Chứng minh rằng
(a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax - by - cz - dt)2 + (bx +
ay - dz + ct)2 + (cx + dy + az - dt)2 + (dx - cy + bz + at)2
2. Chứng minh rằng từ các đẳng thức ax-by-cz-dt = 0, bx+ay-dz+ct = 0,
cx + dy + az - dt = 0, và dx - cy + bz + at = 0 ta suy ra rằng hoặc
a = b = c = d = 0 hoặc x = y = z = t = 0.
3. Chứng minh rằng ta có đồng nhất sau
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)-(ax+by+cz)2 = (bx-ay)2+(cy-bz)2+(az-cx)2
Mục lục 1 Các bài toán Đại số và Lượng giác 2 1.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Các đẳng thức Lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Phương trình và bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 Chương 1 Các bài toán Đại số và Lượng giác 1.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý 1. Chứng minh rằng (a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax − by − cz − dt)2 + (bx + ay − dz + ct)2 + (cx+ dy + az − dt)2 + (dx− cy + bz + at)2 2. Chứng minh rằng từ các đẳng thức ax−by−cz−dt = 0, bx+ay−dz+ct = 0, cx + dy + az − dt = 0, và dx − cy + bz + at = 0 ta suy ra rằng hoặc a = b = c = d = 0 hoặc x = y = z = t = 0. 3. Chứng minh rằng ta có đồng nhất sau (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)−(ax+by+cz)2 = (bx−ay)2+(cy−bz)2+(az−cx)2 4. Chứng minh rằng các đồng nhất nói trong các bài toán trước có thể mở rộng như sau (a21 + a 2 2 + ã ã ã+ a2n)(b21 + b22 + ã ã ã+ b2n)− (a1b1 + a2b2 + ã ã ã+ anbn)2 = = (a1b2 − a2b1)2 + (a1b3 − a3b1)2 + ã ã ã+ (an−1bn − anbn−1)2 5. Giả sử rằng n(a21 + a 2 2 + ã ã ã + a2n) = (a1 + a2 + ã ã ã + an)2 . Chứng minh rằng a1 = a2 = ã ã ã = an 6. Chứng minh rằng từ đẳng thức (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = (y + z − 2x)2 + (z + x− 2y)2 + (x+ y − 2z)2 ta suy ra rằng x = y = z 7. Chứng minh các đồng nhất thức sau (a2 − b2)2 + (2ab)2 = (a+ b)2 (6a2−4ab+4b2)3 = (3a2+5ab−5b2)3+(4a2−4ab+6b2)3+(5a2−5ab−3b2)3 2 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 3 8. Chứng minh rằng (p2 − q2)4 + (2pq + q2)4 + (2pq + p2)4 = 2(p2 + pq + q2)4 9. Chứng minh rằng X2 + XY + Y 2 = Z3 nếu X = q3 + 3pq2 − p3, Y = −3pq(p+ q), và Z = p2 + pq + q2 10. Chứng minh rằng (3a+ 3b)k + (2a+ 4b)k + ak + bk = (3a+ 4b)k + (a+ 3b)k + (2a+ b)k với k = 1, 2, 3. 11. Chứng minh rằng nếu x+ y + z = 0 thì (ix−ky)n+(iy−kz)n+(iz−kx)n = (iy−kx)n+(iz−ky)n+(ix−kz)n khi n = 0, 1, 2, 4 trong đó i là đơn vị ảo, ie... i2 = −1. 12. Chứng minh rằng xn + (x + 3)n + (x + 5)n + (x + 6)n + (x + 9)n + (x + 10)n +(x+12)n +(x+15)n = (x+1)n +(x+2)n +(x+4)n +(x+7)n + (x+ 8)n + (x+ 11)n + (x+ 13)n + (x+ 14)n khi mà n = 0, 1, 2, 3 13. Chứng minh các đồng nhất thức sau đây i. (a+ b+ c+ d)2 +(a+ b− c− d)2 +(a+ c− b− d)2 +(a+ d− b− c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2) ii. (a2 − b2 + c2 − d2)2 + 2(ab− bc+ dc+ ad)2 = (a2 + b2 + c2 + d2)2 − 2(ab− ad+ bc+ dc)2 iii.(a2−c2+2bd)2+(d2−b2+2ac)2 = (a2−b2+c2−d2)2+2(ab−bc+dc+ad)2 14. Chứng minh đồng nhất thức sau đây (a+b+c)4+(a+b−c)4+(a−b+c)4+(−a+b+c)4 = 4(a4+b4+c4)+24(a2b2+b2c2+c2a2) 15. Cho s = a+ b+ c = 2p . Chứng minh rằng∑ sym s(s− 2b)(s− 2c) = (s− 2a)(s− 2b)(s− 2c) + 8abc ∑ sym a(p− a)2 = abc− 2(p− a)(p− b)(p− c) 16. Cho s = a+ b+ c và 2δ = a2 + b2 + c2 . Chứng minh rằng∑ sym (δ2 − a2)(δ2 − b2) = 4s(s− a)(s− b)(s− c) Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 4 17. Chứng minh rằng nếu a+ b+ c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc Bài giải. Hãy chú ý rằng ta có đẳng thức a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca) 18. Cho các số a, b, c . Đơn giản biểu thức sau đây (a+ b+ c)3 − ∑ sym (a+ b− c)3 19. Chứng minh rằng (a− b)3 + (b− c)3 + (c− a)3 = 3(a− b)(b− c)(c− a) [(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2]2 = 2[(a− b)4 + (b− c)4 + (c− a)4] 20. Cho a+ b+ c = 0 , chứng minh rằng ta có các đẳng thức sau đây • 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2 • a5+b5+c5 5 = abc ã a2+b2+c2 2 • a3+b3+c3 3 ã a2+b2+c2 2 = a 5+b5+c5 5 • a7+b7+c7 7 = a 2+b2+c2 2 ã a5+b5+c5 5 • a7+b7+c7 7 = a 3+b3+c3 3 ã a4+b4+c4 4 ã 21. Cho 2n số a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn và giả sử rằng sk = a1b1 + a2b2 + ã ã ã+ akbk với k = 1, 2, ..., n. Chứng minh rằng n∑ k=1 akbk = n∑ k=1 (ak − ak+1)sk theo modulo n (Khai triển Abel ). 22. Giả sử rằng a1 + a2 + ã ã ã+ an = n2s . Chứng minh rằng n∑ k=1 (s− ak)2 = n∑ k=1 a2k 23. Cho đa thức hai biến dạng Ax2 + 2Bxy +Cy2 . Chứng minh rằng qua phép đổi biển x = αu + βv và y = γu + δv đa thức trên có thể viết lại ở dạng Mu2 +2Nuv+Pv2 với N2−MP = (B2−AC)(αδ−βγ)2 . Hãy mở rộng bài toán cho các dạng bậc hai nhiều chiều. Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 5 24. Cho 2n số a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn thoả mãn ai + bi = 1 và a = a1 + a2 + ã ã ã+ an n b = b1 + b2 + ã ã ã+ bn n Chứng minh rằng n∑ k=1 akbk = nab− (a1 − a)2 − (a2 − a)2 − ã ã ã − (an − a)2 25. Chứng minh rằng 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + ã ã ã+ 1 2n− 1 − 1 2n = 1 n+ 1 + 1 n+ 2 + ã ã ã+ 1 2n 26. Chứng minh rằng (1+ 1 x− 1)(1− 1 2x− 1)(1+ 1 3x− 1) ã ã ã (1+ 1 (2n− 1)x− 1)(1− 1 2nx− 1) = = (n+ 1)x (n+ 1)x− 1 ã (n+ 2)x (n+ 2)x− 1 ã ã ã (n+ n)x (n+ n)x− 1 27. Chứng minh rằng x3 = (x ã x 3 − 2y3 x3 + y3 )3 + (y ã 2x 3 − y3 x3 + y3 )3 28. Chứng minh đồng nhất thức sau đây 2 x2 − 1 + 4 x2 − 4 + 6 x2 − 9 + ã ã ã + 20 x2 − 100 = 11 ( 1 (x− 1)(x+ 10) + 1 (x− 2)(x+ 9) + ã ã ã + 1 (x− 10)(x+ 1) ) 29. Chứng minh rằng từ đẳng thức a b = c d ta suy ra đẳng thức ab cd = (a+ b)2 (c+ d)2 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 6 30. Giả sử rằng x = a− b a+ b ; y = b− c b+ c ; z = c− a c+ a Chứng minh rằng (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1− x)(1− y)(1− z) 31. Chứng minh rằng từ đẳng thức (a+ b+ c+ d)(a− b− c+ d) = (a− b+ c− d)(a+ b− c− d) suy ra đẳng thức a c = b d 32. Giả sử rằng ax+ by + cz = 0 . Chứng minh rằng ax2 + by2 + cz2 bc(y − z)2 + ca(z − x)2 + ab(x− y)2 = 1 a+ b+ c 33. Chứng minh tính đúng đắn của đẳng thức sau đây x2y2z2 a2b2 + (x2 − a2)(y2 − a2)(z2 − a2) a2(a2 − b2) + (x2 − b2)(y2 − b2)(z2 − b2) b2(b2 − a2) = x2 + y2 + z2 − a2 − b2 34. Giả sử rằng Sk = ak (a− b)(a− c) + bk (b− c)(b− a) + ck (c− a)(c− b) Chứng minh rằng S−2 = 1abc ã ( 1a + 1b + 1c );S−1 = 1abc ;S0 = S1 = 0;S2 = a+ b+ c;S4 = ab+ bc+ ca+ a 2 + b2 + c2;S5 = a 3 + b3 + c3 + a2b+ ab2 + b2c+ bc2 + c2a+ ca2 35. Giả sử rằng Sk = ∑ cyclic ak (a− b)(a− c)(a− d) Chứng minh rằng S0 = S1 = S2 = 0;S3 = 1;S4 = a+ b+ c+ d 36. Giả sử rằng Sk = ∑ cyclic ak (a+ b)(a+ c) (a− b)(a− c) Hãy xác định S0, S1, S2, S3, S4 . Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 7 37. Chứng minh rằng ta có đồng nhất thức sau đây∑ cyclic ab (c− x)(c− y)(c− z) (c− a)(c− b) = abc− xyz 38. Chứng minh rằng∑ cyclic a2b2c2 (a− d)(b− d)(c− d) = abc+ bcd+ cda+ dab 39. Hãy làm đơn giản biểu thức sau đây∑ cyclic ak (a− b)(a− c)(x− a) với k = 1, 2 . 40. Chứng minh đồng nhất thức sau đây∑ cyclic b+ c+ d (a− b)(a− c)(a− d)(a− x) = x− a− b− c− d (x− a)(x− b)(x− c)(x− d) 41. Chứng minh rằng ∑ cyclic ak (x− b)(x− c) (a− b)(a− c) = x k với k = 0, 1, 2 42. Chứng minh rằng nếu a+ b+ c = 0 thì ( a− b c + b− c a + c− a b )( c a− b + a b− c + b c− a) = 9 43. Hãy chứng minh rằng a− b a+ b + b− c b+ c + c− a c+ a + a− b a+ b ã b− c b+ c ã c− a c+ a = 0 44. Chứng minh rằng ∑ cyclic b− c (a− b)(a− c) = 2 ∑ sym 1 a− b 45. Cho ∑ sym b2 + c2 − a2 2bc = 1 Chứng minh rằng hai trong ba phân thức bằng 1 và phân thức còn lại bằng −1 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 8 46. Chứng minh rằng từ đẳng thức 1 a + 1 b + 1 c = 1 a+ b+ c Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương lẻ n ta có đẳng thức 1 an + 1 bn + 1 cn = 1 an + bn + cn 47. Chứng minh rằng từ đẳng thức bz + cy x(−ax+ by + cz) = cx+ az y(ax− by + cz) = ay + bx z(ax+ by − cz) suy ra x a(b2 + c2 − a2) = y b(c2 + a2 − b2) = z c(a2 + b2 − c2) 48. Cho a+ b+ c = x+ y + z = x a + y b + z c = 0 Chứng minh rằng xa2 + by2 + cz2 = 0 49. Cho a3+b3+c3 = (b+c)(c+a)(a+b) và (b2+c2−a2)x = (c2+a2−b2)y = (a2 + b2 − c2)z . Chứng minh rằng x3 + y3 + z3 = (x+ y)(y + z)(z + x) 50. Cho 1 x + 1 y = 1 z Chứng minh rằng (z − x)2 + z2 (z − y)2 + z2 = x2 y2 51. Chứng minh rằng tổng ba phân số b− c 1 + bc , c− a 1 + ca , a− b 1 + ab bằng tích của chúng . 52. Chứng minh rằng đẳng thức sau đây∑ cyclic ak (x− b)(x− c)(x− d) (a− b)(a− c)(a− d) = x k với k = 0, 1, 2, 3 . Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 9 53. [HongKong TST 2004] Đặt x = 3 √ 4+ 3 √ 2+1. Hãy xác định giá trị của biểu thức (1 + 1 x )3 54. Chứng minh các đồng nhất thức sau đây • (a+ b+ c)(bc+ ca+ ab) = abc+ (b+ c)(c+ a)(a+ b) • (a2 − 1)(b2 − 1)(c2 − 1) + (a+ bc)(b+ ca)(c+ ab) = (abc+ 1)(a2 + b2 + c2 + 2abc− 1) • (b+ c− a)3 + (c+ a− b)3 + (a+ b− c)3 − 4(a3 + b3 + c3 − 3abc) = 3(b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c) • ∑cyclic a4(b2 − c2) = (∑cyclic a2(b− c))(a+ b)(b+ c)(c+ a) • a5 + b5 − (a+ b)5 = −5ab(a2 + ab+ b2) • (a+ b)7 − a7 − b7 = 7ab(a+ b)(a2 + ab+ b2)2 55. Chứng minh rằng nếu xy + yz + zx = 0 thì∏ sym (x+ y)2 + 24x2y2z2 = ∑ sym x4(y + z)2 56. Chứng minh rằng từ đẳng thức xy + yz + zx = 1 ta nhận được đẳng thức∑ sym x 1− x2 = 4xyz (1− x2)(1− y2)(1− z2) 57. Đặt f(a, b, c) = | |b− a||ab| + b+ a ab − 2 c |+ |b− a||ab| + b+ a ab + 2 c Chứng minh rằng f(a, b, c) = 4max{1 a , 1 b , 1 c } 58. Chứng minh rằng nếu a b+ c + b c+ a + c a+ b = 1 thì ta có đẳng thức a2 b+ c + b2 c+ a + c2 a+ b = 0 59. Hãy tìm các giá trị có thể nhận của biểu thức x+ y z + t + y + z t+ x + z + t x+ y + t+ x y + z nếu biết rằng x y + z + t = y z + t+ x = z t+ x+ y = t x+ y + z Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.10 60. Chứng minh rằng từ đẳng thức x+ y = z + t ta suy ra đẳng thức x2 + y2 + z2 + t2 = (x+ y)2 + (x− z)2 + (x− t)2 61. Cho ab+ bc+ ca = 1 , chứng minh rằng ta có đẳng thức (1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) = [(a+ b)(b+ c)(c+ a)]2 62. Cho ba số a, b, c thoả mãn b 6= c , a + b 6= c và c2 + 2(ab − bc − ca) = 0. Chứng minh rằng ta có đẳng thức sau đây a2 + (a− c)2 b2 + (b− c)2 = a− c b− c 63. Chứng minh rằng nếu a b− c + b c− a + c a− b = 0 thì ta có đẳng thức a (b− c)2 + b (c− a)2 + c (a− b)2 = 0 64. Cho các số thực x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 0, a = √ y2 + yz + z2 b = √ z2 + zx+ x2, c = √ x2 + xy + y2 Chứng minh rằng ta có đẳng thức (a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b) = 0 65. Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn đẳng thức ac+ bd = (b+ d+ a− c)(b+ d− a+ c) . Chứng minh rằng (ab+ cd)(ad+ bc) = (ac+ bd)(a2 − ac+ c2) 66. Cho các số thực a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Chứng minh rằng a+ b2 + c3 = 1 . 67. Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a+ b2 = c+d2, a2+ b = c2+d. Chứng minh rằng nếu a+ b+ c+ d ≤ 2 thì {a, b} = {x, y} 68. Giả sử rằng a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn đẳng thức a + b + c + d = a7 + b7 + c7 + d7 = 0. Chứng minh rằng (a+ b)(a+ c)(a+ d) = 0 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.11 69. Chứng minh đồng nhất thức sau đây∑ cyclic ak (a− x)(a− y) (a− b)(a− c) = xy abc 70. Chứng minh các đồng nhất thức sau đây • ∑cyclic x(y + z)2 − 4xyz = (x+ y)(y + z)(z + x) • 1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 = (1 + x)(1 + x+ x2)(1− x+ x2) • (ab+ bc+ ca)(a+ b+ c)− abc = (a+ b)(b+ c)(c+ a) • (1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5)2− x5 = (1+ x+ x2 + x3 + x4) ã (1 + x+ x2 + x3 + ... cả các giá trị của a và b sao cho hệ x1 − x2 = a x3 − x4 = b x1 + x2 + x3 + x4 = 1 có ít nhất một nghiệm thoả mãn xk > 0 với k = 1, 2, 3, 4. Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.73 345. Giải phương trình 3 √ 1 + √ x+ 3 √ x+ ã ã ã = 2 346. Giải phương trình (x+ 1)(x+1) (x+1) . . . = 4 347. Cho trước 12 số thực ak, bk, ck với k = 1, 2, 3, 4. Đặt A = (x− a1)2 + (x− b1)2 − c21 B = (x− a2)2 + (x− b2)2 − c22 C = (x− a3)2 + (x− b3)2 − c23 D = (x− a4)2 + (x− b4)2 − c24 Chứng minh rằng trong 24 = 16 hệ bất phương trình dạng A ≶ 0 B ≶ 0 C ≶ 0 D ≶ 0 có ít nhất hai hệ vô nghiệm. 348. Giải bất phương trình √ 2x+ 4− 2√2− x > 12x− 8√ 9x2 + 16 349. [Czech and Slovak Republics MO 1999] Hãy xác định tất cả các số thực a, b sao cho hệ hai phương trình { x+y x2+y2 = a x3+y3 x2+y2 = b có nghiệm thực. 350. [Romania MO 1999] Với a, b dương, ta ký hiệu t(a, b) là nghiệm dương của phương trình (a+ b)x2 − 2(ab− 1)x− (a+ b) = 0 Đặt M = { (a, b) ∣∣ a 6= b, t(a, b) ≤ √ab }. Hãy xác định tất cả các cặp (a, b) ∈M sao cho t(a, b) đạt giá trị bé nhất. Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.74 351. [Romania MO 1999] Cho các số thực a, b, c với a 6= 0 là các số phức. Ký hiệu z1, z2 là các nghiệm của phương trình az 2 + bz + c = 0 và đặt w1, w2 là các nghiệm của phương trình (a + c)z2 + (b + b)z + (a + c) = 0. Chứng minh rằng nếu |z1|, |z2| < 1 thì |w1| = |w2| = 1. 352. [ Vietnam MO 1999] Giải hệ phương trình{ (1 + 42x−y) ã 51−2x+y = 1 + 262x− y + 1 y3 + 4x+ 1 ln(y2 + 2x) = 0 353. [Vietnam Selection Team for IMO 1999] Xét tất cả các số thực a, b thoả mãn a 6= 0, a 6= b và tất cả các nghiệm của phương trình ax3 − x2 + bx− 1 = 0 là các số thực và dương. Xác định giá trị bé nhất có thể của biểu thức P = 5a2 − 3ab+ 2 a(b− a) 354. [Poland MO 2000] Cho số nguyên n ≥ 2. Hỏi rằng hệ sau có bao nhiêu nghiệm thực không âm x1 + x 2 n = 4xn x2 + x 2 1 = 4x1 ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã xn + x 2 n−1 = 4xn−1 355. Giải hệ phương trình { 2x2 − xy + 3y2 = 13 x2 + 4xy − 2y2 = 16 356. Giải và biện luận hệ xyz x+y = m xyz y+z = 1 xyz z+x = 2 357. Giải phương trình (x+ a)4 + (x+ b)4 = c. 358. Giải hệ x+ y = z2 x = 2(y + z) xy = 2(z + 1) Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.75 359. Giải hệ xy = x+ 3y yz = 2(2y + z) zx = 3(3z + 2x) 360. Giải hệ (x+ y + z)3 = 12t (y + z + t)3 = 12x (x+ z + t)3 = 12y (x+ y + t)3 = 12z 361. Giải hệ{√ x+ 1 + √ x+ 3 + √ x+ 5 = √ y − 1 +√y − 3 +√y − 5 x+ y + x2 + y2 = 80 362. Giải các phương trình sau đây (a) √ 3x2 − 7x+ 3−√x2 − 2 = √3x2 − 5x− 1−√x2 − 3x+ 4 (b) √ x2 + 15 = 3x− 2 +√x2 + 8 (c) 3 √ x2 − 1 + x = 3√x3 − 2 (d) √ x+4+ √ x−4 2 = x+ √ x2 − 16− 6 (e) 2 √ (2− x)(5− x) = x+√(2− x)(10− x) 363. Giải các phương trình và bất phương trình dưới đây (a) √ 2x+ 15 = 32x2 + 32x− 20 (b) √ x2 − x+ 19 +√17x2 + 8x+ 13 +√13x2 + 17x+ 7 = 3√3(x+ 2) (c) 2x2 + 4x = √ x+3 2 (d) √ 4− x2 +√4x+ 1 +√x2 + y2 − 2y − 3 = 4√x4 − 16 + 5− y (e) x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) ≥ 9 16 (f) √ x2 − 8x+ 816 +√x2 + 10x+ 267 = √2003 (g) x+ x√ x2−1 > 35 12 (h) √ 1− x2 = 4x3 − 3x 364. Giải hệ x2 + x− y − 1 = 0 y2 + y − z − 1 = 0 z2 + z − t− 1 = 0 t2 + t− x− 1 = 0 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.76 365. Xác định m để hệ sau đây có nghiệm x2 + y2 − x2 + xy − yz − zx = 1 y2 + z2 + yz = 2 x2 + z2 + zx = m 366. Giải hệ (x− 1)4(y − 2)2z3t6 = 1024 4x2 + z3 + 16y + t6 = 8x+ 76 x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ 0; t ≥ 0 367. Giải hệ {√ x2 + 21 = √ y − 1 + y2√ y2 + 21 = √ x− 1 + x2 368. Tìm m để phương trình √ x2 + x+ 1− √ x2 − x+ 1 = m có nghiệm. 369. Giả sử rằng đa thức p(x) = x5+ax2+b có năm nghiệm thực x1, x2, x3, x4, x5. Ký hiệu f(x) = x2 − 3. Chứng minh bất đẳng thức f(x1) ã f(x2) ã f(x3) ã f(x4) ã f(x5) ≥ −234 370. Hãy xác định tất cả các giá trị của tham số a để phương trình √ 2 + x+ √ 4− x− √ 8 + 2x− x2 = a có duy nhất một nghiệm thực. 371. Giải hệ sau đây{ y6 + y3 + 2x2 = √ xy − x2y2 4xy3 + y3 + 1 2 ≥ 2x2 +√1 + (2x− y)2 372. Giải hệ sau đây x+ y + z = 0 x2 + y2 + z2 = 10 x7 + y7 + z7 = 350 373. Giải và biện luận theo tham số a phương trình aã9x 8 + 84x6 + 126x4 + 36x2 + 1 x8 + 36x6 + 126x4 + 84x2 + 9 +xã9a 8 + 84a6 + 126a4 + 36a2 + 1 a8 + 36a6 + 126a4 + 84a2 + 9 = 0 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.77 374. Giải các phương trình dưới đây (a) √ x+ 3 √ x+ 7 = 4 √ x+ 80 (b) 2x3 − x2 + 3√2x3 − 3x+ 1 = 3x+ 1−√x2 + 2 375. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 4 √ x+ 4 √ 1− x+√x+√1− x = m 376. Giải hệ phương trình { xy3 = 9 x+ 3y = 6 377. Giải hệ √ 1 + x1 + √ 1 + x2 + ã ã ã+ √ 1 + xn = n √ n+1 n√ 1− x1 + √ 1− x2 + ã ã ã+ √ 1− xn = n √ n−1 n ở đây n > 1 là một số nguyên. 378. Chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình x5 − x3 + x − 2 = 0 đều nằm trong khoảng ( 6 √ 3; 6 √ 4 ) 379. Giả sử rằng a, b, c là các số thực thoả mãn a 2003 + b 2004 + c 2005 = 0 Chứng minh rằng phương trình ax2+ bx+ c = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1). 380. Giải hệ phương trình { x3 + y3 = 3xy + 1 x2004 + y2004 = 1 22003 381. Giải phương trình√ x− 1 + 3 √ (x− 1)2(x− 2)+ √ x− 2 + 3 √ (x− 2)2(x− 1) = √ (2x− 3)3 382. Cho các số dương x, y, z thoả mãn hệ 3x2 + 3xy + y2 = 75 y2 + 3z2 = 63 z2 + zx+ x2 = 48 Hãy xác định giá trị của biểu thức xy + 2yz + 3zx. Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.78 383. Hãy tìm tất cả các giá trị của a, b để bất phương trình∣∣ 2 sin2 x+ a sin x+ b ∣∣≤ 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ R. 384. Giải phương trình x2 + x2 (x+ 1)2 = a với a là tham số. 385. Giải phương trình 3 cot2 x+ 2 √ 2 sin2 x = (2 + 3 √ 2) cosx 386. Giải hệ phương trình sau đây x(x+ y) + y(y + z) = 0 x(x+ 1) + y(2z + 1) = 0 (x+ y)2 + (y + z)2 = (x+ 1)2 + (2z + 1)2 2004 387. [04-30 Mathematical Olympiad 2000] Giải hệ phương trình{ (3− 5 y+42x ) √ 2y = 4 (3 + 5 y+42x ) √ x = 2 388. [04-30 Mathematical Olympiad 2000] Giải phương trình 2 sin 2x− 3 √ 2 sin x+ √ 2 cos x− 5 = 0 389. Giải phương trình x+ 1 x2 + 2x + x+ 6 x2 + 12x+ 35 = x+ 2 x2 + 4x+ 3 + x+ 5 x2 + 10x+ 24 390. Tìm m để phương trình cosx+ √ 2− cos2 x+ cosx √ 2− cos2 x = m có nghiệm? 391. Giải phương trình 2x2 + √ 1− x2 + 2x √ 1− x2 = 1 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.79 392. Giải hệ 6x(y2 + z2) = 13yz 3y(z2 + x2) = 5zx 6z(x2 + y2) = 5xy 393. Giải phương trình√ x2 + (1− √ 3x+ 2 + √ x2 + (1 + √ 3)x+ 2 + √ x2 − 2x+ 2 = 3 √ 2 394. Giải hệ x = (y − 1)2 y = (z − 1)2 z = (t− 1)2 t = (x− 1)2 395. Giả sử rằng hai phương trình x2 + ax+ 1 = 0 và x2 + bx+ 1 = 0 thoả mãn tích của một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là nghiệm của phương trình x2 + cx + 1 = 0. Chứng minh rằng ta có hệ thức a2 + b2 + c2 + abc = 4 396. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam thức f(x) = ax2 + bx + c có nghiệm trong khoảng (0; 1) là tồn tại các số dương m < n < p thoả mãn mp ≥ n2 và ma+ nb+ pc = 0. 397. Giải hệ x3 − 3x = y(3x2 − 1) y3 − 3y = z(3y2 − 1) z3 − 3z = t(3z2 − 1) t3 − 3t = x(3t2 − 1) 398. Giải phương trình 2 sin 2x− 3 √ 2 sin x+ √ 2 cos x− 5 = 0 399. [04-30 Mathematical Olympiad 2000] Hãy xác định m để phương trình (4m− 3)√x+ 3 + (3m− 4)√1− x+m− 1 = 0 có nghiệm? Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.80 400. Giả sử rằng a, b, c là ba nghiệm của phương trình x3 − 3x + 1 = 0 sắp xếp theo thứ tự tằng dần. Hãy xác định giá trị của biểu thức P = a b + b c + c a 401. Giải phương trình (x4 + x2 + 2 + √ 3 )(x2 + x+ 1) = x2 + 2x+ 3 402. Hãy xác định giá trị bé nhất của tham số nguyên dương n sao cho phương trình x12 − 4x4√xn − 1 + 1 = 0 có nghiệm. 403. Giải hệ phương trình sau đây xn+2 = xn ã xn+1 + 5x4n xn − xn+1 với n = 1, 8 x1 = x10 x2 = x9 404. Cho hai hàm số f(x) = ax2 + bx+ c và g(x) = a(x2 − x)2 + b(x2 − x) + c. Tìm a, b, c để giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0, 1] của f(x) tương ứng bằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0, 1] của hàm số g(x). 405. [Mathematical Excalibur Vol.8, No.5, 2003] Giải phương trình x3 − 3x = √x+ 2 406. [ Proposed by Fei Zhenpeng, Math. Excalibur Vol.8, No.5, 2003] Giả sử rằng α, β, γ là các số phức thoả mãn hệ α+ β + γ = 1 α2 + β2 + γ2 = 3 α3 + β3 + γ3 = 7 Hãy xác định giá trị của biểu thức α21 + β21 + γ21. 407. [Dutch Mathematical Olympiad 1983] Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a+ 1 b = b+ 1 c = c+ 1 a = p Hãy xác định tất cả các giá trị có thể của p và chứng minh rằng abc+ p = 0. Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.81 408. [Putnam Exam 1974] Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình cos pix = 1 3 là các số vô tỷ. 409. [Math.Excal 1996] Cho n > 2 là một số nguyên và c là một số thực khác không còn z là một nghiệm không thực của phương trình xn + cx + 1 = 0. Chứng minh rằng |z| ≥ 1 n √ n− 1 410. [Problem 52, Math.Excal.] Cho các số thực phân biệt a, b, c thoả mãn hệ a3 = 3(b2 + c2)− 25 b3 = 3(c2 + a2)− 25 c3 = 3(a2 + b2)− 25 Hãy xác định giá trị của biểu thức abc. 411. [British MO 1975; Problem 59, Math.Excali.] Cho n là một số nguyên lớn hơn 2. Hãy xác định tất cả các số thực x1, x2, . . . , xn thoả mãn điều kiện (1− x1)2 + (x1 − x2)2 + ã ã ã+ (xn−1 − xn)2 + x2n = 1 n+ 1 412. [Greek MO 1995; Problem 68, Math.Excali.] Chứng minh rằng nếu phương trình ax2 + (c − b)x + (e − d) = 0 thoả mãn tất cả các nghiệm của nó đều thực và lớn hơn 1 thì phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e = 0 có ít nhất một nghiệm thực. 413. [Israel MO 1995; Problem 71, Math.Excali.] Hãy xác định tất cả các số thực x, y, z thoả mãn hệ x+ ln(x+ √ x2 + 1) = y y + ln(y + √ y2 + 1) = z z + ln(z + √ z2 + 1) = x 414. [Problem 86, Math. Excali.] Giải hệ phương trình √ 3x ( 1 + 1 x+ y ) = 2√ 7y ( 1 + 1 x+ y ) = 2 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.82 415. [Vietnam MO 1996; Problem 91, Math. Excali.] Giải hệ phương trình √ 3x ( 1 + 1 x+ y ) = 2√ 7y ( 1− 1 x+ y ) = 2 416. [Russia MO 1994; Problem 143, Math. Excali.] Giải phương trình cos cos cos cosx = sin sin sin sin x 417. [HongKong TST 2001] Hãy xác định tất cả các số thực x thoả mãn (2x − 4)3 + (4x − 2)3 = (4x + 2x − 6)3 418. [HongKong TST 1989] Giải bất phương trình x−3x−8 > x7 với x > 0 419. [HongKong TST 1989] Hỏi rằng phương trình x 1988 = sinx có bao nhiêu nghiệm? 420. [Chọn đội tuyển trường KHTN Hanoi 2003] Giải phương trình 8t3 + 12t2 + 469t− 48 √ 22t + 69 = 0 421. [Crux Mathematicorum 1996, Vol.22, No.4, Problem M 2150] Giải phương trình sau đây √ 1− x = 2x2 − 1 + 2x √ 1− x2 422. Giải phương trình 4x = 2x + 6 Hà Nội ngày 30 tháng 8 năm 2003 Hà Duy Hưng.
Tài liệu đính kèm: