Giáo án Toán Lớp 12 - Bất đẳng thức. Bất phương trình. Hệ bất phương trình

Vấn đề cần nắm:
1. Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
Chủ đề 4
BẤT ĐẲNG THỨC
Bất đẳng thức là dạng toán thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi mức độ tư duy, sự sáng tạo của người học. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức nhưng trong khuôn khổ chủ đề này, tác giả chỉ giới thiệu một số phương pháp thường gặp như biến đổi tương đương, sử dụng các bất đẳng thức kinh điển (Cô-si, Bunhi-a-cốp-xki), sử dụng tính chất hình học, sử dụng phản chứng, sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hoặc miền giá trị của hàm số, sử dụng tính chất của hàm số,
Mỗi phương pháp được đề cập đều có những ví dụ điển hình và những lời bàn để bạn đọc hiểu sâu sắc hơn về phương pháp, kỹ thuật được sử dụng trong lời giải của ví dụ đó. Bên cạnh đó, có những ví dụ tác giả còn đề xuất thêm những câu hỏi trắc nghiệm khách quan ở các mức độ khác nhau giúp cho các em học sinh có cái nhìn tổng quát hơn trước mỗi câu hỏi trắc nghiệm. Từ đó, các em có thể tự mình đề xuất, phát triển hoặc sáng tạo các câu hỏi trắc nghiệm từ một câu hỏi tự luận hoặc câu hỏi trắc nghiệm khách quan khác.
ççç
A. Lý thuyết
I. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Bất đẳng thức 
STUDY TIP
Đặc biệt, nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất M trên tập D thì ta ký hiệu hoặc ; nếu hàm số đạt giá trị nhỏ nhất m trên tập D thì ta ký hiệu hoặc . 
Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “”, “”, “”, “” được gọi là những bất đẳng thức.
Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho f là biểu thức chứa biến (chứa một biến hoặc nhiều biến), và biến số thỏa mãn điều kiện T.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thúc f, viết là , nếu:
(1) M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho 
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f, viết là , nếu:
(1) với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho 
Như vậy: Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức f, ta có thể trình bày lời giải như sau:
- Bước 1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T đều xảy ra bất đẳng thức , trong đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các biến của f.
- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất thiết phải tìm ra tất cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho .
- Bước 3: Kết luận .
II. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thúc chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:
1. và .
2. .
3. Nếu thì .
4. Nếu thì .
5. và .
6. và .
7. và .
8. .
9. .
10. và .
11. .
12. . Đẳng thức xảy ra khi .
13. , với mọi .
14. Với thì .
15. Với thì hoặc .
16. Với mọi , ta có .
Đẳng thức xảy ra ở (1) khi ; đẳng thức xảy ra ở (2) khi .
III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP
1. Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết
a. Nội dung phương pháp
Để chứng minh bất đẳng thức theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây:
- Cách 1: Lập hiệu . Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra .
- Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế trái để được .
- Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế phải để được .
Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức. Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi như thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia. Đó là, phương pháp sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết; sử dụng bất đẳng thức Cô-si; sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki; sử dụng kiến thức hình học; sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình; sử dụng tính chất của hàm số; sử dụng dồn biến; sử dụng dấu tam thức bậc hai; sử dụng phản chứng.
Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau:
(1): .
(2): với mọi x sao cho xác định.
Đặc biệt, .
(3): , với mọi a, b, c.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Lời giải
a) Ta có . ĐKXĐ: 
Với mọi , ta có: .
Do đó .
Ta có .
Vậy và .
b) Với thì .
Ta có .
Với mọi x thuộc đoạn thì 
.
Do đó , .
Mặt khác .
Vậy và ./.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Lời giải
Điều kiện: .
Ta có , suy ra .
 , suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ./.
Ví dụ 3: a) Chứng minh rằng với mọi thì .
b) Cho là ba số không nhỏ hơn và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
.
Lời giải
a) Ta có .
STUDY TIP
Khi học về đạo hàm, chúng ta có thể tìm ra biểu thức một cách đơn giản bằng phương pháp tiếp tuyến như sau: Trước hết, chúng ta dự đoán xem đẳng thức xảy ra khi nào? Chúng ta dự đoán được . Với thì . Sau đó, chúng ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . Tiếp tuyến đó có phương trình là . 
Suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi hoặc .
b) Từ giả thiết, ta có .
Tương tự, ta cũng có và .
Suy ra a, b, c đều thuộc đoạn .
Áp dụng kết quả ở ý a), ta có:
.
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta được
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ./.
Nhận xét: Để giải ý b) chúng ta đã sử dụng kết quả của ý a). Nếu không có ý a) chúng ta tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách nào? Chúng ta có thể tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách sau đây:
Thứ nhất, mỗi số hạng ở vế trái là biểu thức một biến, vì vậy chúng ta tìm cách đánh giá từng số hạng đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải chứng minh.
Thứ hai, giả thiết của bài toán là (các biến số a, b, c có bậc một, độc lập với nhau) nên cần đánh giá , trong đó m, n là các hằng số phải đi tìm.
Thứ ba, từ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh, chúng ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi . Khi thì , do đó ta cần đánh giá . Lúc này, chúng ta cần tìm m để bất đẳng thức trên xảy ra.
Xét 
Lúc này, ta cần chọn m để nhận làm nghiệm (mục tiêu là xuất hiện ). Giải điều kiện đó ta tìm được . Khi đó ta có
 (do ).
2. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si
(Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857, nhà toán học người Pháp)
a. Nội dung phương pháp
(1) Với hai số không âm a, b bất kỳ, ta luôn có: . Đẳng thức xảy ra khi .
- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:
1. .
2. .
- Hệ quả:
+) Nếu là các số không âm và không đổi thì ab đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi .
+) Nếu là các số không âm và không đổi thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi .
+) Với thì . Đẳng thức xảy ra khi .
(2) Với ba số không âm a, b, c bất kỳ, ta luôn có: . Đẳng thức xảy ra khi .
- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:
1. 	2. .
- Hệ quả:
+) Nếu a, b, c là các số không âm và không đổi thì abc đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi .
+) Nếu là các số không âm và không đổi thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
+) Với thì . Đẳng thức xảy ra khi .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
Lời giải
a) Do nên ta có .
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện ).
Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
b) Do nên ta có .
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).
c) Ta có .
Do nên ta có 
.
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).
Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
STUDY TIP
Ngoài lời giải trình bày ở bên, chúng ta có thể sử dụng một cách chung nhất để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất đối với hàm số, đó là sử dụng đạo hàm. Về kiến thức này sẽ được nghiên cứu ở chương trình Giải tích 12 và bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3. 
d) 
. 
Từ giả thiết ta có . Do đó
.
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ./.
Nhận xét: Về hình thức thì các biểu thức tương tự như nhau nhưng để tìm được giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất. Cụ thể cả bốn biểu thức cần phải tìm cách đánh giá .
- Việc đánh giá thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức .
- Việc đánh giá thì chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si, do nếu áp dụng thì vế phải vẫn còn biến số. Vì vậy chúng ta cần điều chỉnh hình thức của biểu thức thành , còn thành (nhằm khi đánh giá thì về phải không còn biến số).
- Việc đánh giá chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si được mà cần có sự điều chỉnh về hình thức của để đạt được mục tiêu. Ngay cả khi viết thì chúng ta cũng không thể áp dụng luôn bất đẳng thức Cô-si .
Vì lúc này đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , trong khi điều kiện của biến là . Một câu hỏi đặt ra là tại sao lại viết thành
?
Và số được tìm ra như thế nào? Có thể lý giải điều này như sau:
Chúng ta để ý khi thì và , trong khi chúng ta đang cần đánh giá nên ta phải tìm cách ghép , với để áp dụng bất đẳng thức Cô-si nhằm triệt tiêu ở mẫu thức nhưng cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta cần tìm m để khi thì . Dễ dàng tìm được và chúng ta có lời giải như trên.
Ví dụ 5: a) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Lời giải
Ta có .
a) Khi thì .
Đẳng thức xảy ra khi .
b) Khi thì .
Đẳng thức xảy ra khi ./.
3. Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
(Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 - 1889, nhà toán học người Nga)
a. Nội dung phương pháp
(1) Với bốn số thực a, b, x, y tùy ý, ta luôn có
.
Dấu bằng xảy ra khi hoặc (nếu ).
- Hình thức khác của bất đẳng thức này là: .
Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu hai vectơ và thì do ta luôn có nên .
(2) Với sáu số a, b, c, x, y, z tùy ý, ta luôn có
Dấu bằng xảy ra khi hoặc (nếu ).
- Hình thức khác của bất đẳng thức này là
STUDY TIP
Liên quan đến Phương pháp tọa độ trong không gian bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn Công phá Toán 3.
.
Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu xét hai vectơ và thì do ta luôn có nên .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
 .
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.
Ví dụ 7: a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , với .
Lời giải
a) Đặt , với .
Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).
Với mọi , ta luôn có .
Có .
Dấu bằng xảy  ... ệu đồng) 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 5
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Câu 1: Đáp án B.
Ta có:
 (*).
Bất phương trình (*) vô nghiệm
.
Câu 2: Đáp án D.
Điều kiện: 
Ta có:
Bảng xét dấu vế trái:
5
VT
+
0
+
Suy ra bất phương trình có tập nghiệm .
Vậy có 6 số nguyên nhỏ hơn 10 thuộc S, đó là các số .
Câu 3: Đáp án A.
 (*).
Vì nên .
Do đó (*) 
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là .
Câu 4: Đáp án B.
* .
Phương trình trở thành:
.
* . Khi đó phương trình đã cho có nghiệm 
* Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm.
Do đó .
Câu 5: Đáp án D.
Hàm số có tập xác định 
 .
* TH1: 
 hoặc .
- Với :
;
.
- Với :
.
Vậy hoặc không thỏa mãn hàm số có tập xác định .
* TH2: .
Khi đó 
.
* Tóm lại không có giá trị nào của m thỏa mãn ycbt.
Câu 6: Đáp án C.
Điều kiện: 
.
* Với hoặc :
Vậy là các nghiệm của bất phương trình.
* Với thì 
.
Vậy trường hợp này bất phương trình có nghiệm là .
* Vậy .
Câu 7: Đáp án D.
Điều kiện: (1).
Ta có: 
 (2).
Từ (1) và (2) suy ra .
Câu 8: Đáp án C.
Cách 1: * Giải bất phương trình:
 (1).
Điều kiện: .
- Với thì . Do đó không là nghiệm của bất phương trình (1).
- Với :
.
Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm .
* Giải bất phương trình (2). Dễ thấy bất phương trình (2) có tập nghiệm .
* Ta thấy .
Vậy .
Cách 2: Ta có .
Với thì . Do đó nhân hai vế của bất phương trình với ta được bất phương trình tương đương. Vậy C đúng.
Câu 9: Đáp án D.
Điều kiện: .
Để hàm số xác định trên khoảng thì ta phải có
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đó là các giá trị .
Câu 10: Đáp án C.
Ta có (do có và ).
Do đó 
Để bất phương trình đã cho thỏa mãn thì (1) và (2) phải nghiệm đúng 
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó là các giá trị .
Câu 11: Đáp án D.
.
Ta có 
.
Vậy bất phương trình
 vô nghiệm.
Do đó .
Câu 12: Đáp án D.
Điều kiện xác định của hàm số:
(do )
.
Vậy .
Do đó và .
Suy ra .
Câu 13: Đáp án A.
* .
* 
 (*)
- TH1: .
(*) trở thành .
Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm .
- TH2: .
Khi đó (*) .
Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì ta phải có .
- TH3: .
Khi đó (*) .
Suy ra hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.
* Tóm lại hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm .
Câu 14: Đáp án C.
Đặt .
Có .
- Nếu thì .
Khi đó bất phương trình vô nghiệm.
- Nếu thì ; . Khi đó bất phương trình có 1 nghiệm duy nhất .
- Nếu thì có 2 nghiệm phân biệt . Khi đó bất phương trình có tập nghiệm là .
Vậy để bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 4 thì ta phải có: 
.
Vậy . Do đó tổng các phần tử của S bằng 5.
Lưu ý: Ta có thể giải như sau:
.
Sau đó áp dụng định lí Vi-et để tìm m.
Câu 15: Đáp án C.
Điều kiện:
Khi đó ta có:
 (*)
Với thì
Do đó (*) 
.
Kết hợp với điều kiện ta có
.
Do đó .
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN
Câu 1: Đáp án C.
Phương trình đường thẳng d:
.
Lấy điểm , ta có và .
Vậy miền không bị gạch bỏ (bao gồm cả đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình .
Câu 2: Đáp án C.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABOC với , và .
Câu 3: Đáp án C.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với và . Lập bảng:
Đỉnh
3
Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và . Do đó và .
Câu 4: Đáp án D.
Gọi x và y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua mỗi ngày. Khi đó x và y phải thỏa mãn hệ bất phương trình: .
Lượng tiền để mua thịt là
 (nghìn đồng).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác ABCD với , , và .
Lập bảng:
Đỉnh
Đỉnh
Vậy chi phí mua thịt ít nhất là 168.500 đồng.
III. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 5
Câu 1: Đáp án D.
Xét bất phương trình:
 (*)
Điều kiện: .
* Dễ thấy thỏa mãn bất phương trình (*).
* Với :
Vậy trong trường hợp này bất phương trình (*) có nghiệm .
* Vậy (*) có tập nghiệm
.
Mặt khác xét bất phương trình . Bất phương trình này có tập nghiệm .
Vậy . Do đó bất phương trình không tương đương với bất phương trình
.
Câu 2: Đáp án D.
* Xét bất phương trình
 (*)
Điều kiện: .
+ không thỏa mãn bất phương trình (*).
+ : (*) .
Vậy trong trường hợp này bất phương trình có nghiệm .
Vậy tập nghiệm của (*) là .
* Xét bất phương trình: có tập nghiệm .
Ta thấy .
Do đó .
Câu 3: Đáp án B.
Học sinh giải sai từ bước (II), vì chỉ đúng khi .
Câu 4: Đáp án C.
 vì .
Câu 5: Đáp án C.
.
Phương trình có nghiệm duy nhất (nghiệm bội 1).
Xét dấu vế trái:
2
VT
0
+
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là .
Câu 6: Đáp án C.
Hệ bất phương trình đã cho tương đương với
.
Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình chứa 2 số nguyên là và 0.
Câu 7: Đáp án D.
* Xét bất phương trình . Dễ thấy bất phương trình có tập nghiệm .
* Xét bất phương trình
 (*).
+ Dễ thấy không thỏa mãn bất phương trình (*).
+ Với thì . Khi đó:
.
Vậy trong trường hợp này (*) có nghiệm .
+ Vậy (*) có tập nghiệm
.
* Ta thấy . Do đó và không tương đương với nhau.
Câu 8: Đáp án D.
Điều kiện của bất phương trình đã cho là: .
Câu 9: Đáp án A.
 vì ta luôn có
.
Câu 10: Đáp án B.
.
Vậy và .
Câu 11: Đáp án C.
Ta có: .
Xét có
 và .
Do đó .
Suy ra .
 .
Câu 12: Đáp án A.
Chẳng hạn với thì bất phương trình là vô nghiệm.
Câu 13: Đáp án B.
Bảng xét dấu các nhị thức và :
4
0
+
+
0
+
* :
Bất phương trình trở thành:
.
Vậy trong trường hợp này bất phương trình có nghiệm .
* : Bất phương trình trở thành: (vô lí).
Vậy trong trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.
* : bất phương trình trở thành: 
.
Vậy trong trường hợp này bất phương trình có nghiệm .
* Tóm lại, bất phương trình có nghiệm là .
Vậy có 8 số nguyen không thuộc tập nghiệm của bất phương trình, đó là các số .
Câu 14: Đáp án A.
Điều kiện: .
* 
.
Ta có: 
.
* Bảng xét dấu
:
0
+
0
0
+
0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Suy ra nghiệm lớn nhất của bất phương trình đã cho là .
Câu 15: Đáp án B.
* .
* .
+ : Hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ : trở thành (vô lý) Hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ : Hệ bất phương trình có nghiệm .
* Vậy và là các khẳng định đúng.
Câu 16: Đáp án C.
.
Hệ trên vô nghiệm .
Câu 17: Đáp án D.
Điều kiện: .
* Trường hợp 1:
* Trường hợp 2:
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Câu 18: Đáp án A.
Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt 
.
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn ycbt.
Câu 19: Đáp án A.
* .
* Xét bất phương trình
 (*).
+ : (*) trở thành thỏa mãn . Vậy với hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là . Do đó không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
+ :
(*) .
Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì ta phải có 
.
Vậy trường hợp này không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ :
.
Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì ta phải có 
.
Vậy trường hợp này không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* Tóm lại không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 20: Đáp án C.
Với thì . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
 (do )
.
Vậy bất phương trình đã cho có 22 nghiệm nguyên âm.
Câu 21: Đáp án B.
Ta có: 
hay .
Vậy .
Câu 22: Đáp án C.
Hai đường thẳng và giao nhau tại điểm .
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả các cạnh AB, AC, BC) với ; và .
.
Câu 23: Đáp án C.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác OABC, với .
Câu 24: Đáp án B.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác ABC (kể cả các cạnh của nó), trong đó , , .
Lập bảng:
Đỉnh
F
2
1
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 1, đạt được khi và .
Câu 25: Đáp án B.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là tứ giác OABC với .
.
Câu 26: Đáp án B.
Điều kiện: .
Ta có .
Ta có: .
Dấu bằng xảy ra khi .
Do đó 
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Câu 27: Đáp án A.
.
Phương trình có nghiệm 
.
Câu 28: Đáp án C.
Điều kiện: 
.
* Dễ thấy và thỏa mãn bất phương trình.
* Với thì . Khi đó:
* Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Câu 29: Đáp án D.
Hàm số xác định 
.
Vậy .
Câu 30: Đáp án C.
* Trường hợp 1:
.
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: .
* Trường hợp 2: .
Khi đó bất phương trình đã cho vô nghiệm 
.
Vậy đoạn có độ dài là
.
Câu 31: Đáp án C.
.
Câu 32: Đáp án A.
Vậy và .
Câu 33: Đáp án B.
Điều kiện của hàm số:
.
Do đó để tập xác định của hàm số có dạng là một đoạn (với ) thì ta phải có .
Câu 34: Đáp án D.
.
Dấu bằng xảy ra khi
.
Tức là 
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
Câu 35: Đáp án B.
Ta có: 
Vậy 
.
Câu 36: Đáp án C.
Điều kiện: .
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là .
Câu 37: Đáp án D.
Điều kiện: .
.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm .
Câu 38: Đáp án A.
Điều kiện: .
.
Phương trình đã cho có nghiệm
.
Câu 39: Đáp án C.
.
Câu 40: Đáp án C.
* Xét bất phương trình
 (1)
Điều kiện: .
Với thì .
Do đó .
Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm .
* Xét bất phương trình:
Điều kiện: .
Với thì .
Do đó .
Vậy bất phương trình (2) có tập nghiệm .
* Ta có . Suy ra bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình (2).
Câu 41: Đáp án B.
* Trường hợp 1: 
* Trường hợp 2:
.
* Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm 
 và 
 .
Câu 42: Đáp án C.
* TH1: . Khi đó bất phương trình trở thành
.
Vậy không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* TH2: . Bất phương trình đã cho có tập nghiệm bằng .
.
Câu 43: Đáp án D.
* 
.
* 
.
* Vậy .
Câu 44: Đáp án B.
Ta có .
Do đó 
Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm bằng thì ta phải có .
Câu 45: Đáp án D.
Ta có.
Do đó hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
.
* TH1: :
.
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* TH2: :
.
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* TH3: :
.
 Để hàm số đã cho xác định khi thì ta phải có .
* Vậy các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Câu 46: Đáp án D.
Bất phương trình đã cho tương đương với 
.
Ta có:
.
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm thì ta phải có
.
Câu 47: Đáp án C.
(vì ).
Đặt .
Đặt thì
Vì nên .
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
.
Vậy .
Dấu bằng xảy ra khi .
Do đó điều kiện để bất phương trình đã cho có nghiệm là .
Câu 48: Đáp án B.
Điều kiện:
.
Ta có: 
 k
Đặt .
Ta có với thì .
Bất phương trình đã cho trở thành
 (*)
Bất phương trình đã cho thỏa mãn với mọi (*) thỏa mãn với mọi .
Ta có thì
.
Vậy ta phải có có 2 ước nguyên dương là 1 và 5.
Chú ý: Xem lại chủ đề Hàm số.
Câu 49: Đáp án B.
* .
* Tam thức có 2 nghiệm và (do có ).
- Nếu thì Bất phương trình có nghiệm duy nhất không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Nếu thì
.
Do đó hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Nếu thì
.
Do đó để hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1 thì ta phải có .
* Vậy là giá trị duy nhất của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 50: Đáp án C.
Gọi và lần lượt là diện tích trồng đậu và trồng cà.
Điều kiện: và .
Số công cần dùng là
.
Số tiền lãi thu được là (triệu đồng).
Ta tìm giá trị lớn nhất của với x, y thỏa mãn hệ bất phương trình .
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC với , và .
Lập bảng:
Đỉnh
T
0
24
Đỉnh
T
26
24
Vậy số lãi lớn nhất thu được là 26 (triệu đồng), đạt được khi trồng 6a đậu và 2a cà.