hạn đoạn giao tuyến là phần của giao tuyến nằm trong 
mặt đang xét của hình chĩp 
Bước 3: Tiếp tục hai bước trên với mặt khác của hình chĩp cho đến khi 
các đoạn giao tuyến khép kín tạo thành một đa giác,đa giác ấy là thiết diện
1. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, CD, AD lấy các điểm M, N, P. Dựng thiết diện của ABCD với mặt phẳng (MNP)
2. Cho hình chĩp S.ABCD Trên cạnh SD lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (BCM)
3. Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lấy 2 điểm M, N; trong tam giác BCD lấy điểm I. Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (MNI)
4. Cho hình chĩp S.ABCD trên các cạnh SA, AB, BC lấy các điểm M, N, P. Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt  ... SAB là 1 tam giác vuơng cân tại A.Trên cạnh AD ta lấy 1 điểm M, đặt AM = x. Mặt phẳng a qua M và //mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q (0 < x < 2a)
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuơng b) Tính diện tích MNPQ theo a và x
c) Gọi I = MQ NP.Tìm tập hợp điểm I khi M chạy trên cạnh AD 
13.Cho hình chĩp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD
a) Xác định giao điểm K = BI (SAC)
b) Trên IC lấy điểm H sao cho HC=2HI. Chứng minh KH//(SAD)
c) Gọi N là điểm trên SI sao cho SN=2NI. Chứng minh (KHN)//(SBC)
d) Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (KHN)
14. Cho hc S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SC, AB, AD
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBC) và (SAD)
b) Tìm giao điểm I của AM (SBD)
c) Gọi J = BP AC .Chứng minh rằng IJ // (SAB)
d) Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (MNP)
Hình chĩp
1.Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA ^(ABC), SA = a. Tam giác ABC vuơng tại B, gĩc C = 60o, BC = a.
a) Chứng minh rằng 4 mặt của hình chĩp là tam giác vuơng. Tính Stp b) Tính VS.ABC 
c) Từ A kẻ AH ^ SB ,AK ^ SC. Chứng minh rằng SC ^(AHK) và DAHK vuơng. d) Tính thể tích VS.AHK
2.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình vuơng cạnh a. Đường cao SA = a, M là trung điểm của SB
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chĩp là tam giác vuơng. Tính diện tích tồn phần hình chĩp S.ABCD
b) Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (ADM).Tính diện tích thiết diện 
c) Thiết diện chia hình chĩp làm hai hình đa diện,tính thể tích các khối đa diện ấy
3. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy và mặt bên SAB là các tam giác đều cạnh a.Chân đường cao SH của hình chĩp đối xứng với tâm O của đáy qua cạnh AB
a) Chứng minh rằng các mặt bên SAC và SBC là các tam giác vuơng
b) Tính diện tích tồn phần của hình chĩp S.ABC
c) Tính gĩc giữa các mặt bên và đáy
d) Tính thể tích VS.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)
4. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình chữ nhật ,SA ^(ABCD), SC = a.Cạnh AC và SC lần lượt tạo với đáy các gĩc a = 60o , b = 45o
a) Xác định các gĩc a, b b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chĩp S.ABCD
5. Cho hình chĩp S.ABC cĩ (SAB)^(ABC), tam giác SAB đều và tam giác ABC vuơng tại C ,gĩc BAC = 30o 
a) Tính chiều cao hình chĩp b) Tính thể tích hình chĩp 
6. Trên 3 nửa đường thẳng Ox,Oy,Oz vuơng gĩc nhau từng đơi một ta lần lượt lấy 3 điểm A,B,C sao cho OA = OB = OC = a
a) Chứng minh rằng OABC là hình chĩp đều b) Tính diện tích tồn phần và thể tích hình chĩp OABC
7. Hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình thang vuơng tại A và B.AD = 2a,AB = BC = a ; SA ^(ABCD) ; cạnh SC tạo với đáy (ABCD) một gĩc j = 60o 
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chĩp là các tam giác vuơng. Tính diện tích tồn phần
b) Tính thể tích S.ABCD. c) Tính gĩc giữa SC và mặt phẳng (SAB)
8. Cho tứ diện SABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng tại B , AB = 2a, BC = a, SA ^ (ABC) ,SA = 2a. Gọi I là trung điểm AB
 a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chĩp là các tam giác vuơng
 b) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (ABC)
 c) Gọi N là trung điểm AC ,tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SBC)
9. Cho hình chĩp S.ABC cĩ ABC là tam giác đều cạnh a .SA = SB = SC = 
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)
b) Tính gĩc j giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) c)Tính diện tích tam giác SBC
10. Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng cân tại A , BC = a .SA = SB = SC = 
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC) b) CMR hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuơng gĩc nhau
c) Tính gĩc j giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) d ) Tính diện tích tam giác (SAC)
11. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình thoi cạnh a, gĩc A = 60o. SA = SB = SD = 
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) b) CMR hai mp (SAC) và (ABCD) vuơng gĩc nhau
c) CMR hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuơng gĩc nhau và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
d) Tính gĩc j giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Þ diện tích DSBD
Hình lăng trụ
1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ cạnh đáy = cạnh bên = a. Gọi I, J là trung điểm BC và BB’
a) CMR BC’ ^ (AIJ) b)Tính gĩc j giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC) c) Tính diện tích tam giác AIJ
2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy là hình thoi ABCD cạnh a, gĩc A = 60o, A’A = A’B = A’D = a
a) Tính chiều cao lăng trụ b) CMR hai mặt chéo của lăng trụ vuơng gĩc nhau
c)Tính gĩc j giữa hai mp (A’BD) và (ABCD) d) Tính diện tích tam giác A’BD & diện tích tp của lăng trụ 
3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) CMR hai mặt chéo vuơng gĩc nhau b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’
c)Tính gĩc j giữa hai mp (D’AC) và (ABCD) d) Tính diện tích tam giác D’AC
4. Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy là hình thoi cạnh a, gĩc A = 60o. Gọi O và O’ là tâm của hai đáy, OO’ = 2a
a) Tính diện tích các mặt chéo của lăng trụ b) Tính diện tích tồn phần và thể tích của lăng trụ 
5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ đường chéo B’D = 12 . Cạnh đáy CD = 6 ; cạnh bên CC’ = 8
a) Tính diện tích tp và thể tích của hình hộp b)Tính gĩc giữa B’D và các mặt hình hộp
6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy là hình thoi ABCD cạnh a, tâm O và gĩc A = 60o; D’O vuơng gĩc (ABCD); cạnh bên tạo với đáy một gĩc j = 60o 
a) Xác định gĩc j và tính chiều cao, cạnh bên của hình hộp b) Chứng minh rằng BD’ ^ A’C’
c) CMR các mặt bên của hình hộp bằng nhau, suy ra Stp d) Tính thể tích hình hộp và thể tích tứ diện ACDC’
7*. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên = a và hình chiếu của C’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của tam giác ABC
a) Tính gĩc giữa cạnh bên và đáy,chiều cao của lăng trụ b) CMR các mặt AA’C’C và BB’C’C bằng nhau b) CMR: ABB’A’ là hình vuơng. lăng trụ c) Tính thể tích tứ diện OBCB’
8*. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cĩ cạnh đáy bằng a .Đường chéo AB’ của mặt bên tạo với đáy một gĩc j = 60o. Gọi I là trung điểm BC
a) Tính diện tích tồn phần và thể tích lăng trụ b) Xác định hình chiếu của A trên BB’C’C
c) Tính gĩc giữa đường thẳng AB’ và mp (BB’C’C) d)Tính thể tích tứ diện BAIC’
9*. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a; cạnh bên AA’ = a và hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm I của AC 
a) Tính gĩc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích lăng trụ c) Tính thể tích tứ diện AIBC’
10. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O; cạnh a. gĩc A = 60o; B’O vuơng gĩc (ABCD); cạnh bên bằng a
a) Tính gĩc giữa cạnh bên và đáy và V của lăng trụ b)CMR hai mặt chéo vuơng gĩc nhau c) Tính lăng trụ 
11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác vuơng tại A,AC = a,gĩc BCA = 60o . BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một gĩc a = 45o 
a) Xác định a và tính chiều cao lăng trụ b) Tính diện tích tồn phần và thể tích lăng trụ 
12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ cạnh đáy = a, đường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’B’B) một gĩc a = 30o 
a) Xác định a và tính chiều cao lăng trụ b) Tính diện tích tồn phần và thể tích lăng trụ 
13. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều ABC cạnh a, điểm A’ cách đều A,B,C và AA’ tạo với đáy một gĩc j = 60o
a) CMR mặt bên BB’C’C là một hình chữ nhật b) Tính diện tích xung quanh và thể tích lăng trụ 
c) Tính thể tích tứ diện ABB’C
Mặt cầu
1. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA ^ (ABCD), ABCD là hình chữ nhật và AB = a, SA = BC = 2a. Chứng minh rằng 5 điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên 1 mặt cầu. Tìm tâm, bán kính của mặt cầu đĩ.
2.Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA ^ (ABC). BE, BF là đường cao của tam giác ABC và SBC. Gọi H và H’ lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC
a) Chứng minh rằng SH’ , AH và BC đồng qui tại một điểm I b)CMR 5 điểm E, F, I, S, B ở trên một mặt cầu
3.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA ^(ABCD) và ABCD là hình vuơng cạnh a. Dựng mặt phẳng b đi qua A và vuơng gĩc với đường thẳng SC, b lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’
a) CMR các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên một mặt cầu cố định b) Tính diện tích mặt cầu ấy
4. Trong mặt phẳng a cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn đường kính AD. Trên đường thẳng ^ a tại A ta lấy điểm S.Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB và SC.
a) Chứng minh rằng các tam giác AHD, AKD vuơng b) CMR 5 điểm A, B, C, H, K nằm trên 1 mặt cầu 
5.Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cạnh đáy = a, cạnh bên = 2a. Tìm tâm, bán kính mặt cầu đi qua 4 điểm S, A, B, C
6. Trong mặt phẳng a cho đường trịn đường kính AB = 2R .Trên đường trịn ta lấy 1 điểm C.Kẻ CH ^ AB (HỴAB). Gọi I là trung điểm CH . Trên tia Ix ^ a ta lấy điểm S sao cho = 60o . Chứng minh rằng DSAB = DCAB.từ đĩ suy ra tâm, bán kính của mặt cầu đi qua 4 đỉnh S, A, B, C.
7. Cho tứ diện SABC cĩ SA ^ (ABC), và các cạnh SA = a AB = b, AC = c. Xác định tâm, bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh S, A, B, C trong các trường hợp sau:
a) = 90o b) = 60o và b = c c) = 120o và b = c
8. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA ^ (ABCD) và SA = a. ABCD là là hình thang vuơng tại A và B cĩ AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm cạnh AD. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.CDE
9. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a
a) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp (BCD) b) Tính gĩc giữa cạnh bên và đáy
c) Tính gĩc giữa mặt bên và đáy d) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
10. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a. Cạnh bên hợp với đáy 1 gĩc φ = 60o
a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp b) Tính gĩc giữa mặt bên và đáy
11. Cho tứ diện SABC cĩ SA ^ (ABC) và đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SBC) hợp với đáy 1 gĩc φ = 30o
a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b)Tính gĩc giữa SC và mặt phẳng (ABC)
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, đường thẳng
1. Cho mặt cầu tâm O đường kính AB = 2R.Điểm H thuộc đoạn AB sao cho AH = R. Mặt phẳng a ^ AB tại 
 cắt mặt cầu theo đường trịn (L). Tính diện tích (L)
2. Cho mặt cầu S(O,R) ; A là 1 điểm nằm trên mặt cầu. Mặt phẳng a qua A sao cho gĩc giữa OA và a bằng 30o
a) Tính diện tích đường trịn thiết diện giữa a và mặt cầu 
b) Đường thẳng qua A và ^ a cắt (S) tại B.Tính độ dài AB
3. Cho mặt cầu S(O;R) tiếp xúc 3 cạnh tam giác ABC
a)Chứng minh rằng hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường trịn nội tiếp DABC
b)Biết độ dài 3 cạnh của DABC là 6,8,10 và R = 3.Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
4. Trong mặt phẳng a cho đường trịn đường kính AB tâm O.Gọi M là điểm nằm trên đường trịn .Trên đường thẳng ^ a tại A ta lấy điểm C.Gọi H là hình chiếu của A trên mặt cầu 
a) Chứng minh rằng H nằm trên mặt cầu (O)
b) Tiếp tuyến với (O) tại A và M cắt nhau tại K. Chứng minh rằng KA = KM = KH.Từ đĩ suy ra KH là tiếp 
 tuyến của mặt cầu (O) 
5. Cho mặt cầu (O;R) và một điểm A biết OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt cầu tại B và một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D sao cho CD = R
a) Tính độ dài đoạn AB b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD
6. Cho mặt cầu (O;R) tiếp xúc mặt phẳng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng khơng phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu vuơng gĩc với nhau lần lượt cắt mặt phẳng (P) tại A và B. Chứng minh rằng AB2 = AI2 + IB2
7. Chứng minh rằng nếu một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một tứ diện thì tứ diện đĩ cĩ tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau