Giáo án Toán Lớp 12 - Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Trường:..
Tổ: TOÁN
Ngày soạn: ../../2021
Tiết: 
Họ và tên giáo viên: 
Ngày dạy đầu tiên:..
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - HH: 12
Thời gian thực hiện: ..... tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Biết tính tích có hướng giữa hai vectơ.
- Nhận biết được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Viết được phương trình tổng quát và phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
- Tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Xác định được vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, hai mặt phẳng song song.
- Vận dụng được kiến thức tọa độ vào giải quyết bài toán hình học cổ điển.
2. Năng lực
 - Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.
- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ toán học.
3. Phẩm chất 
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống. 
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của giáo viên.
- Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.
- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU 
 - Kiến thức về tọa độ điểm, tọa độ vectơ trong không gian. 
 - Máy chiếu.
 - Bảng phụ.
 - Phiếu học tập.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC : 
1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU 
a) Mục tiêu: Ôn tập các kiến thức về tọa độ điểm, tọa độ vectơ trong không gian.
b) Nội dung: Giáo viên hướng dẫn, tổ chức học sinh ôn tập, tìm tòi các kiến thức liên quan bài học đã biết thông hoạt động H1 và H2.
H1- Hoàn chỉnh các phép toán sau?
H2- Hãy đặt các điểm đã cho trong hình sau vào mặt phẳng tọa độ có chứa điểm đó? (Với )
, , , , , , , , 
:
:
c) Sản phẩm: 
Câu trả lời của HS:
H1- Hoàn chỉnh các phép toán sau?
H2- Hãy đặt các điểm đã cho trong hình sau vào mặt phẳng tọa độ có chứa điểm đó? (Với )
, , , , , , , , 
: 
:
d) Tổ chức thực hiện: 
*) Chuyển giao nhiệm vụ : 
- Giáo viên nêu nhiệm vụ:
+ Hãy nhắc lại cách tính các phép toán của vectơ trên hệ trục tọa độ .
+ Hãy hoàn thành các kết quả trong bảng H1.
+ Hãy hoàn thành các kết quả trong bảng H1.
*) Thực hiện: Học sinh suy nghĩ độc lập. 
*) Báo cáo, thảo luận: 
- GV gọi lần lượt các hs, lên bảng trình bày câu trả lời của mình.
- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.
*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: 
- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.
- Dẫn dắt vào bài mới.
 Nêu tình huống có vấn đề liên quan đến bài học:
+ Qua câu hỏi H1, ta thấy các kết quả nhận được khi thực hiện các phép toán cộng hai vectơ, trừ hai vectơ và nhân vectơ với một số thực đều cho ra kết quả là một vectơ mới. Riêng tích vô hướng của hai vectơ lại là một số thực. Bài học hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu thêm một phép toán về nhân hai vectơ mà kết quả là một vectơ mới gọi là tích có hướng của hai vectơ.
+ Qua câu hỏi H2, các diểm không thuộc mặt phẳng tọa độ. Làm thế nào để tìm được mặt phẳng chứa các điểm này?
2.HOẠT ĐỘNG 2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
1. Hình thành kiến thức vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
a) Mục tiêu: Hình thành được khái niệm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ.
c) Sản phẩm:
Cho mp (P).
Nếu vectơ ¹ và có giá vuông góc với (P) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của (P).
Bài toán: Trong KG, cho mp (P) và hai vectơ không cùng phương , có giá song song hoặc nằm trong (P). Chứng minh rằng (P) nhận vectơ sau làm VTPT:
Vectơ xác định như trên chính là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ và .
Kí hiệu: hoặc .(tích có hướng của 2 véctơ đã học ở chủ đề trước)
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
Cho mp (P) và véctơ như hình vẽ
GV cho HS nhận xét về giá của với mp(P) và gợi ý HS nêu định nghĩa VTPT của mặt phẳng.
Để chứng minh là VTPT của (P), ta cần chứng minh vấn đề gì?
Bài toán: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mp (P) và hai vectơ không cùng phương , có giá song song hoặc nằm trong (P). Chứng minh rằng (P) nhận vectơ sau làm VTPT:
Vectơ xác định như trên chính là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ và .Kí hiệu: 
 hoặc .(tích có hướng của 2 véctơ đã học ở chủ đề trước)
Ví dụ: Tìm một VTPT của mặt phẳng qua 3 điểm .
Thực hiện
 - HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ.
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm.
Báo cáo thảo luận
+ Nếu vectơ ¹ và có giá vuông góc với (P) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của (P).
+ Trong không gian với hệ tọa độ , cho mp (P) và hai vectơ không cùng phương , có giá song song hoặc nằm trong (P). 
Vectơ xác định như trên chính là VTPT của (P). Ký hiệu
 hoặc 
Ví dụ: Tìm một VTPT của mặt phẳng qua 3 điểm .
Hướng dẫn
Tính , , 
Tính ?
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
- Chốt kiến thức và các bước thực hiện VTPT của mặt phẳng.
2. Hình thành kiến thức phương trình tổng quát của mặt phẳng
a) Mục tiêu: Hình thành công thức và biết cách viết được phương trình tổng quát của mặt phẳng khi biết véctơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng.
b)Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ
H1: Bài toán 1. Cho mặt phẳng có véctơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng . Điều kiện cần và đủ để thuộc .
H2: Bài toán 2. Cho mặt phẳng có phương trình . Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng . 
H3: Ví dụ 1: Cho mặt phẳng có phương trình . Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
H4: Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có véctơ pháp tuyến 
c) Sản phẩm:
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Định nghĩa: Phương trình , trong đó , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét:
a) (P): Þ (P) có 1 VTPT là .
b) PT của (P) qua và có VTPT là:
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng có phương trình . Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Giải
Một véctơ pháp tuyến của là .
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có véctơ pháp tuyến .
Giải
PT của (P) qua và có VTPT là:
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
- GV trình chiếu bài toán 1 và bài toán 2. (Có thể dùng bìa cứng để minh họa)
® Vấn đề 1:
 Để HS tìm điều kiện cần và đủ để điểm thuộc mp (a) là 
®Vấn đề 2:
 Phương trình là một mặt phẳng nhận véctơ làm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Từ đó, đi đến định nghĩa phương trình tổng quát mặt phẳng.
Sau đó củng cố công thức bằng 2 ví dụ.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng có phương trình . Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có véctơ pháp tuyến .
Thực hiện
 - HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ.
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm.
Báo cáo thảo luận
 - HS nêu bật được cách thiết lập phương trình đường thẳng và tìm VTPT cho bởi phương trình .
Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mp (a) là .
- HS giải được các ví dụ minh họa.
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng có phương trình . Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Giải
Một véctơ pháp tuyến của là .
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có véctơ pháp tuyến .
Giải
PT của (P) qua và có VTPT là:
.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
- Chốt kiến thức và các bước thực hiện viết phương trình tổng quát của mặt phẳng.
3. Hình thành kiến thức các trường hợp riêng của mặt phẳng
a) Mục tiêu: Hình thành kiến thức về các trường hợp riêng của mặt phẳng
b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ.
c) Sản phẩm
+) D = 0 Û (P) đi qua O.
+) A = 0 Û .
+ A = B = 0 Û .
+ (P) cắt các trục lần lượt tại .
Nhận xét: Nếu các hệ số A, B, C, D đều khác 0 thì có thể đưa phương trình của (P) về dạng:	(2). (2) được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
Học sinh quan sát hình minh họa từ bảng phụ rồi trả lời các câu hỏi sau.
CH1: Khi (P) đi qua O, tìm D?
CH2: Phát biểu nhận xét khi một trong các hệ số A, B, C bằng 0?
CH3: Tìm giao điểm của (P) với các trục toạ độ?
Chia lớp làm 3 nhóm. Phân công mỗi nhóm trả lời 1 câu hỏi.
Thực hiện
- HS thảo luận theo nhóm, thực hiện nhiệm vụ.
- GV theo dõi, hỗ trợ, hướng dẫn các nhóm.
Báo cáo thảo luận
Học sinh mỗi nhóm suy nghĩ và trả lời câu hỏi của mình vào giấy nháp.
Mỗi nhóm cử đại diện trình bày
+) D = 0 Û (P) đi qua O.
+) A = 0 Û .
+ A = B = 0 Û .
+ (P) cắt các trục lần lượt tại .
Nhận xét: Nếu các hệ số A, B, C, D đều khác 0 thì có thể đưa phương trình của (P) về dạng: (2).
 (2) được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
- Chốt kiến thức và các bước thực hiện tìm các trường hợp riêng của mặt phẳng.
4. Hình thành kiến thức về điều kiện hai mặt phẳng song song và hai mặt phẳng vuông góc
a) Mục tiêu: Hình thành kiến thức về điều kiện hai mặt phẳng song song và hai mặt phẳng vuông góc.
b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ
c) Sản phẩm
· 
· 
· cắt nhauÛ .
· 
·) 
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
1) Học sinh làm việc cá nhân giải quyết ví dụ sau. 
Cho 2 mặt phẳng và lần lượt có phương trình là:
Có nhận xét gì về vectơ pháp tuyến của chúng?
2) Học sinh làm việc cá nhân giải quyết ví dụ sau. 
Trong không gian cho hai mặt phẳng và có phương trình:
a) Xét quan hệ giữa hai VTPT khi hai mp vuông góc?
b) Tìm điều kiện để hai mặt phẳng và vuông góc.
Ví dụ 1: Viết PT mp (P) đi qua điểm và song song với mp (Q): .
Giải
Vì (P) // (Q) nên (P) có VTPT .
Þ (P): 
Û .
Ví dụ 2:
1) Xác định m để hai mp sau vuông góc với nhau:
(P): 
(Q): 
2) Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm 
và vuông góc với mp (Q): .
Giải
1)Û .
 2) (P) có cặp VTCP là:
 và . 
Þ (P): .
Thực hiện
 - HS thảo luận theo nhóm, thực hiện nhiệm vụ.
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm.
Báo cáo thảo luận
Học sinh mỗi nhóm suy nghĩ và trả lời câu hỏi của mình vào giấy nháp.
Mỗi nhóm cử đại diện trình bày
· 
· 
· cắt nhauÛ .
· 
·) 
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
- Chốt kiến thức và các bước thực hiện vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
5. Hình thành kiến thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
a) Mục tiêu: Hình thành kiến thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .
b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ.
c) Sản phẩm
Định lý: (SGK trang 78). .
Ví dụ
1) Tính khoảng cách từ đến mp(P): 
2) Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng . 
Giải
1) .
2) Ta có: (α) //(β) nên với: .
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
1) Học sinh làm việc cá nhân nhắc lại công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng học lớp 10?
HS: Cho và đường thẳng D :
.
2) Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên gợi ý học sinh phát biểu công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ: 
1) Tính khoảng cách từ đến 
2) Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng 
Giải
1) .
2) Ta có: (α) //(β) nên:
với: .
Suy ra: .
Thực hiện
 - HS thảo luận theo nhóm, thực hiện nhiệm vụ.
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm.
Báo cáo thảo luận
Học sinh mỗi nhóm suy nghĩ và trả lời câu hỏi của mình vào giấy nháp.
Mỗi nhóm cử đại diện trình bày.
Công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
.
Ví dụ: 
1) Tính khoảng cách từ đến mp(P): 
2) Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng 
Giải
1) .
2) Ta có: (α) //(β) nên:
với: .
.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
- Chốt kiến thức và các bước thực hiện tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng.
3. HOẠT ĐỘNG: LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Nắm vững các kiến thức cơ bản như xác định được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, viết phương trình mặt phẳng và công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
b) Nội dung:
Bài tập 1: Cho tứ diện có đỉnh là: , , , .
a) Viết phương trình mặt phẳng , .
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua và song song .
Bài tập 2: 
a) Lập phương trình mặt phẳng chứa trục và điểm .
b) Lập phương trình mặt phẳng đi qua và song song mặt phẳng .
Bài tập 3: Xác định để hai mặt phẳng và song song với nhau.
c) Sản phẩm: Học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình.
Bài tập 1: Cho tứ diện có đỉnh là: , , , .
a) Viết phương trình mặt phẳng , .
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua và song song .
Lời giải
Ø Ta có , . 
Gọi .
Ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Vậy phương trình của mặt phẳng là: 
.
Ø Ta có , 
Gọi .
Ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Vậy phương trình của mặt phẳng là: 
.
Ta có , 
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là . Vậy phương trình của là 
Bài tập 2: 
a) Lập phương trình mặt phẳng chứa trục và điểm .
b) Lập phương trình mặt phẳng đi qua và song song mặt phẳng .
Lời giải
Ta có , .
Mặt phẳng chứa trục và điểm có vectơ pháp tuyến là . Vậy phương trình mặt phẳng là 
Vì mặt phẳng song song với mặt phẳng nên phương trình mặt phẳng có dạng: 
Điểm thuộc nên thay tọa độ của vào ta được: 
Vậy phương trình mặt phẳng là .
Bài tập 3: Xác định để hai mặt phẳng và song song với nhau.
Lời giải
	Ta có: 
Vậy với thì hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau.
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
GV: Chia lớp thành 4 nhóm. 
Học sinh làm việc theo nhóm giải quyết bài tập 1 trước, sau đó giải quyết bài tập 2, tiếp theo đó là bài tập 3.
HS: Nhận nhiệm vụ.
Thực hiện
GV: Điều hành, qua sát, hỗ trợ.
HS: 4 nhóm tự phân công nhóm trưởng, các nhóm học sinh suy nghĩ và làm bài vào bảng phụ.
Báo cáo thảo luận
Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận.
Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo. Giáo viên chuẩn hóa lời giải bài toán 
Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo.
4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.
a) Mục tiêu: Học sinh có thể xác định tọa độ các vectơ, từ đó áp dụng vào các bài toán tính khoảng cách và vị trí tương đối hai mặt phẳng.
b) Nội dung
PHIẾU HỌC TẬP
Vận dụng 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho mặt cầu , điểm . Mặt phẳng đi qua và cắt mặt cầu theo thiết diện là hình tròn có diện tích nhỏ nhất. Tìm một vectơ pháp tuyến của ?
A. .	B. .	C..	D..
Vận dụng 2: Trong không gian với hệ toạ độ , mặt phẳng đi qua điểm và cắt các tia các đoạn bằng nhau có phương trình là: 
A. 	B. 
C. 	D. 
Vận dụng 3: Trong không gian , cho tứ diện có , , , . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng song song với mặt phẳng và chia tứ diện thành hai khối và có tỉ số thể tích bằng 
A. 	B. 
C. 	D. 
Vận dụng 4: Trong không gian cho hai điểm , và mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm M thuộc sao cho nhỏ nhất.
A. .	B. . 	
C. .	D. .
Vận dụng 5: Trong không gian cho hai điểm , và mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm M thuộc sao cho lớn nhất.
A. .	B. . 
C. .	D. .
c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh.
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
GV: Chia lớp thành 4 nhóm, phát phiếu học tập cuối tiết 33 của bài. 
HS: Nhận nhiệm vụ.
Thực hiện
Các nhóm học sinh thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài tập ở nhà.
Báo cáo thảo luận
Đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết 34.
Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. 
Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.
Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.
Ø Hướng dẫn làm bài
Vận dụng 1: Mặt cầu có tâm . 
Ta có nên điểm nằm trong mặt cầu.
Ta có: 
Diện tích hình tròn nhỏ nhất nhỏ nhất lớn nhất. 
Do , khi đó mặt phẳng đi qua và nhận làm vectơ pháp tuyến. Suy ra B đúng.
Vận dụng 2: 
Gọi , là giao điểm của mặt phẳng và các tia . 
Phương trình mặt phẳng qua A, B, C là: . 
Mặt phẳng qua điểm 
Ta có .
Vận dụng 3: 
Tỷ số thể tích hai khối và : 
 chia cạnh theo tỉ số 
. Vậy . 
; . 	
Vectơ pháp tuyến của . 
. 
Vận dụng 4: 
Gọi I là trung điểm AB 
Ta có: 
 nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I lên mặt phẳng 
Vận dụng 5: 
Thay tọa độ , vào phương trình mặt phẳng ta thấy nên A, B khác phía đối với 
Gọi đối xứng với A qua 
Ta có: 
 lớn nhất bằng khi thẳng hàng 
Dùng công thức tính nhanh tìm tọa độ điểm đối xứng ta tính được 
Phương trình đường thẳng đi qua và có VTCP là .
 nên giải phương trình được .