Giáo án môn Toán 12 - Chủ đề 1 : Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 
VÀO KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1: XÉT SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Ngày soạn: /	 /	
I.Kiến thức cần nhớ
Ghi nhớ: Xét dấu y’ vận dụng các quy tắc sau:
* Nếu y’ là nhị thức bậc nhất (y’ = ax + b), Quy tắc: Phải cùng Trái trái( dấu củai hệ số a)
* Nếu y’ là tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có hai nghiệm phân biệt 
 Quy tắc: Trong trái Ngoài cùng dấu với hệ số a
* Nếu y’ là tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) vô nghiệm 
 Quy tắc: Cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc R
* Nếu y’ là tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có nghiệm kép 
 Quy tắc: Cùng dấu với hệ số a với mọi 
Đặc biệt: * Nếu y’ là hàm bậc ba (y’ = ax3 + bx2 + cx + d) có 3 nghiệm phân biệt
 Quy tắc: Đổi dấu từ Phải sang Trái theo dấu hệ số a
Phương pháp:
Tìm TXĐ
Tính y’ và xét dấu y’ (Tìm nghiệm và sử dụng quy tắc xét dấu)
Lập bảng biến thiên
Kết luận
II.Ví dụ:
 Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a/ y = x3 – 6x2 + 9x 
TXD: D = R
Ta có y’ = 3x2 -12x + 9
y’ = 0 3x2 -12x + 9 = 0
x
 1 3 
y’
 + 0	-	0	+
y
Kết luận: Hàm số ĐB: và NB: (1; 3))	
b/ y = x4 – 2x2 
TXD: D = R
Ta có y’ = 4x3 - 4x 
y’ = 0 4x3 - 4x = 0
x
 -1 0 1 
y’
 - 0	 + 0 - 0	 +
y
Hàm số ĐB trong (-1; 0), và NB trong khoảng
c/ y = 
TXD: D = 
Ta có y’ = < 0 với mọi 
x
 -7 
y’
 	-	-
y
-2	
	-2
Hàm số NB trong khoảng 
d/ y = 
TXD: D = 
Ta có y = 
y’ = 0 = 0 ( vô nghiệm)
Bảng biến thiên
x
 2 
y’
 	+	+
y
	-
Hàm số ĐB trong các khoảng)	
Bài tập 2: Tìm cực trị các hàm số sau:
a/ y = x3 – 6x2 + 9x 
TXD: D = R
Ta có y’ = 3x2 -12x + 9
y’ = 0 3x2 -12x + 9 = 0
x
 1 3 
y’
 + 0	-	0	+
y
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, yCT = 0
b/ y = x4 – 5x2 + 4
	Đáp án: yCĐ = y(0) = 4; yCT = y() =
c/ y = 
TXD: D = 
Ta có y = 
y’ = 0 = 0 
Bảng biến thiên
x
 1 2 3 
y’
 + 0	-	 - 0 	+
y
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = -1
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, yCT = 3
Bài tập 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của các hàm số sau:
a/ y = 	b/ y = 	
Bài giải:
a) Do nên đường thẳng y = 2 làTCN
Do nên đường thẳng x = -2 là TCĐ
b) nên đường thẳng y = 1làTCN
Do nên đường thẳng x = -2 là TCĐ.Do nên (d) x = 2 là TCĐ
Bài tập về nhà:
Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau:
a) y = 	b/ y = 
c) y = x3 – 3x2 – 24 + 7 	 d) y = x4 – 5x2 + 4	
e/ y = x + 2cosx, x(Đáp án NB: 	
f/ y = (Đáp án: ĐB: (0; 1); NB: (1; 2))
Bài 2: Tìm cực trị của hàm số sau:
a/ y = x3 – 3x2 – 24 + 7 ( Đáp án yCĐ = y(-2) = 35; yCT = y(4) = -73)
b/ y = sin2x 	
Đáp án yCĐ = y(+ k) = 1; yCT = y(+ k) = -1, k vì hàm số có chu kì T =)
Bài 3:Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số sau: (nếu có)
a)	b)Bài 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ (2 buổi)
Ngày soạn: /	/	
I.Kiến thức cần nhớ
Ghi nhớ: 
1.GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]
Bước 1: Tính (x). Giải PT (x) = 0 nghiệm xi ; 
Bước 2: Tính f(a), f(b) 
Bước 3: Tính f(xi) với xi [a; b] ; 
Bước 4: So sánh f(a), f(b) và f(xi)GLN – GTNN
2.GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn khoảng (a;b)
Tìm TXĐ
Tính y’ và xét dấu y’ (Tìm nghiệm và sử dụng quy tắc xét dấu)
Lập bảng biến thiên
Kết luận về GTLN, GTNN của hàm số chính là các giá trị CĐ và CT
II.Ví dụ:
 Bài tập 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a/ y = x + (x > 0)	b/ y = 	c/	d/ y = sin2x - x
Hướng dẫn:
a) y = x + (x > 0)
TXD: D = (0; )
Ta có y’ = 
y’ = 0 = 0 
Bảng biến thiên
x
 -2 0 2 
y’
 + 0	-	 - 0 	+
y
Kết luận: y(2) = 4
 Hàm số Không có GTLN
b/ y = ()
TXD: D = R
Ta có 
y’ = 0 -= 0 
Bảng biến thiên
x
 -2 0 2 
y’
 - 0	+ + 0 	-
y
Kết luận: và 
c/
Lời giải:
vì x2 - x+1 >0 , nên TXĐ của hàm số là :D=R
 có tập xác định là R
x
 y’
 - 0 +
y
Hàm số đạt GTNN tại x =và GTNN bằng
d) y = sin2x - x
Lời giải:
TXĐ: D =R
y’’= -4sin2x
y’’() = -2<0,hàm số đạt cực đại tạix=,vàyCĐ=
Vậy GTLN của hàm số bằng tại , 
y’’() =8>0,hàm số đạt cực tiểu tại x=,vàyCT=
Vậy GTNN của hàm số bằng tại 
Bài tập về nhà:
Bài tập 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số sau:
a/ y = (Đáp án: )
b) y = 
c/ y = trên ((Đáp án y() = 1) 
Bài tập 2:
Tìm GTNN, GTLN của các hàm số sau:
a/ y = 2x3 – 3x2 – 12x + 10 trên 	b/ y = x4 – 3x2 + 2 trên 
c/ y = trên [-3; -2]	d/ y = trên [-4; 4] 
e/ y = 2sin2x – cosx + 1 	f/ y = 2sinx – sin3x trên [0; ] 
Lời giải:
a) f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10
D=
f’(x)=6x2 – 6x – 12
f’(x)=0 
ta có
 f(-3) = -35
f(3) = 1
Do nên f(-1)=17
Do nên f(2) = -10
Vậy ; y(-3) = -35 
b)f(x) = x4 – 3x2 + 2 trên ; 
D=
f’(x)=4x3 – 6x 
f’(x)=0 
Vậy ; y(2) = 6) 
c/ y = trên [-3; -2] 
D =[-3; -2]
 > 0 với 
Vậy ; y(-3) =
d/ y = trên [-4; 4] 
D =[-4; 4]
= 0 = 0 x = 0
Ta có:
 y(0)=5
y(4)=y(-4)=3
Vậy ; y() = 3
e) y = 2sin2x – cosx + 1 
Ta có y = 2(1- cos2x) – cosx + 1 = -2cos2x –cosx + 3
Đặt t = cosx, t khi đó bài toán trở thành bài toán sau: Tìm GTNN, GTLN của
 f(t) = -2t2 – t + 3 trên [-1; 1]
Hoàn toàn tương tự ta có: ; 
f/ y = 2sinx – sin3x trên [0; ] 
Hướng dẫn: Biến đổi về dạng: f(t) = 2t – t3 trên [0; 1]) 
Đáp án: ; 
Bài tập về nhà:
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a/ y = 2x3 – 3x2 – 12x + 10 trên 
b/ y = x4 – 3x2 + 2 trên 
c/ y = trên [2; 3]
d/ y = 
e/ y = 2sin2x +2cosx + 1 
Bài 3: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (3buổi)
I.Kiến thức cần nhớ:
Sơ đồ khảo sát tổng quát
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Sự biến thiên
Tính y’ và tìm nghiệm y’
Tìm giới hạn tại vô cùng ( đối với hàm đa thức)
Lập bảng biến thiên
Kết luận chiều biến thiên
Kết luận cực trị ( nếu có)
Tìm các đường tiệm cận ( nếu có)
Bước 3: Tìm các điểm thuộc đồ thị
	Nhận dạng đồ thị 
	Vẽ chính xác đồ thị
Một số lưu ý:
Lấy càng nhiều điểm thì đồ thị càng chính xác
Cố gắng tìm các giao điểm với các trục tọa độ nếu các điểm ấy là điểm “đẹp”.
Biết chính xác dạng đồ thị tùy vào bảng biến thiên
Đối với hàm phân thức chú ý không để đồ thị cắt các đường tiệm cận
Chú ý đến tâm đối xứng của đồ thị
II.Ví dụ:
Buổi 1: Khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
a/ y = x3 + 3x2	- 4 	 
Lời giải:
TXĐ : D=R
 y’ = 3x2 + 6x
 y’ = 0 3x2 + 6x = 0
( x3 + 3x2 - 4) = - ¥
(x3 + 3x2 - 4) = +¥ 
BBT
x
-¥ -2 0 +¥
y’
 + 0 - 0 +
y
+¥
-¥ -4 
Hàm số ĐB trong (-¥ ;-2 ) và ( 0;+¥) 
Hàm số NB trong ( -2; 0 )
Hàm số đạt CĐ tại x = -2 ; yCĐ=0
Hàm số đạt CT tại x = 0; yCT= -4 
Đồ thị:
Các điểm thuộc đồ thị 
 Cho x = 0 => y = -4
 Cho y = 0 => 
x
-2
-1
0
1
y
0
-2
-4
0
Bài tập 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
y = -x3 + 3x2 - 4x + 2
Bài giải:
TXĐ: D=R
y’= -3x2 +6x – 4
y’= 0 vô nghiệm, suy ra y’ < 0, 
; 
BBT
x
-¥ +¥
y’
 -
y
+¥
 -¥
Hàm số NB trên R
Hàm số không có cực trị
Điểm thuộc đồ thị:
x
-1
0
1
y
10
2
0
Đồ thị: 
Bài tập về nhà
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = - x3 + 3x – 1 	b/ y = 3x – 4x3 	c/ y = x3 – 3x2 + 3x – 2
Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + 2 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – 2 + m = 0
ĐS: * m > 4: 1 n0; * m = 4: 2 n0; * 0 < m < 4: 3 n0; * m = 0: 2 n0; * m < 0: 1 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
HD: PT đt đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng: . ĐS: y = 2x + 2
Buổi 2: Khảo sát hàm số y = ax4+ bx2 + c (a 0)
Ví dụ 1 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y=
 Gi¶i
TXD: D = R
Ta có y’ = 4x3 - 4x 
y’ = 0 4x3 - 4x = 0
giíi h¹n :
B¶ng biÕn thiªn
x
 -1 0 1 +
y’
 - 0	 + 0 - 0	 +
y
+	-3	+
	-4	-4
Hµm sè §B trong c¸c kho¶ng (-1;0)vµ (1; +)
Hµm sè NB trong c¸c kho¶ng (0:1)vµ (-;-1)
Hàm số đạt CĐ tại x = 0 ; yCĐ=-3
Hàm số đạt CT tại x = 1 vµ x = -1; yCT= -4 
§å thÞ: giao ®iÓm víi c¸c trôc to¹ ®é :
 Giao ®iÓm víi trôc tung : A(0;-3), Giao ®iÓm víi trôc hoµnh : B(-;0); C ( ;0) 
Hµm sè ®· cho lµ mét hµm sè ch½n do ®ã ®å thÞ nhËn trôc tung lµm trôc ®èi xøng.
Ví dụ 2 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= --x+
 Gi¶i:
* TX§: D=R.
* y’=-2x-2x
* y’ =0 x=0 y=
* Giíi h¹n: 
* BBT
x
- 0 +
y’
 + 0 -
y
-	 
Hµm sè §B trong kho¶ng (-;0) vµ NB trong kho¶ng(0;+)
Hàm số đạt CĐ tại x = 0 ; yCĐ=
* §å thÞ:
Hµm sè ®· cho lµ hµm sè ch½n do ®ã ®ß thÞ nhËn trôc tung lµ trôc ®èi xøng.
Bµi tËp vÒ nhµ: 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = x4 – 2x2 – 1 	b/ y = 	c/ y = - x4 + 2x2 	d/ y = x4 + x2 – 2 
 Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x4 + 2x2 + 1 – m = 0
ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: 2 n0; * 1 < m < 2: 4 n0; * m = 1: 3 n0; * m < 1: 2 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2
HD: Thế y = 2 vào (C) x =1: M(-1; 2), N(1; 2). ĐS: y = 2
Buổi 3: Khảo sát hàm số
Ví dụ1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 
* TXĐ: 
* Sự biến thiên:
+ <0 
Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên 
Hay hàm số không có cực trị.
+ 
Suy ra x=1 là TCĐ.
Suy ra y=1 là TCN.
+ BBT
* Đồ thị:
Ví dụ 2 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 
*TXĐ 
*Sự biến thiên:
+y'=
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên 
+ Đường TC
+BBT:
* Đồ thị: 
Ví dụ 3 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 
Bài làm: 
*TXĐ: D=R\{-1}
* Sự biến thiên:
+ đạo hàm:
.hàm số nghịch biến trên
+ Tiệm cận:
.;x=-1 là tiệm cận đứng
 suy ra đường thẳng y=0 là tiệm cận ngang
+ BBT: 
* Đồ thị:
ĐĐB:
(0:3) ;(2:1) ;(-2:-3)
Bài tập về nhà:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
a/ y = 	b/ y = 	c/ y = 	d/ y = 
Bài tập tổng hợp về nhà:
Bài 1: Cho hàm số (C): y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất
HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x. ĐS: y = -x và y = -x + 8
Bài 4 : CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ngày soạn: /	 /
I.Kiến thức cần nhớ
A.Phương trình tiếp tuyến
Ghi nhớ:
 a)Tiếp tuyến tại điểm
 Dạng1: PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại điểm M0(x0; y0)
Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y0 = (x0)(x – x0) 
Bước 2: Tính (x)
Bước 3: Tính (x0) 
Bước 4: Thay x0, y0 và (x0) vào bước 1
Dạng 2: PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại điểm có hoành độ x0
Bước 1: Tìm y0 bằng cách thay y0 =f(x0)
Bước 2: Quay lại dạng 1
Dạng 3: PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại điểm có tung độ x0
Bước 1: Tìm x0 bằng cách giải phương trình f(x0) = y0
Bước 2: Quay lại dạng 1
b) PTTT của (C): y = f(x) biết hệ số góc k cho trước
Bước 1: Tính (x) 
Bước 2: Giải phương trình (x0) = k nghiệm x0
Bước 3: Tính y0 = f(x0) 
Bước 4: Thay x0, y0 và k = (x0) vào PT: y – y0 = (x0)(x – x0) 
	c) PTTT của ( C) qua điểm A(xA;yA)
Phöông phaùp : Goïi k laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán 
Bước1: Chæ daïng : phöông trình tieáp tuyeán coù daïng :y = k ( x – xA ) + yA
Bước 2 : Duøng ñieàu kieän tieáp tuyeán tieáp xuùc ( C ):
nghieäm cuûa heä laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm
Giaûi heä phöông trình naøy ta tìm ñöôïc ...  số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó 
d) Do nên tiệm cận đứng (d):
Để tiệm cận đứng luôn đi qua điểm A(-1; ). Ta có m =2
Vậy: m =2
e) Phương trình tiếp tuyến của (C2) tại điểm (1; ) là:
 Vậy 
Vậy PTTT cần tìm là y = hay 
Bài 2: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 4 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng .
Bài giải:
a)Học sinh tự làm
g) Gọi k là hệ số góc của phương trình tiếp tuyến, do tiếp tuyến vuông góc với d: .
 Nên k = 
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, x0 là nghiệm của phương trình
f’(x) = 3x2 - 6x = 9x2 -18x +5 = 0 
Với PTTT cần tìm là: y = ;
Với PTTT cần tìm là: y = 
Bài tập về nhà:
Bài 1: Cho hàm số (C): y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất
HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x. ĐS: y = -x và y = -x + 8
Bài 2: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x4 + 2x2 + 1 – m = 0
Bài 3: Cho hàm số (Cm): y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: m = 0
c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C(; -3). ĐS: m = -4
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung
HD: Giao điểm với trục tung x = 0, thay x = 0 vào (C) y = -1: E(0; -1). ĐS: y = -2x – 1 
Bài 4: Cho hàm số (Cm): y = x3 + (m + 3)x2 + 1 – m 
a) Định m để hàm số có điểm cực đại tại x = -1. ĐS: m = 
HD: * Tìm y’, tìm y” và vận dụng công thức sau
 * Để hàm số đạt cực đại (hay tiểu) tại x = 
b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2
HD: (Cm) cắt trục hoành tại x = -2 y = 0, thay vào (Cm). ĐS: m = 
CHỦ ĐỀ 2 : KHỐI ĐA DIỆN 
A.CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG 
 1. sin = (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos = (KỀ chia HUYỀN)
3. tan = (ĐỐI chia KỀ) 4. cot = (KỀ chia ĐỐI)
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)
 2. AB2 = BH.BC 3. AC2 = CH.BC
 4. AH2 = BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6. 
III. ĐỊNH LÍ CÔSIN
 1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC
IV. ĐỊNH LÍ SIN
V. ĐỊNH LÍ TALET
 MN // BC
a) ; b) 
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S = b) S = (Công thức Hê-rông)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a:
a) Đường cao: h = ; b) S = 
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông:
a) S = ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S = a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a
5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o
b) BC = 2AB c) AC = d) S = 
6. Tam giác cân: a) S = (h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
9. Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn: a) C = 2R (R: bán kính đường tròn)
 b) S = R2 (R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN
2. Đường cao:
 Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 
3. Đường trung trực:
 Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4. Đường phân giác:
 Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều:
a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau
b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)
c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều: 
a) Có đáy là đa giác đều 
b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy 
d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp():
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp() Tức là: d ()
b) d ()
c) Đt d vuông góc với mp() thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp()
4. Góc giữa đt d và mp(): d cắt () tại O và Ad
 Nếu thì góc giữa d và () là hay = 
5. Góc giữa 2 mp() và mp():
Nếu 
thì góc giữa () và () là hay = 
6. Khoảng cách từ điểm A đến mp():
 (hình ở mục 4)
Nếu AH () thì d(A, ()) = AH 
 (với H ())
IX. KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2. Thể tích khối chóp: V = (diện tích đáy là đa giác)
3. Tỉ số thể tích của khối chóp: 
4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
5. Thể tích của khối nón tròn xoay: V = (diện tích đáy là đường tròn)
6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2 (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = h ( h: chiều cao khối trụ)
8. Diện tích của mặt cầu: S = 4 (R: bk mặt cầu )
9. Thể tích của khối nón tròn xoay: V = (R: bán kính mặt cầu)
B.CÁC VÍ DỤ:
Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
HD: * Đáy là BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy
 * Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
 * Tính: V = Bh = SBCD . AH * Tính: SBCD = (BCD đều cạnh a)
 * Tính AH: Trong ABH tại H : 
 AH2 = AB2 – BH2 (biết AB = a; BH = BM với BM = )
a
H
S
D
C
B
A
 ĐS: V = 
Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a 
HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là giao điểm của 2 đường chéo
 * Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
 * Tính: V = Bh = SABCD . SH * Tính: SABCD = a2
 * Tính AH: Trong SAH tại H:
 SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH = )
 ĐS: V = . Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a. ĐS: V = 
C'
B'
A'
C
B
A
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a
 a) Tính thể tích của khối lăng trụ
 b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C 
HD: a) * Đáy A’B’C’ là đều cạnh a . AA’ là đường cao
 * Tất cả các cạnh đều bằng a
 * = Bh = .AA’ 
 * Tính: = (A’B’C’ là đều cạnh a) và AA’ = a
 ĐS: = b) = ĐS: 
( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)
60
°
30
°
C'
B'
A'
C
B
A
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, = 600, đường chéo BC’ 
 của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300.
 a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ
HD: a) * Xác định là góc giữa cạnh BC’ và mp(ACC’A’)
 + CM: BA ( ACC’A’)
BA AC (vì ABC vuông tại A)
BA AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng)
 + = = 300 * Tính AC’: Trong BAC’ tại A (vì BA AC’)
 tan300 = AC’ = = AB
 * Tính AB: Trong ABC tại A, ta có: tan600 = 
 AB = AC. tan600 = a (vì AC = a). ĐS: AC’ = 3a
 b) = Bh = .CC’ * Tính: = AB.AC = .a.a = 
 * Tính CC’: Trong ACC’ tại C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 CC’ = 
 ĐS: = a3
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các
 điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của lăng trụ.
HD: * Kẻ A’H (ABC)
 * A’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của ABC đều cạnh a
 * Góc giữa cạnh AA’ và mp(ABC) là = = 600
 * Tính: = Bh = .A’H 
a
60
°
N
H
C'
B'
A'
C
B
A
 * Tính: = (Vì ABC đều cạnh a) 
 * Tính A’H: Trong AA’H tại H, ta có:
 tan600 = A’H = AH. tan600 = AN. = a
 ĐS: = 
 Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và
 AA’ = 3a. 
2a
3a
a
C'
B'
A'
C
B
A
 Tính thể tích của lăng trụ
HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a
 * Tính: = Bh = .AA’	
 * Tính: = AB.AC (biết AC = a) 
 * Tính AB: Trong ABC tại A, ta có: 
 AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2
 ĐS: = 
Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc = 600. Chân đường vuông góc hạ từ 
 B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB’ = a.
j
a
60
°
a
O
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
 a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy
 b) Tính thể tích hình hộp
HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD
 * B’O (ABCD) (gt)
 * Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là = 
 * Tính = : Trong BB’O tại O, ta có:
 cos = = 
 + ABD đều cạnh a (vì = 600 và AB = a) DB = a 
 OB = DB = . Suy ra: cos = = 600
 b) * Đáy ABCD là tổng của 2 đều ABD và BDC = 2. = 
 * = Bh = .B’O = .B’O 
a
M
H
C
B
A
S
 * Tính B’O: B’O = (vì B’BO là nửa tam giác đều) ĐS: 
Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a. Dựng đường cao SH
 a) Chứng minh: SABC
 b) Tính thể tích của hình chóp
HD: a) Gọi M là trung điểm của BC
 * CM: BCSH (SHmp( ABC))
 BC AM
 BCmp(SAM). Suy ra: SABC (đpcm)
 b) * Tất cả các cạnh đều bằng a
 * Tính: VS.ABC = Bh = SABC .SH * Tính: SABC = 
 * Tính SH: Trong SAH tại H, ta có: SH2 = SA2 – AH2 
 (biết SA = a; AH = AM mà AM = vì ABC đều cạnh a). ĐS: VS.ABC = 
Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một 
 góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
 a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
 b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC
HD: a) Hạ SH (ABC) H là trọng tâm của ABC đều cạnh a
60
°
E
D
a
H
C
B
A
S
 Gọi E là trung điểm của BC
 * Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là = = 600
 * Tính: 
 * Tính SD: SD = SA – AD 
 * Tính SA: SA = 2AH (vì SAH là nửa tam giác đều) 
 và AH = AE mà AE = vì ABC đều cạnh a. 
 Suy ra: SA = 
 * Tính AD: AD = ( vì ADE là nửa tam giác đều). Suy ra: AD = 
 * Suy ra: SD = . ĐS: 
 b) Cách 1: * Tính VS.ABC = Bh = SABC.SH * Tính: SABC = (vì ABC đều cạnh a) * Tính SH: Trong SAH tại H, ta có: sin600 = SH = SA.sin600 = a. Suy ra: VS.ABC = 
 * Từ . Suy ra: VS.DBC = 
 Cách 2: * Tính: VS.DBC = Bh = SDBC.SD * Tính: SDBC = DE.BC
 * Tính DE: Trong ADE tại D, ta có: sin600 = DE = AE.sin600 =. Suy ra: SDBC = 
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và 
S
D
a
H
C
A
B
 vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB 
 a) Chứng minh rằng: SH (ABCD)
 b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD
HD: a) * Ta có: mp(SAB) (ABCD)
 * (SAB) (ABCD) = AB; * SH (SAB)
 * SH AB ( là đường cao của SAB đều)
 Suy ra: SH (ABCD) (đpcm)
 b) * Tính: VS.ABCD = Bh = SABCD.SH
 * Tính: SABCD = a2 * Tính: SH = (vì SAB đều cạnh a) 
 ĐS: VS.ABCD = 
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy 
 một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó.
 ĐS: VS.ABC = 
Bài 2: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng . 
 Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. ĐS: SA = 
Bài 3: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng và thể tích bằng a3. 
Tính cạnh đáy của hình chóp. ĐS: AB = 
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a3/8, các mặt bên tạo với đáy (ABC) một góc 600. Tính độ dài cạng đáy AB. ĐS: AB =