Giáo án môn Hình học 12 tiết 49 đến 57

Tiết chương trình: 49-50-51
ÔN TẬP CHƯƠNG III
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY
* Hướng dẫn học sinh ôn tập, hệ thống và củng cố lại các kiến thức đã học trong chương III.
 * Học sinh làm lại các dạng toán trong chương III.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng, kĩ năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
* Học đọc bài và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bị bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn định lớp : (1’)
	Ổn định trật tự, kiểm tra sĩ số. 
‚. Kiểm tra bài cũ: (3’) 
l Tiến hành dạy bài mới.
T gian
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs giải bài tập1.
 =?, = ?, = ?, = ?
Suy ra: = ?
 Diện tích tam giác ACD: S = ?
 A, B, C, D đồng phẳng Û ?
Hoạt động 2 Hướng dẫn hs giải bài tậpï 2. 
 Xác định một điểm thuộc dt D và D’ và các vtcp của chúng ?
 Hai đường thẳng D avf D’ chéo nhau khi nào ?
[,]. ≠ 0 nên hai đường thẳng này chéo nhau.
 Mặt phẳng (a) đi qua D song song với D’ có vtpt = ? suy ra pttq của nó ?
 Mặt phẳng đi qua M0 vuông góc với D có pt là gì ?
 Khoảng cách giữa D và D’ là: d = ? 
Hoạt động 3. Hướng dẫn hs giải bài tập 4. Xác định một điểm mà dt đi qua, vtcp của đường thẳng D, vtpt của mp (a) ?
Suy ra vị trí tương đối của đt và mp ?
 Mặt phẳng đi qua M0 vuông góc với D có pt là gì ?
 Mp (b) chứa D và vg với (a) có pt vtpt = ? Suy ra pttq của nó ?
 Vậy pt mp(b) là: 8x - 7y -11z - 22 = 0.
 Hình chiếu của D trên mp(a) là gì ?
 Mp(a) là mp trung trực của AA’ Û ? 
Hoạt động 4. Hướng dẫn hs giải bài tập 9. a, Ta có: = ? = ?,= ? .
Vậy ta có: [;] = (-18, 36, 0).
 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi nào ?
 Thể tích tứ diện là: V = ?
Gọi I(a, b, c) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A, B, C, D. 
 Ta có: ?
 Bán kính của mặt cầu: R = ?.
Vậy pt mcc cần tìm là ?
: (x - 2)2 + (y + 1)2 + (x - 3)2 = 17.
 Mặt phẳng (ABC) có vtpt: = ?
Suy ra ptmp(ABC) ?
Suy ra pt đường tròn ?
[;] = (6, 12, 0) đi qua điểm C(2, 0, -1) nên nó có pt: 6x + 12y - 12 = 0 Û x + 2y - 2 = 0.
Bước 4. Củng cố.
Nắm vững phương trình mcc, giao của mp và mcc.
Làm hết các bài tập agk.
* , , , .
* = (-27, 18, -9).
* S = .
c, A, B, C, D đồng phẳng Û .
* Đường thẳng D đi qua M0(3, -1, 4), có vtcp = (1,2,0) và đường thẳng D’ đi qua M0’(1, 1, 2) có vtcp = (1, 1, 2).
*Khi [,]. ≠ 0.
* vtpt = [,] = (4, -1, -1) nên nó có pttq: 4x - 2y - x + 10 = 0.
* có pt : x + 2y - 3 = 0.
* d = = .
* Đường thẳng D đi qua M0(12, 9, -1), có vtcp = (4,3,1) và mp(a) vtpt = (3, 5, -1).
* Đường thẳng và mp cắt nhau.
* Mặt phẳng đi qua M0 vuông góc với D có pt: 4x + 3y - z - 9 = 0.
* vtpt = (8, -7, -11). 
Vậy pt mp(b) là: 8x - 7y -11z - 22 = 0.
* Hình chiếu của D trên mp(a) là giao tuyến của hai mp(a) và (b).
* Khi A’ đối xứng với A qua (a).
* =(-6, 3, 3), = (-4, 2, -4),= (-2, 3, -3).
* Khi,, không đồng phẳng ?
* V = |[;].| = 12.
* Ta có: Û .
Bán kính của mặt cầu: R = IA = .
* Vậy pt mcc cần tìm là: (x - 2)2 + (y + 1)2 + (x - 3)2 = 17.
* vtpt: = [;] = (6, 12, 0)
pt: 6x + 12y - 12 = 0 Û x + 2y - 2 = 0.
* Vậy đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C có pt là: 
Bài tập 1. 
a, Ta có: , , , .
Vậy ta có: = (-27, 18, -9).
b, Diện tích tam giác ACD: S = .
c, Ta có: nên đồng phẳng nên A, B, C, D đồng phẳng.
Bài 3.
a, Đường thẳng D đi qua M0(3, -1, 4), có vtcp = (1,2,0) và đường thẳng D’ đi qua M0’(1, 1, 2) có vtcp = (1, 1, 2) nên dễ thấy:
[,]. ≠ 0 nên hai đường thẳng này chéo nhau.
b, Mặt phẳng (a) đi qua D song song với D’ có vtpt = [,] = (4, -1, -1) nên nó có pttq: 4x - 2y - x + 10 = 0.
c, Mặt phẳng đi qua M0 vuông góc với D có pt: x + 2y - 3 = 0.
d, Khoảng cách giữa D và D’ là: d = = .
Bài tập 4. 
a, Đường thẳng D đi qua M0(12, 9, -1), có vtcp = (4,3,1) và mp(a) vtpt = (3, 5, -1) nên nó chúng cắt nhau.
Toạ độ giao điểm của mp(a) và dt D là ngiệm của hpt:
 Û .
b, Mặt phẳng đi qua M0 vuông góc với D có pt: 4x + 3y - z - 9 = 0.
c, Mp (b) chứa D và vg với (a) có pt vtpt = (8, -7, -11). Vậy pt mp(b) là: 8x - 7y -11z - 22 = 0.
Hình chiếu của D trên mp(a) là giao tuyến của hai mp(a) và (b) nên nó có pt là: 
.
d, Mp(a) là mp trung trực của AA’ Û A’ đối xứng với A qua (a).
Phương trình đường thẳng d đi qua A vg với mp(a) là: 
.
Tham số t ứng với giao điểm H của d với (a) là nghiệm của pt:
3(1+3t) + 25t - (-1 -t) - 2 = 0 Û t = .
Vậy toạ độ điểm H là: , suy ra toạ độ điểm A’ là: .
Bài 9.
 a, Ta có: =(-6, 3, 3), = (-4, 2, -4),= (-2, 3, -3).
Vậy ta có: [;] = (-18, 36, 0).
Do đó: [;]. = -72 ≠ 0 nên 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b, Thể tích tứ diện là: V = |[;].| = 12.
c, Gọi I(a, b, c) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A, B, C, D. Ta có: Û .
Bán kính của mặt cầu: R = .
Vậy pt mcc cần tìm là: (x - 2)2 + (y + 1)2 + (x - 3)2 = 17.
d, Mặt phẳng (ABC) có vtpt: = [;] = (6, 12, 0) đi qua điểm C(2, 0, -1) nên nó có pt: 6x + 12y - 12 = 0 Û x + 2y - 2 = 0.
Vậy đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C có pt là: .
Đường thẳng d qua I vuông góc với (a) có pt: .
Tâm của đường tròn (C) có tâm là giao điểm của d và (a) có toạ độ (.
Tuần học thứ: 33. Ngày soạn: 19/4. Tiết chương trình: 52-53-54-55-56-57
ÔN TẬP HỌC KÌ II
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY
* Hướng dẫn học sinh ôn tập, hệ thống và củng cố lại các kiến thức đã học trong HKII.
 * Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng, kĩ năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
* Học đọc bài và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bị bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn định lớp : (1’)
	Ổn định trật tự, kiểm tra sĩ số. 
‚. Kiểm tra bài cũ: (3’) 
l Tiến hành dạy bài mới.
T gian
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung ghi bảng
H­íng dÉn hs «n tËp l¹i c¸c kiÕn thøc vỊ ®­êng th¼ng, ®­êng trßn vµ ba ®­êng c«nic trong mỈt ph¼ng.
Gäi hs gi¶i bµi tËp 1.
 Vect¬ ph¸p tuyÕn cđa D lµ g× ?
Suy ra vtpt cđa ®t d ?
VËy ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d lµ g× ?
 §t ®i qua vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng 
cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ g× ?
 §t ®i qua hai ®iĨm . Cã vtpt lµ g× ? Suy ra pttq cđa nã ?
XÐt bµi tËp 2.
 §Ĩ x¸c ®Þnh tËp vµ b¸n kÝnh cđa ®­êng trßn 
 ta lµm ntn ?
 T­¬ng tù cho ®­êng trßn 
 ?
Gäi hs gi¶i bµi tËp 3.
XÐt elÝp 
 Ta cã: a = ?, b = ?, c = ?
Suy ra: c¸c tiªu ®iĨm, trơc lín, trơc nhá, 
T©m sai cđa elÝp.
T­¬ng tù cho elÝp: 
Gäi hs gi¶i bµi tËp 4.
XÐt hûpbol: .
 Ta cã: a= ?, b = ?, c = ?
Suy ra tiªu ®iĨm 
 trơc thùc, trơc ¶o, t©m sai cđa hypebol.
T­¬ng tù cho hypebol: 
H­íng dÉn hs «n tËp l¹i c¸c kiÕn thøc vỊ ®­êng th¼ng, mỈt ph¼ng, mỈt cÇu trong kh«ng gian.
Hướng dẫn hs giải bài tập1.
 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi nào ?
 Thể tích tứ diện V = ?
Suy ra độ dài đường cao kẻ từ A của có :
Hướng dẫn hs giải bài tậpï 2. 
Trong khäng gian cho hai mp:
 () laì màût phàĩng cọ pt: Ax + By + Cz + D = 0 cọ vtpt = (A; B; C). (’) laì màût phàĩng cọ pt: A’x + B’y + C’z + D’ = 0 cọ vtpt = (A’; B’; C’).
 () vaì (’) càõt nhau Û ?
 () vaì (’) truìng nhau Û ?.
 () vaì (’) song song Û ?
Gọi hs giải bài tập 2b.
 Mp (b) qua giao tuyãún cuía hai mp: (): 2x –y + z + 1 = 0 vaì (’):x + 3y – z + 2 = 0 cọ pt dảng ?
 Mp (g) qua giao tuyãún cuía hai mp: (): 2x –y + z + 1 = 0 vaì (’):x + 3y – z + 2 = 0 cọ pt dảng ?
 Hướng dẫn hs giải bài tập3. 
 Hçnh chiãúu vuäng gọc cuía âthàĩng âaỵ cho lãn mp: x + y + z - 7 = 0 laì ?
 vtpt cuía mp (P) laì: ? Suy ra pttq cuía (P).
 Váûy pttq cuía âthàĩng cáưn tçm laì: ?
Hướng dẫn hs giải bài tập 4
 Ta có: = ? = ?
 Vậy ta có: [;] = ? Suy ra pt mp(ABC) ?
 4 điểm A, B, C, S là 4 đỉnh của một tứ diện khi nào ?
Gọi I(a, b, c) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A, B, C, D. 
 Ta có điều gì ?
 Bán kính của mặt cầu: R = ?.
Vậy pt mcc cần tìm là ?
 Mặt phẳng (ABC) có vtpt: = ?
Suy ra ptmp(ABC) ?
Suy ra pt đường tròn ?
[;] = (6, 12, 0) đi qua điểm C(2, 0, -1) nên nó có pt: 6x + 12y - 12 = 0 Û x + 2y - 2 = 0.
Hướng dẫn hs giải bài tập 4d.
Hướng dẫn hs giải bài tập 5 Xác định một điểm và một vtcp của mỗi đường thẳng ?
 Hai đường thẳng này chéo nhau khi nào ?
 Mặt phẳng (P) đi qua D1 và song song với D2 nên nó có vtpt = ? 
Suy ra pttq mp(P) ?
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng D1 và D2 là: d = d(M, D1) = .
Hướng dẫn hs ôn tập lại góc giữa hai đường thẳng.
Bước 4. Củng cố.
Nắm vững phương trình mcc, giao của mp và mcc.
Làm hết các bài tập sgk.
Vect¬ ph¸p tuyÕn cđa 
Nã cịng chÝnh lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cđa ®­êng th¼ng ph¶i t×m d.
* pt lµ:
 §i qua hai ®iĨm . Ta cã: 
Suy ra: 
Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB ®i qua vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ:	
* 
VËy ®­êng trßn cã t©m vµ b¸n kÝnh R = 5.
*
VËy ®­êng trßn cã t©m vµ b¸n kÝnh R = 6.
3/. T×m täa ®é c¸c tiªu ®iĨm, ®é dµi c¸c trơc vµ t©m sai cđa elip:
a/. 
Ta cã: 
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
Trơc lín: 2a = 10. Trơc bÐ: 2b = 
6. T©m sai: 
*
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
 Trơc thùc: 2a = 10. Trơc ¶o: 2b = 8. T©m sai: .
khi ≠ 0.
* Ta cọ thãø têch tỉï diãûn laì: = .
* âäü daìi âỉåìng cao keí tỉì A laì: = 1.
* () vaì (’) càõt nhau Û A:B:C’:B’:C’.
* () vaì (’) truìng nhau Û.
* () vaì (’) song song Û.
* Dạng: l(2x –y + z + 1) + m( x + 3y – z + 2) = 0, l2 + m2 ≠ 0.
* Dạng: 
l(2x –y + z + 1) + m( x + 3y – z + 2) = 0, l2 + m2 ≠ 0
Hay (2l + m)x+(-l + 3m)y + (l - m)z + (l + 2m) = 0.
* Hçnh chiãúu vuäng gọc cuía âthàĩng âaỵ cho lãn mp: x + y + z - 7 = 0 laì giao tuyãún cuía hai mp x + y + z - 7 våïi mp (P) chỉïa ât vaì cọ mäüt vtcp laì = (1, 1, 1).
* Vtpt cuía mp (P) laì: .
*pt mp (P) laì: 2x + y - 3z + 1 = 0.
* pttq cuía âthàĩng cáưn tçm laì: .
* : =(-4, 0, -2), = (-1, -4, -3),
[;] = (-8, -10, -16).
Khi S Ï (ABC).
* Ta có: Û.
* R =3.
Vậy pt mcc cần tìm là: (x - 4)2 + (y + 3)2 + (x + 5)2 = 9.
* Đường thẳng D1 đi qua M0(-23, -10, 0), có vtcp = (8, 4, 1) và đường thẳng D2 đi qua M0’(3, -2, 0) có vtcp = (2, -2, 1) nên 
* [,]. ≠ 0 nên hai đường thẳng này chéo nhau.
* Mặt phẳng (P) đi qua D1 và song song với D2 nên nó có vtpt = [,] = (6, -6, -24).
Vậy pttq mp(P) là: x - y -4z +13 = 0.
* Ta có: M(1, -2, 0) Ỵ D2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng D1 và D2 là: d = d(M, D1) = .
I. Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é trong mỈt ph¼ng.
 1/. ViÕt ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng trong mçi tr­êng hỵp sau:
a/. §i qua vµ song song víi ®­êng th¼ng 
Vect¬ ph¸p tuyÕn cđa cịng chÝnh lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cđa ®­êng th¼ng ph¶i t×m d.
Ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng d ®i qua 
vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ:
b/. §i qua vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng 
Vect¬ ph¸p tuyÕn cđa . Ta cã: 
§­êng th¼ng b ®i qua vµ vu«ng gãc víi (a) sÏ nhËn lµm vect¬ ph¸p tuyÕn cã ph­¬ng tr×nh lµ:
c/. §i qua hai ®iĨm . Ta cã: 
Suy ra: 
Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB ®i qua vµ cps vect¬ ph¸p tuyÕn lµ:	
2/. T×m t©m vµ b¸n kÝnh cđa c¸c ®­êng trßn:
a/. 
	VËy ®­êng trßn cã t©m vµ b¸n kÝnh R = 5.
b/. 
	VËy ®­êng trßn cã t©m vµ b¸n kÝnh R = 6.
3/. T×m täa ®é c¸c tiªu ®iĨm, ®é dµi c¸c trơc vµ t©m sai cđa elip:
a/. 
Ta cã: 
Suy ra: 
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
Trơc lín: 2a = 10. Trơc bÐ: 2b = 6. T©m sai: 
b/. 
cã: 
Suy ra: 
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
 Trơc lín: 2a = 26. Trơc bÐ: 2b = 10. T©m sai: .
4/. T×m täa ®é c¸c tiªu ®iĨm, ®é dµi c¸c trơc vµ t©m sai cđa hypebol:
a/. .
Ta cã: 
Suy ra: 
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
 Trơc thùc: 2a = 10. Trơc ¶o: 2b = 8. T©m sai: .
b/. 
Ta cã: 
Suy ra: 
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
 Trơc thùc: 2a = 8. Trơc ¶o: 2b = 6. T©m sai: .
II. Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian.
Bài tập 1. Cho 4 A(1; 0; 0); B(0; 1; 0); C(0; 0; 1); D(-2; 1; -1).
a, Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b, Tìm góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện.
c, Tính thể tích của tứ diện và độ dài đường cao kẻ từ A của tứ diện.
a) [= -3 ¹ 0 Váûy ba vectå khäng âäưng phàĩng hay A; B; C; D laì 4 âènh cuía mäüt tỉï diãûn. 
b, Goüi a laì gọc tảo båíi hai âỉåìng thàĩng AB vaì CD. Ta cọ: cosa = nãn a = .
Goüi b laì gọc tảo båíi hai âỉåìng thàĩng BC vaì AD. Ta cọ: cosb = .
c, Ta cọ thãø têch tỉï diãûn laì: = .	
Váûy âäü daìi âỉåìng cao keí tỉì A laì: = 1.
Bài 2. Cho hai màût phàĩng: (): 2x –y + z + 1 = 0 vaì (’):x + 3y – z + 2 = 0. 
a, Cm () vaì (’) càõt nhau.
b, Viãút pt mp (b) qua giao tuyãún cuía () vaì (’) vaì qua M(1, 2, 3).
c, Viãút pt mp (g) qua giao tuyãún cuía () vaì (’) vaì vuäng gọc våïi mp: x – y + 3z – 2 = 0.
Giaíi: a, Ta cọ: 2:-1:1≠ 1:3:-1 nãn hai mp () vaì (’) càõt nhau.
b, Mp (b) qua giao tuyãún cuía hai mp: (): 2x –y + z + 1 = 0 vaì (’):x + 3y – z + 2 = 0 cọ pt dảng:
l(2x –y + z + 1) + m( x + 3y – z + 2) = 0, l2 + m2 ≠ 0.
Vç mp (b) âi qua M(1, 2, 3) nãn 4l + 6m = 0.
Choün l = 3 thç m = -2. Váûy pt mp (b) laì: 4x – 9y – z – 1 = 0.
c, Mp (g) qua giao tuyãún cuía hai mp: (): 2x –y + z + 1 = 0 vaì (’):x + 3y – z + 2 = 0 cọ pt dảng:
l(2x –y + z + 1) + m( x + 3y – z + 2) = 0, l2 + m2 ≠ 0
Hay (2l + m)x+(-l + 3m)y + (l - m)z + (l + 2m) = 0.
Vç mp (g) vuäng gọc våïi mp: x – y + 3z – 2 = 0 nãn 
(2l + m) - (-l + 3m) + (l - m)3 = 0 Û 6l + 4m = 0.
Choün l = 2 thç m = -3. Váûy pt mp (b) laì: x – 11y + 5z – 4 = 0.
Bài tập 3. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mp: x + y + z - 1 = 0.
Hçnh chiãúu vuäng gọc cuía âthàĩng âaỵ cho lãn mp: x + y + z - 7 = 0 laì giao tuyãún cuía hai mp x + y + z - 7 våïi mp (P) chỉïa ât vaì cọ mäüt vtcp laì = (1, 1, 1).
Váûy vtpt cuía mp (P) laì: .
Váûy pt mp (P) laì: 2x + y - 3z + 1 = 0.
Váûy pttq cuía âthàĩng cáưn tçm laì: .
Bài 4. Trong không gian cho 4 điểm A(6, -1, -4), B(2, -1, -6), C(5, -5, -7) và S(3, -5, -3).
a) Chứng minh A, B, C, S là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Viết phương trình mcc ngoại tiếp tứ diện.
c) Viết phương trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và mp(ABC).
Giải. a, Ta có: : =(-4, 0, -2), = (-1, -4, -3),
Vậy ta có: [;] = (-8, -10, -16).
Vậy pt mp(ABC): 4x + 5y - 8z - 51 = 0.
Dễ thấy S không thuộc mp này nên 4 điểm A, B, C và D không đồng phẳng.
b, Gọi I(a, b, c) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A, B, C, D. Ta có: Û.
Bán kính của mặt cầu: R =3.
Vậy pt mcc cần tìm là: (x - 4)2 + (y + 3)2 + (x + 5)2 = 9.
d, Mặt phẳng (ABC) có vtpt: = [;] = (6, 12, 0) đi qua điểm C(2, 0, -1) nên nó có pt: 6x + 12y - 12 = 0 Û x + 2y - 2 = 0.
Vậy đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C có pt là: .
Đường thẳng d qua I vuông góc với (a) có pt: .
Tâm của đường tròn (C) có tâm là giao điểm của d và (a) có toạ độ (.
Bài 5. Trong không gian cho hai đường thẳng: D1: 
và D2:.
a, Chứng minh D1 và D2 chéo nhau.
b, Viết phương trình mp(P) chứa D1 và song song với D2.
c, Tính khoảng cách giữa D1 và D2.
d, Viết phương trình mặt phẳng D song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng D1 và D2.
Giải. a, Đường thẳng D1 đi qua M0(-23, -10, 0), có vtcp = (8, 4, 1) và đường thẳng D2 đi qua M0’(3, -2, 0) có vtcp = (2, -2, 1) nên dễ thấy:
[,]. ≠ 0 nên hai đường thẳng này chéo nhau.
b, Mặt phẳng (P) đi qua D1 và song song với D2 nên nó có vtpt = [,] = (6, -6, -24).
Vậy pttq mp(P) là: x - y -4z +13 = 0.
c, Ta có: M(1, -2, 0) Ỵ D2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng D1 và D2 là: d = d(M, D1) = .
Bài tập làm thêm: 
Bài 1. Cho hai mp(a) và mp(b) có pt: (a): 2x - y + 3z + 1 = 0, 
(b): x + y - z + 5 = 0. và điểm M(1, 0, 5).
a, Tính khoảng cách từ M đến giao tuyến d của (a) và (b).
b, Tính góc giữa hai mp(a) và (b).
c, Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp (a) và (b), vuông góc với mp: 3x - y + 1 = 0.
d, Viết phương trình đường thẳng đi qua M vuông góc với giao tuyến của (a) và (b) và cắt giao tuyến ấy.