Giáo án Toán Lớp 12 - Vecto

Vấn đề cần nắm:
1. Định nghĩa và các phép toán vectơ
2. Các quy tắc và kết quả ứng dụng vectơ
3. Trục và hệ trục tọa độ trong mặt phẳng
VECTƠChủ đề 8
Trong chương trình học lớp 10 sách giáo khoa học sinh bắt đầu là quen kiến thức vectơ và tọa độ. Đây là mô hình cụ thể của không gian vectơ, một cấu trúc đại số quan trọng được dùng trong nhiều ngành toán học. Học chủ đề vectơ là việc chuẩn bị cho học sinh công cụ nghiên cứu một số vấn đề trong hình học phẳng như hệ thức lượng trong tam giác, giải tam giác, nghiên cứu đường thẳng, đường tròn elip. Qua chủ đề này các em sẽ dễ dàng tiếp thu các kiến thức về cơ học trong chương trình THPT, đồng thời là cơ sở lý thuyết để mở rộng phương pháp tọa độ từ mặt phẳng sang không gian. 
§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
A. Lý thuyết
1. Các định nghĩa
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là .
+ Ta còn sử dụng kí hiệu để biểu diễn vectơ.
Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
STUDY TIP
- Độ dài vectơ là một số không âm.
- Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ quy ước để so sánh.
- Khi nhắc đến vectơ là ta nói tới điểm đặt, giá, phương, chiều, độ lớn vectơ đó.
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, độ dài vủa vectơ kí hiệu là .
Hai vectơ và được gọi là cùng phương nếu giá của chúungsong song hoặc trùng nhau.
+ Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .
+ Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
+ Mọi vectơ đều bằng nhau và .
+ Giá của vectơ-không là mọi đường thẳng đi qua nó.
Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu .
+ Khi cho trước vectơ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho . 
2. Các phép toán trên vectơ
a. Tổng của hai vectơ
Quy tắc cộng: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: .
+ Quy tắc mở rộng cho n điểm ta có:
+ Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
.
STUDY TIP
- Có thể phân tich một vectơ bằng tổng của nhiều vectơ bằng cách chèn điểm theo quy tắc phép cộng.
 chung điểm đầu thì dồn ra phía trước.
 chung điểm cuối thì dồn ra phía sau.
Tính chất: với ba vectơ tùy ý
+ (tính chất giao hoán);
+ (tính chất kết hợp);
+ (tính chất vectơ – không).
b. Hiệu của hai vectơ
Vectơ đối: vectơ là vectơ đối của nếu và là hai vectơ ngược hướng. Kí hiệu .
+ Vectơ đối của là .
+ .
+.
Quy tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tùy ý, ta có: .
c) Tích của một vectơ với một số
Cho vectơ và số . là một vectơ được xác định như sau:
+ cùng hướng với vectơ nếu , ngược hướng với vectơ nếu .
+.
Tính chất: Với các vectơ tùy ý và .
+ 
+ 
+ 
+ 
+ hoặc .
Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Cho hai vectơ với cùng phương khi và chỉ khi 
Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng 
Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương và tùy ý. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số .
* Chú ý:
Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có:
 (M tùy ý).
Hệ thức trọng tâm tam giác: Với G là trọng tâm ta có:
STUDY TIP
- Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác với các hệ thức là các trường hợp riêng của tâm tỉ cự
 (M tùy ý).
Tâm tỉ cự: Điểm I được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm gắn với hệ số mà khi 
Dạng 1
B. Các dạng toán điển hình
Các bài toán về khái niệm vectơ
Phương pháp:
- Sử dụng định nghĩa vectơ, vectơ-không, độ dài vectơ, hai vectơ bằng nhau
- Xác định sự cùng phương, cùng hướng của các vectơ.
- Áp dụng tính chất hình học của các hình trong hình học phẳng để giải toán.
STUDY TIP
-Với hình n giác ta lập được vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của n giác.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C?
	A. 4	B. 6 	C. 9 	D. 12 
Lời giải
Ta có các vectơ: 
Đáp án B.
Ví dụ 2: Cho hai vectơ không cùng phương và . Mệnh đề nào sau đây đúng
	A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ và 
	B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ và 
	C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ và , đó là vectơ 
	D. Cả A, B, C đều sai
STUDY TIP
- Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng chiều và cùng độ dài.
- Hai vectơ cùng chiều thì cùng phương nhưng hai vectơ cùng phương thì chưa chắc đã cùng chiều.
Lời giải
Vì vectơ cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ và , đó là vectơ .
Đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
	A. 4	B. 6 	C. 8 	D. 10 
Lời giải
Các vectơ cùng phương với vectơ là:
Đáp án B.
Ví dụ 4: Cho tứ giác đều ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Mệnh đề nào sau đây là sai?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ta có (do cùng song song và bằng ).
Do đó MNPQ là hình bình hành.
Đáp án D.
Ví dụ 5: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
	A. 	B. và cùng hướng
	C. và ngược hướng	D. và cùng phương
Lời giải
Với ba trường hợp lần lượt A, B, C nằm giữa thì ta luôn có cùng phương.
Đáp án D.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC với trực tâm H. D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
	A. và 	B. và 
	C. và 	D. và 
Lời giải
Ta có BD là đường kính .
 (1)
Ta lại có (2)
Từ (1) và (2) tứ giác HADC là hình bình hành .
Đáp án C.
Ví dụ 7: Cho với điểm M nằm trong tam giác. Gọi lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua . Câu nào sau đây đúng?
	A. và 	B. và 
	C. và 	D. và 
Lời giải
Ta có là hình bình hành 
Lại có AQBM và BMCN là hình bình hành
 là hình bình hành .
Đáp án B.
Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp:
- Sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành.
- Biến đổi vế này thành vế kia.
- Biến đổi đẳng thức cần chứng minh thành một đẳng thức đã biết hiển nhiên đúng.
- Từ một đẳng thức đúng biến đổi thành đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm đẳng thức sai:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
+ Tứ giác AMCN là hình bình hành A đúng.
+ ABCD là hình bình hành B đúng.
+ đúng.
Đáp án D.
Ví dụ 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Lời giải
+ Ta có: đúng.
+ đúng.
+ 
 C đúng.
+ (mâu thuẫn giả thiết)
 D sai.
Đáp án D.
Ví dụ 3: Cho với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào sau đây là đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ta có (1)
Gọi I là trung điểm BC, đối xứng với A qua O.
Dễ thấy là hình bình hành
 (2)
Từ (1) và (2) .
Đáp án C.
Ví dụ 4: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đẳng thức nào sau đây là sai?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
+ B đúng vì 
+ C đúng vì 
+ D đúng vì 
Đáp án A.
Ví dụ 5: Cho , M là một điểm trên cạnh BC. Khi đó đẳng thức nào sau đây là đúng?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
Kẻ .
Áp dụng định lí Ta-lét ta có 
.
Đáp án A.
Ví dụ 6: Cho , AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Với O là điểm bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Lời giải
Ta có: (1)
Tương tự (2)
 (3)
Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta được đáp án A.
Đáp án A.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh lần lượt là D, E, F. Hệ thức nào sau đây là đúng?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
Qua M kẻ các đường thẳng 
 Các tam giác đều 
Ta có: 
.
Đáp án D.
Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
- Bước 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm biến đổi đẳng thức đã cho về dạng trong đó đã biết trước.
- Bước 2: Dựng điểm M, dựng một vectơ bằng vectơ , điểm cuối của vectơ chính là M.
* Chú ý:
+ Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số và với điểm O tùy ý thì 
+ Điều kiện cần và đủ để và cùng trọng tâm là
.
Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho .
	A. Điểm I ngoài đoạn AB sao cho 
	B. Điểm I thuộc đoạn AB sao cho 
	C. Điểm I là trung điểm đoạn AB
	D. Điểm I nằm khác phía với B đối với A và .
Lời giải
.
Vậy I thuộc đoạn AB sao cho .
Đáp án B.
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB. Hình nào sau đây biểu diễn điểm I sao cho .
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Đáp án B.
Ví dụ 3: Cho có G là trọng tâm. Xác định điểm M sao cho:
.
	A. Điểm M là trung điểm cạnh AC.
	B. Điểm M là trung điểm cạnh GC.
	C. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 4.
	D. Điểm M chia đoạn GC thỏa mãn . 
Lời giải
Đáp án D.
Ví dụ 4: Cho , I là trung điểm của AC. Vị trí điểm N thỏa mãn xác định bởi hệ thức:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ta có: 
Đáp án C.
Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm N thỏa mãn:
.
	A. Điểm N là trung điểm cạnh AB	B. Điểm C là trung điểm cạnh BN
	C. Điểm C là trung điểm cạnh AM	D. Điểm B là trung điểm cạnh NC
Lời giải
Ta có 
 là hình bình hành là trung điểm cạnh BN.
Đáp án B.
Ví dụ 6: Cho 2 điểm A, B là hai số thực a, b sao cho . Xét các mệnh đề: 
(I) Tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn .
(II) .
(III) M là điểm nằm trên đường thẳng AB.
Trong các mệnh đề trên thì:
	A. (I) và (III) tương đương nhau	B. (II) và (III) tương đương nhau
	C. (I) và (II) tương đương nhau	D. (I), (II), (III) tương đương nhau
Lời giải
Do giả thiết M được xác định duy nhất trên đường thẳng AB.
Đáp án C.
Ví dụ 7: Cho với . Nếu điểm I thỏa mãn hệ thức thì:
	A. Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp .
	B. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp .
	C. Điểm I là trực tâm của .
	D. Điểm I là trọng tâm của .
Lời giải
Lấy sao cho hay là đường phân giác.
Ta có: 
 I thuộc đoạn và 
 I là tâm đường tròn nội tiếp .
Đáp án B.
Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện
Phương pháp:
- Nếu với A, B cố định cho trước thì M nằm trên đường trung trực của AB.
- Nếu với A cố định cho trước thì M nằm trên đường tròn tâm A bán kính .
- Nếu với A, B cố định cho trước thì M nằm trên đường tròn tâm A, bán kính .
- Nếu với A, B cố định, k là số thực thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng AB.
- Nếu với A, B, C cố định, k là số thực thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song song với BC.
- Nếu với A, B, C, D cố định cho trước thì tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực của IJ với I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ví dụ 1: Gọi G là trọng tâm của . Tập hợp điểm M sao cho là:
A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
B. Đường tròn tâm G bán kính là 1.
C. Đường tròn tâm G bán kính là 2.
D. Đường tròn tâm G bán kính là 6.
Lời giải
Ta có 
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính là 2.
Đáp án C.
Ví dụ 2: Cho có trọng tâm G. I là trung điểm của BC. Tập hợp điểm M sao cho: là:
	A. đường trung trực của đoạn GI
	B. đường tròn ngoại tiếp 
	C. đường thẳng GI
	D. đường trung trực của đoạn AI
Lời giải
Ta có: 
 Tập hợp điểm M là trung trực của GI.
Đáp án A.
Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức là
	A. một đoạn thẳng	B. một đường tròn
	C. một điểm	D. tập hợp rỗn ... 
Câu 32: Đáp án B
Ta có:
 Câu 33: Đáp án B
 (II) và (III) sai vì G không phải là trung điểm của AC và BD.
Câu 34: Đáp án A
Ta có 
 Câu 35: Đáp án A
Gọi 
Ta có 
Mặt khác 
, thay vào (*) ta được: 
Câu 36: Đáp án A
Gọi p là nửa chu vi , ta có:
Ta có 
 Tương tự:
Cộng từng vế (1), (2), (3) ta được:
Nhận xét: Áp dụng kết quả nếu I là tâm đường tròn nội tiếp thì 
Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 37: Đáp án B
Câu 38: Đáp án C
Ta có: và P, N khác đối với M
Câu 39: Đáp án C
Câu 40: Đáp án B
Câu 41: Đáp án C
Câu 42: Đáp án D
M là trung điểm AB nên 
 K là trung điểm của MN.
Câu 43: Đáp án C
Vậy C là trung điểm của AM 
Câu 44: Đáp án C
Gọi K là trung điểm BC 
Nên 
 N là trung điểm AK
Câu 45: Đáp án D
 M là trọng tâm 
Câu 46: Đáp án A
Câu 47: Đáp án B
Ta có 
Hay M là trung điểm của GC
Câu 48: Đáp án A 
Ta có
Câu 49: Đáp án D
Ta có M là trọng tâm thì
So sánh với 
Câu 50: Đáp án D
Vậy D là đỉnh của hình bình hành ACED.
Câu 51: Đáp án B
Dạng 4: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện
Câu 52: Đáp án A
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm C bán kính AB.
Câu 53: Đáp án A
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O bán kính 
Câu 54: Đáp án B
Gọi I là trung điểm của AB thì
 Tập hợp điểm M là trung trực của IC
Câu 55: Đáp án C
Ta có 
Câu 56: Đáp án D
Gọi I là trung điểm AB
 I là điểm cố định:
 I là trung điểm của 
Gọi là điểm đối xứng của O qua điểm I thì cố định và là hình bình hành
 nằm trên đường tròn cố định tâm bán kính R.
Câu 57: Đáp án B
Gọi E là trung điểm của AB, I là trung điểm của EC
Do I, B, C cố định nên tập hợp điểm M là một đường thẳng đi qua I và song song với BC.
Câu 58: Đáp án C
GT đã cho 
(I là trung điểm AB)
(G là trọng tâm )
(J là trung điểm của AG)
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính 
Câu 59: Đáp án A
(I là trung điểm AB)
 nằm trên đường thẳng CI.
Câu 60: Đáp án C
Vì A, B, C cố định nên ta chọn điểm I thỏa mãn: 
 duy nhất từ đó
và 
Từ giả thiết
Câu 61: Đáp án D
(với H là điểm thỏa mãn )
 Đáp án D
Câu 62: Đáp án B
Gọi lần lượt là trung điểm AD và BC, ta có:
và 
Gọi I là trung điểm MN
Vậy tập hợp điểm I là đường thẳng 
Câu 63: Đáp án B
Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm và .
Dấu xảy ra khi M thuộc đoạn PQ. Vậy tập hợp điểm M là đoạn thẳng PQ.
Câu 64: Đáp án A
Từ giả thiết
Gọi I là điểm sao cho:
Từ (*):
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng qua I và song song với BC.
Dạng 5: Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Sự thẳng hàng, song song.
Câu 65: Đáp án A
Câu 66: Đáp án C
 Câu 67: Đáp án D
Vậy 
Câu 68: Đáp án D
Từ đó ta có hệ phương trình:
Câu 69: Đáp án B
Gọi M là trung điểm BC:
Tương tự:
Ta có hệ:
Câu 70: Đáp án D
 Câu 71: Đáp án C
Câu 72: Đáp án B
Câu 73: Đáp án A
Đặt 
 nên
Ta có: 
Do DA và DC không cùng phương nên:
Câu 74: Đáp án A
Câu 75: Đáp án D
Từ giả thiết: 
M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBM.
Từ giả thiết:
N là trung điểm AK, với K là trung điểm BC.
Ta có:
Câu 76: Đáp án C
Do đó 
Từ (1), (2) M, N, P thẳng hàng. 
Câu 77: Đáp án A
Ta có: 
Để AI đi qua G thì cùng phương 
Câu 78: Đáp án B
Gọi E là trung điểm AC
G là trọng tâm 
 nên M, N, P thẳng hàng 
 P là trung điểm AG.
Vậy 
Câu 79: Đáp án B
Theo bài ra:
Từ (1), (2) 
Câu 80: Đáp án C
Lời giải chi tiết ở phần Ví dụ - dạng toán 2.
Nhận xét: Đường thẳng đi qua 3 điểm trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường Ơ – le.
Câu 81: Đáp án C
Câu 82: Đáp án C
 Từ (1) và (2) 
Câu 83: Đáp án D
Đặt 
Ta có: 
Vì M, C, I thẳng hàng 
Tương tự ta chưa tìm được 
Câu 84: Đáp án D
Ta đặt: 
Khi đó 
Vì E nằm ngoài AC nên có số k sao cho: với .
Khi đó .
Điểm D nằm trên AM và EF nên có số x này:
Hay 
Vì không cùng phương nên
 và 
Suy ra do đó
Câu 85: Đáp án C
Vì cùng phương
 sao cho
 Đặt 
Ta có: 
Dạng 6: Xác định và tính độ lớn vectơ
Câu 86: Đáp án C
Vì theo quy tắc 3 điểm 
Câu 87: Đáp án A
Gọi O là giao của 2 đường chéo
Câu 88: Đáp án C
Câu 89: Đáp án A
M là trung điểm BC. 
Câu 90: Đáp án D
Theo quy tắc 3 điểm độ dài vectơ tổng bao giờ cũng nhỏ hơn hoặc bằng tổng độ dài 2 vectơ thành phần.
Câu 91: Đáp án A
Câu 92: Đáp án C
Câu 93: Đáp án A
Gọi K là điểm đối xứng với G qua AC thì 
Câu 94: Đáp án A
Áp dụng Pitago:
Câu 95: Đáp án A
Câu 96: Đáp án A
Ta có: và 
. Gọi E là điểm sao cho OBEA là hình bình hành
Câu 97: Đáp án D
Dựng hình bình hành ABMN
Ta có: 
Câu 98: Đáp án B
Gọi 
Do đó:
Ta có:
Câu 99: Đáp án A
Trên OA lấy sao cho 
Câu 100: Đáp án C
(vì đều)
Câu 101: Đáp án D
 A đúng.
B đúng.
C đúng.
 D sai.
Câu 102: Đáp án C
Theo quy tắc hình bình hành:
 là tam giác đều
Câu 103: Đáp án C
Ta xem là tổng của vectơ lần lượt nằm trên 2 dường thẳng AC và AB và ta có:
 và lực theo hướng 
II. Trục tọa độ, hệ trục tọa độ
Dạng 1: Trục tọa độ
Câu 1: Đáp án D
Câu 2: Đáp án B
Câu 3: Đáp án D
 đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của 
Câu 4: Đáp án C
BC nhỏ nhất khi 
Câu 5: Đáp án D
Ta có:
Là tọa độ của nên A đúng.
Tương tự:
 là tọa độ của B đúng.
Gọi E, F là trung điểm của IJ và KL
C đúng.
Vậy đáp án D sai. 
Câu 6: Đáp án B
Gọi tọa độ điểm M là x
Câu 7: Đáp án A
Chọn D là gốc tọa độ và a, b, c lần lượt là tọa độ của A, B, C.
Ta có:
Câu 8: Đáp án C
Ta có: 
Câu 9: Đáp án B
Ta có 
Câu 10: Đáp án D
Câu 11: Đáp án C
Gọi M có tọa độ là x
Dạng 2: Tọa độ vectơ
Câu 12: Đáp án B
Câu 13: Đáp án D
Câu 14: Đáp án A
Câu 15: Đáp án D
Ta có: 
Câu 16: Đáp án C
Câu 17: Đáp án A
Theo bài ra 
Câu 18: Đáp án D
Ta có: 
Câu 19: Đáp án C
 cùng phương 
Câu 20: Đáp án C
Ta có: 
 A, B, D thẳng hàng.
Câu 21: Đáp án A
Giả sử 
Câu 22: Đáp án B
Câu 23: Đáp án B
Câu 24: Đáp án D
Dạng 3: Tọa độ điểm
Câu 25: Đáp án D
Ta có 
Câu 26: Đáp án D
Ta có 
Câu 27: Đáp án B
với 
Câu 28: Đáp án B
Gọi , ta có: 
Câu 29: Đáp án C
Ta có 
Câu 30: Đáp án C
Ta có P thuộc 
G thuộc trục 
Vì G là trọng tâm 
Câu 31: Đáp án D
Để A, B, M thẳng hàng
Câu 32: Đáp án D
I là trung điểm của
Câu 33: Đáp án D
Ta có
Câu 34: Đáp án D
Gọi là trọng tâm (vì M, N, P không thẳng hàng) 
T nhỏ nhất khi E là hình chiếu của I trên trục 
Câu 35: Đáp án A
Gọi 
Ta có nằm cùng phía trên trục 
, dấu xảy ra khi A, M, B thẳng hàng
Câu 36: Đáp án B
Áp dụng công thức, điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k:
 Tọa độ các điểm:
Ta có:
Câu 37: Đáp án D
Dễ thấy A, B nằm ở hai phía với trục hoành.
Ta có . Dấu xảy ra khi A, M, B thẳng hàng và cùng phương
Câu 38: Đáp án D
Gọi là giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.
 thế vào (1)
Câu 39: Đáp án D
Ta có 
 không cùng phương.
 và D thuộc đường thẳng AB thẳng hàng
Ta có: 
Với ,
Gọi 
 cùng phương 
 cùng phương 
Từ (1) và (2) ta được:
Câu 40: Đáp án D
Vì M thuộc Ox nên 
A, B, M thẳng hàng nên cùng phương 
Ta có , 
 cùng phương 
 nên 
III. Đề kiểm tra chủ đề 8
Câu 1: Đáp án C
A. sai do hai vectơ không bằng nhau thì có thể hai vectơ ngược hướng nhưng độ dài vẫn bằng nhau
B. sai do một trong hai vectơ là vectơ không 
C. đúng do hai vectơ bằng nhau thì hai vectơ cùng hướng
Câu 2: Đáp án D
Câu 3: Đáp án D
Ta có
Suy ra tập hợp các điểm D thỏa yêu cầu bài toán là đường tròn tâm C, bán kính AB.
Câu 4: Đáp án A
Câu 5: Đáp án D
Ta có: 
Câu 6: Đáp án B
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi cùng phương với 
Câu 7: Đáp án B
Gọi điểm N có tọa độ 
Ta có 
Câu 8: Đáp án C
Ta có: điểm C đối xứng với điểm A qua điểm B nên điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC
Câu 9: Đáp án B
Câu 10: Đáp án B
Ta có 
Để và cùng phương thì 
Câu 11: Đáp án D
Gọi .
Ta có ABCD là hình bình hành
Học sinh dễ nhầm lẫn với công thức ABCD là hình bình hành hoặc tính toán sai.
Câu 12: Đáp án D
+ Gọi d là đường thẳng chứa OD
 d là trục đối xứng của ngũ giác đều. Ta có: trong đó M là đỉnh của hình thoi AMBO và . Vậy cùng phương với A đúng.
+ Tương tự
 B đúng
+ AB và EC vuông góc với d 
 nên và cùng phương C đúng.
Câu 13: Đáp án D
Gọi thuộc trục hoành.
A, B, M thẳng hàng cùng phương
Vậy 
Câu 14: Đáp án B
. Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:
Câu 15: Đáp án B
Ta có 
Mỗi lỗi học sinh hay vấp là thay vì lại bỏ mất 1 dấu trừ thành nên chọn A; hoặc thực hiện phép tính chỉ nhân vào hoành độ hoặc tung độ nên có thể chọn C, D. 
Câu 16: Đáp án D
Ta có:
D là trung điểm của AK. 
Câu 17: Đáp án A
Ta có I là trung điểm AC
Vậy 
Ta có 
Vậy . Tọa độ trung điểm của BC là 
Câu 18: Đáp án D
Từ giả thiết:
 ngược hướng 
Câu 19: Đáp án C
Cách 1: Vẽ các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta nhận thấy 3 điểm A, B, D thẳng hàng.
Cách 2: 
Ta thấy cùng phương nên 3 điểm A< B, D thẳng hàng. 
Câu 20: Đáp án A
Ta có: đối xứng với qua trục Ox 
 đối xứng với qua trục Oy 
 đối xứng với qua gốc tọa độ O 
Câu 21: Đáp án A
Ta có: 
Câu 22: Đáp án A
Gọi 
Ta có 
.
Khi đó 
Học sinh dễ sai khi tính toán tọa độ vectơ dẫn đến các kết quả sai.
Câu 23: Đáp án C
Ta có: 
Nên M thuộc đường tròn tâm G, bán kính a
Câu 24: Đáp án D
Do đó 
Học sinh hay nhầm lẫn chỗ bấm máy tính khi giải hệ lại chuyển hết về 1 vế rồi bấm máy theo hệ số đó ra kết quả nên được kết quả ; hoặc có thể tính toán sai khi nhân vectơ với 1 số.
Câu 25: Đáp án A
M là trung điểm của KB
M là tâm của hình bình hành BIKJ.
Câu 26: Đáp án A
Vì A, B, C cố định nên gọi K là điểm thỏa mãn: 
L là điểm thỏa mãn: 
Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.
Câu 27: Đáp án D
Vì là trọng tâm của tam giác OCD nên 
Vì G là trọng tâm của tam giác OAB nên: 
Từ (1) và (2) suy ra:
Câu 28: Đáp án C
Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC nên:
Câu 29: Đáp án A
I. 
I sai.
II. 
II đúng.
III. III đúng.
Câu 30: Đáp án D
 là hình bình hành .
Tương tự MCDN, BNDM, IMKN là hình bình hành
 nên các đáp án A, B, C đúng sai.
Câu 31: Đáp án D
+ 
A sai.
+ 
B sai.
+ C sai.
+ 
Câu 32: Đáp án C
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Ta có:
+ 
A đúng.
+ B đúng.
+ D đúng.
Câu 33: Đáp án D
Gọi I, K là trung điểm AB và CD.
G là trung điểm của IK
Câu 34: Đáp án C
Do giả thiết M được xác định duy nhất trên đường thẳng AB.
Câu 35: Đáp án D
Ta có là hình bình hành
Tương tự ta chỉ ra được:
+ là hình bình hành
+ là hình bình hành
Câu 36: Đáp án C
Câu 37: Đáp án B
Áp dụng kết quả trọng tâm:
Với M là điểm bát kì:
Câu 38: Đáp án D
Ta có: 
Câu 39: Đáp án D
+ 
(I) đúng.
+ 
 (II) đúng.
+ 
 (III) đúng. 
Câu 40: Đáp án A
 ngược hướng
ở trong đoạn AB
Câu 41: Đáp án C
Giả sử G là trọng tâm .
Khi đó 
G cũng là trọng tâm 
Câu 42: Đáp án B
Nếu G là trọng tâm của tam giác thì 
Do đó (xem thêm ví dụ dạng trước) M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Câu 43: Đáp án A
 D là trung điểm của CM.
Câu 44: Đáp án A
Từ giả thiết
(với I, J là trung điểm của BC, AB)
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính CJ. 
Câu 45: Đáp án A
Gọi I là trung điểm AC.
Câu 46: Đáp án B
Chọn điểm I thỏa mãn
Suy ra 
Nên 
Câu 47: Đáp án C
Ta có: 
Câu 48: Đáp án D
I là trung điểm AC nên 
Gọi 
Vì cùng phương nên 
Câu 49: Đáp án C
Ta có:
Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên 
Suy ra 
Câu 50: Đáp án D
Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Gọi I là tâm hình thoi ta có: