Giáo án Toán 12 - Chủ đề: Ứng dụng đạo hàm

Chủ đề: 	ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Á1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Bài 1: Cho hàm số .
	a) Khảo sát hàm số khi m=1.
	b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
	c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số 
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
 Bài 3: Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
 Á2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Bài 1: Cho hàm số (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 2: Cho hàm số 
	a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C).
	b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó.
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;¥).
Bài 3: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 4: Cho hàm số 
	a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Á3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
	a) trên [-2;-1/2] ; [1,3).
	b) .
	c)        trên đoạn [0,π]	
	d) 	xÎ[0,π/2]	
	e) trên đoạn [-10,10].
Chủ đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức
Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
? Tập xác định
? Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị
? Tìm y’’ & tính lồi lõm, điểm uốn, bảng xét dấu y’’.
? Giới hạn
? Bảng biến thiên
? Giá trị đặt biệt
? Đồ thị
? Tập xác định
? Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị
? Giới hạn & tiệm cận
? Bảng biến thiên
? Giá trị đặt biệt
? Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
Các dạng đồ thị hàm số: 
F Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) 
x
y
O
·
I
x
y
O
·
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị Û ?
x
y
O
·
I
x
y
O
·
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị Û ?
F Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0)
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị Û ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị Û ?
F Hàm số nhất biến : 
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến
Dạng 1: hsố đồng biến
x
O
I
Chủ đề: CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) 	(1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát 
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox.
Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau:
Bước ‚: Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:
m
Số giao điểm của (C) & (d)
Số nghiệm của pt (1)
........
........
........
........
.......
.......
Bảng 1
g(m)
m
Số giao điểm của (C) & (d)
Số nghiệm của pt (1)
......
.......
........
.........
.......
.......
.........
.........
Bảng 2
f(m)
m
Số giao điểm của (C) & (d)
Số nghiệm của pt (1)
......
.......
........
.........
.......
.......
.........
.........
Bảng 3
Ví dụ 1: 	
1. Biện luận phương trình	 = m 	( dùng bảng 1)
2. Biện luận phương trình	 = 3m -2 	( dùng bảng 2)
3. Biện luận phương trình	 = 	( dùng bảng 3)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.
	Nhấn mạnh cho học sinh nhớ và vận dụng thành thạo các công thức:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
	® Ta sử dụng công thức 	(I)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
 (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
 	® Ta sử dụng công thức 	(II)
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi 
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
	® Ta dùng công thức 	(III)
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.
	® Ta dùng công thức 	(IV)
Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 ) 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1.
Giải: (0,75 đ)
Ta có: ex = 2 Û x = ln2
Diện tích hình phẳng cần tìm S = 	(0,25 đ)
= (đvdt)	(0,25đ + 0,25đ)
Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x2 và trục Ox.
 Giải: 
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. 
Từ đồ thị ta có: 
 = 27/4 ( đvdt) 
Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2)
Bài 1: Cho hàm số y = x3 – mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 x3 – 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0
	a) Xác định m để hàm số có cực trị.
	b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : 
(x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số (m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong :
 y = ; y = .
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể 
	tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox.
Bài 7: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x2 và y = quay quanh Ox.
Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
	Số giao diểm của hai đường cong (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ Cho hàm số và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình (điều kiện x khác 1)
+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm
+Nếu m ¹ 0 và m ¹ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và 
x = . Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt 
(chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
	 + m ¹ 0 và m ¹ - 2 có hai giao điểm.
	Bài tập:
Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): và đường thẳng (T): .	
KQ: 1 giao điểm ( m £ ), 3 giao điểm ( m > )
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số .
KQ: -28 < a £ 0
Dạng 4: Cực trị của hàm số
	Yêu cầu đối với học sinh: 
F Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
? Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) ® không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
? Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0) ® có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.
? Hàm số nhất biến dạng: ® chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
Bài tập: Định tham số m để:
Hàm số y = có cực đại và cực tiểu.
Kết quả: m 3
Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 và khi đó x2 – x1 không phụ thuộc tham số m.	
Kết quả : "m và x2 – x1 = 1
Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : = 2.	Kết quả : m < 1
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số?	
Bài tập về pttt của đồ thị:
Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0
	a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
	b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C). 
	a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
	b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị 
	hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y = . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với 
	trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y = . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 6) Cho hàm số y = x3 – 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 7) Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + 5. Lập pttt kẻ từ A(;4)
Bài 8) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1. Tìm M Î đồ thị (C) của hàm số đã cho sao 
	cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.
Chủ đề HÀM SỐ.
Cho hàm số : 
Gọi là đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc là . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. 
Phương trình đường thẳng 
Phương trình hoành độ giao điểm của và là :
Đường thẳng  cắt đồ thị  tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
có 2 nghiệm phân biệt khác 3
Cho hàm số (1), có đồ thị (C) và đường thẳng (d) có phương trình .
Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương.
Phương trình hoành độ giao điểm của  (d) và (C):
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt dương.
Đặt 
Ta có : 
Cho hàm số (C)
Chứng minh đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng : y = 2x + 3.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) :
(1)
Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (C) ở 2 điểm phân biệt A, B.
Hoành độ A, B chính là 2 nghiệm của phương trình (1) , nên do định lí Viet :
và 
Vậy 
Cho hàm số 
Với những giá trị nào của m thì phương trình có ba nghiệm phân biệt?
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt 
có 3 nghiệm phân biệt
đường thẳng cắt đồ thị hàm số  tại 3 điểm phân biệt
(Các bạn tự vẽ hình)
Cho hàm số , a là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm .
Hoành độ giao điểm với trục hoành là nghiệm phương trình .
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt Ox tại đúng 1 điểm   đường thẳng y = a và đồ thị có một điểm chung duy nhất.
Ta có : 
x
-¥
0
1
+¥
y'
+
||
+
0
-
y
-¥
+¥
||
||
||
||
-¥
-3
-¥
Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị cần tìm là 
Cho hàm số 
Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
TXĐ: R
    Hàm số đạt cực đại tại  
    Hàm số đạt cực tiểu tại 
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi các giá trị cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hoành
Vậy với   thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Cho hàm số ( m là tham số )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4.
b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
a) Đồ thị hàm số khi m=4.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành y = 0 là :
Đặt 
Để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) phải có 3 nghiệm phân biệt, tức là phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác -1
Cho hàm số (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị  hàm số ( ... và vẽ đồ thị hàm số.
Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(1; 2).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Bài 4. Cho hàm số y=f(x)=x3+6x2+9x+3
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-2; 1).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
HÀM SỐ PHÂN THỨC DẠNG 
Bài 5. Cho hàm số .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên.
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M.
Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi.
Bài 6. Cho hàm số .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên.
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M.
Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi.
Bài 7. Cho hàm số .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên.
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M.
Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi.
Bài 8. Cho hàm số .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên.
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M.
Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi.
Bài 9. Cho hàm số .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên.
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M.
Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi.
Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Giải phương trình : .
   (1)
Đặt 
Khi đó (1) trở thành :
( Vì t > 0).
Vậy .
Do đó  nghiệm của phương trình là 
Giải phương trình : 
Chia 2 vế của phương trình cho 
 Ta có:
(1)
Đặt , với 
(1) trở thành 
=> 
=>(Thoả mãn )=> 
=>
Giải phương trình : 
Phương trình đã cho tương đương với :
Đáp số :  .
Giải phương trình: 
Đặt 
pt 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 & x = -1
Giải phương trình: 
Giải phương trình : 
  ( chia hai vế cho ).
Đặt ( điều kiện y > 0)
Giải phương trình: .
Phương trình đã cho tương đương với :
Giải phương trình 
Đặt 
Khi đó phương trình trở thành:
  (vì )
Giải phương trình 
Đặt ,phương trình đã cho trở thành
Giải phương trình : 
Đặt ta có : 
Giải khác
TXD: D=R
(1)
Giải phương trình : 
Đặt 
Giải phương trình sau:  
Nhận xét: là nghiệm
Nhận xét: là nghịch biến trên 
Do đó  cũng là hàm nghịch biến trên 
là nghiệm duy nhất của (*)
Giải phương trình :  
Đặt 
Giải phương trình : 
Chia hai vế của phương trình trên cho   ta được:
Đặt 
Giải phương trình 
  ( do ).
Giải phương trình sau : 
Vậy nghiệm của phương trình là 
Giải phương trình sau :  
Vậy phương trình có nghiệm .
Giải phương trình : 
Giải phương trình 
Đặt thì phương trình tương đương với :
Giải phương trình : 
Giải phương trình : 
Đặt thì phương trình 
.
Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Giải phương trình .
Tập xác định 
Phương trình 
Đặt 
Phương trình 
Ta có hệ 
Đáp số: .
Giải phương trình 
Điều kiện 
PT 
Đáp số: 
Giải phương trình: 
Điều kiện: (*)
So với điều kiện (*) thì chính là nghiệm .
Giải phương trình:              
Điều kiện tồn tại của 
Khi đó 
hay hay 
Giải phương trình : 
Đk: và x # -2
Giải phương trình :
( vì và )
Giải phương trình sau:  
Điều kiện: 
Áp dụng: 
Giải phương trình sau:
Điều kiện: 
+) Trường hợp 1: 
Loại 
+) Trường hợp 2: 
Loại x= -8
Kết luận (*) có 2 nghiệm 
Giải phương trình : 
ĐKXĐ:  
pt 
 ( thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 4
Khác
ĐK:. Phương trình đã cho tương đương với:
(TMĐK )
Giải phương trình : 
Điều kiện   
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là 
Giải phương trình : 
Tập xác định : 
Phương trình : 
Vậy x=8 là nghiệm của phương trình
Chủ đề: TÍCH PHÂN.
* Phương pháp trực tiếp.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a. .
b. .
* Phương pháp đổi biến số.
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a. 
Đặt t=2x-1Þdt=2dx.
	.
Đổi cận:
x
1
2
t
1
3
b. .
Đặt t=3xÞdt=3dx.
	Cos3x=Cost.
Đổi cận:
x
0
t
0
c. .
Đặt t=CosxÞdt=-Sinxdx.
Đổi cận:
x
0
t
Cos0=1
d. .
Đặt t=SinxÞdt=Cosxdx.
Đổi cận:
x
t
e. .
Đặt t=1+3CosxÞdt=-3Sinxdx.
Đổi cận:
x
0
t
f. .
Đặt t=1+SinxÞdt=Cosxdx.
Đổi cận:
x
0
t
Bài 3. Tính các tích phân sau:
a. .
.
Với .
Đặt t=2xÞdt=2dx.
Đổi cận:
x
0
t
0
.
Vậy 
b. .
Đặt t=CosxÞdt=-Sinxdx.
Đổi cận:
x
0
t
Cos(0)=1
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a. .
Đặt x=a.Sint .
Đổi cận
x
-a
a
t
Với .
Vậy 
b. .
Đặt x=a.Sint .
Đổi cận
x
-a
a
t
c. .
Đặt .
Đổi cận
x
0
a
t
0
d. .
Đặt .
Đổi cận
x
-a
a
t
* Phương pháp đồng nhất thức.
Bài 5. Tính các tích phân sau:
a. .
Ta có x2+3x+2=(x+1)(x+2) nên suy ra 
Suy ra 
Vậy 
b. .
Ta có x2+3x+2=(x+1)(x+2) nên suy ra 
Suy ra 
Vậy 
c. .
-Cách 1.
Đặt t=x+1 Þx=t-1; dx=dt
Đổi cận: 
x
0
1
t
1
2
.
-Cách 2.
Suy ra 
* Phương pháp tích phân từng phần.
Bài 6. Tính các tích phân sau:
a. .
Đặt
b. .
Đặt
c. .
Đặt
d. .
Đặt
Đặt
Vậy 
e. 
Đặt
Tính .
Vậy I=
f. 
Đặt
Tính .
Vậy I=
Bài 7. Tính các tích phân sau:
a. .
Đặt
b. .
Đặt
Với .
Đặt 
Đặt
Vậy .
c. .
Đặt
.
Với 
Đặt 
t=x2+1 
	x2=t-1
Đổi cận:
x
0
1
t
1
2
Vậy 
d. 
Đặt
Chuyên đề: SỐ PHỨC
· Số có dạng , trong đó , gọi là số phức. Trong đó gọi là phần thực, còn gọi là phần ảo của .
- Số , gọi là số phức liên hợp của 
- , gọi là mô đun của số phức 
· Cộng, trừ, nhânsố phức: Cho hai số phức .
- Cộng, trừ số phức: 
- Nhân số phức: .
Lưu ý: 
Ví dụ: , (Vì 
· Phép chia số phức:
Ví dụ:
1) 
2) 
· Số , gọi là số phức nghịch đảo của 
· Căn bậc hai của số thực âm:
Cho số thực , khi đó số có hai căn bậc hai là: và 
· Điểm , biểu điễn trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục được gọi là điểm biểu diễn của số phức .
· Hai số phức bằng nhau: Cho hai số phức .
Khi đó 
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
I. Tính toán trên số phức
Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của 
Giải:
· Ta có 
Hay .
· Suy ra số phức liên hợp của bằng
Ví dụ 2: Tìm mô đun của .
Giải:
· Ta có 
Hay 
· Vậy, mô đun của bằng
II. Tìm căn bậc hai của số phức
Ví dụ 4: Tìm căn bậc hai của .
Giải:
· Giả sử số là căn bậc hai của . Khi đó ta có
· Giải hệ này ta được hai nghiệm:
· Vậy, số có hai căn bậc hai dạng , với
III. Khai triển lũy thừa
Ví dụ 5: Tính 
Giải:
· Ta có 
· 
Lại có .
· Suy ra
· Vậy 
II. Các bài toán về phương trình
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)                   b)                    c) 
Bài 2. a) Tìm các số thực để phương trình nhận làm nghiệm. Chứng minh khi đó nghiệm còn lại là 
b) Cho phương trình , trong đó là số thực.
1. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thực.
2. Tìm để phương trình nhận l à nghiệm.
Hướng dẫn giải
Chú ý:
Cách giải phương trình bậc hai hệ số phức 
Bước 1. Đặt (hoặc )
Bước 2. Tìm một căn bậc hai của .
Bước 3. Phương trình có hai nghiệm và 
2.   Cách tìm căn bậc hai của . Tức là tìm sao cho 
Đặt . Ta có 
Suy ra 
Ta tìm các số thực thỏa hệ (I)
Bài 1. 
a) Ta đi tìm căn bậc hai của . Đặt , trong đó là các số thực. Khi đó ta có hệ 
Từ 
Trường hợp 1: , thế vào (2) ta có hoặc 
Với thì 
Với thì 
Trường hợp 2: thế vào (2) ta có (không tồn tại vì 
Vậy phương trình có hai nghiệm 
b) Ta có 
Vậy phư ơng trình có hai nghiệm
c)Ta có  
Ta đi tìm một căn bậc hai của 
Đặt 
Khi đó ta có hệ 
Thế vào , ta có 
Với   suy ra  
Với 
Chọn . Phương trình có hai nghiệm
Bài 2. a) Vì   là nghiệm của phương trình nên ta có .
Hay 
Suy ra và
Giải ra ta được Vậy phương trình trở thành 
Phương trình có hai nghiệm 
b) Giả sử là một nghiệm thực của phương trình . Khi đó ta có:
Giải hệ ta được hoặc 
2. Vì là nghiệm của phương trình nên ta có:
Ta có nên không tồn tại để phương trình (1) nhận là nghiệm.
II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)              b) 
c) 
Bài 2 Tìm các số phức thỏa
a)                 b) 
Bài 3. Tìm để phương trình có một nghiệm phức là 
Bài toán 1: Tìm số phức , biết:
a) ;
b) 
Cách giải 1: 
a) Rút gọn vế phải sau đó trừ hai vế cho ta được:
Nhân hai vế cho (vì chưa sử dụng phép chia số phức nên ta chỉ dùng phép nhân), ta được:
b) Làm tương tự câu a) ta được:
.
Chú ý rằng , do đó để có được ta nhân 2 vế với , ta được:
.
Cách giải 2:
b) Đặt , ta có:
Theo tính chất của 2 số phức bằng nhau ta có:
.
Vậy 
a) Câu này giải tương tự.
Bài toán 2: Tìm biết :
.
Cách giải 1: Để có được ở vế trái, chúng ta sử dụng tính chất .
Vì vậy, chúng ta chỉ cần nhân cả hai vế của đẳng thức đã cho với , sau đó nhân tiếp với .
Lời giải: Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:
.
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Baøi 1: Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc :
 a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ÑS : 1 vaø 1
 b) (1 + i)2 – (1 – i)2 ÑS: 0 vaø 4
 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 ÑS: -16 vaø 37
 d) ÑS :vaø 
Baøi 2: Cho soá phöùc z = x + yi. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc :
 a) z2 – 2z + 4i ÑS: x2 – y2 – 2x vaø 2(xy – y + 2)
 b) ÑS: vaø 
Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau (aån z):
 a) ÑS: 
 b) ÑS: -1 + i ; 1/2
 c) ÑS: 2/3 + 4i
 d) ÑS: 0, -1, 
 e) ÑS: 0, i, -i
 f) ÑS: bi (b
Baøi 4: Xaùc ñònh taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá z thoûa maõn moãi ñieàu kieän sau:
 a) ÑS: x = 1/2 vaø x = -7/2
 b) = 2 ÑS: y = 
 c) 2|z – i| = ÑS: y = 
Baøi 5: Tìm soá phöùc z thoûa maõn : ÑS: 0, 1 , -1
Baøi 6: Phaân tích ra thöùa soá :
 a) a2 + 1 ÑS: (a – i)(a + i) b) 2a2 + 3 ÑS:
 c) 4a4 + 9b2 ÑS: (2a – 3bi)(2a + 3bi) d) 3a2 + 5b2 ÑS: 
Baøi 7: Thöïc hieän pheùp tính :
 a) ÑS: b) ÑS: i
 c) ÑS: -i d) ÑS: 
 e) ÑS: f) ÑS: 
 g) ÑS: h) (2 – i)6 ÑS: -117 – 44i
Baøi 8: Tìm caên baäc hai cuûa moãi soá phöùc sau :
 a) -1 + 4 ÑS: b) 4 + 6 ÑS: 
 c) -1 - 2 ÑS: d) -5 + 12.i ÑS: (2 + 3i)
Baøi 9: Giaûi caùc phöông trình sau trong C.
 	a) 	ÑS: 
 	b) 	ÑS: 
 	 c) x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 	ÑS: 2 + i ; 1 – 2i 
	d) 	ÑS: 
	e) 	ÑS: