Giáo án ôn tập hè Toán khối 11 ban KHTN

Phần 1. Lượng giác
1. Công thức lượng giác
a) Công thức cộng
b) Công thức cung nhân đôi
c) Công thức góc nhân góc nhân ba
d) Công thức biến đổi tổng thành tích
e) Công thức biến đổi tổng thành tích
A) Phương trình lượng giác
Để giải phương trình lượng giác ta thường tiến hành theo các bước sau:
1. Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa
Phương pháp 1. Xem phương trình cần giải có thuộc dạng quen thuộc hay không?
Phương pháp 2: Xem phương trình cần giải có thể:
	+) Đưa về phương trình tích được hay không?
	+) Có thể đưa về phương trình phụ thuộc vào 1 hàm lượng giác hay không? Nếu được ta chọn ẩn là hàm lượng giác đó
Phương pháp 3: Sau khi không áp dụng được hai phương pháp trên
Xem phương trình có thuộc một trong các dạng sau:
	+) A2 + B2 = 0
	+) 
	+) Dạng đối lập 
	+) Dạng 
Bài tập
Giải các phương trình lượng giác sau
Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản
a) sin(2x+500) = cos(x+1200)
b) 
Dạng 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai theo một hàm số lượng giác
a) 	b) tan3x.tanx=1
c) Giải và biện luận (4m-1)sinx = m sinx – 8
d) sin22x – 2cos2x + = 0
e) 
f) cos2x + 9cosx + 5 = 0
h) Giải và biện luận: m.cos2x – 2m + 3 = (2m +3)cosx
Dạng 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx + bcosx = c
a) 
b) 
c) 
Dạng 4. Phương trình đối xứng, phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
a) 
b) 
c) Giải và biện luận 
d) 
e) 
f) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: 
 về ptlg cơ bản, ptlg gần cơ bản
về pt bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1: Giải phương trình lượng giác
1) cos(x-2) = - cos(5x+2) 
2) tanx = cot(x+60o), xẻ(0o; 270o) 
3) sinx2 = cosx2 
4) cos(x2-x) = sin(x-p/2) 
5) tan3x + cot2x = 0
6) tan(pcosx) = tan(2pcosx), xẻ[0o; 360o) 
7*) sin(cosx) = cos(sinx) 
Bài 2: Giải phương trình lượng giác
1) ỳ cos(2x+1)ỗ= 1/2
2) tan2x = cot2x, xẻ(0; 7p)
3) sin2(6x-p/3) + cos2(x+p) = 1 
4*) ỳcot3x.tan2xỗ = 1
Bài 3: Giải và BL phương trình 
sin2x + (2m-1)cos2(x+p) = m
m(tanx + cotx) = 2cotx 
Bài 4: Giải phương trình lượng giác
sinx - cosx = , xẻ(0; 2p)
sin2x - 2sinxcosx = 5
2sin25x +(3+)sin5xcos5x +
 + (-1) cos25x = -1
cos4x - 2sin2xcos2x = 2
(cos4x + sin3x) = cos3x – sin4x 
 2- tanx = 2/ cosx
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có
 nghiệm (2m-1)sinx + (m-1)cosx = m-3 
Bài 3: Cho PT mcos2x + sin2x = 2
GPT với m = 2
m = ? PT có nghiệm.
Bài 4: Giải và BL phương trình 
 msin(x/3) + (m+2)cos(x/3) = 2
Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
Bài 6: Tìm m để mọi nghiệm của phương trình sinx + mcosx = 1
đều là nghiệm của phương trình 
 msinx + cosx = m2 ##
đại số hoá ptlg
Bài 1: Giải phương trình lượng giác
1) sin2x + cos2x +cosxsinx = -sin2x 
2) 2sin2x -sin2x = - 
3) 2sin2x + sin 2x =-1
4) cosx + sinx - 4sin3x = 0 
5) sinx(2cosx + sinx) = 2cos2x +1/2
6) 5sinx – 2 = 3(1- sinx)tan2x
Bài 2: Giải phương trình lượng giác
1) cos2xsin2x + 1 = 0
2) 2- tan2x = 2/ cos2x
3) 4(tanx + cotx) + 3(tan2x + cot2x)=-2
4) tan2x - tanx = 0,5sin2x
5) tan2x + cotx = 4cos2x
6) tan(x+p/4) = 1+ sin2x
7) tanx +tan2x+ tan3x +cotx +cot2x+ cot3x =6
8) 
Bài 3: Giải phương trình lượng giác
1) 1+ sin2x = cosx + sinx
2) 1+ cosx + sinx + cos2x + sin2x = 0
4) sin3x - cos3x = cos2x
5) sin3x + cos3x = cosx + sinx+ sin2x 
6) ỳ cosx - sinx ờ+ 4sin2x = 1
7) tanx+cotx+cosx+sinx = - 2 -
Bài 4: Giải phương trình lượng giác
3sin3x -cos9x = 1+ 4sin33x
8cos4x = 3+5 cos4x
2cos2(6x/5) + 1 = 3cos(8x/5)
sin4x +(1+ sinx)4 = 17
ptlg đưa về dạng tích
Bài 1: Giải phương trình lượng giác
1) cosxsinx(1+ tanx)(1+ cotx) = 1
2) (1+ tanx +) (1+ tanx - ) = 2
3) cos(100-x)sin(200+x) = 1/2
4) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx
5) cotx – 1 = sin2x -sin2x + 
6) cos3x - 2cos2x + cosx = 0
Bài 2: Giải phương trình lượng giác
1) sin2x + sin22x+ sin23x = 3/2
2) cos23xcos2x - cos2x = 0
3) cos3xcos3x +sin3x sin3x = /4
4) cos3xcos3x +sin3x sin3x = cos34x
5) sin4x + cos4x + cos(x-p/4)sin(3x-p/4) = 3/2
6) cos2x = cos(4x/3)
2cos2(3x/5) + 1 = 3cos(4x/5)
sin8x + cos8x = (17/16) cos22x
Bài 5: Giải phương trình
4) tan200tanx+ tan400tanx + tan200tan400 =1 
5) tan2x- tan3x- tan5x = tan2xtan3xtan5x 
6) tan22x- tan23x- tan25x = tan22xtan23xtan25x 
7) (/cosx)- (1/sinx) = 8sinx
Bài 6: Giải phương trình 
1) sin2x + sin2y + sin2(x +y)=9/4
2) tan2x + tan2y + cot2(x +y)=1
Bài 7: Tính các góc của tam giác ABC 
không tù thoả mãn
Cos2A + 2cosB + 2cosC = 3. 
Ptlg chứa tham số
Bài 1: Tìm m để phương trình có nghiệm 
 msin2x + cos2x + sin2x + m = 0
Bài 2: Cho phương trình 
 msinx + (m+1)cosx = m/cosx
Giải phương trình với m = 1/2
Tìm m để phương trình có nghiệm ?
Tìm m để phương trình có nghiệm xẻ(0; p/2) ? 
Bài 3: Cho phương trình 
(1-m)tan2x -2(1/cosx) +1+3m = 0
Giải phương trình với m = 1/2
Tìm m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm xẻ(0; p/2) ? 
Bài 4: Tìm m để phương trình có nghiệm
 m(tanx - cotx) = tan2x + cot2x
Bài 5: Chứng minh với mọi m, phương trình sau luôn có nghiệm
sin4x + cos4x+m cosxsinx = 1/2
(1/cosx)- (1/sinx) = m 
Phần 2: PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC KHễNG MẪU MỰC
Phương phỏp 1: Dựng cỏc cụng thức lượng giỏc đưa về phương trỡnh dạng tớch.
Vớ dụ 1. Giải phương tỡnh: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Giải
Phương trỡnh (1) tương đương với: 
Û cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
Û 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
Û 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
Û 4cos5x.cos2x.cosx = 0
Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2).
Giải
Ta cú (2) Û cos6x(2cos2x-1) = sin6x(1-2sin2x)
Û cos2x(sin6x–cos6x) = 0
Û cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
Û cos2x = 0
Û 
Vớ dụ 3: Giải phương trỡnh: (3).
Giải
Ta cú: 
Phương phỏp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trỡnh lượng giỏc về phương trỡnh đại số:
Vớ dụ 4. Giải phương trỡnh lượng giỏc: (4).
Giải
Ta cú (4)
Đặt cos22x = t, với tẻ[0; 1], ta cú 
Vỡ tẻ[0;1], nờn 
 Ûcos4x = 0 Û
Vớ dụ 5. Giải phương trỡnh lương giỏc: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta cú (5) Û 2(1- cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0
Û (1- cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) - 1] = 0
Û (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện , khi đú phương trỡnh (*) trở thành:
2t + t2 – 1 + 1 = 0 Û t2 + 2t = 0 
Vậy nghiệm của phương trỡnh đó cho là:; 
Phương phỏp 3: Quy phương trỡnh lượng giỏc về việc giải hệ phương trỡnh lượng giỏc bằng cỏch đỏnh giỏ, so sỏnh, sử dụng bất đẳng thức.
Vớ dụ 6. Giải phương trỡnh: (6).
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do nờn , mà |cosx| ≤ 1.
Do đú 
(Vỡ k, n). Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 0.
Phương phỏp 4: Sử dụng tớnh chất hàm số.
Vớ dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trỡnh: .
Giải
Đặt . Dễ thấy f(x) = f(-x), , do đú f(x) là hàm số chẵn vỡ vậy trước hết ta chỉ xột với x ≥ 0.
Ta cú: f’(x)=sinx+x, f”(x) = -cosx+1, "x≥0 ị f’(x) là hàm đồng biến, do đú f’(x)≥f’(0), với x≥0 ị f(x) đồng biến với x≥0 .
Mặt khỏc ta thấy f(0)=0, do đú x=0 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh.
Vớ dụ 8: (ĐH Bỏch Khoa) Với n là số tự nhiờn bất kỡ lớn hơn 2, tỡm x thuộc khoảng thoả món phương trỡnh:.
Giải
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta cú : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.
 = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)
Lập bảng biến thiờn của f(x) trờn khoảng , ta cú minf(x) = f() = 
Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trỡnh đó cho.
BÀI TẬP
Giải cỏc phương trỡnh sau:
cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngõn Hàng)	ĐS: 
tanx.sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin2x 	ĐS: 
2sin3x-(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
ĐS: 
|sinx-cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội)	ĐS:.
4(sin3x-cos2x)=5(sinx-1) (ĐH Luật Hà Nội)
ĐS: với .
sinx-4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội)	ĐS: .
; (Học Viện BCVT)	ĐS: 
sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x	ĐS: .
	ĐS: 
HD: Chia hai vế cho cos3x 	ĐS: x = , 
2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số	ĐS: 
Giải phương trỡnh lượng giỏc: 
Giải
Điều kiện: 
Từ (1) ta cú: 
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trỡnh đó cho là 
Giải phương trỡnh: 
Giải
 (1)
Điều kiện: 
Vậy phương trỡnh đó cho vụ nghiệm.
Giải phương trỡnh: .
Giải
PtÛ (cosx
(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
Giải phương trỡnh: .
Giải
Giải phương trỡnh: cosx=8sin3
Giải
cosx=8sin3cosx = 
Û (3)
Ta thấy cosx = 0 khụng là nghiờm
 (3) Û 
Giải phương trỡnh lượng giỏc: 
Giải
Điều kiện: 
Từ (1) ta cú: 
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trỡnh đó cho là 
Giải phương trỡnh: 
Giải
Phương trỡnh Û (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
Giải phương trỡnh: 2cos3x + sinx + cosx = 0
Giải
	Û	sinsinx + coscosx = – cos3x.
Û cos	Û	cos
Û 	Û	x = 	(kẻZ)
Giải phương trỡnh cos3xcos3x – sin3xsin3x = 
Giải
Ta cú: cos3xcos3x – sin3xsin3x = Û cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 
Û Û .
Định m để phương trỡnh sau cú nghiệm
Giải
Ta cú:
* ;
* 
* 
Do đú phương trỡnh đó cho tương đương:
Đặt (điều kiện: ).
Khi đú . Phương trỡnh (1) trở thành:
 (2) với 
Đõy là phuơng trỡnh hoành độ giao điểm của 2 đường (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 – 2m và (P): với .
x
y’
+
y
Trong đoạn , hàm số đạt giỏ trị nhỏ nhất là tại và đạt giỏ trị lớn nhất là tại .
Do đú yờu cầu của bài toỏn thỏa món khi và chỉ khi 
.
Giải phương trỡnh: .
Giải
ĐK: , sinx ≠ 1	
 (loại) , k ẻ Z (nhận)
Giải phương trỡnh: .
Giải
1. 
.
Giải phương trỡnh: .
Giải
Pt 
 PHẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 
I)QUI TẮC ĐẾM .
 a)Qui tắc cộng .
 Một cụng việc được hoàn thành bởi hành động một hoặc hành động hai . Nếu hành động một cú m cỏch thực hiện , hành động hai n cỏch thực hiện khụng trựng với bất kỳ hành động nào của hành động một thỡ cụng việc đú cú m+n cỏch thực hiện .
 b)Qui tắc nhõn .
 Một cụng việc được hoàn thành bởi hai hành động liờn tiếp , nếu cú m cỏch thực hiện hành động thứ nhất , ứng với mỗi cỏch thực hiện đú cú n cỏch thực hiện hành động hai thỡ cú m.n cỏch hoàn thành cộng việc .
BÀI TẬP 
II)HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 
 a)Hoỏn vị : 
 Cú tập hợp A gồm n phần tử . Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoỏn vị của b phần tử .
 Vớ dụ : A={1,2,3} thỡ 123,321,213  là những hoỏn vị .
 Ta viết số hoỏn vi của n phần tử là : Pn=n!=n(n-1)(n-2)..3.2.1 . 
 b)Chỉnh hợp : 
 Cho tập A gồm n phàn tử . Kết quả lấy k phần tử của n phần tử tập hợp A và sắp chỳng theo một thứ tự nào đú được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần phần tử đó cho 
 Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : .
 c)Tổ hợp 
 Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập đó cho .
 Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là : 
 Vớ dụ : Một tổ cú 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người hỏi : 
 a/ Cú tất cả bao nhiờu cỏch .
 b/ Cú bao nhiờu cỏch thành lập đoàn đại biểu chỉ cú 3 nam và 2 nữ .
III)NHỊ THỨC NIU TƠN 
 Cụng thức sau gọi là cụng thức nhị thức niu tơn 
 Số hạng thứ k+1 là : .
BÀI TẬP : TỔ HỢP –XÁC SUẤT .
Sử dụng qui tắc cộng , qui tắc nhõn , hoỏn vị và chỉnh hợp 
Bài 1 : CHo một hộp đựng 5 viờn bi trắng được đỏnh số từ 1 đến 5 và 10 viờn bi đỏ được đỏnh số từ 6 đến 15 . cú bao nhiờu cỏch chọn một viờn bi ? 
Bài 2 : Cú 7 cuốn sỏch toỏn khỏc nhau , 10 cốn sỏch văn khỏc nhau và 3 cuốn sỏch lý khỏc nhau . Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn một cuốn cỏch để học ?
Bài 3 : Cú 5 cửa hàng bỏn sỏch , cửa hàng 1 chỉ bỏn 100 cuốn sỏch toỏn , cửa hàng 2 bỏn 200 cuốn sỏch văn , của hàng 3 chỉ bỏn 50 cuốn cỏch lý và 50 cuốn sỏch địa , cửa hàng 4 chỉ bỏn 150 sỏch hoỏ , của hàng 5 chỉ bỏn 150 sỏch sinh và 50 sỏch kỹ thuật .
 Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn cửa hàng để mua sỏch .
CÁC BÀI TẬP VỀ SỐ 
Bài 3 : CHo tập hợp số : {1,2,3,4} . Cú bao nhiờu cỏch chọn một số tự nhiờn :
Cú hai chữ số đụi một khỏc nhau ?
Cú 3 chữ số đụi một khỏc nhau ? 
Cú 4 chữ số đụi một khỏc nhau ?
Bài 4: Từ tập hợp số {1,2,3,4,5} Cú bao nhiờu cỏch chọn một số tự nhiờn :
Cú hai chữ số đụi một khỏc nhau .
3 chữ số đụi một khỏc nhau và luụn cú mặt chữ số 5 ?
Cú 4 chữ số đụi một khỏc nhau và luụn cú mặt chữ số 2 ? 
Bài 5 : Từ tập hợp số : {0,1,2,3,4,5) ta cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn : 
Cú hai chữ số đụi một khỏc nhau ?
Cú 3 chữ số đụi một khỏc nhau ? 
Là số chẵn cú 4 chữ số đụi một khỏc nhau ?
Là số lẻ cú 5 chữ số đụi một khỏc nhau ? 
Bài 6 : Từ tập số tự nhiờn {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Cú bao nhiờu cỏch lập một số tự nhiờn 
Cú 4 chữ số đụi một khỏc nhau ?
Cú 8 chữ số đụi một khỏc nhau ? 
Bài 7 : Từ cỏc số 0,1,2,3,4,5 . Cú biờu cỏch lập một số tự nhiờn
Là số lẻ cú 3 chữ số đụi một khỏc nhau ? 
Là số chẵn cú 6 chữ số đụi một khỏc nhau ? 
Bài 8 : Từ cỏc số : 0,1,2,3,4,5,6 cú bao nhiờu cỏch lập một số tự nhiờn :
Cú 2 chữ số khỏc nhau và luụn cú mặt chữ số 2 .
Cú 3 chữ số khỏc nhau và chia hết cho 3
Cú 5 chữ số khỏc nhau và luụn nhỏ hơn 550 
Bài 9: Từ cỏc số : 0,1,2,3,4,5 cú bao nhiờu cỏch lập một số tự nhiờn :
Cú 3 chữ số khỏc nhau .
Cú 4 chữ .
Là số lẻ và cú 4 chữ số và đụi một khỏc nhau .
Là số chẵn và cú 5 chữ số đụi một khỏc nhau ?
Bài 10 : Từ cỏc số 0,1,2,3,4,5,6 cú bao nhiờu cỏc lập một số tự nhiờn : 
Số cú 4 chữ số đụi một khỏc nhau .
Số cú 5 chữ số .
Số cú 3 chữ số chia hết cho 5 .
Số cú 4 chữ số trong đú luụn cú chữ số 1 .
Bài 11: Từ cỏc số : 0,4,5,7,8,9 Ta cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn : 
Cú 4 chữ số đụi một khỏc nhau .
Cú 3 chữ số và luụn cú mặt chữ số 9 .
Cú 3 chữ số và lớn hơn 400 .
Bài 12 : Từ cỏc số 0,2,3,4,5,6 Ta cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn : 
là số chẵn cú 3 chữ số .
số cú 4 chữ số và luụn cú mặt chữ số 5 .
Số cú 3 chữ số và lớn hơn 250 .
Bài 13 : Từ cỏc số : 0,2,4,5,6,8,9 . Ta cú thờ lập được bao nhiờu số tự nhiờn : 
Cú 3 chữ số và đụi một khỏc nhau .
Cú 4 chữ số đụi một khỏc nhau là luụn cú mặt số 5 .
CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT 
Bài 14 : Người ta xếp ngẫu nhiờn 5 lỏ phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau .
Cú bao nhiờu cỏch sắp xếp để cỏc phiếu số chẵn luụn ở cạnh nhau .
Cú bao nhiờu cỏch xếp để cỏc phiếu phõn thành cỏc nhúm chẵn lẻ riờng biệt .
Bài 15 : Trong một phong học cú hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ . Hỏi cú bao nhiờu cỏch sắp xếp chỗ ngồi nếu : 
 a) Cỏc học sinh ngồi tuỳ ý .
b) Cỏc học sinh nam ngồi một bàn và cỏc học nữ ngồi một bàn .
Bài 16 : Cú bao nhiờu cỏch sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho :
 a) Bạn C ngồi chớnh giữa .
 b)Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mỳt .
Bài 17 : Một tổ học sinh cú 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc 
Cú bao nhiờu cỏch sếp khỏc nhau .
Cú bao nhiờu cỏch xếp sao cho khụng cú học sinh cựng gới đứng cạnh nhau .
Bài 18 : Cú 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đỏnh dấu mỗi loại theo cỏc số 1,2,3,4,5 cú bao nhiờu cỏch xếp cỏc thể này theo một hàng sao cho hai thẻ cựng màu khụng nằm cạnh nhau .
Bài 19 : Một nhúm gồm 10 học sinh trong đú cú 7 nam và 3 nữ . Hỏi cú bao nhiờu cỏch xếp 10 học sinh thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau .
Bài 20 : Cú 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ . Cú bao nhiờu cỏch chọn 4 người để lập được một ban đại diện trong đú cú ớt nhất là 2 nam và 1 nữ .
Bài 21 : Một đội ngũ cỏn bộ gồm cú 5 nhà toỏn học 6 nhà vậ lý , 7 nhà húa học . Chọn từ đú ra 4 người để dự hội thảo khoa học .Cú bao nhiờu cỏch chọn nếu: 
Phải cú đủ 3 mụn .
Cú nhiều nhất 1 nhà toỏn học và cú đủ 3 mụn .
Bài 22 : Từ 12 học sinh ửu tỳ của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1 trường đoàn ,1 thư ký và 3 thành viờn đi dự trại hố quốc tế . Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn ban đại biểu như thế .
Bài 23 : Một hộp đựng 12 búng đốn trong đú cú 4 búng đốn bị hỏng . Lấy ngẫu nhiờn 3 búng đốn ra khỏi hộp , cú bao nhiờu cỏch lầy để cú một búng bị hỏng .
Bài 24 : Một hộp đựng 4 viờn bị đỏ , 5 viờn bi trắng , 6 viờn bi vàng , người ta chọn ra 4 viờn bị từ hộp đú , hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn để số bi lấy ra cú đủ 3 màu .
Bài 25 : Cú 5 tem thư và 6 bỡ thư khỏc nhau . Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn 3 tem thư và 3 bỡ thư để 3 tem thư dỏn vào 3 bỡ thư chọn ra .
Bài 26A : Cú bảy bụng hoa khỏc nhau và ba lọ hoa khỏc nhau . Hỏi cú bao nhiờu cỏch cắm ba bụng hoa vào ba lọ hoa ( mỗi lọ cắm một bụng ) 
Bài 26B : Một lớp học gồm 20 học sinh trong đú cú 2 cỏn bộ lớp . Hỏi cú bao nhiờu cỏch cử 3 người đi dự hội nghị sinh viờn của trường sao cho trong 3 người đú cú ớt nhất 2 cỏn bộ lớp .
Bài 27 : Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đú cú ớt nhất hai nam và 2 nữ , hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn Nếu : 
Mọi người đều vui vẻ tham gia .
 Cậu Tỏnh và cụ Nguyệt từ chối tham gia .
Bài 28 : một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca . Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn 
Nếu ớt nhất hai nữ .
Nếu chọn tuỳ ý .
Bài 29 : Một đội văn nghệ 20 người trong đú cú 10 nam và 10 nữ , Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn ra 5 người sao cho : 
Cú đỳng 2 nam .
Cú ớt nhất 2 nam và 1 nữ .
Bài 30 : Một hộp đựng 2 bi đỏ , 3 bi trắng và 5 bi vàng .Chọ ngẫu nhiờn 4 viờn bi từ hộp đú , hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn để số bi lấy ra khụng đủ 3 màu .
SỬ DỤNG KHAI TIỂN NHỊ THỨC NEWTON
Bài 31 : Hóy khai triển cỏc nhị thức sau thành đa thức :
Bài 31 : Tỡm hệ số của x3 trong nhị thức sau : , ,
Bài 32 : Tỡm hệ số của x5 trong nhị thức sau : , ,
Bài 33 : Tỡm hệ số của x3 trong nhị thức sau : ,
Bài 34: Biết hệ số của x2 trong khai triển (1-3x)n là 90 . Tỡm n ?
Bài 35 : Tỡm hệ số khụng chứa x trong khai triển .
Bài 36 : Tỡm hệ số khụng chứa x trong khai triển : .
Bài 37 : Tỡm số hạng khụng chứa x trong khai triển sau : .
Bài 38 : Tỡm hệ số của x31 trong khai triển nhị thức .
Giới hạn của dãy số
Dạng 1: Chia cho n có số mũ cao nhất.
Bài 1: Chia luôn cho n có số mũ cao nhất.
1)	2) 	3) 	4) 
5) 	6) 	 7) 	8) 
9) 	10) 	 11) 	
12) 
13) 	14) 	15) 
 16) 
17) 	18) 	19) 	
20) 
21) 	22) 	23) 	 
24) 
25) 	26) 	27) 	
28) 
29) 	30) 	31) 
Bài 2: Liên quan tới dãy số
1) 	2) 	3) 
4) 
5) ,	 6) 
 7) 
8) 	9) 	 
 10) 
Bài 3: Sử dụng định lí 6 - SGK 
1) 	 2) 	3) 	4) 	
5) 
Dạng 2: Nguyên lí kẹp 1) 2. 3. 
Dạng 3: Nhân lượng liên hợp
1) 	 2) 	3) 
 4) 
5) 	 6) 	7) 	
8) 
9) 	 10) 	11) 
 12) 
13) 	14) 	 15) 
16) 
17) 	 18) 	
19) 
Giới hạn của hàm số.
Dạng 1: x đ a
Bài 1: Thay vào luôn. 
1) 	2) 	3) 	 4) 
5) 
6) 	 
Bài 2: Phân tích thành nhân tử.
1) 	2) 	3) 	
4) 
5) 	6) 	 7) 8) 9)
10) 	11) 	12) 	13) 
14) 	15) 	16)	17) 
Bài 3: Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc hai) 
1) 2)	 3) 4) 
 5) 
6) 	7) 8) 	
9) 
10) 11) 	 12) (n ẻN, n ³ 2) 
13) 
14) 	15) 	16) 17)
Bài 4: Nhân lượng liên hợp (có hai căn bậc hai)
1) 	2) 	3) 	 
4) (a > 0)
5) 	6) 	
7) 
8) 	9) 	 10) 
Bài 5: Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc ba)
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 6: Nhân lượng liên hợp (cả tử và mẫu)
1) 	2) 	3) 	4) 	
5) 
6) 	7) 	8) 	9) 
Bài 7: Nhân lượng liên hợp (có cả căn bậc hai và căn bậc ba)
1) (ĐHQG – KA 97) 2) 	
3) 
 4) 5) 	6) 
7) 
Dạng 2: Giới hạn một bên
1) 2) 3) 	 4) . 
5) . Tìm ; 	 6). Tìm ; 
7) 	8) . Tìm m để hàm số có giới hạn tại x = 2.
9) . Tìm ; 	10) 	
11) 
Dạng 3: x đ Ơ: Có các dạng vô định: Ơ - Ơ ; 0xƠ ; . Khi đó chúng ta phải khử:
Chú ý: Khi x đ -Ơ hoặc x đ +Ơ mà chia cho x thì phải chú ý tới dấu.
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 	 
 6) 
7)	8) 	
9) 
10) 	11) 	
12) 
13) 	14) 	15) 
16) 	17) 18)
19) 	 20) 21)
22) 	23) 24)
25) 	26) 	 
 27) 
Chú ý: Bài tập phần này có thể lấy ở phần giới hạn của dãy số.
Dạng 4: 
1) 2) 	3) 4) 	5) 
6) 	7) 	8) 	9) 10) 
11) 	12) 	13) 	14) 
15) 	16) 	17) 	
18) 
19) 	20) 	
21) 
22) 	23) 	
24) 
25) (GHN’00) 	26) 	27) 	 
28) 
29) 	30) (QG–KB 97)	31) 
32) 	33) 	 34) (SPHN ‘00) 
35) 	36) 	37) 	
38) 
39) (TM’99)	40) (HH’00)	41) (DLHP’00) 
42) 	43) 	44) 45) 	
46) 
47) 	48) 	49) 	
50) 
51) 	52) 	53) (a ạ0)	
54) 
55) 	56) 	57) 	58) 	 
59) 
60) 	61) 	62) 	63)